Bổ đề schwarz và các giả khoảng cách bất biến

6 Ch-ơng II: Giả khoảng cách Caratheodory và giả mêtric... Mở đầuXuất phát từ bổ đề Schwarz cổ điển, vào cuối những năm 60, S.Kobayashi và một số nhà toán học khác đã xây dựng các giả kh

Bộgiáo dục và đào tạo Tr-ờng Đại học Vinh

2 Hình học hyperbolic của đĩa đơn vị 6

Ch-ơng II: Giả khoảng cách Caratheodory và giả mêtric

Mở đầu

Xuất phát từ bổ đề Schwarz cổ điển, vào cuối những năm 60, S.Kobayashi và

một số nhà toán học khác đã xây dựng các giả khoảng cách bất biến qua các

ánh xạ song chỉnh hình Những công trình tiếp theo của nhiều nhà toán học

đã hình thành nên một h-ớng nghiên cứu mới, đó là giải tích hyperbolic

Nhiều công trình gần đây của Lang, Vojta, Falltings, Noguchi, đã chứng tỏ

các giả khoảng cách bất biến ngày càng đóng vai trò khá cơ bản của giải tích

phức, hình học vi phân, số học

Mục tiêu của luận văn là b-ớc đầu tìm hiểu giả khoảng cách Caratheodory và

giả khoảng cách Kobayashi theo l-ợc đồ: Xuất phát từ bổ đề Schwarz xây

dựng khái niệm và xét một số tính chất của các giả khoảng cách nói trên,

chứng minh chi tiết các tính chất ấy

Luận văn gồm 3 ch-ơng: Ch-ơng I, sau phần mở đầu, chúng tôi trình bày

khái niệm giả khoảng cách Caratheodory và dựa trên bổ đề Schwarz chỉ ra

tính bất biến và một số tính chất của giả khoảng cách Caratheodory, giả

khoảng cách Caratheodory - Reiffel trên đĩa đơn vị

Ch-ơng II: Trình bày sự tổng quát hoá các kết quả của ch-ơng I trên Cn

Ch-ơng III: Trình bày sự xây dựng giả khoảng cách bất biến Kobayashi, đó là

giả khoảng cách bất biến lớn nhất trong các giả khoảng cách bất biến bị giảm

qua ánh xạ chỉnh hình, và một số tính chất cơ bản của chúng

Luận văn đ-ợc hoàn thành d-ới sự h-ớng dẫn nhiệt tình và tận tụy của

PGS-TS Trần Ngọc Giao Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy

Tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy: TS Nguyễn Hữu Quang;

TS Nguyễn Ngọc Bội; TS Nguyễn Duy Bình đã đọc luận văn và góp nhiều ý

kiến quý báu cho tác giả

Tác giả xin chân thành cảm ơn các Thầy Cô giáo khoa Toán tr-ờng Đại

học Vinh, khoa Sau đại học, tr-ờng PTTH Phan Đăng L-u cùng các bạn bè

đồng nghiệp đã giúp đỡ và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả suốt trong

quá trình thực hiện đề tài

Ng-ời ta chứng minh đ-ợc định nghĩa 1.1.2 t-ơng đ-ơng với định nghĩa sau:

1.1.3 Định nghĩa:  mở trong Cn, f là hàm biến phức trong , f gọi là chỉnh hình nếu đối với mọi điểm a   tồn tại chuỗi lũy thừa C(z-a) hội

tụ đến f(z) đối với tất cả z trong mọi lân cận của a

1.1.4 Định nghĩa (Đa tạp): Giả sử V là không gian tôpô Hausdorff Ta nói

rằng V là đa tạp (hay Co- đa tạp hay Ơclít địa ph-ơng) có số chiều n nếu ở

mỗi điểm a  V tìm đ-ợc lân cận mở đồng phôi với tập mở trong Rn

1.1.5 Định nghĩa (C k - đa tạp): Giả sử V là không gian tôpô Hausdorff và

0  k   Ta nói rằng V là Ck- đa tạp hay đa tạp (khả vi) lớp Ck và có số

chiều n nếu có một họ các cặp (Ui, i) trong đó i chạy qua các tập chỉ số J, Ui

là tập con mở của V và i là những ánh xạ đồng phôi của Ui lên tập mở trong

Rn

thỏa mãn những điều kiện sau:

