Chiều goldie mạnh của môđun luận văn thạc sĩ toán học

Vành R được gọi là có hữu hạn chiều phải nếu nó hữu hạn chiều như là một R- môđun phải.. Trên cơ sở xem xét về môđun con cốt yếu, môđun đều, môđun nội xạ tiếp tục trình bày về chiều Gold

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

LÊ THỊ THANH HUỆ

CHIỀU GOLDIE MẠNH

CỦA MÔĐUN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Nghệ An, 2012

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

LÊ THỊ THANH HUỆ

CHIỀU GOLDIE MẠNH

CỦA MÔĐUN

Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ

Mã số: 60 46 05

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học PGS.TS NGÔ SỸ TÙNG

Nghệ An, 2012

MỤC LỤC

Trang

1.1 Môđun con cốt yếu, Môđun đều 4

LỜI NÓI ĐẦU

Trong suốt luận văn này, tác giả luôn giả thiết vành là kết hợp có đơn vị

và tất cả các môđun là môđun phải unita Cho một tập hợp con X của vành R, linh hóa tử trái của X trong R là :

l(X) = {r ∈ R : rx = 0 với mọi x ∈ X} Lấy bất kỳ a ∈ R, chúng ta viết l(a) thay cho l({a}) Các linh hóa tử phải được định nghĩa tương tự

Một R- môđun M có chiều Goldie n (được viết là G.dim M = n) nếu có một môđun con cốt yếu V ≤ e M là một tổng trực tiếp của n môđun con đều

Mặt khác, nếu không có số nguyên n tồn tại, người ta viết G.dim M = +∞ Người ta gọi một R- môđun M có chiều Goldie hữu hạn chiều nếu G.dim M < +∞ Vành R được gọi là có hữu hạn chiều phải nếu nó hữu hạn chiều như là một R- môđun phải Các vành có chiều trái được định nghĩa tương tự Một R- môđun M có chiều Goldie mạnh n (được viết là SG.dim M = n) nếu sup{G.dim(M/N) | N ≤ M} = n Mục đích của luận văn là tìm hiểu và trình bày chiều Goldie và chiều Goldie mạnh của môđun

Cấu trúc của luận văn được chia thành hai chương :

– Chương 1 Trình bày một số kiến thức cơ bản chuẩn bị Các khái niệm được đề cập chủ yếu trong chương này là môđun con cốt yếu, môđun đều, môđun nội xạ, một số tính chất, các mệnh đề, định lí, bổ đề

– Chương 2 Trên cơ sở xem xét về môđun con cốt yếu, môđun đều, môđun nội xạ tiếp tục trình bày về chiều Goldie của môđun và chiều Goldie mạnh của môđun, trình bày lại các chứng minh định lí, mệnh đề và hệ quả có liên quan

Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại Trường Đại học Vinh và Trường đại học Sài Gòn, dưới sự gợi ý và hướng dẫn nhiệt tình của PGS.TS

Ngô Sỹ Tùng Nhân dịp này, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc đến Thầy giáo hướng dẫn, người đã trực tiếp động viên, dìu dắt tận tình, chỉ bảo nghiêm túc trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn.

Trong quá trình học tập và viết luận văn, tác giả cũng nhận được sự giúp đỡ tận tình của các thầy cô Bộ môn Đại số Trường Đại học Vinh

Tác giả xin chân thành cảm ơn quý thầy cô trong khoa Toán học, Phòng đào tạo Sau đại học của Trường Đại học Vinh và các bạn học viên cao học Toán khoá 18 tại Trường Đại học Sài Gòn đã hỗ trợ giúp đỡ và tạo điều kiện để tác giả hoàn thành luận văn

Nghệ An, tháng 09 năm 2012

Tác giả

CÁC KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN VĂN

Hom : tập tất cả các đồng cấu môđun từ N đến M

⊕: tổng trực tiếp của các môđun

N ≅ : môđun N đẳng cấu với M

G.dim M : Chiều Goldie của môđun M

SG.dim M : Chiều Goldie mạnh của môđun M

□ : kết thúc một chứng minh

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CƠ SỞ

1.1 MÔĐUN CON CỐT YẾU VÀ MÔĐUN ĐỀU

Trong luận văn này, ta xét vành R là vành kết hợp có phần tử đơn vị, kí hiệu là 1, và tất cả các môđun xét trên vành R đều là R – môđun phải Unita (nếu không nói gì thêm)

1.1.1 Định nghĩa Cho M là R – môđun phải và A là môđun con của M.

