Chiều krull của vành và môđun luận văn thạc sĩ

Mọi bài toán khảo sát cấu trúc vành hay môđun trong Đại số giao hoánđều được bắt đầu từ việc xem xét chiều của chúng.. Cận trên của tất cả các độ dài của các xích nguyên tố trong R được

THÁI QUỐC BẢO

CHIỀU KRULL CỦA VÀNH VÀ MÔĐUN

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ

Mã số: 60.46.05

Người hướng dẫn khoa học

TS NGUYỄN THỊ HỒNG LOAN

Nghệ An – 12.2011

MỤC LỤC Trang

Mở đầu……….……… 2

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị……… 4

1.1 Vành và môđun địa phương hoá……… 4

1.2 Phổ, giá, độ cao 5

1.3 Tập các iđêan nguyên tố liên kết của môđun……… 6

1.4 Sự phân tích nguyên sơ của môđun ……… 7

1.5 Vành địa phương đầy đủ theo tôpô m- adic……… 8

1.6 Mở rộng nguyên……… 9

Chương 2 Chiều Krull của vành và môđun………. 12

2.1 Chiều Krull và Định lí cơ bản của Lý thuyết chiều 12

2.2 Chiều Krull của các mở rộng nguyên 20

2.3 Chiều Krull của vành đa thức 23

2.4 Chiều Krull của vành thương của vành đa thức 27

Kết luận … 33

Tài liệu tham khảo … 34

MỞ ĐẦU

Chiều là một khái niệm quan trọng trong Đại số giao hoán và Hình họcđại số Mọi bài toán khảo sát cấu trúc vành hay môđun trong Đại số giao hoánđều được bắt đầu từ việc xem xét chiều của chúng

Một dãy giảm các iđêan nguyên tố của vành R : p 0 ⊃ ⊃ ⊃ p 1 pn được

gọi là một xích nguyên tố có độ dài n Cận trên của tất cả các độ dài của các

xích nguyên tố trong R được gọi là chiều Krull của vành R , ký hiệu là

dim R Cho M là một R−môđun Khi đó dim(R/ AnnR M) , trong đó AnnRM

là linh hóa tử của mô đun M, được gọi là chiều Krull của môđun M, ký hiệu là

dimR M (hoặc dim M nếu không tập trung sự chú ý vào vành cơ sở R).

Khái niệm chiều Krull có nguồn gốc từ Hình học và là dạng đại số của

khái niệm chiều của một đa tạp đại số Chiều Krull của một vành Noether R là một thông số quan trọng, nó chi phối hầu hết các thông số khác của vành R.

Chiều, bội, hệ tham số là ba đối tượng mật thiết, quyết định đến cấu trúc củamột môđun Đó cũng là ba khái niệm cơ bản nhất khi nói đến Đại số giaohoán Chính vì vậy, chúng tôi chọn đề tài này nghiên cứu nhằm hiểu rõ hơn

về Lý thuyết chiều Krull của vành và môđun

Mục đích của Luận văn là dựa vào các tài liệu tham khảo để tìm hiểu,tổng hợp, từ đó trình bày một cách có hệ thống một số vấn đề về lí thuyếtchiều Krull của vành và môđun Ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệutham khảo, Luận văn được chia thành hai chương

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tôi trình bày

một số khái niệm cơ sở của vành và môđun có liên quan đến các kiến thức ởchương 2 nhằm làm cơ sở cho việc trình bày nội dung chính của Luận văn

Chương 2: Chiều Krull của vành và môđun Chương này là nội dungchính của Luận văn Trong chương này chúng tôi trình bày những nội dung sau:

2.1 Chiều Krull và Định lí cơ bản của Lý thuyết chiều

2.2 Chiều Krull của các mở rộng nguyên

2.3 Chiều Krull của vành đa thức

2.4 Chiều Krull của vành thương của vành đa thức

Luận văn được hoàn thành vào tháng 12 năm 2011 tại trường Đại họcĐồng Tháp dưới sự hướng dẫn của TS Nguyễn Thị Hồng Loan Tác giả xinbày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS Nguyễn Thị Hồng Loan, người đã hướngdẫn tận tình, chu đáo và nghiêm khắc trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu

Tác giả xin trân trọng cảm ơn các thầy giáo, cô giáo trong khoa Toán,khoa Sau đại học Trường Đại học Vinh và trường Đại học Đồng Tháp đã giúp

đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập và hoàn thành Luận văn

Luận văn chắc chắn không tránh khỏi những thiếu sót Chúng tôi rấtmong nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy giáo, cô giáo và bạnđọc để luận văn được hoàn thiện hơn

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này, chúng tôi trình bày một số khái niệm cơ sở củavành và môđun có liên quan đến các kiến thức ở chương 2 nhằm làm cơ sởcho việc trình bày nội dung chính của Luận văn Trong toàn bộ Luận văn, cácvành được nhắc đến là vành giao hoán có đơn vị 1¹ 0

1.1 Vành và môđun địa phương hoá

1.1.1 Vành các thương Cho S là tập nhân đóng của vành R.

Trên tích Đề các R x S ta xét quan hệ hai ngôi:

(r s, ) : (r s,, ,) ⇔ ∃ ∈t S t rs: ( ,−sr,) =0 Khi đó ∼ là quan hệ tương đương

trên R x S Với (r, s) ∈ R x S, ký hiệu r/s là lớp tương đương chứa (r, s)

và S -1 R là tập thương của R x S theo quan hệ tương đương ∼:

S -1 R = {r/s | r∈ R, s∈ S}.

Trên S -1 R trang bị hai phép toán là phép cộng và phép nhân, khi đó S -1 R

trở thành một vành và gọi là vành các thương của R theo tập nhân đóng S Mỗi iđêan của vành R có dạng S -1 I = {a/s | a∈ I, s∈ S}, trong đó I là

iđêan của R Ta có S -1 I = S -1 R ⇔ ∩ ≠ ∅I S Do đó S -1 I là iđêan thực sự của S

-1 R khi và chỉ khi I∩ = ∅S

Cho p là một iđêan nguyên tố của vành R Khi đó S R= \ p là một tập

nhân đóng của vành R Vành S -1 R trong trường hợp này là vành địa phương,

ký hiệu là Rp, với iđêan cực đại duy nhất pRp=S− 1p={a s a/ ∈p, s R∈ \ p}

nên được gọi là vành địa phương hoá của vành R tại iđêan nguyên tố p.

1.1.2 Môđun các thương Cho S là tập nhân đóng của vành R Khi đó ta có

vành các thương S -1 R Trên tích Đề các M x S ta xét quan hệ hai ngôi:

(m s, ) : (m s,, ,) ⇔ ∃ ∈t S t ms: ( , −sm,) =0 Khi đó ∼ là quan hệ tương

đương trên M x S Do đó M x S được chia thành các lớp tương đương, ta ký

hiệu tập thương của M x S theo quan hệ tương đương ∼ là S -1 M và ký hiệu lớp

tương đương chứa (m, s) là m s/ Như vậy S -1 M = { m s/ | m∈ M, s∈ S} Trên S -1 M trang bị phép cộng và phép nhân với vô hướng:

S R− –môđun và gọi là môđun các thương của M theo tập nhân đóng S.

1.1.3 Mệnh đề Cho S là một tập nhân đóng của vành giao hoán R Khi đó S

-1 (*) là một hàm tử khớp từ phạm trù R–môđun vào phạm trù các R–môđun Nghĩa là: Nếu 0 → M' →M → M'' → 0 là một dãy khớp ngắn các R–môđun thì

1.2.1 Phổ của vành Ký hiệu SpecR là tập tất cả các iđêan nguyên tố của

vành R Khi đó SpecR được gọi là phổ của vành R.

