Môđun nửa đơn và v môđun luận văn thạc sĩ

Trong chương 1, Luận văn trình bày một số kiến thức cơ sở nhưmôđun con cốt yếu, môđun con bé, môđun con đóng, môđun nội xạ và môđun xạ ảnh, căn và đế của môđun, môđun Noether và môđunArt

2.1 Môđun nửa đơn 242.2 Một số tính chất của lớp V-môđun và GV-môđun 302.3 Một số tính chất của lớp V-vành 30

E(M ): Bao nội xạ của môđun M

Soc(M ) : Đế của môđun M

End(M ) : Vành các tự đồng cấu của môđunMKerf, Imf : Hạt nhân, ảnh của đồng cấu fRad(M ) : Căn của môđun M

J (R) : Căn Jacobson của vành R

Z(M ): Môđun con suy biến của môđun M

lời nói đầu

Ngày nay, cùng với sự phát triển mạnh mẽ của khoa học côngnghệ, Toán học ngày càng đóng vai trò quan trọng và đóng góp rấtlớn vào sự phát triển của nhiều ngành khoa học như khoa học máytính, kinh tế, thị trường chứng khoán

Lý thuyết vành và lý thuyết môđun có đóng góp lớn vào sự pháttriển của toán học nói chung và chuyên ngành Đại số và Lý thuyết

số nói riêng Trong đó lớp môđun nội xạ và môđun xạ ảnh đóng vaitrò trung tâm Từ các lớp môđun đó phát triển các hướng nghiên cứumới

Trong những năm gần đây, lớp môđun nửa đơn và lớp các môđun được nhiều người quan tâm, nghiên cứu và đã thu được nhiềukết quả (Xem [5], [8])

V-Tiếp tục hướng nghiên cứu của các tác giả trên chúng tôi chọn đềtài nghiên cứu " Môđun nửa đơn và V-môđun " để làm Luận văntốt nghiệp

Trong chương 1, Luận văn trình bày một số kiến thức cơ sở nhưmôđun con cốt yếu, môđun con bé, môđun con đóng, môđun nội xạ

và môđun xạ ảnh, căn và đế của môđun, môđun Noether và môđunArtin

Trong chương 2, Luận văn trình bày định nghĩa và một số tínhchất của môđun nửa đơn, một số tính chất của lớp V-môđun và GV-môđun, định nghĩa và một số tính chất của lớp V-vành

Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Vinh dưới sự hướngdẫn của PGS TS Ngô Sỹ Tùng Lời đầu tiên, tác giả xin bày tỏ lòng

biết ơn sâu sắc đến Thầy, người đã trực tiếp giảng dạy, định hướngnghiên cứu, hướng dẫn tận tình, chu đáo để tác giả hoàn thành luậnvăn này;

Xin trân trọng gửi lời cảm ơn đến các Thầy cô giáo trong KhoaToán học - Trường Đại học Vinh, đã giảng dạy và giúp đỡ tác giảtrong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn;

Tác giả gửi lời cảm ơn tới: Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Bình Phước,Ban Giám Hiệu và các Thầy cô giáo Trường THPT Hùng Vương-Thịxã Đồng Xoài-Tỉnh Bình Phước, Khoa Đào tạo Sau đại học-Trường

Đại học Vinh, Phòng Tổ chức cán bộ-Trường Đại học Sài Gòn đã tạo

điều kiện, giúp đỡ tác giả hoàn thành khóa học;

Cuối cùng, xin gửi tới anh chị em, bạn bè lời biết ơn chân thành về

sự động viên, chia sẻ Cảm ơn sự hy sinh của Bố mẹ, vợ và con - chỗdựa tinh thần vững chắc giúp tôi vượt qua mọi khó khăn trong thờigian qua

Nghệ An, tháng 12 năm 2011

Nguyễn Hữu Hiếu

(i) ChoM là một môđun vàN là môđun con của môđunM Môđun

N được gọi là cốt yếu trong M nếu với mọi môđun con X khácmôđun không của M ta cóN ∩ X 6= 0