J i

Không gian tôpô Hausdoocfơ V đ-ợc gọi là đa tạp phức có số chiều n nếu

có một họ (Ui, i)i J trong đó i là những ánh xạ đồng phôi của Ui lên tập

mở trong Cn, Ui tập con mở của V, và j i-1 chỉnh hình trong i(Ui  Uj)

đối với tất cả i, j Ta ký hiệu số chiều (phức) của V là n = dimV = dimCV

1.1.7 Định nghĩa: (Vectơ tiếp xúc, không gian tiếp xúc)

Cho V là một đa tạp khả vi, ánh xạ : [-1, 1]  V, (0) = a  V đ-ợc gọi

là đ-ờng cong khả vi đi qua a Ký hiệu La = tất cả các đ-ờng cong khả vi

trên V đi qua a

Gọi (U, ) là bản đồ địa ph-ơng tại a

Ký hiệu: TX = 

X a

a XT



)( ;

a

XTX :

a 



p

Khi đó (TX, p, X) là một phân thớ vectơ, mỗi thớ là p-1(a) = Ta(X)

1.1.8 Định nghĩa: Một hàm thực thuộc C2 đ-ợc gọi là hàm điều hoà trong miền   Cn nếu nó thỏa mãn ph-ơng trình Laplacce:

0

2

2 2

u

z = x + yi  

1.1.9 Định nghĩa: Hàm thực u, -  u < + xác định trong lân cận của

điểm z0  C đ-ợc gọi là nửa liên tục trên z0 nếu với  > 0 bất kỳ, tìm đ-ợc

 > 0 sao cho nếu z - z0 <  thì:

u(z) - u(z0) <  nếu u(z0)  -u(z) < --1

nếu u(z0) =-hay hệ thức t-ơng đ-ơng: u(z)u(z 0 )

 z0

1.1.10 Định nghĩa: Hàm u nửa liên tục trên trong miền   C đ-ợc gọi

là điều hoà d-ới trong miền  nếu với mọi hình tròn U đủ bé bất kỳ và hàm h bất kỳ điều hoà trong U, liên tục trong U mà h > u trên U thì h  u trong C

Nếu thay không gian một chiều phức C bởi Cn(n > 1) trong Định nghĩa 1.1.9 ta có khái niệm hàm nửa liên tục trên trong miền  Cn

1.1.11 Định nghĩa: Hàm  nửa liên tục trên trong miền   Cn đ-ợc gọi

là đa điều hoà d-ới trong miền đó nếu đối với mỗi điểm z0   và đ-ờng thẳng giải tích z = l() = z0 +  tùy ý, trong đó   Cn,   C thì hạn

chế của  lên đ-ờng thẳng này, tức là hàm l() là điều hoà d-ới trong tập

u

xx)

1 ,

2

2 2 1

2

n

xx

2 hình học hyperbolic của đĩa đơn vị

1log2

1

)

m- đ-ợc gọi là khoảng cách Mebius

p- đ-ợc gọi là khoảng cách Poincaré (khoảng cách hyperbolic Poincaré)

i) f  Aut(E)- tập tất cả các tự đẳng cấu của E  Cn

"

' )

"

()'(1

)

"

()'(

ff

', "  E

 m(f('), f("))  m(', ") ', "  E 

b) Cũng theo bổ đề Schwarz-Pick cổ điển, ta có:

2 2

1

1 )(1

)(f'

"

' )

"

()'(1

)

"

()'(

ff

1

1 )(

1

)(

f nên (i)  (ii); (i)  (v)  (ii)  (v)

Rõ ràng (ii)  (iii); (iv)  (v)

Ta chứng minh (iii)  (ii) và (v)  (iv) Điều này đ-ợc khẳng định nhờ

định lý duy nhất 

1.2.6 Mệnh đề:

a) Nếu p: E  E  R+

f: E  E; f  H(E, E) thì: p(f('), f("))  p(', "); ', "  E

§Æc biÖt p bÊt biÕn qua Aut(E)

V× z  Bm(a, r) 

az

aza

z

az

r

az1

az

1 = h-a(z)

Ta chøng minh z'  Bm(a, r), tøc chøng minh:

az

az'1

'



