Mở rộng bruck reilly của vị nhóm và nhóm luận văn thạc sĩ toán học

Họ đã dùng chúng để chứng minh rằng mỗi nửanhóm nhúng được vào một vị nhóm đơn và đưa ra định lý cấu trúc đối với cáclớp đặc biệt của các nửa nhóm ngược.. Trong chương này, chúng tôi trì

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

HOÀNG XUÂN BÍNH

MỞ RỘNG BRUCK - REILLY CỦA VỊ NHÓM VÀ NHÓM

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Nghệ An, 2012

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

HOÀNG XUÂN BÍNH

MỞ RỘNG BRUCK - REILLY CỦA VỊ NHÓM VÀ NHÓM

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌCCHUYÊN NGÀNH : ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ

Mã số : 60.46.05

Người hướng dẫn khoa học PGS TS LÊ QUỐC HÁN

Nghệ An, 2012

MỤC LỤC

Trang

MỤC LỤC 1

LỜI NÓI ĐẦU 2

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Iđêan và các quan hệ Grin trên nửa nhóm 4

1.2 Nửa nhóm chính quy Nửa nhóm ngược 9

1.3 Biểu diễn nửa nhóm 16

CHƯƠNG 2 MỞ RỘNG BRUCK - REILLY CỦA VỊ NHÓM 2.1 Một số lớp nửa nhóm đơn 21

2.2 Mở rộng Bruck - Reilly của các vị nhóm và các nhóm 29

KẾT LUẬN 36

TÀI LIỆU THAM KHẢO 37

MỞ ĐẦU Giả sử M là một vị nhóm và : Mθ →M là một tự đồng cấu Tập hợp

Reilly (1966) và Munn (1970) Họ đã dùng chúng để chứng minh rằng mỗi nửanhóm nhúng được vào một vị nhóm đơn và đưa ra định lý cấu trúc đối với cáclớp đặc biệt của các nửa nhóm ngược Gần đây Yamamura (2001) đã chứng tỏrằng mở rộng Bruck - Reilly tùy ý của vị nhóm ngược là mở rộng HigmanNeumann và Neumann (HNN) của một vị nhóm ngược

Bản luận văn của chúng tôi dựa trên công trình Presentation of

semigroups and inverse semigroups của tác giả Catarina Carvalho do Trường

Đại học Tổng hợp St.Andrew xuất bản năm 2003 để tìm hiểu mở rộng Reilly đối với các vị nhóm và nhóm

Bruck-Luận văn được chia thành hai chương

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tôi trình bàykhái niệm và các tính chất của các iđêan và các quan hệ Grin trên nửa nhóm,nửa nhóm chính quy và nửa nhóm ngược, biểu diễn của nhóm để làm cơ sởtrình bày cho chương sau

Chương 2: Mở rộng Bruck- Reilly của vị nhóm Đây là nội dung chínhcủa luận văn

Trong chương này, trước hết chúng tôi trình bày khái niệm và tính chất

của các lớp nửa nhóm đơn, nửa nhóm song đơn, nửa nhóm 0 - đơn và nửa nhóm 0 - đơn hoàn toàn.

Tiếp theo, chúng tôi trình bày khái niệm và tính chất của mở rộng Reilly của các vị nhóm và các nhóm Kết quả chính là Mệnh đề 2.2.2 và Định

Bruck-lý 2.2.4

Luận văn được thực hiện dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Lê Quốc Hán.Nhân dịp này tác giả bày tỏ lòng biết ơn thầy đã tận tình chỉ dẫn chúng tôi họctập và tập dượt nghiên cứu khoa học Thầy đã đặt vấn đề và trực tiếp hướngdẫn chúng tôi hoàn thành luận văn

Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán, Phòng Đàotạo sau Đại học, Bộ môn Đại số cùng thầy, cô trong chuyên ngành Đại số và

Lý thuyết số đã tận tình hướng dẫn, tạo điều kiện giúp đỡ tác giả trong quátrình học tập và hoàn thành luận văn