Với mỗi iđêan I của R ta ký hiệu V I( )= ∈{p SpecR p⊇I }

1.2.2 Độ cao của iđêan Một dãy giảm các iđêan nguyên tố của vành R :

0 ⊃ ⊃ ⊃ 1 n

p p p được gọi là một xích nguyên tố có độ dài n

Cho p∈Spec R, cận trên của tất cả các độ dài của các xích nguyên tố

với p0 =p được gọi là độ cao của p, ký hiệu là ht( )p Nghĩa là:

( )

ht p = sup {độ dài các xích nguyên tố với p0 =p}

Cho I là một iđêan của R, khi đó độ cao của iđêan I được định nghĩa:

ht I =inf ht p p∈Spec , R p⊇I

1.2.3 Giá của môđun Tập con Supp M= ∈{p SpecR Mp≠0} của SpecR

được gọi là giá của môđun M.

Với mỗi x M ta ký hiệu∈

Ta có Ann x R và Ann M R (hoặc Ann x và Ann M nếu không để ý đến vành R)

là những iđêan của M Ann M được gọi là linh hoá tử của môđun M Hơn nữa nếu M là R-môđun hữu hạn sinh thì

Supp M V(AnnR M) SpecR AnnR M

1.3 Tập các iđêan nguyên tố liên kết của môđun

1.3.1 Định nghĩa Cho M là một R–môđun ta gọi iđêan nguyên tố p của R

là một iđêan nguyên tố liên kết của M nếu một trong hai điều kiện tương

đương sau được thoả mãn:

(i) Tồn tại phần tử x M sao cho ∈ Ann x( ) = p

(ii) M chứa một môđun con đẳng cấu với R/p.

Tập các iđêan nguyên tố liên kết của M được ký hiệu là AssR M hoặc

Ass M nếu không để ý đến vành R Như vậy

AssM SpecR Ann , víi x x M

1.3.2 Mệnh đề Ass M ⊆Supp M và mọi phần tử tối tiểu của Supp M đều thuộc Ass M

1.3.3 Mệnh đề Nếu M là R–môđun Noether thì Ass M là tập hợp hữu hạn.

1.4 Sự phân tích nguyên sơ của môđun

1.4.1 Định nghĩa Cho R là vành giao hoán và M là một R–môđun.

(i) Môđun con N ≠ M của M được gọi là nguyên sơ nếu tồn tại một iđêan

nguyên tố p của R sao cho Ass(M/N) = { p} Khi đó ta cũng nói N là p–nguyên

sơ.

(ii) Cho N là môđun con của M Một phân tích nguyên sơ của N là một

biểu diễn N = M1∩ M2∩ ∩ M n trong đó M là các môđun con p i i –nguyên

sơ của M Phân tích trên được gọi là thu gọn nếu các pi là đôi một phân biệt

và không có M nào thừa i

1.4.2 Chú ý (i) Nếu Q là một môđun con p–nguyên sơ của M thì p=

(iii) Khi M = R và R là vành Noether thì khái niệm iđêan

nguyên sơ trùng với khái niệm môđun con nguyên sơ.

Định lý sau đây khẳng định sự tồn tại phân tích nguyên sơ của mọimôđun con của môđun Noether và tập các iđêan nguyên tố liên kết có thểđược xác định thông qua một phân tích nguyên sơ thu gọn

1.4.3 Định lý Cho M là R–môđun Noether và N là môđun con của M Khi đó:

(i) N có sự phân tích nguyên sơ thu gọn;

(ii) Nếu N N= 1∩ N2∩ ∩ N n và N N= 1′ ∩ N2′ ∩ ∩ N n′ là hai phân

tích nguyên sơ thu gọn của N trong đó N là p i i –nguyên sơ, i =1, 2, ,n và

i

N′ là p i ’–nguyên sơ, i =1, 2, , m thì n = m và {p1, , pn} = {p1’, , pn’}.

