NHÓM GIÁ TRỊ VÀ TRƯỜNG THẶNG DƯ CỦA CHUẨN PHI ARCHIMEDE LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

HỒ CHÍ MINH NGUYỄN TRÍ THÀNH NHÓM GIÁ TRỊ VÀ TRƯỜNG THẶNG DƯ CỦA CHUẨN PHI ARCHIMEDE Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số... Ví dụ như nhóm giá trị và đặc biệt là trường thặng dư của t

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

NGUYỄN TRÍ THÀNH

NHÓM GIÁ TRỊ VÀ TRƯỜNG THẶNG DƯ CỦA CHUẨN PHI

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

NGUYỄN TRÍ THÀNH

NHÓM GIÁ TRỊ VÀ TRƯỜNG THẶNG DƯ CỦA CHUẨN PHI ARCHIMEDE

Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số

L ỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên trong luận văn này, tôi xin gửi đến PGS.TS Mỵ Vinh Quang, người thầy đã tận tình hướng dẫn và hết lòng giúp đở tôi trong suốt quá trình học tập và làm luận văn, lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất

Tôi cũng bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với quý thầy PGS.TS Bùi Tường Trí, PGS.TS Bùi Xuân Hải, TS Trần Huyên, PGS.TS Lê Hoàn Hóa, cố PGS.TS Đậu Thế Cấp, quý thầy đã trực tiếp giảng dạy, trang bị cho tôi kiến thức cơ bản làm nền tảng cho quá trình học tập và nghiên cứu

Tôi vô cùng cảm ơn Ban Giám Hiệu, quý Thầy Cô khoa Toán-Tin, quý Thầy Cô Phòng Sau đại học Trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi được học tập và hoàn thành luận văn

Cuối cùng, tôi xin cảm ơn gia đình, người thân, bạn bè và đồng nghiệp đã động viên, giúp đở