Mặc dù đã rất cố gắng, song luận văn không thể tránh khỏi thiếu sót Tácgiả rất mong nhận được những đóng góp của các thầy, cô và các bạn cùnglớp

Nghệ An, tháng 09 năm 2012

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 IĐÊAN VÀ CÁC QUAN HỆ GRIN TRÊN NỬA NHÓM

đó:

SI ⊆I (tương ứng, IS⊆I )

(ii) I được gọi là iđêan của S nếu I vừa là iđêan trái, vừa là iđêan phải

Từ định nghĩa ta có hệ quả sau

1.1.2 Hệ quả Giả sử I là tập con không rỗng của nửa nhóm con của S Thế thì

1) I là iđêan trái (tương ứng, phải) của S nếu với mọi a I∈ , với mọi

x S∈ có xa I∈ ( tương ứng, ax I∈ ).

2) Nếu I là iđêan trái của S thì I là một nửa nhóm con của S

3) Nếu I và J là các iđêan trái (phải) của S với I∩ ≠J φ thì I ∩J cũng là iđêan trái (phải) của S

1.1.3 Định nghĩa Giả sử I là một iđêan của S Ta định nghĩa một quan hệ

I

ρ = × ∪I (I I) is

(nghĩa là xρI ynếu và chỉ nếu hoặc ,x y I∈ hoặc x y= ) Khi đó, Iρ là một

tương đẳng trên S và được gọi là tương đẳng Rixơ trên S liên kết với I

tương đẳng, nhưng điều đó được suy ra trực tiếp từ định nghĩa

Rixơ của S theo iđêan I S I có một phần tử là I và các phần tử khác { }x ,

với x S∈ \ I Để đơn giản ký hiệu, chúng ta đồng nhất phần tử { } x =x Iρ với

phần tử x S∈ \I Tích các phần tử trong S I như sau : x y xy= với ,x y I∉

và I x = I = xI với mọi x ∈ S Do đó I là phần tử không (zero) của SI.

1.1.4 Định nghĩa Một iđêan I của nửa nhóm S được gọi là iđêan tối tiểu nếu

với mọi iđêan J của S, J ⊆ I kéo theo J = I

1.1.5 Bổ đề Giả sử I là iđêan tối tiểu và J là iđêan tùy ý của S Thế thì I ⊆ J Chứng minh Trước hết, I ∩ J ≠ ∅ Thật vậy, vì I và J là những iđêan của

S, nên IJ ⊆ I ∩ J Hơn nữa I ≠ ∅, J ≠ ∅ nên IJ ≠ ∅ Do đó I ∩ J ≠ ∅.

Mặt khác, I ∩ J ⊆ I và I ∩ J là iđêan của S, nên từ tính tối tiểu của I suy ra

I ∩ J = I, và do đó I ⊆ J

Từ Bổ đề 1.1.5 ta có ngay hệ quả sau

1.1.6 Hệ quả Nếu một nửa nhóm S có iđêan tối tiểu, thì iđêan tối tiểu của S

là duy nhất.

Chú ý rằng một nửa nhóm có thể có hoặc không có iđêan tối tiểu Xét

nửa nhóm ( ¥ , +) Các iđêan của nhóm ( ¥ , +) thực chất là các tập con n+¥

= {n+k k∈¥ } Hơn nữa m+¥ ⊆ n+¥ nếu và chỉ nếu m ≥ n Dó đó, ( ¥ , +)

không có iđêan tối tiểu Tuy nhiên, mọi nửa nhóm hữu hạn S đều có một

iđêan tối tiểu, đó chính là iđêan có số phần tử ít nhất (iđêan như vậy tồn tại vì

S là một iđêan của S và S chỉ có hữu hạn phần tử).

