Chuyên đề hàm số ôn thi đại học

a, CMR: không có 2 điểm nào thuộc C để 2 tiếp tuyến tại đó vuông góc với nhau... Tìm các điểm M C để có thể kẻ đợc đúng 1 tiếp tuyến với đồ thị.. Tìm những điểm trên trục tung Oy sao ch

Chuyên đề Hàm số Chuyên đề 1: Cực trị của hàm Số

A Tóm tắt lý thuyết.

1 Điều kiện để hàm số tồn tại cực trị

Hàm số y = f(x) có cực trị  y = f(x) có cực đại và cực tiểu  f’(x) = 0 có nghiệm

Chỳ ý: * Nếu f'(x 0 ) = 0 và f"(x 0 ) = 0 thỡ ta khụng tỡm được cực trị của hsố y = f(x) theo dấu hiệu II Khi đú ta phải tỡm cực trị của hàm số theo dấu hiệu I chứ khụng được kết luận hàm số khụng cú cựu trị.

* Dấu hiệu II thường tỡm cực trị những hàm số mà việc xột dấu đạo hàm cấp 1 quỏ phức tạp, chẳng hạn như hàm lượng giỏc.

Bài 2: Tìm m để hàm số y = (m + 2)x3 + 3x2 + mx + 5 có cực đại và cực tiểu

Bài 3: Chứng minh rằng m, hàm số y = 2x3 - 3(2m + 1)x2 + 6m(m + 1)x + 1 luôn đạtcực trị tại x1; x2 với x1 - x2 không phụ thuộc m

thoả mãn điều kiện -1 <x1 < x2

Bài 6: Chứng minh rằng  m < n < p, hàm số y = (x - m)(x - n) x - p) đạt cực trị tại x1;

= -2 ( Điều kiện cần + điều kiện đủ)

Bài 9: Tìm m để f(x) = x3 - 3mx2 + 3(m2 - 1)x + m đạt cực tiểu tại x = 2

Bài 10: Tìm m để f(x) = x3 - 3mx2 + (m - 1)x + 2 đạt cực tiểu tại x = 2

Bài 11: Tìm m để f(x) = x3 + 3mx2 - (m - 1)x - 1 không có cực trị

CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN

KHẢO SÁT HÀM SỐ

Dạng 1: CÁC BÀI TOÁN VỀ TIẾP XÚC

Cho hàm số y  f x ,đồ thị là (C) Có ba loại phương trình tiếp tuyến như sau:

Loại 1: Tiếp tuyến của hàm số tại điểm M x y 0 ; 0 C

 Tính đạo hàm và giá trị f x' 0

 Phương trình tiếp tuyến có dạng: yf x'  0 x x 0y0

Chú ý: Tiếp tuyến tại điểm M x y 0 ; 0 C có hệ số góc kf x' 0

Loại 2: Biết hệ số góc của tiếp tuyến là k

 Giải phương trình:  f x' k, tìm nghiệm x0  y0

 Phương trình tiếp tuyến dạng: y k x x   0y0

Chú ý: Cho đường thẳng  :Ax By C   0, khi đó:

 Nếu d//    d :y ax b   hệ số góc k = a

 Nếu d     d :y ax b   hệ số góc k 1

a



Loại 3: Tiếp tuyến của (C) đi qua điểm A x y A; A   C

 Gọi d là đường thẳng qua A và có hệ số góc là k, khi đó  d :y k x x   A y A

 Điều kiện tiếp xúc của  d và  C là hệ phương trình sau phải có nghiệm:

Chuyên đề Tiếp tuyến.

A Hớng dẫn cách giải

1: Viết phơng trình tiếp tuyến tại 1 điểm thuộc đồ thị

Phơng pháp: Theo ý nghĩa hình học của đạo hàm thì tiếp tuyến tại M0(x0;y0)  (C): y = f(x)

Giả sử tiếp tuyến có hệ số góc k tiếp xúc với (C): y = f(x) tại điểm có

hoành độ xi => f’(xi) = k => x = xi là nghiệm của phơng trình f’(x) = k

Giải phơng trình f’(xi) = k => nghiệm x  (x0; x1;x2; …xi…xn)

Phơng trình tiếp tuyến tại xi là y = k(x- xi) + f(xi)