(ii) Môđun conN của môđun M được gọi là môđun con bé trong

M, ký hiệuN  M, nếu với mọi môđun conK củaM thỏa mãn

K + N = M thì K = M

(iii) Môđun conK của môđunM được gọi là môđun con đóng trong

M nếuK không có mở rộng cốt yếu thực sự trong M

(iv) Một môđunM 6= 0được gọi là môđun đều nếu mọi môđun conkhác không của M cốt yếu trong M Hay nói cách khác, M làmôđun đều nếu với mọi môđun con khác không U và V của M

ta luôn cóU ∩ V 6= 0

1.1.2 Mệnh đề Cho M là môđun sao cho tồn tại các môđun con

Ui, i ∈ I mà⊕i∈IUi cốt yếu trong M và Ui là các môđun đều với mọi

i ∈ I, A ⊆m M Khi đó, các điều kiện sau đây là tương đương:

(i) A cốt yếu trong M,

(ii) A ∩ Ui 6= 0 với mọi i ∈ I

Chứng minh (i) ⇒ (ii) Giả sửA là môđun cốt yếu trong môđun

M, khi đó với mọi Ui ⊆m M, Ui 6= 0ta cóA ∩ Ui 6= 0

(i) ⇒ (ii) Với mọii ∈ I đặt A ∩ Ui = Ai Theo giả thiết Ai 6= 0và

Aicốt yếu trongUi (doUiđều) Vậy ta có⊕i∈IAi cốt yếu trong⊕i∈IUi,

⊕i∈IUi cốt yếu trong M Vì Ai ⊆ A với mọi i ∈ I suy ra⊕i∈IAi ⊆ A

1.1.3 Mệnh đề

(i) ChoA là môđun con của môđun M, A cốt yếu trongM khi vàchỉ khi với mọi x 6= 0, x ∈ M ta có A ∩ Rx 6= 0;

(ii) Cho A ⊆m B ⊆m M Khi đó,A cốt yếu trong M khi và chỉ khi

A cốt yếu trong B và B cốt yếu trongM;

(iii) Cho Ai cốt yếu trong Bi, Bi ⊆m M với mọi i = 1, n Khi đó

∩n

i=1Ai cốt yếu trong ∩n

i=1Bi;Chú ý: Nếu I vô hạn thì (3) nói chung không đúng

f−1(B) E M;

(v) ChoA ⊆m K ⊆m M , K/A E M/A khi đóK E M;

Chú ý: Điều ngược lại của (5) nói chung không đúng

(vi) Cho Ai C Mi ⊆m M, với mọi i ∈ I Nếu tồn tại ⊕i∈IAi thì tồntại ⊕i∈IMi và ⊕i∈IAi E ⊕i∈IMi;

(vii) ChoA ⊆m M Khi đó tồn tại B ⊆m M để A ⊕ B E M.

1.2.1 Định nghĩa

(i) MôđunN được gọi làM- nội xạ nếu với mọi môđun conX của

M, mọi đồng cấu ϕ : X → N đều có thể mở rộng được thành

đồng cấu ψ : M → N;

(ii) MôđunN được gọi là tựa nội xạ nếu N làN-nội xạ;

(iii) MôđunN được gọi là nội xạ nếuN làA-nội xạ với mọi môđun

A

1.2.2 Nhận xét MôđunN là nội xạ nếu và chỉ nếuN làR−nội xạ

1.2.3 Mệnh đề Đối với mỗi môđun N, các điều kiện sau là tương

đương:

(i) N là môđun nội xạ;

(ii) Với mọi môđun A và với mọi môđun con X của A, mọi đồngcấu f : X → N đều có thể mở rộng được thành một đồng cấu

từ A → N;

(iii) (Tiêu chuẩn Baer) Mọi đồng cấu từ iđêan phải I của R tới N

đều có thể mở rộng được thành đồng cấu từ R tới N;

(iv) Với mọi R-môđun M, mọi đơn cấu f : N → M đều chẻ ra.Nghĩa là Imf là hạng tử trực tiếp của M;

(v) R-môđun N không có mở rộng cốt yếu thực sự.