1.1.7 Định nghĩa Một nửa nhóm S được gọi là nửa nhóm đơn, nếu nó không

L, R, J sau đây trên S:

aLb ⇔ S 1 a = S 1 b

a Rb ⇔ a S 1 = bS 1

aJ b⇔ S 1 aS 1 = S 1 bS 1

trong đó S 1 a, aS 1 và S 1 aS1 là các iđêan chính trái, chính phải và iđêan chính

của S được sinh ra bởi a Theo định nghĩa:

aLb ⇔∃ s, s’∈ S: a = sb và b = s’a

a Rb ⇔∃ r, r’∈ S: a = br và b = ar’.

L c = {c}, và theo quan hệ R là R a = {a,b} = R b , Rc = {c}.

đối với α, β∈ T X :

1.1.11 Định lý Các quan hệ L và R giao hoán: Lo R = R oL

Chứng minh Giả sử (x, y) ∈ Lo R Thế thì có một phần tử z∈ S sao cho

xLz, z Ry Do đó tồn tại các phần tử s, s’, r, r’ ∈ S sao cho:

1.1.12 Định nghĩa Giả sử L và R là các quan hệ tương đương đã được xác

định theo Định nghĩa 1.1.9 Ta xác định các quan hệ trên S bởi:

D = Lo R= R o L và H = R ∩L

R theo Lý thuyết tập hợp Ta chứng minh D là quan hệ tương đương bé nhất

chứa cả Lvà R

Thật vậy, vì L và R là các quan hệ tương đương nên D = Lo R cũng là

C nên D là quan hệ tương tương bé nhất chứa L và R.

với mọi x, có L x ∩ R x = H x

1.1.13 Định nghĩa Các quan hệ L , R, J, D và H được xác định như trên

gọi là các quan hệ Grin trên nửa nhóm S.

1.1.14 Định lý Giả sử , x y S∈ Thế thì xy R∈ x∩L y ⇔R y∩L x chứa một lũy đẳng duy nhất.

Chứng minh Trước hết ta giả sử rằng xy R∈ x∩L y .Vì yLxy , xρ : R y→R xy

là song ánh Vì xy R x nên R xy =R x , do đó xρ : R y →R x là một song ánh.

Ánh xạ ρx bảo toàn các L - lớp và do đó ρx ánh xạ R y∩L x vào

R ∩L =H Do đó tồn tại Z∈R y∩L x sao cho ρx ( z ) x= , nghĩa là zx x=

do đó zz uxux ux z= = = nên z Es∈

Đảo lại, nếu tồn tại lũy đẳng e R∈ x∩L y thì ey y= và xe x= Từ e R y

i) H chứa một lũy đẳng;

ii) Tồn tại , x y H∈ sao cho xy H∈ ;

iii) H là một nhóm con của S

Chứng minh i)⇒ii) là hiển nhiên, vì ta có thể chọn x e y= = với lũy đẳng e H∈ .

ii)⇒iii) Giả sử có ii) Thế thì i) suy ra theo Định lý 1.1.14, vì

con với đơn vị là e Từ đó suy ra H là một nhóm.

iii)⇒i) Vì phần tử đơn vị của nhóm con H là một lũy đẳng của S

1.2 NỬA NHÓM CHÍNH QUY VÀ NỬA NHÓM NGƯỢC

1.2.1 Định nghĩa (i) Phần tử a của nửa nhóm S được gọi là phần tử chính

quy nếu tồn tại phần tử x∈ S sao cho a = axa.

(ii) Nửa nhóm S được gọi là nửa nhóm chính quy nếu mọi phần tử của S

đều là phần tử chính quy

1.2.2 Ví dụ (1) Mọi lũy đẳng đều là phần tử chính quy Nói riêng, nếu S có

phần tử đơn vị thì phần tử ấy là phần tử chính quy

(2) Mọi nhóm đều là nửa nhóm chính quy

nửa nhóm chính quy

Ta nhắc lại rằng nếu S là một nửa nhóm chứa lũy đẳng thì tập hợp tất cả

đề sau đây chỉ ra rằng nếu S là nửa nhóm chính quy thì E(S) khác rỗng.

