Bổ đề schwarz và các giả khoảng cách bất biến

Mở đầuXuất phát từ bổ đề Schwarz cổ điển, vào cuối những năm 60, S.Kobayashi vàmột số nhà toán học khác đã xây dựng các giả khoảng cách bất biến qua các ánh xạ song chỉnh hình.. đã chứng

Bộgiáo dục và đào tạo Trờng Đại học Vinh

2 Hình học hyperbolic của đĩa đơn vị 6

Chơng II: Giả khoảng cách Caratheodory và giả mêtric

Mở đầu

Xuất phát từ bổ đề Schwarz cổ điển, vào cuối những năm 60, S.Kobayashi vàmột số nhà toán học khác đã xây dựng các giả khoảng cách bất biến qua các

ánh xạ song chỉnh hình Những công trình tiếp theo của nhiều nhà toán học

đã hình thành nên một hớng nghiên cứu mới, đó là giải tích hyperbolic Nhiềucông trình gần đây của Lang, Vojta, Falltings, Noguchi, đã chứng tỏ các giảkhoảng cách bất biến ngày càng đóng vai trò khá cơ bản của giải tích phức,hình học vi phân, số học

Mục tiêu của luận văn là bớc đầu tìm hiểu giả khoảng cách Caratheodory vàgiả khoảng cách Kobayashi theo lợc đồ: Xuất phát từ bổ đề Schwarz xây dựngkhái niệm và xét một số tính chất của các giả khoảng cách nói trên, chứngminh chi tiết các tính chất ấy

Luận văn gồm 3 chơng: Chơng I, sau phần mở đầu, chúng tôi trình bàykhái niệm giả khoảng cách Caratheodory và dựa trên bổ đề Schwarz chỉ ratính bất biến và một số tính chất của giả khoảng cách Caratheodory, giảkhoảng cách Caratheodory - Reiffel trên đĩa đơn vị

Chơng II: Trình bày sự tổng quát hoá các kết quả của chơng I trên Cn

Chơng III: Trình bày sự xây dựng giả khoảng cách bất biến Kobayashi, đó làgiả khoảng cách bất biến lớn nhất trong các giả khoảng cách bất biến bị giảmqua ánh xạ chỉnh hình, và một số tính chất cơ bản của chúng

Luận văn đợc hoàn thành dới sự hớng dẫn nhiệt tình và tận tụy của PGS-TSTrần Ngọc Giao Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy

Tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy: TS Nguyễn Hữu Quang;

TS Nguyễn Ngọc Bội; TS Nguyễn Duy Bình đã đọc luận văn và góp nhiều ýkiến quý báu cho tác giả

Tác giả xin chân thành cảm ơn các Thầy Cô giáo khoa Toán trờng Đại họcVinh, khoa Sau đại học, trờng PTTH Phan Đăng Lu cùng các bạn bè đồngnghiệp đã giúp đỡ và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả suốt trong quátrình thực hiện đề tài

Ch ơng I:

giả khoảng cách Caratheodory

trên đĩa đơn vị

Trong chơng này, trớc hết chúng ta nhắc lại các khái niệm cơ bản có liênquan đến đề tài, nh là: Khái niệm hàm chỉnh hình, ánh xạ chỉnh hình, đa tạp,

đa tạp phức; hàm điều hoà dới, hàm đa điều hoà dới, không gian tiếp xúc, Tiếptheo, chúng tôi đa ra các định nghĩa: Khoảng cách Mebiuss (m), khoảng cáchPoincare (khoảng cách hyperbolic Poincare (p)), các hàm L(), ; khái niệmm- độ dài của cung , khái niệm p- độ dài của cung , khái niệm cầu trờng đ-

ợc Từ đó chúng tôi nêu lên và chứng minh chi tiết các tính chất cơ bản của

Ngời ta chứng minh đợc định nghĩa 1.1.2 tơng đơng với định nghĩa sau:

1.1.3 Định nghĩa:  mở trong Cn, f là hàm biến phức trong , f gọi làchỉnh hình nếu đối với mọi điểm a   tồn tại chuỗi lũy thừa C(z-a) hội tụ