1.2.4 Mệnh đề Cho môđun N là A−nội xạ vàB ⊆m A Khi đó(i) N là B−nội xạ,

(ii) N là A/B−nội xạ

1.2.5 Mệnh đề Cho (Ei)i∈I là một họ các R−môđun Khi đó, tíchtrực tiếp qi∈IEi nội xạ khi và chỉ khi Ei nội xạ với mọi i ∈ I

1.2.6 Mệnh đề Mọi môđun nội xạ là chia được

1.2.7 Định nghĩa

(i) Môđun P được gọi là M − xạ ảnh nếu với mọi toàn cấu g :

M → N và đồng cấu f : P → N đều tồn tại một đồng cấu

1.2.10 Mệnh đề MộtR−môđunP là xạ ảnh khi và chỉ khi mọi dãykhớp ngắn 0 → N → M → P → 0 cácR−môđun đều chẻ ra.

(ii) Ta gọi tổng tất cả các môđun con đơn của môđun M là đế củamôđun M và ký hiệu bởiSoc(M ) NếuM không có môđun con

đơn thì ta quy ước Soc(M ) = 0

1.3.2 Mệnh đề Đối với mỗi môđun M ta có

(i) Rad(M ) = ΣB, trong đó B chạy khắp tập tất cả các môđuncon bé của M;

(ii) Soc(M ) = ∩C, trong đóC chạy khắp tập tất cả các môđun concốt yếu của M

1.4 Môđun Noether và môđun Artin

1.4.1 Định nghĩa

(i) Môđun M được gọi là môđun Noether nếu mỗi tập khác rỗngcác môđun con của M luôn chứa ít nhất một phần tử cực đại(theo quan hệ bao hàm) VànhR được gọi là vành Noether nếu

R xem như R−môđun là môđun Noether

(ii) MôđunM được gọi là môđun Artin nếu mỗi tập khác rỗng cácmôđun con của M luôn chứa ít nhất một phần tử cực tiểu (theoquan hệ bao hàm) Vành R được gọi là vành Artin nếu R xemnhư R− môđun là môđun Artin

1.4.2 Định lý Đối với mỗi môđun M, các điều kiện sau đây làtương đương:

(i) M là môđun Noether;

(ii) Mọi môđun con củaM là hữu hạn sinh;

(iii) Mọi xích tăng các môđun con của M, M1 ⊆ M2 ⊆ ⊆ Mn ⊆ đều dừng, tức là tồn tại số tự nhiênk sao cho Mn = Mk vớimọi k ≥ n;

(iv) Với mỗi họ các môđun con (Mi)i∈I của M luôn tìm được mộttập con hữu hạn J của I sao cho P

i∈IMi = P

j∈J Mj

1.4.3 Hệ quả Cho 0 → M0 → M → M00 → 0 là một dãy khớpngắn, khi đóM là môđun Noether khi và chỉ khiM0, M00 là môđunNoether

1.4.4 Hệ quả Cho M = ⊕ni=1Mi là tổng trực tiếp của hữu hạn cácmôđunMi Khi đó,M là môđun Noether khi và chỉ khiMilà môđunNoether với mọi i.

1.4.5 Hệ quả Môđun M trên vành giao hoán Noether là môđunNoether khi và chỉ khi M là môđun hữu hạn sinh

1.4.6 Định lý Các mệnh đề sau đây là tương đương:

(i) VànhR là Noether;

(ii) Mọi tổng trực tiếp của một họ môđun nội xạ là nội xạ

1.4.7 Định lý Đối với mỗi môđun M, các điều kiện sau đây làtương đương:

(i) M là môđun Artin;

(ii) M là môđun hữu hạn đối sinh;

(iii) Mọi dãy giảm các môđun con của M, M1 ⊇ M2 ⊇ ⊇ Mn ⊇ đều dừng tức là tồn tại số tự nhiên k sao cho Mn = Mk vớimọi n ≥ k;

(iv) Với mỗi họ các môđun con (Mi)i∈I của M luôn tìm được mộttập con hữu hạn J của I sao cho ∩i∈IMi = ∩j∈JMj

1.4.8 Hệ quả Cho0 → M0 → M → M00 → 0là một dãy khớp ngắn,khi đóM là môđun Artin khi và chỉ khi M0, M00 là môđun Artin

1.4.9 Hệ quả Cho M = ⊕ni=1Mi là tổng trực tiếp của hữu hạn cácmôđun Mi Khi đó, M là môđun Artin khi và chỉ khi Mi là môđunArtin với mọii.