• Môđun con A được gọi là môđun con cốt yếu trong M, kí hiệu A≤e M,

nếu với mọi môđun con X ≤ M, X ≠ 0 thì A∩ ≠X 0

• Hay nói cách khác môđun con A của M được gọi là môđun con cốt

yếu nếu với mọi môđun con X của M thoả mãn A∩ X = 0 thì X = 0

• Nếu A là môđun con cốt yếu của M thì M được gọi là mở rộng cốt

yếu của A.

1.1.2 Định nghĩa Một môđun U được gọi là môđun đều (hay uniform) nếu

U ≠O và A B O∩ ≠ đối với mọi môđun con khác không A, B của U

Hay nói cách khác môđun U được gọi là môđun đều nếu U ≠O và mọi môđun con khác 0 của U đều cốt yếu trong U

Khi đó : 0 ≠ am ∈A ∩ B □

• Mọi môđun con khác không của môđun đều là đều

1.1.4 Mệnh đề Cho M là R-môđun Khi đó ta có :

= ⊕ và M i là môđun con của M, ∀i∈ I,

trong đó A i ≤e M i Khi đó tồn tại i

(4) Lấy 0≠ X ≤M Giả sử X ∩ =B 0 suy ra tồn tại X ⊕ B.

Bây giờ ta chứng minh cho trường hợp I vô hạn

Lấy x∈∑, ,i I∈ M i ta có thể biểu diễn x=∑, ,i F∈ X i với F hữu hạn thuộc I, theo trường hợp trên thì tồn tại i

i F M

∈

⊕ và sự biểu diễn đó là duy nhất.

Tiếp theo lấy 0 X i I M i 0 x X

1.1.5 Định nghĩa Cho M là R-môđun.

• Môđun con N được gọi là đóng trong M nếu N không có mở rộng cốt

yếu thực sự nào trong M Nói khác đi N gọi là đóng trong M nếu với mọi

môđun con K của M mà N ≤e K thì K = N ( tức là nếu N ≤e K ≤ M ⇒ K = N)

• Môđun con K của M được gọi là bao đóng của môđun con N trong M

nếu K là môđun con tối đại trong M sao cho N là cốt yếu trong K

• Môđun con K của M được gọi là phần bù của môđun B trong M nếu

K là môđun con tối đại trong số những môđun con của M có giao với B bằng

không, và K được gọi là phần bù trong M nếu K là phần bù của môđun con

(⇐) Cho ϕ( )L ≤e M , thì ∀Y ≤Nsao cho L∩Y = 0 Do ϕ đẳng cấu

1.1.9 Mệnh đề Với mọi môđun con A của môđun M luôn tồn tại môđun con

T của M sao cho A⊕T ≤e M .

Chứng minh

Đặt S={X ≤M:X ∩A= 0}, vì 0 ∈S nên S ≠ ∅ Ta sắp thứ tự S theo quan hệ bao hàm Lấy tập con sắp thứ tự tuyến tính của S sao cho:

Thật vậy, ∀Y ≤M thỏa mãn (A⊕T)∩Y = 0 Ta có A∩Y = 0 và T ∩Y = 0 Nếu

có a∈A và t∈T,y∈Ysao cho a=t+ythì y=a−t∈A⊕T, ta suy ra y= 0và

Giả sử X K≤M K sao cho (K⊕B) K∩X K = 0, ta có K∩B= 0 và

(K⊕B)∩X =K Khi đó: 0 =(K ⊕B)∩ X ∩B=X ∩B Do tính tối đại của K, nên

1.2 MÔĐUN NỘI XẠ

1.2.1 Định nghĩa Cho M và N là các R – môđun

• Môđun M được gọi là N – nội xạ nếu với mọi

môđun con X của N, mọi đồng cấu f : X →Mđều mở

rộng thành đồng cấu g:N→M, tức là biểu đồ sau giao

hoán:

g o i= f , trong đó i là phép nhúng đồng cấu

• Môđun M gọi là tựa nội xạ nếu M là M – nội xạ.