đến f(z) đối với tất cả z trong mọi lân cận của a

1.1.4 Định nghĩa (Đa tạp): Giả sử V là không gian tôpô Hausdorff Ta nói

rằng V là đa tạp (hay Co- đa tạp hay Ơclít địa phơng) có số chiều n nếu ở mỗi

điểm a  V tìm đợc lân cận mở đồng phôi với tập mở trong Rn

1.1.5 Định nghĩa (C k - đa tạp): Giả sử V là không gian tôpô Hausdorff và

0  k   Ta nói rằng V là Ck- đa tạp hay đa tạp (khả vi) lớp Ck và có sốchiều n nếu có một họ các cặp (U i, i) trong đó i chạy qua các tập chỉ số J, U i

là tập con mở của V và i là những ánh xạ đồng phôi của U i lên tập mở trong

Rn thỏa mãn những điều kiện sau:

J i i



V U

b) Đối với các i, j tùy ý thuộc J sao cho U j  U i   ánh xạ:

j o i-1 = i(U i  U j)  j(U i  U j) thuộc lớp Ck

Cặp (U i, i) đợc gọi là một bản đồ địa phơng.

{(U i, i)}iJ đợc gọi là tập bản đồ trên V

Nếu có thể chọn (U i, i)iJ sao cho: khi U i  U j   những ánh xạ

j o i-1 : j(U i  U j)  Rn là R- giải tích thì ta nói rằng V là đa tạp R- giải tích.

Ta chỉ số chiều của đa tạp bằng ký hiệu: dimV = dimRV

1.1.7 Định nghĩa: (Vectơ tiếp xúc, không gian tiếp xúc)

Cho V là một đa tạp khả vi, ánh xạ : [-1, 1]  V, (0) = a  V đợc gọi là

đờng cong khả vi đi qua a Ký hiệu La = tất cả các đờng cong khả vi trên V

đi qua a

Gọi (U, ) là bản đồ địa phơng tại a

Trên La xét quan hệ tơng đơng: "~"

 ~   (  )'(0) = (  )'(0)

Vậy  ~   các đờng cong  và  có cùng tiếp tuyến tại (a) (trong

Rn)

Mỗi lớp tơng đơng a các đờng cong (La) theo quan hệ tơng đơng trên gọi

là một vectơ tiếp xúc với đa tạp V tại a Ta gọi tập Ta(V) là tập gồm tất cả cácvectơ tiếp xúc tại a của V thì Ta(V) gọi là không gian tiếp xúc với V tại a

Ký hiệu: TX = 

X a

a X T



) ( ;

a

X TX :

a 



 p

Khi đó (TX, p, X) là một phân thớ vectơ, mỗi thớ là p-1(a) = Ta(X)

1.1.8 Định nghĩa: Một hàm thực thuộc C2 đợc gọi là hàm điều hoà trong

miền   Cn nếu nó thỏa mãn phơng trình Laplacce:

0

2 2 2

u

z = x + yi  

1.1.9 Định nghĩa: Hàm thực u, -  u < + xác định trong lân cận của

điểm z0  C đợc gọi là nửa liên tục trên z0 nếu với  > 0 bất kỳ, tìm đợc  >

0 sao cho nếu z - z0 <  thì:

u(z) - u(z0) <  nếu u(z0)  -

u(z) < --1 nếu u(z0) =-

hay hệ thức tơng đơng: u(z)u(z 0 )

 z0

1.1.10 Định nghĩa: Hàm u nửa liên tục trên trong miền   C đợc gọi là

điều hoà dới trong miền  nếu với mọi hình tròn U đủ bé bất kỳ và hàm h bất

kỳ điều hoà trong U, liên tục trong U mà h > u trên  U thì h  u trong C Nếu thay không gian một chiều phức C bởi Cn(n > 1) trong Định nghĩa

1.1.9 ta có khái niệm hàm nửa liên tục trên trong miền   Cn

1.1.11 Định nghĩa: Hàm  nửa liên tục trên trong miền   Cn đợc gọi

là đa điều hoà dới trong miền đó nếu đối với mỗi điểm z0   và đờngthẳng giải tích z = l() = z0 +  tùy ý, trong đó   Cn,   C thì hạn

chế của  lên đờng thẳng này, tức là hàm l() là điều hoà dới trong tập mở

u

x x ) ( j 1

2

2 2 1

2

n

x x

2 hình học hyperbolic của đĩa đơn vị

1 log 2

1

)

m- đợc gọi là khoảng cách Mebius

p- đợc gọi là khoảng cách Poincaré (khoảng cách hyperbolic Poincaré)

a) Theo bổ đề Schwarz-Pick cổ điển, ta có:

" '

1

" '

)

"

( )

' (

1

)

"

( )