1.4.10 Hệ quả Mọi iđêan nguyên tố trong vành Artin là iđêan cực

đại Hơn nữa, một vành Artin chỉ có hữu hạn các iđêan cực đại

1.4.11 Định lý VànhRlà Artin khi và chỉ khiRlà Noether và mọiiđêan nguyên tố là cực đại

(ii) VànhZ không phải là môđun nửa đơn trên chính nó.

2.1.3 Bổ đề Giả sửN, S là các môđun con của môđunM, trong đó

S là môđun đơn Khi đó N + S = N, hoặc N + S = N ⊕ S Trongcả hai trường hợp thì N là một hạng tử trực tiếp của N + S

Chứng minh N ∩ S là một môđun con củaS VìS là môđun đơnnên N ∩ S = 0 hoặc N ∩ S = S Nếu N ∩ S = 0 thì N + S = N ⊕ S,

2.1.4 Mệnh đề Cho M là môđun hữu hạn sinh và A (m M Khi

đó tồn tại môđun con tối đại T của M và T chứaA

hx1, x2, , xni Theo định nghĩa của C, tồn tại n mà x1, x2, , xn ∈

Bn Suy rahx1, x2, , xni ⊆ Bm, từ đó suy ra M ⊆ B dẫn đếnM =

Bm Mâu thuẫn do M Vậy C ∈ S, C là cận trên của β vì với mọi

B ∈ β ta có B ⊆ C Suy ra S thỏa mãn Bổ đề Zorn hay S có phần tửtối đạiA ⊆ B Ta chứng minhT là phần tử tối đại củaM, chứa A Vì

A ⊆ T ( M suy ra D ∈ S Do N tối đại trong S nên D = T 

2.1.5 Định lý Cho M là môđun nửa đơn và M = X

i∈I

Mi, Ui ⊆ M.Khi đó

(i) Tồn tại J ⊆ I sao cho M = U ⊕ (⊕i∈JMi);

(ii) Tồn tại K ⊆ I sao cho U ∼= (⊕i∈KMi)

Chứng minh (i)Xét tập

S = {L|L ⊆ I, U +X

i∈L

Mi = U ⊕ (⊕i∈LMi)}

Ta có ⊕i∈ứMi = 0 suy ra ứ ∈ S do đó S 6= ứ S sắp thứ tự toàn phầntheo quan hệ ⊆ Lấy ứ 6= A ⊆ S mà A sắp thứ tự toàn phần Đặt

L∗ = ∪L∈AL ta có, với mọiL ∈ A suy raL ⊆ L∗ Suy raL∗ là cận trêncủa A Ta chứng minhL∗ ∈ S Thật vậy, lấy E ⊆ L∗, E hữu hạn Khi

không thể xảy ra vì J tối đại (J ( J ∪ {i0}) Do đó N ∩ Mi0 6= 0 Vì

Mi0 là môđun đơn nên Mi0 không có môđun con thực sự khác 0 Do

U = U/(U ∩ (⊕i∈JMi)) ∼= (U ⊕ (⊕i∈JMi))/(⊕i∈JMi) = M/(⊕i∈JMi)

= ((⊕i∈JMi)⊕(⊕i∈KMi))/(⊕i∈JMi) ∼= (⊕i∈KMi)/((⊕i∈JMi)∩(⊕i∈KMi))

= ⊕i∈JMi

2.1.6 Bổ đề Nếu D = A ⊕ B ⊕ C thì A = (A + B) ∩ (A + C).

(A + B) ∩ (A + C) Lấya + b ∈ A + B, a0+ c ∈ Avà a + b = a0+ c Khi

đó a − a0 = c − b Vì D = A ⊕ B ⊕ C nên b = c = 0và do đó a = a0.Suy raa + b = a ∈ A, a0+ c = a0 ∈ Ahay(A + B) ∩ (A + C) ⊆ A Vậy