Cách 2: Phơng pháp điều kiện nghiệm kép

Xét đờng thẳng với hệ số góc k với phơng trình y = kx + m (ẩn m) tiếp xúc với

(C): y = f(x)  phơng trình kx + m = f(x) (*) có nghiệm kép Giải phơng trình (*)

với  = o => các giá trị của m => phơng trình tiếp tuyến

Chú ý: Vì điều kiện (C1): y = f(x) và (C2): y = g(x) tiếp xúc nhau là hệ điều kiện

f(x) = g(x) có nghiệm chứ không phải là điều kiện f(x) = g(x) có nghiệm

f’(x) = g’(x) kép nên cách 2 chỉ sử dụng đợc cho các hàm số mà phơng trình tơng giao

kx + m = f(x) có thể biến đổi tơng đơng với 1 phơng trình bậc 2

3 Các dạng biểu diễn của hệ số góc.

a, Dạng trực tiếp k =  1; 2, 3; …

b, Tiếp tuyến tạo với chiều dơng Ox góc  => k = tg với   15 0 , 30 0 ; 45 0 ; 165 0

c, Tiếp tuyến song song với đờng thẳng y = ax + b => k = a

d, Tiếp tuyến vuông góc với đờng thẳng y = ax + b => k =

Cách 1: Giả sử tiếp tuyến đi qua A(a;b) tiếp xúc với (C): y = f(x) tại tiếp điểm có hoành

độ xi suy ra phơng trình tiếp tuyến có dạng (t) y = f’(xi)(x - xi) + f(xi) Do A  (t) nên b =f’(xi)(a- xi) + f(xi) x = xi là nghiệm của phơng trình b = f’(xi)(a- xi) + f(xi) Giải phơng trìnhtìm đợc nghiệm x  (x0; x1;x2; …xi…xn)

Phơng trình tiếp tuyến tại x = xi là y = f’(xi)(x - xi) + f(xi)

Cách 2: Đờng thẳng đi qua A(a;b) với hệ số góc k có phơng trình y = k(x-a) + b tiếp xúc với

đồ thị (C): y = f(x)  Hệ phơng trình

f(x) = k(x - a) + b có nghiệm => f(x) = f’(x) (x - a) + b Giải phơng trình ta tìm

f’(x) = k đợc x  (x0; x1;x2; …xi…xn)

Phơng trình tiếp tuyến tại x = xi là y = f’(xi)(x - xi) + f(xi)

Phơng pháp điều kiện nghiệm kép:

Cách 3: Đờng thẳng đi qua A(a,b) với hệ số góc k có phơng trình y = k(x - a) + b tiếp xúc

với (C) y = f(x)  k(x-a) + b = f(x) có nghiệm kép …  … Nói chung u(k)x2 + v(k)x + w(k) = 0 có nghiệm kép

u(k)  0

 = g(k) =  k2 +  k +  = 0 (**) Hệ sinh ra hệ số góc

Giải hoặc biện luận hệ điều kiện (**) suy ra giá trị của k hoặc số lợng của k Từ đó suy ra

ph-ơng trình tiếp tuyến hoặc số lợng các tiếp tuyến đi qua A(a;b)

B: Bài tập

Bài tập chuyên đề tiếp tuyến 2.

Bài 1: Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị (C) y = f(x) = x3 - 3x + 5 khi biết

a, Hoành độ của tiếp điểm là x1 = -1; x2 = 2 ; x3 = 3

b, Tung độ của các tiếp điểm là y1 = 5; y2 = 3 ; y3 = 7

Bài 2 Cho (C): y = f(x) = 2x3 - 3x2 + 9x - 4 Viết phơng trình tiếp tuyến của (C) tại các giao điểm của (C) với các đồ thị sau:

a, Đờng thẳng (d) y = 7x + 4

b, Parabol (p): y = -x2 + 8x - 3

c, Đờng cng (C) y = x3 - 4x2 + 6x + 7

Bài 3: Cho hàm số (Cm) y = x3 + 1 - m(x + 1) Viết phơng trình tiếp tuyến của (Cm) tại giao

điểm của (Cm) với Oy Tìm m để tiếp tuyến nói trên chắn 2 trục toạ độ tam giác có diện tích bằng 8

Bài 4: Cho (C) y = x3 + + 3x2 + 3x + 5

a, CMR: không có 2 điểm nào thuộc (C) để 2 tiếp tuyến tại đó vuông góc với nhau

b, Tìm k để trên (C) luôn có ít nhất 1 điểm sao cho tiếp tuyến tại điểm này vuông góc với ờng thẳng y = kx + m

a, Viết phơng trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến này song song với y = 6x - 1

b, Viết phơng trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến này vuông góc với y = 2

c, Viết phơng trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến tạo với y = 2x + 3 góc 450

Bài 8: Viết pt tiếp tuyến của (C) y = -x3 + 3x biết tiếp tuyến đó song song với y = -9x + 1

b, Viết pt tiếp tuyến của (C) y = x3 - 3x2 + 4 biết tiếp tuyến đó song song với y = 9x