' (

f f

', "  E

 m(f('), f("))  m(', ") ', "  E 

b) Cũng theo bổ đề Schwarz-Pick cổ điển, ta có:

2 2

1

1 ) ( 1

) ( f'

1

" '

)

"

( )

' ( 1

)

"

( )

' (

f f

1

1 ) (

1

) (

f nên (i)  (ii); (i)  (v)  (ii)  (v)

Rõ ràng (ii)  (iii); (iv)  (v)

Ta chứng minh (iii)  (ii) và (v)  (iv) Điều này đợc khẳng định nhờ định

(Topm: là tôpô xác định bởi m trên E Topp: là tôpô xác định bởi p trên E)

Vì z  Bm(a, r) 

a z

a z a

z

a z

r

a z

a z

1 = h-a(z)

Ta chứng minh z'  Bm(a, r), tức chứng minh: z a

a z ' 1

h a

) ( 1

) (

a -

Vậy Topm = TopE (1) Vì (E, || ||) đầy đủ  (E, m) đầy đủ 

* Ta có BP(a, r) = Bm(a, tanh(r)); a  E, r > 0

Vì z  BP(a, r)  p(z, a) < r  tanh-1m(z, a) < r

 m(z, a) < tanh(r)  z  Bm(a, tanh(r))Ngợc lại: z  Bm(a, tanh(r))  m(z, a) < tanh(r)

 tanh-1m(z, a) < r  z  BP(a, r)  Tôpô xác định bởi p và m trùng nhau: Topm = Topp (2)

Từ (1) và (2) ta có: Topm = Topp = TopE

Và vì (E, m) đầy đủ  (E, p) đầy đủ 

1.2.8 Mệnh đề:

( a)

lim

lim

"

'

"

, '

"

'

a a

, a  E

Chứng minh:

(a)

a

1 1

"

' lim

"

' ', "

"

' ', "

Mặt khác ta cũng có:

1

1

(t)

tanh

Từ (1) và (2) có điều phải chứng minh 

1.2.9 Định nghĩa: Giả sử : [0, 1]  E đờng cong trơn

j

j

t p

1

j

1 ), (t ) ( , N  N,

Số LP()  [0, +) gọi là p- độ dài của cung 

Nếu LP() < + thì ta nói p cầu trờng đợc

j

j

t m

1

j

1 ), (t ) ( , N  N,

Số Lm()- gọi là m độ dài của cung 

Nếu Lm() < + thì ta nói m cầu trờng đợc

1.2.11 Tính chất:

a) Khái niệm m, p- cầu trờng đợc của đờng cong trùng với khái niệm

Ơclít-cầu trờng đợc, và ngoài ra: Lm = LP; Lm = LP = L của cung trơn từng khúc

0 = t0 < < tN =





 1

Mặt khác, do

( a )

"

'

"

, '

a a

"

' ', "

t t

t t

p

suy ra

LP() - L() <   LP() = L() (2)

Từ (1) và (2) có LP() = Lm() = L() 

b) * Vì pi(a, b) Def infLP(); : [0, 1]  E

 cung nối a với b, a, b  E

pi(a, b) = LP(a,b) = p(a, b)

* Vì mi(a, b) Def infLm(); : [0, 1]  E

 cung nối a với b, a, b  E

mi(a, b) = Lm(a,b) = LP(a,b) = p(a, b)

Vậy pi = p; mi = p

 mi = pi = p 

1.2.12 Mệnh đề:

Isom(m) = Isom(p) = Isom() = Aut(E)  Aut (E )

(Isom(m) = f  H(E, E), f bảo toàn khoảng cách m

1 ) ( 1

) (

x

x x

f

x f

Vì thế Ref() = Re;   E Và kết quả là:

f()   hoặc f()    f  Aut(E) hoặc f  Aut(E)

Nếu f  Isom(), f  C1 thì:

(f()f'() = ()  f'() =

)) ( (

) (

) (

sao cho f'x() = ()i f'y()  0

Từ đó đạo hàm riêng liên tục của hàm số theo  là hằng số và kết quả

là f đồng cấu hoặc phản đồng cấu Vì thế bằng Bổ đề Schwarz-Pick,

f  Aut(E)  Aut (E )

Tóm lại: Isom(p) = Isom() = Isom(E) = Aut(E)  Aut (E ) 

1.2.13 Mệnh đề: Hàm logp là đa chiều dới ngặt trên E  E (, )

Đặc biệt logp  PSH(E  E)

(PSH(E  E): tập tất cả các hàm đa điều hoà dới trên E  E)

Chứng minh:

Đặt u = logp, với a,b  E, a  b và h = ha,b

(ha,b  Aut(E): h(a) = 0, h(b)  (0, 1), a,b  E, a  b)

0 < t < 1; ,   C.