và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn này

Nguyễn Trí Thành

M ỤC LỤC

0

LỜI CẢM ƠN0 1 0

MỤC LỤC0 2 0

MỘT SỐ KÍ KIỆU0 4 0

LỜI NÓI ĐẦU0 5 0

CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CƠ BẢN0 7 0

1.1 Khái niệm cơ bản :0 7 0

1.1.1 Định nghĩa.0 7 0

1.1.2 Chú ý.0 7 0

1.1.3 Định nghĩa.0 8 0

1.1.4 Định lý.0 8 0

1.1.5 Định nghĩa chuẩn phi Archimede 0 10 0

1.1.6 Ví dụ về chuẩn phi Archimede.0 10 0

1.1.8 Định lý.0 12 0

1.1.9 Hệ quả.0 13 0

1.1.10 Mệnh đề :0 13 0

1.2 Xây dựng trường số p_adic0 14 0

1.2.1 Định nghĩa.0 14 0

1.2.2.Mệnh đề0 14 0

1.2.3 Mệnh đề.0 14 0

1.2.4.Định lý Oxtropxky.0 14 0

1.2.5 Xây dựng trường số p_adic 0

p

¤0.0 15

0

1.2.6.Định nghĩa đồng dư trong 0

p

¤ 16 0

1.3 Khai triển p _adic của x trong 0

p

¤0.0 16 0

1.3.1.Bổ đề.0 16 0

1.3.2 Bổ đề.0 16 0

1.3.4 Định lý.0 16 0

1.3.2 Khai triển p_adic của x trong 0

p

¤0.0 17 0

0

2.1 Nhóm giá trị của chuẩn phi Archimede.0 18 0

2.1.1.Định nghĩa.0 18 0

2.1.2 Ví dụ.0 18 0

2.1.3.Định lý.0 19 0

2.1.4.Định nghĩa.0 19 0

2.1.5.Định lý.0 19

2.1.6.Hệ quả 0 21 0

2.1.7.Hệ quả.0 21 0

2.2 Trường thặng dư của chuẩn phi Archimede.0 21 0

2.2.1.Mệnh đề.0 21 0

2.2.2.Định nghĩa.0 22 0

2.2.3.Ví dụ về trường thặng dư.0 22 0

2.2.4.Định lý.0 24 0

2.2.5 Mệnh đề.0 25 0

2.2.6 Nhận xét 0 25 0

2.3 Bao đủ của một trường 0F0.0 25 0

2.3.1.Định lý 0 25 0

2.3.2.Định nghĩa.0 27 0

2.3.3.Định lý.0 27 0

2.3.4.Định lý.0 28 0

2.4.Bao đóng của một trường.0 29 0

2.4.1.Định nghĩa.0 29 0

2.4.2.Định nghĩa.0 29 0

2.4.3.Định lý.0 29 0

2.4.4.Hệ quả.0 31 0

2.5 Sự khai triển thành chuỗi.0 31 0

2.5.1.Định nghĩa.0 31 0

2.5.2.Định nghĩa.0 31 0

2.5.3.Định lý.0 31 0

2.5.4.Hệ quả.0 33 0

2.5.5.Định lý.0 33 0

2.5.6.Hệ quả.0 34 0

2.6 Xây dựng một trường với chuẩn phi Archimede với nhóm giá trị và trường thặng dư cho trước.0 35 0

2.6.1 Định lý.0 35 0

2.6.2.Định nghĩa.0 38 0

2.6.5 Bổ đề 3.0 39 0

KẾT LUẬN0 47 0

Tài liệu tham khảo.0 48

L ỜI NÓI ĐẦU

Giải tích P_adic là chuyên ngành mới của Toán học đang phát triển và có nhiều ứng dụng, đặc biệt trong Lý thuyết số hiện đại Vào những năm 40 của thế kỉ 20, giải tích P-adic phát triển mạnh

mẽ thành một chuyên ngành độc lập nhờ vào việc phát hiện những mối liên hệ sâu sắc của giải tích P_adic với những vấn đề lớn của số học và hình học đại số

Một chuẩn : F →g ¡ được gọi là chuẩn phi Archimede trên trường F nếu thỏa mãn điều kiện mạnh hơn (iii) là (iii’) : x+ ≤y max{x y, }

Một trường với chuẩn phi Archimede có nhiều tính chất lạ, đặc biệt mà chuẩn Archimede bình

thường không có Ví dụ như nhóm giá trị và đặc biệt là trường thặng dư của trường với chuẩn phi

Archimede là những khái niệm chỉ có trong trường với chuẩn phi Archimede

Chính vì vậy mà chúng tôi chọn đề tài “ Nhóm giá trị và trường thặng dư của chuẩn phi

Archimede ” để có thể tìm hiểu, khám phá và nghiên cứu thêm những tính chất thú vị của nó Luận văn sẽ làm sáng tỏ hơn các nhóm giá trị và trường thặng dư của trường với chuẩn phi Archimede Cụ thể nghiên cứu mối liên hệ giữa nhóm giá trị và trường thặng dư của 1 trường với chuẩn phi Archimede với bao đủ và bao đóng đại số của nó Thấy rõ ứng dụng nhóm giá trị trường thặng dư trong việc nghiên cứu các trường với chuẩn phi Archimede, đặc biệt là khai triển thành chuỗi và khảo sát sự tồn tại trường với chuẩn phi Archimede với trường thặng dư và nhóm giá trị cho trước

Cấu trúc của luận văn được chia thành hai chương:

Chương 1: Kiến thức cơ bản

Chương này chúng tôi sẽ trình bày các kiến thức cơ bản về giải tích p_adic chẳng hạn như chuẩn trên một trường, các tính chất chung, đặc biệt là khái niệm chuẩn phi Archimede, xây dựng trường p-adic,khai triển p-adic của phần tử trong ¤ P và một số tính chất cần thiết cho chương sau