• Môđun M gọi là môđun nội xạ nếu M là N – nội xạ, với mọi môđun N.

• Hai môđun M và N được gọi là nội xạ lẫn nhau nếu M là N – nội xạ và

N là M – nội xạ

• Bao nội xạ của môđun M, kí hiệu E(M), là môđun nội xạ bé nhất sao cho

M cốt yếu trong E(M)

1.2.2 Mệnh đề Cho M là R – môđun trái Khi đó :

(1) M là nội xạ khi và chỉ khi M = E(M).

(2) Nếu N ≤e M thì E(N) = E(M).

(3) Nếu M ≤Q và Q là môđun nội xạ thì Q=E( )M ⊕E'.

(4) Nếu ⊕A E( )Mα là nội xạ (đặc biệt, nếu A là hữu hạn) thì

= là tổng trực tiếp các môđun M i Khi

đó các phát biểu sau là tương đương:

(1) M là tựa nội xạ.

(2) M i là tựa nội xạ và M(I −i) là M i – nội xạ với mọi i∈I

1.2.4 Mệnh đề Môđun M là nội xạ khi và chỉ khi với mọi ideal trái I của R,

mọi đồng cấu f :I→M thì tồn tại m∈M để f( )x =xm, ∀x∈I

Chứng minh

M i

(⇒) Cho M là môđun nội xạ Lấy I là ideal trái của R, f I→Mlà đồng cấu môđun Vì R là R – môđun nên M là R – nội xạ Do đó, f mở rộng thành đồng cấu f * : R→M Đặt m=f *( ) 1 Khi đó: ∀x∈I, thì ( )x f( )x f x xf xm

f = 1 = * ( 1 ) = * ( 1 ) =

(⇐) Giả sử đã có điều kiện đủ, ta chứng minh M là N – nội xạ, với mọi môđun N Lấy X là môđun con tuỳ ý của N, g:X→M là đồng cấu bất kỳ Ta chứng minh tồn tại đồng cấu g* là mở rộng của g

2 1 2 2 1

1

1 α α

α

α

T o

T

T ,T ,T Ta chứng minh S thoả mãn bổ đề Zorn Lấy tập con

sắp thứ tự tuyến tính của S sao cho:

Ta định nghĩa α( )x = αk( )x Dễ dàng kiểm tra được α là đồng cấu Khi đó

(T ,α) là cận trên của dãy (a) Theo bổ đề Zorn, S có phần tử tối đại, kí hiệu

để g( )x =xm, ∀x∈I Như vậy, do B⊂ H, và theo cách xác định của h nên h là

mở rộng của β Điều này mâu thuẫn với tính tối đại của (B ,β) Vậy, B=N và

lấy g* = β Vậy g* là mở rộng của g □

Bây giờ ta chứng minh M là N A – nội xạ Lấy X A≤N A và

φ A A Suy ra ker π ≤ ker φ Do đó,

tồn tại đồng cấu β: N A→M sao cho βπ = φ Với

Hom

∈

)

( ⇒ Giả sử M là N – nội xạ, với ϕ ∈Hom(N,E( )M )