 < r

Thật vậy:

az

az'1

'



azh

az

ha

)(1

)(

a -

-

 = hah-a(z) = z < r

Vậy Topm = TopE (1) Vì (E, || ||) đầy đủ  (E, m) đầy đủ 

* Ta có BP(a, r) = Bm(a, tanh(r)); a  E, r > 0

Vì z  BP(a, r)  p(z, a) < r  tanh-1m(z, a) < r

 m(z, a) < tanh(r)  z  Bm(a, tanh(r)) Ng-ợc lại: z  Bm(a, tanh(r))  m(z, a) < tanh(r)

 tanh-1m(z, a) < r  z  BP(a, r)  Tôpô xác định bởi p và m trùng nhau: Topm = Topp (2)

Từ (1) và (2) ta có: Topm = Topp = TopE

Và vì (E, m) đầy đủ  (E, p) đầy đủ 

1.2.8 Mệnh đề:

(a)

"

'

a

Chứng minh:

(a) a-1

1

"

'

"

'1

"

'lim

"

'

"

, '

Từ (1) và (2) có điều phải chứng minh 

1.2.9 Định nghĩa: Giả sử : [0, 1]  E đ-ờng cong trơn

1

j

1), (t )( , N  N,

Số LP()  [0, +) gọi là p- độ dài của cung 

Nếu LP() < + thì ta nói p cầu tr-ờng đ-ợc

1

j

1), (t )( , N  N,

Số Lm()- gọi là m độ dài của cung 

Nếu Lm() < + thì ta nói m cầu tr-ờng đ-ợc

1.2.11 Tính chất:

a) Khái niệm m, p- cầu tr-ờng đ-ợc của đ-ờng cong trùng với khái niệm

Ơclít- cầu tr-ờng đ-ợc, và ngoài ra: Lm = LP; Lm = LP = L của cung trơn từng khúc

)

"

,' p(

)

"

,' m(

"

'

"

,'lim

"

'

"

,'

"

'

'

"

,'lim

"

'

(

dtttt

t

ttp

pi(a, b) = LP(a,b) = p(a, b)

* Vì mi(a, b)

Def

 infLm(); : [0, 1]  E  cung nối a với b, a, b  E

mi(a, b) = Lm(a,b) = LP(a,b) = p(a, b)

Vậy pi = p; mi = p

 mi = pi = p 

1.2.12 Mệnh đề:

Isom(m) = Isom(p) = Isom() = Aut(E)  Aut(E)

(Isom(m) = f  H(E, E), f bảo toàn khoảng cách m

T-ơng tự Isom(p), Isom())

Chứng minh: f  Aut(E)  f  Isom(p)

0

1 )(1

)(

x

xx

f

xf

)(

)(

Từ đó đạo hàm riêng liên tục của hàm số theo  là hằng số và kết quả

là f đồng cấu hoặc phản đồng cấu Vì thế bằng Bổ đề Schwarz-Pick,

f  Aut(E)  Aut(E)

Tóm lại: Isom(p) = Isom() = Isom(E) = Aut(E)  Aut(E) 

1.2.13 Mệnh đề: Hàm logp là đa chiều d-ới ngặt trên E  E(, )

Đặc biệt logp  PSH(E  E)

(PSH(E  E): tập tất cả các hàm đa điều hoà d-ới trên E  E)

Chøng minh:

§Æt u = logp, víi a,b  E, a  b vµ h = ha,b

(ha,b Aut(E): h(a) = 0, h(b)  (0, 1), a,b  E, a  b)

Ch-ơng II:

Giả khoảng cách Caratheodory và giả mêtric

Caratheodory-reiffen trên c n

Trong ch-ơng này ta sẽ nghiên cứu các hàm m, p,  cho trên miền

G  Cn tùy ý Cụ thể nh- là: G là miền cân, G là C-hyperbolic, G là - hyperbolic,

nghiên cứu tôpô Caratheodory, Caratheodory hyperbolic, tính chất cơ bản của

C* và - độ dài của đ-ờng cong đối với giả khoảng cách Caratheodory

= Suptanh-1(m(f(z'), f(z"))  = = tanh-1(C*G(z', z")) (1)

Mặt khác: Vì tanh-1(t) =

1

1log2

1



t

Từ (1) và (2) có điều phải chứng minh Từ tính chất 1) ta có thể thay thế việc xét C*G bởi CG và ng-ợc lại

* Theo định lý Picard:  ánh xạ chỉnh hình f: C  C \ 3 điểm phân biệt

đều hằng, suy ra: mọi ánh xạ chỉnh hình f: Cn  E cũng hằng

Vì nếu f(z') = 0 và m, p,  bất biến với mọi ánh xạ song chỉnh hình suy ra: chọn h:

h = h f: G  E sao cho:

h f(z') = 0  m(0, f(z")) = f(z")