Chương 2: Nhóm giá trị và trường thặng dư của chuẩn phi Archimede

Trong chương này chúng tôi sẽ chỉ ra mối liên hệ giữa trường thặng dư và nhóm giá trị của một trường với chuẩn phi Archimede với bao đủ và bao đóng của nó Ứng dụng các trường định chuẩn để khai triển thành chuỗi Đặc biệt xây dựng một trường với chuẩn phi Archimede với nhóm giá trị và trường thặng dư cho trước

Tuy đã có nhiều cố gắng, nhưng do khả năng còn nhiều hạn chế nên không tránh khỏi những thiếu sót, chúng tôi rất mong nhận được sự thông cảm và những góp ý chân tình của quý thầy giáo,

CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CƠ BẢN

Trong chương này chúng tôi sẽ trình bày các kiến thức cơ bản về giải tích p_adic chẳng hạn như chuẩn trên một trường, các tính chất chung, đặc biệt là khái niệm chuẩn phi Archimede, xây dựng trường p-adic,khai triển p-adic của phần tử trong ¤ P và một số tính chất cần thiết cho chương sau Đa số chứng minh trong chương này đều được bỏ qua và người đọc có thể dễ dàng tìm thấy chúng qua các tài liệu tham khảo

Ví dụ 1) F= ∨ =¡ F ¤ , giá trị tuyệt đối thông thường là chuẩn trên F

2) F= £ , môđun của một số phức là chuẩn trên F

Do g là một chuẩn trên F nên ta dễ dàng kiểm tra được d là một mêtríc trên F và do đó (F,

d) là một không gian mêtríc

(Các điều kiện để chuẩn tương đương)

Cho F là một trường; g g1, 2 là hai chuẩn trên trường F Các điều sau là tương đương:

1) ∀ ∈x F x, 1<1 khi và chi khi x < 2 1

2) ∀ ∈x F x, 1≤1 khi và chi khi x2≤1

3) ∃ >c 0,c∈¡ :∀ ∈x F x, 2 = x1c

4) Các tôpô sinh bời g1và g2 là trùng nhau

5) g1 tương đương với g2 (g : g1 2)

x < suy ra x1> 1 (mâu thuẩn với giả thiết ) nên x ≤ Lập luận 2 1tương tự ta cũng có x1≤ nếu 1 x ≤ 2 1

Vậy x1≤1 khi và chỉ khi x2≤1

2 1)⇒ ∀ ∈x F x, 1<1, ta sẽ chứng minh x < Giả sử ngược lại 2 1 x ≥ ,vì 2 1 x < nên theo (2) 1 1

Nếu x < thì theo (1) ta có 2 1 x <1 1

(mâu thuẩn giả thiết)

Ngược lại nếu x2>1 thì = <

x < nên

2

11

x < do đó x2 > 1Đặt a x= 01,b x= 02,a>0,b>0 Với mọi x F∈ *, giả sử x1=aα(α =loga x) Ta sẽ chứng minh

2

x =bα Thật vậy, ∀ >r α(r∈¤) ta có a a r > α Giả sử r=m n,( , ) 1m n = Khi đó 0 1 > 1

m n

x

x theo (1) ta có 0 2<1

n m

5⇒1)∀ ∈x F x*, 1< suy ra 1

n

x → nên { } x là dãy Cauchy theo chuẩn n g suy ra 1 { }x là n

dãy Cauchy theo chuẩn g nên 2 +1− →

1.1.5 Định nghĩa chuẩn phi Archimede

Cho g là một chuẩn trên trường F Chuẩn g được gọi là chuẩn phi Archimede trên F nếu

nó thỏa thêm điều kiện:

( )iii x y′ + ≤max{ , }, ,x y ∀x y F∈

Chuẩn thỏa (iii) nhưng không thỏa (iii’) được gọi là chuẩn Archimede

1.1.6 Ví dụ về chuẩn phi Archimede

Ví dụ 1: Chuẩn tầm thường trên trường F là chuẩn phi Archimede

Ví dụ 2: Nếu K là trường hữu hạn thì mọi chuẩn trên K đều tầm thường, vì vậy nó là chuẩn

phi Archimede

1.1.7.Mệnh đề

Cho F là một trường với chuẩn phi Archimede g

i.∀x y, ∈F x, ≠ y thì x+ =y max{ ,x y} Nghĩa là, mọi tam giác đều cân trong không gian mêtric sinh bởi chuẩn g

iii Mọi điểm thuộc hình cầu đều là tâm của nó Nghĩa là, ∀ ∈b B r a( )⇒B r a( )=B r b( )

iv Dãy { }x n ⊂ là dãy Cauchy F lim n 1 n 0

iii) ∀ ∈b B r a( ) ta chứng minh ( ) B r a =B r b( ) Thật vậy,

(Các điều kiện tương đương của chuẩn phi Archimede)

Cho F là một trường, g là một chuẩn trên F Các điều sau là tương đương:

ii⇒iii) Với mọi n N∈ , giả sử 0 12 222 2s

Khi đó glà chuẩn phi Archimede

1.2 Xây d ựng trường số p_adic

1.2.5 Xây d ựng trường số p_adic ¤ p

Từ định lý Oxtropxky ta thấy mọi chuẩn không tầm thường trên ¤ đều tương đương với giá trị tuyệt đối thông thường ghoặc là chuẩn phi Archimede g p (p là một số nguyên tố).Mặt khác, ta biết rằng làm đầy đủ ¤ theo g ta được trường số thực ¡

Vậy làm đầy đủ ¤ theo gpta sẽ được trường mới mà ta gọi là trường các số p-adic ¤ p.Cụ thể ta xây dựng như sau :

Xét g là chuẩn p _ adic trên ¤ ; ( )1 ord x p( ),

Phần tử nghịch đảo: Với { } 0x n ≠ suy ra x n /: nên 0 ∃ > ∀ >N 0 : n N x, n = ≠ a 0

Khi đó dãy { }y n với

1

0,,

n n

Xét θ:¤ →¤ p, ( ) {θ x = x n =x},∀ ∈x ¤ , θ là đơn cấu trường Do đó, ta có thể coi ¤ ⊂¤ p

Với mỗi x={ }x n ∈¤ p, ta định nghĩa lim n

n

→∞

= Định nghĩa này hợp lý Thật vậy,

Đầu tiên luôn luôn tồn tại lim n

n x

→∞

+ Nếu x n → thì0 x n → suy ra 0 x = 0+ Nếu x n →/ thì0 x n = ≠ ∀ > suy ra a 0, n N x n → ⇒a x = a Tiếp theo x không phụ thuộc vào cách chọn phần tử đại diện Giả sử x={ } { }x n = y n thế thì

1.3.2 Khai triển p_adic của x trong ¤ p

i) Với x∈¤ p, x p ≤1, theo định lý 1.3.4, tồn tại dãy cauchy { }a trong ¤ n thỏa hai điều

n n

a ≡a+ p n= để x={ }a n Khi đó, với mỗi

n∈¥ ta có các khai triển p – phân

CHƯƠNG 2: NHÓM GIÁ TRỊ VÀ TRƯỜNG THẶNG DƯ CỦA CHUẨN PHI

ARCHIMEDE

Trong chương này, chúng tôi sẽ trình bày mối liên hệ giữa trường thặng dư và nhóm giá trị của một trường F với chuẩn phi Archimede g với bao đủ và bao đóng của nó.Ứng dụng các trường định chuẩn để khai triển thành chuỗi.Đặc biệt xây dựng một trường với chuẩn phi Archimede với nhóm giá trị và trường thặng dư cho trước

Ví dụ 3.Nhóm giá trị của g trên ( )¡ x ( Mệnh đề 1.1.10)

G là nhóm giá trị của chuẩn phi Archimede trên trường F

+ Chuẩn trên F là dày đặc nếu 1 là điểm tụ (điểm giới hạn) của G

+ Ngược lại,chuẩn trên F là rời rạc nếu 1 không là điểm tụ (điểm cô lập) của G

2.1.5.Định lý

1.Chuẩn trên F là dày đặc khi và chỉ khi nhóm giá trị G trù mật trong +

¡ 2.Chuẩn trên F là rời rạc khi và chỉ khi nhóm giá trị G là nhóm xiclic G= ρ ρ( > 0)