ë ®©y T = tanh-1; T(t) > t

Suy ra ®iÒu ph¶i chøng minh 

Ch ơng II:

Giả khoảng cách Caratheodory và giả mêtric

Trong chơng này ta sẽ nghiên cứu các hàm m, p,  cho trên miền

G  Cn tùy ý Cụ thể nh là: G là miền cân, G là C-hyperbolic, G là - hyperbolic,nghiên cứu tôpô Caratheodory, Caratheodory hyperbolic, tính chất cơ bản của

C* và - độ dài của đờng cong đối với giả khoảng cách Caratheodory

= Suptanh-1(m(f(z'), f(z"))  = = tanh-1(C*

Mặt khác: Vì tanh-1(t) =

1

1 log 2

1



 t

2.1.4 Mệnh đề: Giả khoảng cách Caratheodory C*

G và giả mêtricCaratheodory-Reiffen G là cực tiểu theo nghĩa sau:

* C*

G(z', z") = Supm(F(z'), F(z")); z', z"  G, F  H(G, E) =

= SupdE(F(z'), F(z")); z', z"  G, F  H(G, E)   dG(z', z") (do dE  dG)  C*

f  H(G~ ) sao cho f~ = f trên G0 Khi đó với mỗi f  H (G)

 f~  H(G~ ) và ~

~ G

G).

Đặc biệt: Nếu G0 = G  G~ thì G~ là H thác triển của G

 H (G)  H(G)G ( 1 )

 H(G, E) ( 2 )

 H(G, E)G

Chứng minh (1): G~ là H thác triển của G thì f  H(G)  tồn

tại duy nhất ~

f  H(G~ ) sao cho f~ = f trên G0 = G

Vậy f  H (G)  f = ~

f  H(G~ )G  H (G)  H(G~ )GNgợc lại: f  H (G)  f  H( ~

Khi đó ta có: G = z  Cn: h(z) < 1

G(0, .) = h trên G  (Ca)iii) G(0, a) = h(a)

iv) G(0, .) = h trên Ca

v) Tồn tại phiếm hàm C- tuyến tính:

L: Cn  C với L  h và L(a) = h(a)

Chứng minh: a) i) Cố định a  G, có hai khả năng xảy ra:



.a

ánh xạ này chỉnh hình trên E  h(a) 

) (

) ( a h

a h

) ( 0

a h

a h

Cố định a  Cn, có hai khả năng xảy ra:

1

 h(a) = h(a) (vì E(0, 1) = (0))

 G(0, .)  h trên Cn Vậy G(0, .)  h trên Cn 

b) Nhận xét: Nếu điểm a thỏa mãn (v) thì a (  C) cũng thỏa mãn (v).

(Vì L(a) = L(a) = h(a) = h(a))

Theo định lý Hahn-Banach, tồn tại phiếm hàm tuyến tính L: Cn  C sao cho:

LCa = h và L  G(0, .)Vậy h  G(0, .) trên Cn

Kết hợp với (a): G(0, .)  h trên Cn , ta có: G(0, .) = h trên Cn.Vậy ta có (v)  (iv)  (iii)  (v)  (ii)  (i)

Ta cần chứng minh (i)  (v)

Giả sử có (i), cho f  (H(G, E), f(0) = 0 và f là hàm cực đại của C*(0, a),nghĩa là f(a) = C*

G(0, h) = h(a)

 Trờng hợp h(a) = 0 thì (i)  (v) là tầm thờng

 Trờng hợp h(a) > 0: Ta định nghĩa:

   H(E, E) và (h(a)) = f(a) = h(a)

Theo bổ đề Schawrz cổ điển, ta có:

(Vì '() =

) (a h

h ( ).  '(0) =

) (a h

a

f'(0)  f'(0)a = '(0)h(a).Vậy có (v) 

2.2.3 Mệnh đề: Các khẳng định sau là tơng đơng:

i) C*

G(0, .) = h trên Gii) G(0, .) = h trên Cniii) h là nửa chuẩniv) G là lồi

Chứng minh: * Theo Mệnh đề 2.2.2 có (i)  (ii)