)(01

)

"

(0





zf

zf



Do m, p là khoảng cách, suy ra C*G là giả khoảng cách và gọi là giả khoảng

cách Mebius của G; CG- gọi là giả khoảng cách Caratheodory của G; G gọi là

giả mêtric Caratheodory-Reiffen của G

Dấu "=" xảy ra khi F là song chỉnh hình

2.1.4 Mệnh đề: Giả khoảng cách Caratheodory C*

G và giả mêtric Caratheodory-Reiffen G là cực tiểu theo nghĩa sau:

= SupdE(F(z'), F(z")); z', z"  G, F  H(G, E) 

 dG(z', z") (do dE dG)  CG dG 

* C*G(z', z") = Supm(F(z'), F(z")); z', z"  G, F  H(G, E) =

= SupdE(F(z'), F(z")); z', z"  G, F  H(G, E)   dG(z', z") (do dE dG)  C*G dG 

 H(G, E)

) 2 (

~

G )G

iv) G(0, .) = h trên Ca

v) Tồn tại phiếm hàm C- tuyến tính:

L: Cn  C với L h và L(a) = h(a)

Chứng minh: a) i) Cố định a  G, có hai khả năng xảy ra:

.a

¸nh x¹ nµy chØnh h×nh trªn E  h(a) 

)(

)(ah

ah.a = a

)(0

ah

ah

.a

¸nh x¹ nµy chØnh h×nh trªn E vµ h(a)  a

0  0

áp dụng 2.1.3 ta có:

G(0, a) E(0, h(a)) = E(0, 1)h(a) = (0)h(a) =

2

01

1

 h(a) = h(a) (vì E(0, 1) = (0))

 G(0, .)  h trên Cn Vậy G(0, .)  h trên Cn 

b) Nhận xét: Nếu điểm a thỏa mãn (v) thì a (  C) cũng thỏa mãn (v)

(Vì L(a) = L(a) = h(a) = h(a))

Theo định lý Hahn-Banach, tồn tại phiếm hàm tuyến tính L: Cn C sao cho:

LCa = h và LG(0, .) Vậy h  G(0, .) trên Cn

 Tr-ờng hợp h(a) > 0: Ta định nghĩa:

  H(E, E) và (h(a)) = f(a) = h(a)

Theo bổ đề Schawrz cổ điển, ta có:

() = ei.Với  E,  R Lấy L = f'(0), theo (a) ta có:

L(x) = f'(0)x  G(0, x)  h(x) và

L(a) = f'(0)a = '(0)h(a) = h(a)

(Vì '() =

)(ah

h( ).  '(0) =

)(ah

af'(0)  f'(0)a = '(0)h(a)

Vậy có (v) 

2.2.3 Mệnh đề: Các khẳng định sau là t-ơng đ-ơng:

i) C*G(0, .) = h trên G ii) G(0, .) = h trên Cn

iii) h là nửa chuẩn iv) G là lồi

Chứng minh: * Theo Mệnh đề 2.2.2 có (i)  (ii)

* Theo ii)  iii): vì (0, .) là nửa chuẩn, nên từ G(0, .) = h  h là nửa chuẩn

* iii)  i): vì h nửa chuẩn, bằng định lý Hahn-Banach, điều kiện (v) ở b) (Mệnh đề 2.2.2) đúng với a  Cn thì iii)  i)

* iii)  (iv) hiển nhiên 

2.2.4 Mệnh đề: G(0, .) =



h Trong đó

h = Supq: Cn R+, q nửa chuẩn, q  h)

Chứng minh: Ta có G(0, .) là nửa chuẩn, từ a) của Mệnh đề 2.2.2 suy ra

2.2.5 Mệnh đề: a) Cho Gj = Gqj  Cn là miền lồi, cân với phiếm hàm

Minkowski qj (j = 1, 2) Ta có các điều kiện sau t-ơng đ-ơng:

i) Tồn tại ánh xạ song chỉnh hình

F : G1  G2 với F(0) = 0 ii) Tồn tại C- đẳng cấu tuyến tính

L : Cn  Cn sao cho q2 L = q1Nghĩa là G1 và G2 t-ơng đ-ơng tuyến tính

b) Cho G = Gh là miền cân, giới nội trong Cn, các điều kiện sau đây t-ơng

đ-ơng:

i) Gh , Bn là t-ơng đ-ơng tuyến tính

(Bn : hình cầu Ơclít trong Cn) ii) h2 C2(Cn)