1.2.3 Bổ đề Nếu a là phần tử chính quy trong nửa nhóm S và a = axa với x

nào đó thuộc S thì ax ∈ E S và xa ∈ E S

Chứng minh Đặt e = ax thì e 2 = ax.ax = (axa)x = ax= e nên e ∈ E S hay ax ∈

E S

Tương tự có xa ∈ E S

1.2.4 Bổ đề Giả sử a là một phần tử của nửa nhóm S Khi đó các điều kiện

sau đây là tương đương:

(i) a là phần tử chính quy;

(ii) Tồn tại e∈ E S sao cho a Re;

(iii) Tồn tại f ∈ E S sao cho a Lf.

Chứng minh Giả thiết rằng a là phần tử chính quy trong S Khi đó tìm

được x ∈ S sao cho a = axa Đặt e = ax và f = xa thì e, f ∈ E S và ea = a = af

= aya nên a chính quy Tương tự, có (iii) suy ra (i)

Chú ý rằng nếu e, f ∈ E S thì đối với mọi x ∈ R e ∩ L f tồn tại (duy nhất)

phần tử y ∈ R f ∩ L e sao cho xy = e và yx = f.

1.2.5 Định nghĩa Một D - lớp được gọi là chính quy, nếu nó chứa chỉ các

phần tử chính quy

1.2.6 Bổ đề Nếu a ∈ S là phần tử chính quy thì D a là chính quy.

Chứng minh Giả sử a là phần tử chính quy Theo Bổ đề 1.2.4, D a chứa một

lũy đằng e, nghĩa là D a = D e

Giả sử z ∈ D a Thế thì z D e , nên tồn tại u ∈ D a với e Ru và uLz Do đó có

các phần tử r, s, s’ sao cho e = ur, u = ru, z = s’u Thế thì z = s’u = s’eu =

s’es = z.rs.z, nên z là phần tử chính quy.

Nói riêng, D e là chính quy với mỗi e ∈ E S

1.2.7 Bổ đề Nếu D là một D - lớp chính quy thì mỗi L x ⊆ D và mỗi R x ⊆ D chứa một lũy đẳng.

Chứng minh Khi đó x∈ D nên x = xyx với y nào đó, và từ đó x L yx và xRxy

trong đó xy và yx là các lũy đẳng

Từ đó ta nhận được kết quả sau.

1.2.8 Định lý Một D - lớp là chính quy nếu và chỉ nếu nó chứa lũy đẳng.

Bây giờ ta xét các phần tử ngược hay phần tử nghịch đảo suy rộng trong

nửa nhóm

1.2.9 Định nghĩa Giả sử S là một nửa nhóm và a∈ S Khi đó phần tử x∈ S

được gọi là phần tử ngược của a nếu a= axa và x = xax.

Chú ý rằng phần tử ngược của a nếu tồn tại thì có thể không duy nhất.

1.2.10 Bổ đề Mỗi phần tử chính quy của nửa nhóm S có ít nhất một phần tử

ngược.

Chứng minh Nếu a∈ S chính quy thì a = axa với x thuộc S nào đó Khi đó xax = xax.a.xax và do đó xax cũng là phần tử chính quy Lại có a = a.xax.a và

do đó xax là một phần tử ngược của a.

1.2.11 Bổ đề (Bổ đề Lallement) Giả sử S là nửa nhóm chính quy và α: S→

P là một toàn cấu nửa nhóm Nếu e∈ E p thì α-1 (e) ∩ E S ≠ ∅, nghĩa là tồn tại

một lũy đẳng f ∈ E S , sao cho α(f) = e

Chứng minh Giả sử x∈ S thỏa mãn điều kiện α (x) = e (x tồn tại vì α là toàn

Khi đó x 2 = x 2 y x 2 và y = y x 2 y Đặt f = xyx Thế thì α (f) = α (x).