Bài 9: Viết pt tiếp tuyến của (C) y = x3 - 3x2 +2 biết tiếp tuyến đó  5y - 3x + 4 = o

b, Viết pt tiếp tuyến của (C) y = x3 - 3x2 + 2 biết tiếp tuyến đó  y =

3

x

Bài 10: Cho đồ thị (C) y = 2x3 - 3x2 - 12x - 5

a, Viết phơng trình tiếp tuyến song song với y = 6x - 4

b, Viết pt tiếp tuyến  y = 2

a, Viết pt tiếp tuyến tạo với chiều dơng Ox góc 600

b, Viết pt tiếp tuyến tạo với đờng thẳng y = 3

c, Viết pt tiếp tuyến biết tiếp tuyến song song với đt y = -x + 2

d, Viết pt tiếp tuyến biết tiếp tuyến vuông góc với y = 2x - 3

Bài 12: Viết phơng trình tiếp tuyến đi qua A( ; 4 )

12

19 ( đến (C) y = 2x3 - 3x2 + 5

+ Tìm trên trục hoành các điểm kẻ đợc 3 tiếp tuyến đến đồ thị (C)

Bài 13: Cho (C) y = x3 - 12x + 12 Tìm trên đờng thẳng y = - 4 các điểm có thể kẻ đợc 3 tiếp tuyến đến đồ thị (C)

Bài 14: Viết pt tiếp tuyến đi qua A( ; 1

3

2

 ) đến y = x3 - 3x + 1+ Viết pt tiếp tuyến đi qua B(2; 0) đến y = x3 - x - 6

+ Viết pt tiếp tuyến đi qua C(3; 0) đến y = -x3 + 9x

+ Cho đồ thị (C) y = x3 + ax2 + bx + c Tìm các điểm M (C) để có thể kẻ đợc đúng 1 tiếp tuyến với đồ thị

+ Có bao nhiêu tiếp tuyến đi qua D(-2; 5) đến đồ thị (C) y = x3 - 9x2 + 17x + 2

Bài 15: Cho đồ thị (C) y = -x4 + 2x2 - 1 Tìm tất cả các điểm thuộc Oy kẻ đợc 3 tiếp tuyến

+ Viết pt tiếp tuyến đi qua A(1;1) đến đồ thị (C) y = x4 - x3 + 2x2 -1

Bài 17: Cho (C): y = 2x3 + 3x2 - 12x - 1 Tìm điểm M thuộc đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến của(C) tại M đi qua gốc toạ độ

Khi m = 1, tìm trên đờng thẳng y = 2 những điểm mà từ đó có thể kẻ đợc 3 tiếp tuyến đến (C)

Bài 21: Cho (C): y = -x4 + 2x2 - 1 Tìm tất cả các điểm thuộc Oy sao cho từ đó có thể kẻ đợc

3 tiếp tuyến đến (C)

Bài 22: Cho (C): y = x3 - 3x2 + 2

a, Qua A(0; 1) có thể kẻ đợc mấy tiếp tuyến với (C)? Hãy viết pt tiếp tuyến ấy

b, CMR không có tiếp tuyến nào khác của (C) song song với tiếp tuyến qua A của (C) nói trên

Bài 23: Cho (P) y = 2x2 + x - 3 Tìm những điểm trên trục tung Oy sao cho từ đó ta có thể vẽ

đợc 2 tiếp tuyến đến (P) và 2 tiếp tuyến này hợp với nhau một góc 450

 Tìm trên đờng thẳng x = 1 những điểm M sao cho từ M kẻ

đợc 2 tiếp tuyến đến (C) và 2 tiếp tuyến đó vuông góc với nhau

Bài 25: Cho (C) y = x3 + 3x2 Tìm tất cả cá điểm trên trục hoành để từ đó vẽ đợc đúng 3 tiếp tuyến với đồ thị (C), trong đó có 2 tiếp tuyến vuông góc với nhau

Bài 26: Cho (C): y =

m x

x mx





 4

CMR: M là trung điểm của AB

CMR: Diện tích Tam giác IAB = const

c, Tìm M để Chu vi tam giác IAB nhỏ nhất

(gợi ý c: Chu vi = IA + IB + AB = IA + IB + IA 2 IB2 2 IA IB+ 2IA IB = 2(2+ 2)Dấu = sảy ra  IA = IB = 2 |m - 1| = 1 => m = o hoặc m =2.)m - 1|m - 1| = 1 => m = o hoặc m =2.) = 1 => m = o hoặc m =2.)