Vì thế {p1, , pn} không phụ thuộc vào phân tích nguyên sơ thu gọn của N.

Hơn nữa ta có {p1, , pn} = Ass M N( / );

(iii) Cho N N= 1 ∩N2 ∩ ∩ N n trong đó, N là p i i –nguyên sơ,

1, 2, ,

i = n là phân tích nguyên sơ thu gọn của N Nếu pi là phần tử tối tiểu trong tập Ass M N thì môđun con ( / ) N tương ứng không phụ thuộc vào sự i phân tích nguyên sơ thu gọn của N.

1.5 Vành địa phương đầy đủ theo tôpô m- adic

Cho (R,m) là một vành địa phương Ta xét R như một vành tôpô với cơ

sở lân cận của phần tử 0 là các iđêan mt , với t = 0, 1, 2 Chú ý rằng cơ sở

lân cận của một phần tử tuỳ ý r R∈ gồm các lớp ghép r+mt với t = 0, 1 ,2 Khi đó vành đầy đủ theo tôpô m- adic của R ký hiệu bởi µR được định nghĩa

bằng cách thông thường theo ngôn ngữ dãy Cauchy như sau: Một dãy Cauchy trong R là một dãy ( )r n các phần tử của R sao cho với mọi t > 0, tồn tại số tự

Hai dãy Cauchy ( )r n và ( )s n được gọi là hai dãy tương đương, ký hiệu

là ( ) ( )r n : s n nếu dãy (r n −s n) là dãy không Khi đó quan hệ ∼ trên tập các

dãy Cauchy là quan hệ tương đương Ta ký hiệu µR là tập các lớp tươngđương của các dãy Cauchy.

Chú ý rằng nếu ( )r n và ( )s n là các dãy Cauchy thì các dãy (r n +s n) ,(r s n n) cũng là các dãy Cauchy và lớp tương đương của các dãy (r n+s n) ,(r s n n) là không phụ thuộc vào việc chọn các đại diện của các lớp tương

đương của các dãy ( )r n và ( )s n , tức là nếu ( )r n : ( )r n, và ( )s n : ( )s n, thì

(r n +s n) : (r n, +s,n) và (r s n n) : ( )r s n n, , Vì thế µR được trang bị hai phép toánhai ngôi + và đồng thời cùng với hai phép toàn này, µR lập thành một vành.Mỗi phần tử r R∈ có thể đồng nhất với lớp tương đương của dãy Cauchy mà

tất cả các phần tử trong dãy đều là r Vì thế ta có một đơn cấu tự nhiên giữa

các vành

µ( ),

→a

R R

r r

trong đó ( )r là dãy mà tất cả các phần tử của nó đều là r.

Định nghĩa tương tự cho môđun M với cơ sở lân cận của phần tử 0 là

{mt M} Khi đó ¶M là một µR–môđun với phép nhân vô hướng như sau: cho

= 1, , 2 ∈

a a a R , x =( x x1, , 2 )∈µM Ta có ax=(a x a x1 1, 2 2, )∈µM

1.6 Mở rộng nguyên

1.6.1 Định nghĩa Cho R là một vành con của vành giao hoán S và s S∈

Ta nói rằng s là nguyên trên R nếu tồn tại h∈¥ và r r0, ,1 K ,r h−1∈R sao cho

Như vậy mọi phần tử của R đều nguyên trên R.

1.6.2 Mệnh đề và Định nghĩa Cho R là một vành con của vành giao hoán S

Đặt R′ = ∈: {s S s| là nguyên trên R thì R} ′ là một vành con của S chứa R

và được gọi là bao đóng nguyên của R trong S Ta nói rằng R đóng nguyên

trong S nếu R′ =R Nếu 'R =S thì ta nói vành S nguyên trên R.