α (y).α (x) = α2 (x)α(y)α2 (x)= α (x 2 yx 2 ) = α(x 2 ) = α (x) 2 = e 2 = e, nghĩa là

α (f)= e Hơn nữa f lũy đẳng vì xyx.xyx = x.y.x 2 y.x = xyx

Từ Bổ đề Lallment trực tiếp suy ra kết quả sau

1.2.12 Định lý Giả sử ρ là một tương đẳng trên nửa nhóm chính quy S và

1

S =S ρ Thế thì

1

x p∈E S

suy ra tồn tại e Es∈ sao cho x p=eρ.

1.2.13 Định nghĩa Một nửa nhóm S được gọi là một nửa nhóm ngược nếu

mỗi phần tử của S có một phần tử ngược duy nhất.

Giả sử S là một nửa nhóm ngược và x là một phần tử bất kỳ của S Khi

= x.x -1 x và x -1 = x -1 x x -1

1.2.14 Ví dụ (1) Nếu S là một nhóm thì S là một nửa nhóm ngược và phần tử

ngược cùa x chính là phần tử nghịch đảo nhóm của x.

(2) Nửa nhóm bixiclic là một nửa nhóm ngược

đổi một - một từ X vào chính nó cùng với phép hợp thành ánh xạ là một nửa

nhóm ngược

Bây giờ ta xét nửa dàn các lũy đẳng trong một nửa nhóm ngược Chú ý

e ∈ E S , có e -1 = e vì e = eee.

1.2.15 Định lý Giả sử S là một nửa nhóm ngược Thế thì E S là một nửa nhóm con của S Hơn nữa, E S là một nửa dàn, nghĩa là các lũy đẳng của S giao hoán được với nhau.

Chứng minh Giả sử e, f ∈ E s Xét phần tử ngược (duy nhất ) x = (ef) -1 của ef Thế thì ef = ef.x.ef = ef.xe.ef = ef.fx.ef (vì e 2 = e và f 2 = f) và xe.ef.xe = xefex = xefx.ef.fx = f.xex = fx nghĩa là x = (ef) -1 = xe = fx Từ đó x ∈ E S , vì x 2 = xe.fx = x.ef.x = x và do đó ef ∈ E S , đối với mọi e,f ∈ E S , nghĩa là E S là một nửa nhóm

con của S Hơn nữa E S giao hoán Thật vậy, đối với e, f ∈E S , có ef, fe ∈ E S và

ef.fe.ef = ef.ef = (ef) 2 = ef và fe.fe.fe = fe.fe = (fe) 2 = fe, nghĩa là fe = (ef) -1 =

ef

1.2.16 Định lý Giả sử S là một nửa nhóm Khi đó các điều kiện sau đây là

tương đương:

(i) S là nửa nhóm ngược;

(ii) S chính quy và các lũy đẳng giao hoán;

(iii) Mỗi L - lớp và mỗi R - lớp chứa một lũy đẳng.

Chứng minh (i)⇒ (ii) theo Định lý 1.2.15.

e, f ∈ E s Thế thì e Lf và do đó tồn tại x, y ∈ S 1 sao cho e = xf và f = ye Từ

đó e = xf = xff = ef = fe = yee = ye = f.

zxz = z, và do đó có (i)

Bây giờ ta chuyển sang xét thứ tự bộ phận trên các nửa nhóm ngược

Trước hết, xin nhắc lại rằng trong nửa nhóm tùy ý S, có thể thiết lập quan

hệ thứ tự bộ phận trên tập con E S , cho bởi e ≤ f ⇔ ef = e = fe (e, f ∈ E S ).

Thứ tự bộ phận này sinh ra trong nửa nhóm ngược S đến tất cả các phần

tử của S như sau: x ≤ y ⇔tồn tại e ∈ E S : x = ey (*).