Đặt X ={n∈N: ϕ( )n ∈M} Dễ thấy X là môđun con của N Vì M là N – nội xạ,

( ) ⇐ Giả sử có ϕ( )N ≤M với mọi ϕ ∈Hom(N,E( )M ) Lấy X ≤N và f :X →M

là đồng cấu Vì E(M) là nội xạ, nên f mở rộng thành đồng cấu ϕ :N→E( )M

Theo giả thuyết ϕ( )N ≤M Vậy, f :X →M mở rộng thành đồng cấu ϕ :N →M

Đặt α = π 1N, β = π 2 N Vì N∩M2 = 0 nên α là đơn cấu và do M2 là M1 – nội

xạ nên tồn tại đồng cấu ϕ :M1 →M2 sao cho ϕα = β

Lấy K={m1+ϕ( )m1 :m1∈M1} Với mọi n∈N thì n=m1 +m2 Ta có ( )n β( )n

ϕα = hay ϕ( )m1 =m2, từ đây ta suy ra n=m1+ ϕ( )m1 ∈K Do đó, N ≤K Nếu có m1 ∈M1 và m2∈M2 sao cho m1 + ϕ( )m1 =m2thì m1 =m2 − ϕ( )m1 ∈M2, nên

m1 = 0 và m2 = 0 Như vậy, K ∩M2= 0 Mặt khác,

( )1 2 ( )1 2 1

2 1

f → là đồng cấu Đặt H ={x− f( )x :x∈X} Khi đó H là môđun con của

M và hiển nhiên H∩M2= 0 Theo giả thiết, tồn tại môđun con H’ của M sao cho M =H ' M⊕ 2 và H ≤H' Lấy π :M =H' ⊕M2 →M2 là phép chiếu Đặt

CHƯƠNG 2 CHIỀU GOLDIE MẠNH CỦA MÔĐUN

2.1 CHIỀU GOLDIE CỦA MÔĐUN

2.1.1 Định nghĩa Một môđun M trên vành R gọi là có chiều Goldie (hay

chiều đều) hữu hạn nếu không tồn tại một tổng trực tiếp vô hạn các môđun

con khác không trong M Ngược lại, ta nói M có chiều Goldie (hay chiều đều)

vô hạn.

2.1.2 Mệnh đề Nếu M là một môđun con khác không, không chứa tổng trực

tiếp vô hạn các môđun con khác không, thì M chứa môđun con đều.

Chứng minh.

- Nếu M là môđun đều : chứng minh xong

- Nếu M không là môđun con đều Khi đó tồn tại 0 ≠U U1 , ⊂M mà

U ∩ =U suy ra (U1 ⊕U)⊂M

+ Nếu U1 là môđun đều : chứng minh xong

+ Nếu U1 không là môđun đều, khi đó tồn tại V V1 , 2 ⊂U V V1 , , 1 2 ≠ 0 Mà

1 2 0

V ∩ =V suy ra (V1 ⊕V2) ⊂U1 suy ra tồn tại (V1 ⊕ ⊕V2 U) ⊂M Quá

trình này tiếp tục, do M không chứa tổng trực tiếp vô hạn các môđun con khác không, nên quá trình trên phải dừng lại sau hữu hạn bước

2.1.3 Mệnh đề Cho môđun M khác không có tính chất mọi môđun con là

chứa môđun đều Thế thì tồn tại môđun A là tổng trực tiếp các môđun đều và A

là môđun con cốt yếu trong M.

Ta có i I⊕∈ Ui = U1⊆ U2⊆ ⊆ Un⊆ suy ra

1

k k

U

∞

=

Theo bổ đề Zorn, trong T tồn tại phần tử tối đại A = i I⊕ ∈ Ui và ta có A ≤e M

bởi vì nếu A không là môđun cốt yếu trong M suy ra tồn tại B⊂M B, ≠ 0 mà

0

A B∩ = Theo giả thiết A chứa môđun đều V, suy ra A V∩ = 0 suy ra tồn tại A’ = A ⊕ V mà A ⊂ A’ , A ≠ A’, mâu thuẫn với tính tối đại của A

2.1.4 Bổ đề Giả sử M là môđun chứa một môđun con cốt yếu dạng U i , trong

đó U i là các môđun đều ∀i ∈ I Khi đó một môđun con N của M là cốt yếu trong M khi và chỉ khi N ∩ U i ≠ 0, ∀i ∈ I.