1.6.3 Định nghĩa Bao đóng nguyên của một miền nguyên R trong trường

các thương của nó được gọi là bao đóng nguyên của R Một miền nguyên được

gọi là đóng nguyên nếu nó đóng nguyên trong trường các thương của nó.

1.6.4 Mệnh đề Cho R là vành con của vành giao hoán S và cho u S∈ Các phát biểu sau là tương đương:

(i) u nguyên trên R ;

(ii) Vành con [ ] R u của S là hữu hạn sinh như là một R−môđun;

(iii) Tồn tại một vành con R′ của S sao cho [ ] R u ⊆R′ và R′ là hữu hạn

sinh như là một R−môđun.

1.6.5 Định lý đi lên (Going-up theorem) Cho R là vành con của vành giao hoán S, S nguyên trên R Giả sử

là một dãy các iđêan nguyên tố của vành S (với m < n) sao cho qi ∩ R = pi (1

i m

≤ ≤ ) Khi đó dãy q1 ⊇ ⊇ qm có thể mở rộng thành dãy q1 ⊇ ⊇ qn

sao cho qi ∩ R = pi (1≤ ≤i n ).

1.6.7 Định lý (Định lý chuẩn hóa Noether) Cho K là một trường, R là một

K–đại số hữu hạn sinh Khi đó tồn tại các phần tử y 1 , , y r ∈R độc lập đại số

trên K sao cho R nguyên trên K[y 1, ., y r]

CHƯƠNG 2 CHIỀU KRULL CỦA VÀNH VÀ MÔĐUN

2.1 CHIỀU KRULL VÀ ĐỊNH LÍ CƠ BẢN CỦA LÍ THUYẾT CHIỀU

Như đã trình bày ở chương 1, một xích các iđêan nguyên tố của vành R

là một dãy hữu hạn, giảm thực sự các iđêan nguyên tố của R có dạng

0 ⊃ ⊃ ⊃ 1 n

p p p .

Số nguyên n được gọi là độ dài của xích Định nghĩa dưới đây về chiều của

vành, được bắt nguồn từ Hình học Đó là một sự mô tả đại số của khái niệmchiều của đa tạp

2.1.1 Định nghĩa Chiều Krull của một vành R là cận trên đúng của tất cả độ dài

của các xích các iđêan nguyên tố trong R Chiều Krull của R được kí hiệu là dim R.

2.1.2 Ví dụ (i) Nếu R là một vành Artin thì dimR = 0, vì mỗi iđêan nguyên

tố của R đều là một iđêan cực đại.

(ii) Vành số nguyên ¢ có dim¢ = 1, vì (0) là một iđêan nguyên

tố, còn mọi iđêan nguyên tố khác không đều là iđêan cực đại

(iii) Với K là một trường, vành đa thức vô hạn biến

[ 1, , , 2 n, ]

R K X X= K X K (các biến X1, X2 , , Xn, ) có dim R= ∞, vìxích các iđêan nguyên tố

( )X1 ⊂ ( X X1, 2) ⊂ K ⊂( X X1, , , 2 K X n) ⊂

sẽ có độ dài tùy ý

(iv) Chọn u1 < u2<< u n , là dãy tăng vô hạn các số

nguyên dương sao cho u i+1 − u i > u i−u i− 1 với mọi i ≥ 2 và

[ 1, , , 2 n, ]

R K X X= K X K là một vành đa thức vô hạn biến X1, X2 ,, Xn ,

 trên trường K Lấy ( , 1, , 1)

i i i

+ +

= với mọi i ≥ 1 là các iđêan

nguyên tố Khi đó ta có tập nhân đóng S = R \ 

1

≥

i i

P Kí hiệu A = S− 1R là địa

phương hóa của R theo S Khi đó S− 1R là một vành Noether với tất cả cáciđêan cực đại là Qi=S− 1R P i với mọi i Dễ thấy rằng A Q ≅R P , nên địa phương

hóa của A tại các Q i đều là các vành Noether, do đó A là vành Noether Tuy nhiên, vì trong S− 1R luôn tồn tại các xích có độ dài (u i+1 − u i ) với mọi i, mà

lim i i

→∞ − = ∞, nên dim S R−1 = ∞

2.1.3 Nhận xét (i) Cho p là một iđêan nguyên tố của vành R Từ Định nghĩa

1.2.2 về độ cao của iđêan và định nghĩa chiều Krull ta suy ra htp = dim Rp.