1.2.17 Định lý Giả sử S là một nửa nhóm ngược với E S là tập hợp tất cả các lũy đẳng của nó Thế thì

(i) Quan hệ ≤* xác định bởi x ≤* y⇔ tồn tại e∈ E S : x = ey là một thứ tự

bộ phận trên S;

(ii) Cái thu hẹp của ≤* trên E S trùng với quan hệ thứ tự bộ phận tự nhiên trên tập hợp các lũy đẳng của S.

Chứng minh (i) Trước hết ≤* có tính phản xạ vì với mọi x ∈ S, có x -1∈ S sao

cho e = x x -1∈ E S và x = x x -1 x = ex nên x ≤* x Giả sử x ≤* y và y ≤* x Khi đó

tồn tại e,f ∈ E S sao cho x = ey và y = fx Thế thì x = ey = efy = fex = fx = y nên

≤* có tính phản xứng Cuối cùng nếu x ≤* y và y ≤* z thì tồn tại e,f ∈ E s sao

ngược nên E S là một nửa nhóm con của S ) Do đó x ≤* z và như vậy ≤* có tínhbắc cầu

(ii) Giả sử e, f ∈ E S và e ≤* f Khi đó tồn tại g ∈ E S sao cho e = gf nên e =

ii) Với mọi x ∈ S, tồn tại duy nhất x’∈ S sao cho x = xx’x;

iii) Với mọi x ∈ S, tồn tại duy nhất x’∈ S sao cho xx’∈E S ;

iv) S là nửa nhóm ngược thỏa mãn điều kiện: x = xyx ⇒ y = yxy.

Chứng minh i)⇒ ii) Bằng cách chọn x’ = x -1

ii)⇒iii) Là hiển nhiên vì nếu x = xx’x và xx’ = xx’xx’ nếu xx’∈ E S

Ngược lại giả sử rằng đối với một x -1 duy nhất (trường hợp xx -1∈ E S) và

xy ∈ ES Thế thì xyx = xy.xy.x = xyx.x’.xyx và xyx = xyx.y.xyx, do đó

y = x’, khi ii) được áp dụng với xyx.

iii) ⇒ iv) Vì nếu x = xyx thì xy∈ E S và từ đó xy = xy.xy∈ E S, chúng

ta nhận được y = yxy theo giả thiết về tính duy nhất, và ở đây y = x’ =

x -1

iv) ⇒ i) Vì xyy -1 = xx -1 x.yy -1 y y -1 = xy y -1 x -1 xyy -1 ⇒ x -1 = x -1 xy y -1 x -1⇒ x

= x.y y -1 x -1 x = x x -1 x.y y -1 Tương tự x = y y -1 x và do đó y -1 là nghịch đảo nhóm

1.3 BIỂU DIỄN NỬA NHÓM

1.3.1.Định nghĩa Giả sử S là một nửa nhóm Khi đó tồn tại một toàn cấu

Ψ : A + → S với A + là một nửa nhóm các từ nào đó Thế thì S ≅A + /ker(ψ) Khi

là các ký hiệu sinh của S, và nếu (u, v) ∈ ker (ψ) thì u = v được gọi là một hệ thức hay đẳng thức trong S (Để tránh hiểu nhầm, ta viết u ≡ v nếu các từ u, v bằng nhau

trong A + ).

Như vậy, định nghĩa một biểu diễn của S gồm các ký hiệu sinh:

A = { a 1 ,a 2 ,… } và các hệ thức R = {u i = v ii ∈ I }, và viết

S = < a 1 , a 2 ,… u 1 = v 1 ( i ∈ I)> hay S= A R

nếu ker(ψ) là tương đẳng nhỏ nhất của A + chứa các hệ thức { (u i , v i ) i ∈ I}.

Nói riêng ψ (u i ) = ψ (v i ) đối với tất cả các u i = v i trong R.

Tập hợp R các hệ thức được giả thiết là có tính đối xứng, nghĩa là nếu

u = v trong R thì v= u cũng được thỏa mãn.

của S Cùng một phần tử của S có thể được biểu diễn bằng nhiều cách

diễn cùng một phần tử của S.