Ngược lại, giả sử N ⊂ M, N ∩ Ui ≠ 0, ∀i ∈ I Đặt Ni = N ∩ Ui , theo giả thiết

Ni ≠ 0, ∀i ∈ I Vì Ui là môđun đều suy ra Ni ≤e Ui, ∀i ∈ I Do có i I⊕∈ Ui , mà

Ni ⊆ Ui , ∀i ∈ I nên tồn tại tổng trực tiếp i I⊕∈ Ni và

N ∩ K = 0 suy ra K ∩ i I⊕∈ Ni = 0 Mâu thuẫn với (*)) □

2.1.5 Định lý Cho môđun M, nếu tồn tại các môđun U i đều, ∀i = 1,2,3, ,n

và i I⊕∈ U i ≤e M thì :

i) Mọi tổng trực tiếp của các môđun con khác không của M có nhiều nhất n hạng tử.

ii) Nếu tồn tại các môđun V i đều ∀i = 1,2,3, ,k và V 1⊕ ⊕ V k ≤e M thì n

= k.

Chứng minh.

i) Giả sử tồn tại A1 ⊕ ⊕ An+1 , trong M Ta sẽ chứng minh An+1 = 0 Do

A1 ∩ (A2 ⊕ ⊕ An+1) = 0 dẫn đến rằng A2 ⊕ ⊕ An+1 không là môđun con cốt yếu trong M

Theo bổ đề 2.1.4 thì tồn tại Ui, 1≤ i ≤ n để Ui∩ (A2 ⊕ ⊕ An+1) = 0

Không mất tính tổng quát, giả sử i = 1 ta có U1 ∩ (A2 ⊕ ⊕ An+1) = 0 suy ra tồn tại U1⊕ A2⊕ ⊕ An+1

Tiếp tục ta có (U1⊕ A3⊕ ⊕ An+1) ∩ U2 = 0 suy ra U1 ⊕ A3 ⊕ ⊕ An+1 không

là môđun con cốt yếu của M

Do đó tồn tại U2 để (U1 ⊕ A2⊕ ⊕ An+1) ∩ U2 = 0

Suy ra tồn tại U1⊕ U2 ⊕A3⊕ ⊕ An+1

Do U1⊕ U2 ⊕U3⊕ ⊕ Un là côt yếu trong M suy ra An+1 = 0 □

ii) Theo i) ta có k ≤ n và n ≤ k suy ra n = k (do vai trò của hai tổng trực tiếp

2.1.6 Định nghĩa Ta gọi dimM = n nếu tồn tại tổng trực tiếp hữu hạn U1⊕

U2 ⊕U3 ⊕ ⊕ Un ≤eM , với các môđun Ui đều, ∀i = 1,2,3, , n và n được gọi

là chiều Goldie ( chiều đều) của môđun.

Tóm lại, một R - môđun M có chiều Goldie n, kí hiệu là G.dim M = n nếu có

một môđun con cốt yếu V ≤e M là một tổng trực tiếp của n môđun con đều Mặt khác, nếu không có số nguyên n tồn tại, người ta viết G.dim M = +∞

Người ta gọi một R- môđun M có chiều Goldie hữu hạn nếu G.dim M < +∞

Vành R được gọi là có hữu hạn chiều phải nếu nó hữu hạn chiều đối với một R- môđun phải Các vành có chiều trái được định nghĩa tương tự

2.1.7 Một số tính chất của chiều Goldie hữu hạn

2.1.7.1 Mệnh đề.

i) Nếu dim M < ∞ thì dim A < ∞ với mọi A là môđun con của M.

ii) Nếu A, B là các môđun con của M và tồn tại A ⊕ B với dim (A ⊕ B) < ∞ thì dim (A ⊕ B ) = dim A + dim B

Chứng minh.