* Theo ii)  iii): vì (0, .) là nửa chuẩn, nên từ G(0, .) = h  h là nửa chuẩn

* iii)  i): vì h nửa chuẩn, bằng định lý Hahn-Banach, điều kiện (v) ở b)

(Mệnh đề 2.2.2) đúng với a  Cn thì iii)  i)

* iii)  (iv) hiển nhiên 

2.2.4 Mệnh đề: G(0, .) = 

h Trong đó 

h là phiếm hàm Minkowski trên 

G ( 

G là bao lồi của G;



h = Supq: Cn  R+, q nửa chuẩn, q  h)

Chứng minh: Ta có G(0, .) là nửa chuẩn, từ a) của Mệnh đề 2.2.2 suy ra

L : Cn  Cn sao cho q2  L = q1Nghĩa là G1 và G2 tơng đơng tuyến tính

b) Cho G = Gh là miền cân, giới nội trong Cn, các điều kiện sau đây tơng

đơng:

i) Gh , Bn là tơng đơng tuyến tính

(Bn : hình cầu Ơclít trong Cn)ii) h2  C2(Cn)

2

2 2

2

2 2

(0)zJ z K , z  Cn

h2 là dạng Hermitian  ta có i) 

2.2.6 Mệnh đề: Nếu G = Gq là miền lồi, cân trong Cn, a  G và nếu

ha  Aut(G) sao cho ha(a) = 0 thì C*

G = 0  C*

G kh«ng lµ kho¶ng c¸ch.Cho H (G) t¸ch c¸c ®iÓm trong G, v× C*

G lµ gi¶ kho¶ng c¸ch, nªn chØcÇn chøng minh C*

G(z1, z2)  0, dÊu "=" x¶y ra th× z1 = z2.ThËt vËy: C*

G(a, x) = Sup(f(a))f'(a)x, f  H(G, E), a  G, x  Cn

 G(a, x)  0 DÊu "=" x¶y ra  x = 0

Ta chứng minh iii)  i); iii)  ii):

Giả sử có iii), cho f0  H (G), a1, a2  G sao cho f0(a1)  f0(a2) Đặt:

j 0

0

a z )

( '

a

\ G z ) ( ) (

j j j

a f

a z

a f z f

thì fj  H (G); j = 1, 2

Ta kiểm tra đợc rằng f0, f1, f2 là tách các điểm trong G và rank(f'0, f'1, f'2) = 1trên G  G là C- hyperbolic và - hyperbolic 

2.3.4 Mệnh đề: Nếu G  Cn là một miền song chỉnh hình với một miền

bị chặn, khi đó G là C- hyperbolic và - hyperbolic

Chứng minh: ta giả thiết G bị chặn, R = dian(G) (trong không gian Ơclít).

Theo Bổ đề Schwarz tổng quát, và mệnh đề 2.2.3, ta có:

G)  tanhCG = C*

G Do đó C*

G(a, z) < tanh(r)

 tanhCG < tanhr  CG < r

Vậy BCG(a, r) = BC*G(a, tanh(r)).

2.4.3 Mệnh đề:

a) C*

G là liên tục Đặc biệt: TopC*

G  TopGb) Nếu G là song chỉnh hình với một miền bị chặn thì TopC*

G(a, .) = Supf, f  H(G, E), f(a) = 0

Tập này liên tục đồng bậc, vì vậy C*

G(a, .) là liên tục

G(a0, .), f  H (G)  f(av) f(a0) với f  H (G)

Từ H (G)  C theo mệnh đề 2.3.3 tồn tại f0  H (G), f0  O với f0(a0)

G ) thì C*

G V C*

G và G V G b) logCG  psh(G  G), logC*

G là tách điều hoà dới, tức là mỗi a  G hàmlogC*

x z

z

z

a z

Chú ý rằng, theo tính liên tục của G điều kiện d) tơng đơng với điều kiện sau:(d') Cho K compact  G và   > 0,  > 0 sao cho:

C*G(z', z") - G(a; z' - z")   z' - z", a  K; z', z"  B(a, )  G

Chứng minh:

a) Sử dụng chứng minh Montel

b) Ta có logCG = Sup(logp).f : f  H(G, E)

Với G  G  (z', z") f (f(z'), f(z"))  E  E

Và sử dụng 2.1.13, phụ lục PSH 14 [7], ta có điều phải chứng minh 

c) Cho B(a, 2r)  G chúng ta sẽ chứng minh rằng:

Việc còn lại là đánh giá G(z', x') - G(z", x')