5 4

3 2

7 3

Viết pt tiếp tuyến của (C) biết

a, Tiếp tuyến song song với y =

2

1

x + 1

b, Tiếp tuyến vuông góc với đt y = - 4x

c, Tiếp tuyến tạo với đt y = -2x góc 450

Bài 32: Tìm trên đờng thẳng y = 2x + 1 các điểm kẻ đợc đúng 1 tiếp tuyến đến (C):

4 3





x x

Bài 35: Viết pt tiếp tuyến đi qua A( -6; 5) đến (C): y =

Bài 36: CMR không có tiếp tuyến nào của đồ thị (C): y =





x x

Bài 38: Cho (C): y =

1

3 3

x Chứng minh rằngDiện tích tam giác tạo bởi hai tiệm cận với

1 tiếp tuyến bất kì là không đổi

Bài 39: Cho (C): y =

2

3 3

Viết pt tiếp tuyến của (C) vuông góc với đt 3y - x + 6 = 0

Bài 40: Cho (C): y =

2

7 7

b Viết phương trỡnh tiếp tuyến  của (C):

i Tại điểm cú hoành độ x  2

ii Tại điểm cú tung độ y = 3.

iii Tiếp tuyến song song với đường thẳng: d1 : 24x y  2009 0 

iv Tiếp tuyến vuụng gúc với đường thẳng: d2 :x 24y 2009 0 

a Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số trên.

b Viết phương trình tiếp tuyến của (C):

i Tại giao điểm của (C) với trục tung.

ii Tại giao điểm của (C) với trụng hoành

iii Biết tiếp tuyến đi qua điểm A(1;1).

iv Biết hệ số góc của tiếp tuyến k = 13.

 



 có đồ thị (C).

a Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số trên.

b Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm x = 0.

c Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có tung độ y = 0.

d Tìm tất cả các điểm trên trục tung mà từ đó kẻ được hai tiếp tuyến đến (C).

b Chứng minh rằng qua điểm M(3;1) kẻ được hai tiếp tuyến tới đồ thị (C) sao cho hai

tiếp tuyến đó vuông góc với nhau

Bµi 45: Cho hàm số:

21

x y x



 có đồ thị (C).

a Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

b Tìm M (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại M vuông góc với đường thẳng đi qua M

và tâm đối xứng của (C).

Bµi 46: Cho hàm số y = x3 + mx2 + 1 có đồ thị (C m ) Tìm m để (C m ) cắt d: y = – x + 1 tại ba điểm phân biệt A(0;1), B, C sao cho các tiếp tuyến của (C m ) tại B và C vuông góc với nhau.

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.

b Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) biết tiếp tuyến đó vuông góc với tiệm cận

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (*) khi m=2.

b Gọi M là điểm thuộc (C m ) có hoành độ bằng 1 Tìm m để tiếp tuyến của (C m ) tại M

song song với đường thẳng 5x y  0 ĐS: m=4.

Bµi 49 : Cho hàm số y x3  3mx2  x 3m C m Định m để  C m tiếp xúc với trục hoành

Bµi 50 : Cho hàm số yx4 x3m 1x2  x m C  m Định m để  C mtiếp xúc với trục

 Tìm tập hợp các điểm trên trục hoành sao cho từ

đó kẻ được một tiếp tuyến đến (C).

Bµi 52 : Cho đồ thị hàm số  C :y x4  2x2 1 Tìm các điểm M nằm trên Oy sao cho từ M

kẻ được 3 tiếp tuyến đến (C).

Bµi 53 : Cho đồ thị hàm số  C : y x3  3x2 Tìm các điểm trên đường thẳng y = 4 sao cho từ đó có thể kẻ được 3 tiếp tuyến với (C).

KhốiB 2008)

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1)

b Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết rằng tiếp tuyến đó đi qua

 Để hàm số yf x có hai cực trị nằm về 2 phía đối với trục hoành  y CĐ.y CT  0

 Để hàm số yf x có hai cực trị nằm về 2 phía đối với trục tung  x CĐ.x CT 0

 Để hàm số yf x có hai cực trị nằm phía trên trục hoành 0

 Để hàm số yf x có cực trị tiếp xúc với trục hoành  y CĐ.y CT  0.

Cách viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị.

luôn có có cực trị với mọi m Tìm

m sao cho hai cực trị nằm trên đường thẳng y=2x.

5 Cho hàm số y x 3  3mx2  9x 3m 5 Định m để đồ thị hàm số có cực đại cực tiểu, viết

phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị ấy

 Chứng minh rằng đồ thị hàm số luôn có cực đại,

cực tiểu với mọi m Hãy định m để hai cực trị nằm về hai phía đối với trục hoành.