i) Giả sử A chứa tổng trực tiếp vô hạn các môđun con khác không Do A ⊂

M nên suy ra M chứa tổng trực tiếp vô hạn các môđun con khác không

Vậy M có chiều Goldie vô hạn Mâu thuẫn với giả thiết dim M < ∞

Vậy A không chứa tổng trực tiếp vô hạn các môđun con khác không hay dim

ii) Do A, B ⊂ (A ⊕ B ), theo giả thiết dim (A ⊕ B ) < ∞, nên theo i) dim A <

∞, dim B < ∞ Đặt dim A = n, dim B = m Do vậy trong A tồn tại

2.1.7.2 Bổ đề Nếu A là môđun con cốt yếu của M thì dim A = dim M.

2.1.7.3 Mệnh đề Cho K, M, L là R - môđun Nếu h : K → M là một đồng cấu và L ≤e M thì h -1 (L) ≤e K

2.1.7.4 Hệ quả Cho K là môđun con của môđun M.

π : M → M/K là một toàn cấu chính tắc

Nếu π(S) ≤e π(M) thì S + K ≤e M

2.1.7.5 Chú ý Điều ngược lại của hệ quả trên không đúng Điều đó có nghĩa

là tồn tại một môđun M, hai môđun con S và K của M thỏa mãn S ≤e M nhưng

π(S) không cốt yếu trong M/K với π ánh xạ chính tắc từ M vào M/K

2.1.7.6 Ví dụ Lấy M = Z nhóm các số nguyên, R = Z vành các số nguyên,

S=2Z, K=6Z M là một môđun trên R, hai môđun con S và K thỏa mãn S ≤e

M và π(S) = π (2Z) = 2Z / 6Z = { }0 ,2 ,4 không cốt yếu trong

Bây giờ ta kiểm tra tổng A+B+K là tổng trực tiếp Cho a + b + k = 0 với a ∈

A, b ∈ B, k ∈ K Kéo theo b = – a – k ∈ K1IK2 = K Khi đó b ∈

0

B K ∩ = , vì vậy b = 0 Lúc này a ∈ A K ∩ = 0, do đó a = 0 và k = 0 Vì vậy, tổng A+B+K là tổng trực tiếp Khi A B ⊕ ⊕ ≤ K e K1+ K2, ta có :

2.2 CHIỀU GOLDIE MẠNH CỦA MÔĐUN

2.2.1 Định nghĩa Một R- môđun M có chiều Goldie mạnh n, kí hiệu là

SG.dim M = n, nếu Sup { G.dim ( M/N ) | N ≤ M } = n M được gọi là hữu

hạn chiều mạnh nếu SG.dim M < +∞

Vành R được gọi là có hữu hạn chiều phải mạnh nếu nó hữu hạn chiều mạnh đối với R- môđun phải Các vành có chiều hữu hạn trái mạnh được định nghĩa tương tự

2.2.2 Ví dụ Nếu một vành R là hữu hạn chiều phải mạnh thì nó là hữu hạn

chiều phải Nhưng chiều ngược lại không đúng, ngay cả khi nếu R là một vành noether giao hoán

Chứng minh

Ví dụ Lấy R = Z , khi đó R là một vành noether giao hoán Nhưng nó không hữu hạn chiều mạnh Vì mỗi idean của Z có dạng nZ với

2.2.3 Mệnh đề Nếu N là môđun thương của M, thì SG.dim N ≤ SG.dimM.

2.2.4 Bổ đề Cho 0 → A → B → C → 0 là một dãy khớp các môđun.

Khi đó G.dim B ≤ G.dim A + G.dim C.

2.2.5 Mệnh đề Cho 0 → A → B → C → 0 là một dãy khớp các môđun.

Khi đó SG.dim B ≤ SG.dim A + SG.dim C.

Với K tùy ý, ta có SG.dim B ≤ SG.dim A+SG.dim C □

2.2.6 Hệ quả SG.dim (A+B) ≤ SG.dim A + SG.dim B

Ta chỉ cần chứng minh với n = 2, các trường hợp khác tương tự Với

bất kỳ môđun thương Ki của Mi , với i=1,2

Dễ thấy K1⊕K2 là môđun thương của M1⊕M2

Khi đó theo định nghĩa,