Giả sử S = < AR> là một biểu diễn Chúng ta chỉ ra rằng S có một hệ thức u = v (nghĩa là ψ(u) = ψ(v)) nếu và chỉ nếu tồn tại một dãy u = u 1 , u 2,

, u k +1 = v các từ sao cho u i+1 nhận được u i bằng cách thay thế nhân tử u i

bởi v i đối với u 1 = v i nào đó trong R.

Chính xác hơn, chúng ta nói rằng một từ v là dẫn xuất trực tiếp từ từ

u, nếu u ≡ w 1 u’w 2 và v ≡ w 1 v’w 2 với u’ = v’ nào đó trong R.

Rõ ràng rằng nếu v được dẫn xuất từ u thì u được dẫn xuất từ v (vì R đối

xứng) và ψ(u) =ψ(w 1 )ψ(u')ψ(w 2 ) = ψ(w 1 )ψ(v')ψ(w 2 ) = ψ(v), nên

u = v là một hệ thức trong S.

u 2 , , u k ≡ v sao cho với tất cả j = 1,2, , k-1, u j+1 là dẫn xuất trực tiếp từ u j

Thế thì, nếu v được dẫn xuất từ u thì sẽ có ψ(u) = ψ(v), vì ψ(u) = ψ(u 1 ) =

ψ(u 2 ) = ψ(u k-1 ) = ψ(u k ) = ψ(v), và do đó u = v là một hệ thức trong S.

Nó có thể viết thành u ≡ u 1 = u 2 = …= u k ≡ v.

Trước khi trình bày một số định lý về biểu diễn nửa nhóm, ta nhắc lại

1.3.2 Định lý Giả sử S = < A R> là một biểu diễn, với R đối xứng Thế thì

R c = { (u v, ) u = v hay v được dẫn xuất từ u }

Chứng minh Ký hiệu ρ là quan hệ xác định bởi: uρv nếu và chỉ nếu u = v

hoặc v được dẫn xuất từ u.

Rõ rằng i ⊆ ρ nên ρ phản xạ Vì R đối xứng nên ρ đối xứng Tính bắc

xuất trực tiếp bởi u: u = w 1 u’w 2 , v = w 1 v’w 2 và u’ = v’ trong R Vì R ⊆ θ nên

(u’, v’) ⊆ θ Vì θ là một tương đẳng nên (w 1 u’w 2, w 1 v’w 2 ) ∈ θ Do đó, nhờ

R, nghĩa là R c = ρ

Từ Định lý 1.3.2 trực tiếp suy ra định lí sau

1.3.3 Định lý Giả sử A là một bảng chữ cái và R ⊆ A + x A + là một quan hệ đối xứng Thế thì nửa nhóm S = A +R c có biểu diễn

S = < A u = v với mọi (u, v) ∈ R> Hơn nữa, tất cả các nửa nhóm có cùng biểu diễn đẳng cấu với nhau.

1.3.4 Ví dụ 1 Xét biểu diễn nửa nhóm sau:

S = < a,baa = ab, ba = aab, bbb = aba>.

Trong biểu diễn này chúng ta có hai phần tử sinh và ba hệ thức xác định Như

b.ba.baa = u 2 và u 2 = bbabaa = bba.ba.a = bba.aba.a = bbaaab Cũng như vậy, aaab = aabb = abbb = aaba = baa = bab trong S và do aab = bab trong S.

2 Một biểu diễn của các nửa nhóm các từ không cần hệ thức xác định:

A + = < A∅>.

1.3.5 Chú ý Tất cả các nửa nhóm (và vị nhóm) đều biểu diễn Thực vậy, S = <

Aker (ψ)> là một biểu diễn như vậy, khi ψ: A + → S là toàn cấu biểu diễn Tuy

nhiên, nói chung biểu diễn này rất phức tạp Chúng ta sẽ quan tâm nhiều hơn các

nữa nhóm có biểu diễn hữu hạn, nghĩa là một biểu diễn S = < AR>, trong đó A