2 2

2

2 2

(0)zJzK , z  Cn

*

h2 là dạng Hermitian  ta có i) 

2.2.6 Mệnh đề: Nếu G = Gq là miền lồi, cân trong Cn, a  G và nếu

ha Aut(G) sao cho ha(a) = 0 thì C*

Cho H (G) t¸ch c¸c ®iÓm trong G, v× C *G lµ gi¶ kho¶ng c¸ch, nªn chØ cÇn

chøng minh C*G(z1, z2)  0, dÊu "=" x¶y ra th× z1 = z2

ThËt vËy: C*G(z1, z2) = 0 = Supm(f(z1), f(z2)), f  H(G, E), z1, z2 G = 0

G(a, x) = Sup(f(a))f'(a)x, f  H(G, E), a  G, x  Cn

 G(a, x)  0 DÊu "=" x¶y ra  x = 0

Râ rµng x  Cn, x  0, f  H (G): f'(a).x   0

Ng-ợc lại, nếu có (1)  G(a, x)  0, rõ ràng G(a, x) = 0  x = 0  nửa chuẩn G(a, x) là chuẩn

2.3.3 Mệnh đề: Nếu G  C1 thì các điều kiện sau t-ơng đ-ơng:

Ta chứng minh iii)  i); iii)  ii):

Giả sử có iii), cho f0  

j 0

0

az )

('

a

\Gz )()(

j j j

af

az

afzf

thì fj 

H (G); j = 1, 2

Ta kiểm tra đ-ợc rằng f0, f1, f2 là tách các điểm trong G và rank(f'0, f'1, f'2) = 1 trên G  G là C- hyperbolic và - hyperbolic 

2.3.4 Mệnh đề: Nếu G  Cn là một miền song chỉnh hình với một miền

bị chặn, khi đó G là C- hyperbolic và - hyperbolic

Chứng minh: ta giả thiết G bị chặn, R = dian(G) (trong không gian Ơclít)

Theo Bổ đề Schwarz tổng quát, và mệnh đề 2.2.3, ta có:

Chứng minh:

a) Từ C(*)G là giả khoảng cách 

a

z 

limC*G(a, z) = 0 Theo công thức:

C*G(a, .) = Supf, f  H(G, E), f(a) = 0Tập này liên tục đồng bậc, vì vậy C*G(a, .) là liên tục

2.4.4 Mệnh đề: Nếu G  C1, là C- hyperbolic thì TopC*G = TopG

Chứng minh: Cho G  av a0  G trong TopC*G

Chú ý rằng f-f(a0) f f(a0) G C*

G(a0, .), f  

H (G)  f(av)  f(a0) với f  H (G) 

Từ H (G)   C theo mệnh đề 2.3.3 tồn tại f0 H (G), f 0 O với f0(a0) = 0 sao cho: f0(z) = (z - a0)kg(z); z  G (*)

C G

x z

C*G(z', z") - G(a; z' - z")  z' - z", a  K; z', z"  B(a, ) 

G

Chứng minh:

a) Sử dụng chứng minh Montel

b) Ta có logCG = Sup(logp).f : f  H(G, E)

Với G  G  (z', z")

f



 (f(z'), f(z"))  E  E

Và sử dụng 2.1.13, phụ lục PSH 14 [7], ta có điều phải chứng minh 

c) Cho B(a, 2r)  G chúng ta sẽ chứng minh rằng:

Cho z', z"  B(a, r), x', x"  Cn, thì:

G(z', x') - G(z", x") 

2

2r

Việc còn lại là đánh giá G(z', x') - G(z", x')

)(f

G(z', z") - G(z0, z' - z") 

 3 z' " 2 '  z' "

)3(

1

0

r     ; z0, z', z"  B(a, r) (*) ThËt vËy: VÕ tr¸i (*)  C*G(z', z") - G(z0, z' - z") 

 C*G(z', z") - G(z', z' - z") + G(z', z' - z") - G(z0, z' - z")

Theo chøng minh ë c) ta cã:

G(z0, z' - z") - G(z', z' - z")  ' z' "

)3(

C*G(z', z") - G(z', z' - z")  2 z' "2

)3(