( Trong khoảng (1−ε,1+ε), nếu y G∃ ∈ mà 0<y<1 ta lấy x 1 x 1

= − − ta có khoảng (1−ε,1+ không chứa ε)

điểm khác 1 của G, nên 1 không là điểm tụ của G

Vậy chuẩn là rời rạc

)

⇒ Chuẩn trên F là rời rạc,khi đó 1 không là điểm tụ ( điểm cô lập)

Nếu chuẩn là tầm thường thì mệnh đề đúng

Nếu chuẩn là không tầm thường

∈ − + suy ra 1 là điểm tụ (mâu thuẩn)

Từ kết quả trên ta suy ra [1,a] chỉ có hữu hạn giá trị của G nên tồn tại giá trị nhỏ nhất ρ∈G , ρ>1

Ta chứng minh G= <ρ> Ta xét 2 trường hợp :

Đầu tiên ta xét trường hợp ∀ ∈x G x, > 1

Khi đó 1<ρ≤x suy ra ∃ ∈n ¥ : nρ ≤ <x ρn+1 nên 1≤ x n <ρ

ρ( Nếu x n 1

ρ > mâu thuẩn với giả thiết của ρ nhỏ nhất ) nên n ( )

Tiếp theo ta xét trường hợp x∈G, 0< < x 1

Cho g : g 1 2 trên F Khi đó :

• g 1 rời rạc khi và chỉ khi g 2 rời rạc

• g 1 dày đặc khi và chỉ khi g 2 dày đặc

2.1.7.H ệ quả

Các chuẩn sau đây là rời rạc :

• Chu ẩn là giá trị tuyệt đối thông thường

• Các chu ẩn trên trường hữu hạn

• Chu ẩn g trên ¤ p

• Chu ẩn trên trường ( )¡ x

Chuẩn phi Archimede dày đặc sẽ được nói đến trong phần 2.4

2.2 Trường thặng dư của chuẩn phi Archimede

Hơn nữa xy = x y ≤ ⇒ ∈1 xy B0(1) VậyB0(1) là vành con của trường F

Tiếp theo ta chứng minh B0(1)là idean tối đại của B0(1) Ta có với ∀x y, ∈B0(1)

1

x y

Giả sử có ideal I của B0(1)sao choB0(1)I ⊆B0(1)

Khi đó tồn tại x∈I, x∉ B0(1) nên x =1 , x−1 = Ta chứng minh 1 I =B0(1)

Bây giờ ta sẽ chứng minh p

p p

F

xét tương ứng : p ,

p p

(a b p− M nên ) c∈¢ Vậy f là đơn ánh

Tiếp theo ta chứng minh f là toàn ánh

p p

n n n

Khi đó Trường thặng dư của ( )¡ x là

deg deg 0

• Nếu F = ¡ ( )x thì trường thặng dư ¡ P ; ¡

• Nếu F = ¢ thì CharP F= CharF = P p

• Nếu F = ¤ thì Char F= CharF = P 0

• Nếu F = ¤ p thì CharF = p P nhưng Char F =0

2.3 Bao đủ của một trường F

Ta có : I là ideal tối đại của V.Thật vậy,

suy ra { }{ }a n x n ∈ I Vậy I là ideal tối đại của V

Hơn nữa , nếu I’ là ideal của V sao cho I I'⊆V

Khi đó tồn tại { }a n ∈ , I' { }a n ∉ nên I { }a n →/ Khi n đủ lớn 0 a n ≠ , nên tồn tại 0 { }1