Do đó dim R p được gọi là đối chiều cao của p kí hiệu là Cohtp Với mỗi

iđêan I của R thì chiều cao của I được xác định bởi ht I = infp⊇I htp, còn đối

chiều cao của I là Coht I = SupCohtp⊇I p .

(ii) Từ Nhận xét (i), ta rút ra rằng htp + Cohtp ≤ dimR với

mọi iđêan nguyên tố p Do đó ht I + Coht I ≤ dimR với mọi iđêan I.

2.1.4 Định nghĩa Cho M là một R–môđun Khi đó chiều Krull của M được kí

hiệu dimR M, là dimR/AnnM nếu M khác môđun không, và nếu M là môđun

không thì quy ước dimR M = −1 (chiều Krull của R–môđun M còn có thể được kí hiệu là dimM nếu ta không tập trung sự chú ý vào vành cơ sở R).

2.1.5 Nhận xét (i) Kí hiệu m–Spec(R) là tập tất cả các iđêan cực đại của

vành R Khi đó từ định nghĩa chiều của vành ta có

dimR = sup{dimR m | m∈ m–Spec(R)}.

(ii) Nếu R = S/I là vành thương của một vành S nào đó, thì

dimR = sup{dim S/p| p∈Spec(S)}.

(iii) Nếu M là một R–môđun trên vành Noether R thì Ass R M và Supp

R M có cùng tập cực tiểu Vì vậy từ định nghĩa của dimM ta rút ra ngay

2.1.6 Định lí Một vành R là một vành Artin khi và chỉ khi R là một vành

Noether có chiều Krull dimR = 0.

Chứng minh Theo [4, Hệ quả 2.13, Chương 3] thì vành R là một vành Artin

khi và chỉ khi R là một vành Noether và mọi iđêan nguyên tố của R đều là

iđêan cực đại Vì vậy Định lý được chứng minh.W

Với M là một R–môđun hữu hạn sinh trên vành Noether R, ta có kết quả

sau đây

2.1.7 Định lí Cho M là một R– môđun khác không và hữu hạn sinh trên vành

Noether R Khi đó M có độ dài hữu hạn khi và chỉ khi chiều Krull dimM = 0 Chứng minh Theo [4, Định lý 2.8, Chương 3] thì M có độ dài hữu hạn khi và chỉ

khi mọi p ∈ SuppM đều là iđêan cực đại Do đó từ Nhận xét 2.1.6 ta có điều

phải chứng minh.W

Cho (A, m) là một vành địa phương Noether với iđêan cực đại mvà M

là một A–môđun hữu hạn sinh Khi đó SuppM/ mM = { m}, nên l A (M/ mM) hữu hạn Hàm l A (M/ m n+1 M) là một đa thức theo biến n khi n đủ lớn Ký hiệu

đa thức này là P nmM( ) Mặt khác, vì mhữu hạn sinh nên luôn tồn tại một số

nguyên nhỏ nhất r sao cho có thể chọn được r phần tử a1, a2 ,…, a r thuộc m

để l M A( / ( , , , )a a1 2 a M r ) < ∞ Ta có khái niệm sau

2.1.8 Định nghĩa Cho (A, m) là một vành địa phương Noether với iđêan cực

đại m, và M là một A–môđun hữu hạn sinh và khác không

(i) degP nmM( ) là một bất biến của môđun M được ký hiệu là d(M) và gọi là cực điểm của môđun M.