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của đồ thị hàm (1) số khi m=1.

b Tìm m để hàm số (1) có cực đại và cực tiểu, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị cùng với gốc tọa độ O tạo thành tam giác vuông tại O.

ĐS: m  4 2 6

11.Cho hàm số y x3  3x2 3m2  1 x  3m2  1 (1), m là tham số (ĐH KhoiB/2007)

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của đồ thị hàm (1) số khi m=1.

b Tìm m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số (1)

Dạng 3: CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐỒNG BIẾN  NGHỊCH BIẾN

Cho hàm sô y  f x có tập xác định là miền D.

 f(x) đồng biến trên D  f' x  0 , xD

 f(x) nghịch biến trên D  f' x  0 , xD

(chỉ xét trường hợp f(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm trên miền D)

Thường dùng các kiến thức về xét dấu tam thức bậc hai: f x  ax2 bx c

1 Nếu   0thì f(x) luôn cùng dấu với a.

1 Cho hàm số y x 3  3m 1x2  3m 1x 1 Định m để:

a Hàm số luôn đồng biến trên R.

b Hàm số luôn đồng biến trên khoảng 2; 

a Định m để hàm số đồng biến trên khoảng 2; 

b Định m để hàm số nghịch biến trên khoảng    ; 1

Khoảng cách giữa hai điểm (độ dài đoạn thẳng): AB x B  x A2 y B  y A2

Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng: Cho đường thẳng  :Ax By C   0 và

a Tìm các điểm thuộc đồ thị (C) có tổng khoảng cách đến hai trục tọa độ là nhỏ

Từ hàm số yf x m ,  ta đưa về dạng F x y, mG x y ,  Khi đó tọa độ điểm cố định nếu

có là nghiệm của hệ phương trình  

1 Cho hàm số y  x3  3  m  1  x2  3 mx  2  Cm Chứng minh rằng C m luôn đi

qua hai điểm cố định khi m thay đổi.

 Chứng minh rằng đồ thị C m luôn đi qua một

điểm cố định khi m thay đổi.

3 Cho hàm số C m :y  1 2m x 4 3mx2  m1 Tìm các điểm cố định của họ đồ thịtrên

4 Chứng minh rằng đồ thị của hàm số y m3x3  3m3x2  6m1x m 1C m

luôn đi qua ba điểm cố định

Dạng 6: ĐỒ THỊ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

y = f(x) có đồ thị (C) y f x  có đồ thị (C’) yf x  có đồ thị (C “)

  0,

y f x   x D Do đó taphải giữ nguyên phần phía trên

phía dưới trục Ox lên trên xứng qua trục tung Oy.

x

y

(C')

f(x)=abs(x)^3-2x^2-0.5 f(x)=x^3-2x^2-0.5

b) Định m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt: x2 1  m x  2m 1 0 

5 a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y  2x3  9x2  12x 4

b Tìm m để phương trình sau có sáu nghiệm phân biệt: 2 x3  9x2  12 x m (ĐH KA2006

Dạng 7: CÁC CẶP ĐIỂM ĐỐI XỨNG

Điểm I x y0 ; 0là tâm đối xứng của đồ thị  C y: f x   Tồn tại hai điểm M(x;y) và M’(x’;y’) thuộc (C) thỏa:

a Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm phân biệt đối xứng với nhau qua gốc tọa độ.

b Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m=2. (ĐH Khối B2003)

y x  x có đồ thị  C Tìm trên (C) hai điểm M, N đối xứng

nhau qua trục tung

5 Cho hàm số y x3 ax2 bx c  1 Xác định a, b, c để đồ thị hàm số (1) có tâm đối xứng

là I(0;1) và đi qua điểm M(1;1).

6 Cho hàm số y = x3 – 3x2 + 4 (1) (ĐH Khối D2008)

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1)

b Chứng minh rằng mọi đường thẳng đi qua điểm I(1;2) với hệ số góc k (k > – 3) đều cắt đồ thị của hàm số (1) tại ba điểm phân biệt I, A, B đồng thời I là trung điểm của đoạn thẳng AB.

Dạng 8: MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN

TIỆM CẬN

1 Định nghĩa:

(d) là tiệm cận của (C)  lim   0

C M MH

a Tiệm cận đứng: lim    : 0

0

x x d x

m

a y d m

a y

x

y

m a

y 

m n

A x

n mx

c bx ax y

+TCĐ: y  d x m n

m

n x

T ?p h?p 1

-14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3

m n

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m =1.

b Tìm các giá trị của m để góc giữa hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số (1) bằng 450

cận xiên đi qua gốc tọa độ

2 (2 1) 3

1, 0 2