(ii) Chọn x ∈ N, x 6= 0 Khi đó họ tất cả các môđun con của N

không chứaxkhác rỗng, mỗi họ sắp thứ tự đều có cận trên theo quan

hệ bao hàm Do đó, theo Bổ đề Zorn, tồn tại phần tử tối đạiN1 Theo

(i) thì tồn tại N2 ⊆ N thỏa mãn N = N1 ⊕ N2 Ta chứng minh N2

không phải là môđun đơn Giả sử nó chứa môđun con thực sự W và

do đó tồn tại môđun con W0 của N2 thỏa mãn N2 = W ⊕ W0 Theo

Bổ đề 2.1.6 ta có N1 = (N1 + W ) ∩ (N1 + W0) Vì x /∈ N1 nên hoặc

x /∈ (N1 + W ) hoặc x /∈ (N1 + W0) Mâu thuẫn với N1 tối đại VậyN

2.1.8 Định lý Đối với mỗi môđun, các phát biểu sau đây là tương

đương:

(i) M là môđun nửa đơn;

(ii) M là tổng trực tiếp của các môđun con đơn;

(iii) Mỗi môđun con củaM là một hạng tử trực tiếp;

(iv) M không chứa môđun con cốt yếu thực sự nào

Chứng minh (i) ⇒ (ii) Giả sử M là môđun nửa đơn Khi đó

M = Pi∈I Mi, trong đó Mi là các môđun con đơn Theo Mệnh đề2.1.5 (i), chọn U = 0 ta cóM = ⊕i∈JMi, Mi là các môđun con đơn

(ii) ⇒ (iii) Giả sửU là môđun con của M, theo Mệnh đề 2.1.5 (i),tồn tạiK ⊆ I sao choM = U ⊕ (⊕i∈KMi) Suy ra mỗi môđun con của

M là một hạng tử trực tiếp củaM

(iii) ⇒ (i) Giả sửN là tổng của tất cả các môđun con đơn củaM.Khi đó N ⊆ M Vì mỗi môđun con của M là một hạng tử trực tiếpnên tồn tại K ⊆ M sao cho M = N ⊕ K Nếu K 6= 0 thì K chứamột môđun con đơn V Vì V ⊆ N theo định nghĩa của N Do đó

V ⊆ N ∩ K = 0 Vô lý Từ đó suy ra K = 0 hay M = N Vậy M làtổng của các môđun con đơn hay M là môđun nửa đơn

(iii) ⇒ (iv)Giả sử Alà môđun con cốt yếu củaM Vì mỗi môđuncon của M là một hạng tử trực tiếp nên tồn tại môđun con B của M

sao cho M = A ⊕ B, suy ra A ∩ B = 0 Mặt khác,A cốt yếu trongM

nên A ∩ B 6= 0 Mâu thuẫn Vậy M không chứa môđun con cốt yếuthực sự nào

(iv) ⇒ (iii)Giả sửN là môđun con củaM Khi đó, tồn tại môđunconK củaM sao choN ⊕ K cốt yếu trongM VìM không có môđuncon cốt yếu thực sự nào nênN ⊕ K = M Vậy mỗi môđun con củaM

∩Nj = 0 Vì vậy tồn tại j mà Sn * Nj Vì Sn là môđun đơn nên suy

ra Sn ∩ Nj = 0 Vì Nj là môđun tối đại nên M = Sn ⊕ Nj và do đó

M/S ∼= S1 ⊕ S2 ⊕ ã ã ã ⊕ Sn−1 ∼= Nj = T1 ⊕ T2 ⊕ ã ã ã ⊕ Tm 

2.1.10 Định nghĩa ChoM là môđun Độ dài của môđunM, ký hiệu

l(M ), là số các hạng tử đơn trong bất kỳ sự phân tíchM = ⊕i∈ISi

2.1.11 Định lý Cho M là môđun nửa đơn Khi đó, các điều kiệnsau đây là tương đương:

(i) M là tổng của hữu hạn các môđun con đơn;

(ii) M là tổng trực tiếp của hữu hạn các môđun con đơn;

(iii) M có độ dài hữu hạn;

(iv) M là môđun Artin;

(v) M là môđun Noether;

(vi) M là môđun hữu hạn sinh;