(ii) Chiều Chevalley, kí hiệu s(M) của M, là số nhỏ nhất r sao cho tồn tại a1, a2 , , a r ∈ m để l M A( / ( , , , )a a1 2 a M r ) < ∞

Nếu M là môđun 0, thì người ta quy ước ( ) s M = −1

Cho M là một môđun hữu hạn sinh trên vành địa phương Noether A, khi đó ba bất biến của M: cực điểm d(M); chiều Krull dimM; chiều Chevaley s(M) được thống nhất qua định lí cơ bản sau đây.

2.1.9 Định lí (Định lí chiều) Cho M là một A - môđun hữu hạn sinh trên một

vành địa phương Noether A Khi đó ta có dimM = d(M) = s(M).

Chứng minh Ta sẽ chứng minh Định lí theo lược đồ sau

dimM ≤ d(M) ≤ s(M) ≤ dimM.

Bước 1: dimM ≤ d(M) Gọi m là iđêan cực đại của A Nếu d(M) = – 1, thì

degPmM n =d M = −1 Khi đó M = m n M với mọi n đủ lớn Vì vậy theo Bổ

đề Nakayama thì M là môđun không Do đó dimM = –1, và dẫn đến

dimM ( )≤ d M Xét trường hợp d(M) ≥ 0 Từ định nghĩa về chiều, ta luônchọn được một iđêan nguyên tố p∈ Ass M để dimM = dim A/p Chú ý rằng

vì p∈ Ass M, nên A/p đẳng cấu với một môđun con của môđun M Vì vậy

d(A/p) ≤ d(M) Để hoàn thành chứng minh Bước 1, ta chỉ cần chỉ ra rằng

dim A/p ≤ d(A/p) với mọi p∈AssM Xét một xích bất kì các iđêan nguyên tố

tự sau: a∈ p1\p và vì vậy (p + aA) ⊂ p1, tiếp đến chọn Q ⊂ Ass(A/p+aA)

sao cho Q⊂ p1 Ta nhận được xích các iđêan nguyên tố sau Q ⊂ p2 ⊂  ⊂

pr Theo giả thiết quy nạp thì

r – 1 ≤ d(A/Q) ≤ d(A/p+aA), hay r ≤ d(A/Q) + 1 ≤ d(A/p+aA) + 1.

Xét dãy khớp sau:

0→A/p→λa A/p→A aA/ + →p 0với λa là ánh xạ nhân với phần tử a Khi đó

( )

M

P nm + PmA aA P/ + ( )n = PmA P/ ( )n + g(n),

trong đó deg g(n) < d(M) Do đó

r – 1 ≤ d(A/aA + p) = degPmA aA P/ + ( )n = deg g(n) < d(M),

hay r ≤ d(M) Quy nạp đã hoàn thành, ta kết thúc Bước 1.

Bước 2: d(M) ≤ s(M) Nếu M là môđun không, thì s(M) = –1 và d(M) = –1, vậy d(M) ≤ s(M), và kết quả đúng Xét trường hợp M là môđun khác môđun

không Giả sử s(M) = r ≥ 0 Khi đó tồn tại a 1, a2,…, a r ∈m để

P n =P n Khi đó degP ( ) M J n ≤ r Do đó degP

( )

M

J n ≤ r Vậy d(M) ( )≤ s M Bước 2 đã hoàn thành

Bước 3: s(M) ≤ dimM Ta chứng minh bằng quy nạp theo dimM Dễ kiểm tra

được với dimM = – 1, thì s(M) = –1 Với trường hợp dimM = 0, thì M có độ dài hữu hạn, nên s(M) = 0 Bây giờ giả sử dimM > 0 và p p1, , , 2 K p là tất cảm

các iđêan nguyên tố thuộc vào AssM có đối chiều bằng dimM Vì dimM > 0,