Mặt khác I là ideal tối đại của V nên L V

Bây giờ ta chứng minh L là trường cần tìm

Ta có chuẩn g trên L được định nghĩa { }n lim n

n

→+∞

=Chuẩn trên tồn tại và không phụ thuộc vào dãy đại diện

Hơn nữa chuẩn g trên L là chuẩn phi Archimede.Thật vậy,

Giả sử { } { }x k 1, x k 2, ,{ }x k n là dãy Cauchy trong L.Phần tử thứ n tuỳ ý của dãy là 1 lớp { }x k n chứa dãy { }x k trong F

Cuối cùng i(F) là trù mật Thật vậy, i là đơn cấu trường nên có thể xem F là trường con của L

Mặt khác, theo 2) mỗi phần tử x∈L là giới hạn của một dãy Cauchy trong F , suy ra i(F) (hay F)

trù mật trong L

*UTính duy nhất :

Giả sử ( ', ')L g với đơn cấu trường i F' : →L' thoả mãn các điều kiện 1), 2), 3)

x L

∀ ∈ , tồn tại dãy Cauchy {i x( n)}∈i F( ) sao cho {i x( n)}→ theo g x

Khi đó, dãy { }x n tương ứng là dãy Cauchy trong F, dãy {i x'( n)} tương ứng là dãy Cauchy trong '( )

i F suy ra {i x'( n)}→ ∈ x' L' Ta có đẳng cấu trường

F F p

B F

B

= 0

0

(1)(1)

L L p

B L

Dễ dàng nhận raϕ là toàn cấu vành

Hơn nữa kerϕ= ∈{ 0F(1) :{ }=0} {= ∈ 0F(1) : < =1} 0F(1)

Vậy 0

0

(1)(1)

Giả sử chuẩn g phi Archimede rời rạc không tầm thường trên F với nhóm giá trị G và F

trường thặng dư F p Chuẩn g là chuẩn phi Archimede cảm sinh trên bao đóng đại số F với nhóm giá trị G F và trường thặng dư F p Khi đó :

Xét đa thức ( )f x =x n− ∈α F x[ ] có nghiệm β∈F suy ra βn− =α 0 nênβn =α do đó n

Bây giờ ta sẽ chứng minh k F =k F

Đầu tiên ta chứng minh k F ⊆k F Thật vậy, ∀ ∈α k F suy ra α β= ,β∈F,β ≤1

¡ Vậy chuẩn g là dày đặc (định lý 2.1.5.) •

2.5 S ự khai triển thành chuỗi

i i

Đầu tiên ta chứng minh sự tồn tại của chuỗi

Lấy x∈F x, ≠0.Khi đó tồn tại m∈¢ thỏa m m

x = π = π ⇒ π−m x ≤1 suy ra ∃ ∈a0 R:π−m x a− 0 <1 do đó 0

Bằng quy nạp ta chứng minh được a m+1=b m+1,a m+2 =b m+2,

Vậy sự khai triển của x là duy nhất

Cuối cùng nếu F đầy đủ

F compact địa phương khi và chỉ khi

2.Trường thặng dư là hữu hạn

Chứng minh

)

⇒

F là compact địa phương Lấy x∈F sao cho x > 0

Trước tiện ta chứng minh chuẩn là rời rạc.Thật vậy,

Giả sử rằng trường thặng dư F p ={0, ,x x1 2 } là vô hạn, trong đó x n = ∀ 1 n

và ∀ ≠m n x: m ≠x hay x n m−x n = 1

Vì x x n = x x n = x nên x x n∈B0( )x ∀n

Xét dãy { }x x n trong Ta có ∀ ≠m n x x: m−x x n = x x m−x n = x > 0

do đó dãy { }x x n không có dãy con hội tụ

suy ra B0( )x không compact (mâu thuẩn F compact địa phương)

Vậy trường thặng dư F p là hữu hạn

Tiếp theo ta chứng minh trường thặng dư là hữu hạn

Giả sử chuẩn là dày đặc khi đó 1 là điểm tụ của nhóm giá trị G F

Khi đó tồn tại dãy tăng { }a n → , 1 a n∈G F.Đặt a n = x n ,x n∈F x, n ≤1

Vì x x n = x x n ≤ x nên x x n∈B0( )x ∀n