(vii) M là môđun hữu hạn đối sinh

Chứng minh Trước hết, chúng ta nhận thấy rằng định lý hiểnnhiên đúng nếuM = 0 Bây giờ chúng ta chứng minh với M 6= 0

(i) ⇒ (ii) Giả sử M =

n

X

i=1

Mi, trong đó Mi là các môđun con

đơn Khi đó, theo Mệnh đề 2.1.5 (ii), tồn tại k ∈ N, k ≤ n sao cho

M =

k

X

i=1

Mi, trong đóMi là các môđun con đơn

(ii) ⇒ (iii)Giả sửM =

Ai Ai ã ã ã Ai ã ã ã luôn tồn tại Chuỗi này có thể được là

Mi Vậy M làtổng của hữu hạn các môđun con đơn

(iii) ⇒ (iv) Giả sử A = A1 ⊇ A2 ⊇ ã ã ã là một chuỗi giảm cácmôđun con của M Gọi l là độ dài của M Ta cần chỉ ra rằng trong

A có nhiều nhất l + 1 hạng tử Ai khác nhau Giả sử rằng trong A cónhiều hơnl + 1phần tửAikhác nhau Khi đó chuỗi con củaAcó dạng

Ai1 ! Ai2 ! ã ã ã ! Ail+2 ! ã ã ã luôn tồn tại Chuỗi này có thể được làmmịn thành chuỗi hợp thành củaM Do đó M phải có độ dài lớn hơn

l hay chuỗi A có hữu hạn Ai khác nhau nên dãy A dừng Vậy M làmôđun Artin

(v) ⇒ (vii) Xem mệnh đề 1.4.2

(vii) ⇒ (ii) Giả sửM là tổng trực tiếp của vô hạn các môđun con

đơnMi củaM Khi đó một môđun con củaM luôn tồn tại dưới dạng

nhất, do đó khác 0 Mâu thuẫn Vậy M là tổng hữu hạn các môđun

2.1.12 Bổ đề Cho f : M → N là một toàn cấu môđun Nếu A làmôđun đơn thìN cũng là môđun đơn hoặc môđun không

Chứng minh Vìf : M → N là một toàn cấu môđun nênM/Kerf ∼=

N VìM là môđun đơn nênM không có môđun con thực sự nào Nếu

Kerf = 0 thì M ∼= N Suy ra N là môđun đơn Nếu Kerf = M thì

2.1.13 Hệ quả

(i) Môđun con của môđun nửa đơn là môđun nửa đơn;

(ii) Môđun thương của môđun nửa đơn là môđun nửa đơn;

(iii) ảnh toàn cấu của môđun nửa đơn là môđun nửa đơn;

(iv) Tổng của các môđun nửa đơn là môđun nửa đơn

Chứng minh (i) Giả sử M là một môđun nửa đơn, N là môđuncon củaM, K là môđun con của N và do đó cũng là môđun con của

M Khi đó tồn tại môđun con P của M sao cho P ⊕ K = M Theoluật Modular ta có

N = M ∩ N = (P ⊕ K) ∩ N = (P ∩ N ) ⊕ (K ∩ N ) = (P ∩ N ) ⊕ K

Vậy mỗi môđun con của N là một hạng tử trực tiếp của N hay N làmôđun nửa đơn

(ii)Giả sửM là môđun nửa đơn vàN là môđun con củaM Khi đótồn tại môđun con K của M sao cho M = N ⊕ K Do đó M/K ∼= N.Theo (i) thì N là môđun nửa đơn, suy ra M/K cũng là môđun nửa

đơn Vậy môđun thương của môđun nửa đơn cũng là môđun nửa

đơn

(iii) Giả sử ϕ : A → B là một toàn cấu môđun, M ⊆ A, M là

i∈I

Mi, Mi là các môđun con đơn Tacó

Chứng minh Giả sử M là môđun nửa đơn, Alà môđun con của

M Khi đó tồn tại môđun con B của M sao cho M = A ⊕ B Nếu A

là môđun bé trong M thìB = M, suy ra A = 0 Nếu Alà môđun con

2.1.15 Mệnh đề Nếu M là môđun nửa đơn thì Rad(M ) = 0