de hsg toan 9 kinh mon 20122013

Chøng minh gi¸ trÞ cña biÓu thøc A kh«ng phô thuéc vµo x vµ y.. Chøng minh r»ng trong hai sè an vµ bn cã mét vµ chØ mét sè chia hÕt cho 5..[r]

UBND huyện Kinh môn

Phòng giáo dục và đào tạo

đề thi chọn học sinh giỏi huyện

Môn Toán lớp 9 Năm học 2012 – 2013

( Thời gian làm bài 150 phút )

Câu 1: ( 2,0 điểm)

1) Chứng minh rằng 2√2+√3 là một số vô tỉ

2) Cho

2

x 



Hãy tính giá trị của biểu thức Ax4  x3  x2  2x 12012

Câu 2: ( 2,0 điểm)

1) Giải phơng trình : √x+2√x −1+√x − 2√x −1=2

2) Tìm m để phơng trình

2 2 1

x m x

Câu 3: (2,0 điểm)

A xy    x xy    y 

Chứng minh giá trị của biểu thức A không phụ thuộc vào x và y

2) Cho biết

với n là số tự nhiên

Chứng minh rằng trong hai số a n và b n có một và chỉ một số chia hết cho 5.

Câu 4: ( 3,0 điểm)

Cho hình vuông ABCD cạnh a Trên các cạnh BC, CD lần lợt lấy các điểm

M, N sao cho CM = DN

1) Cho MAN  450, chứng minh chu vi tam giác CMN bằng 2a;

2) Tính giá trị đúng của sin MAN trong trờng hợp 3

a

CM DN 

; 3) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của diện tích tam giác AMN

Câu 5: ( 1,0 điểm)

Chứng minh rằng √ a

b+ c+√ b

a+c+√ c

a+ b>2 với a, b, c là các số dơng.

Hớng dẫn chấm Toán 9 KINH MÔN 2012 -2013

2,0

điểm

1 1.0điểm

Giả sử 2 2  3 m m Q(  )  m2  11 4 6 

Rút ra đợc √6=m

2

− 11

4 (∗)

Ta có √6 là số vô tỉ (**) Mà m là số hữu tỉ nên m2−11

4 là số hữu tỉ dẫn đến (*) và (**) mâu thuẫn nhau

Từ đó ta có điều phải chứng minh

0.25 0,25 0,25 0.25

2.

1,0điểm

2

x 



√2 Thay vào tính đợc A = 1

0, 5 0,5

Câu2

2,0

điểm

1.

1,0điểm

√x+2√x −1+√x − 2√x −1=2 ĐK: x ≥ 1

√x − 1+1¿2

¿

√x −1 −1¿2

¿

¿

¿

⇔√ ¿

⇔√x − 1+1+|√x −1 −1|=2⇔√x −1+|√x − 1− 1|=1 (1)

* Nếu x>2 thì phơng trình (1) ⇔√x − 1+√x −1 −1=1 ⇔ x=2

không thuộc khoảng đang xét ⇒ x=2 ( loại)

* Nếu 1≤ x ≤ 2 thì phơng trình (1)

⇔√x − 1−√x −1+1=1 ⇔0√x − 1=0 luôn đúng với 1≤ x ≤ 2

Vậy phơng trình có nghiệm 1≤ x ≤ 2

0.25

0,25 0,25

0,25

2 1,0điểm

2 2 1

x m x

 (1) ĐK x ≠ 0 ; x ≠ −1

Biến đổi phơng trình ta có: x2

+mx+x2− x −2=2 x2

+2 x

⇔(m− 3) x=2 (2) Nếu m=3 thì phơng trình (2) có dạng: 0x = 2 (vô nghiệm) Nếu m≠ 3 thì phơng trình (2) có nghiệm: x= 2

m−3

Để phơng trình (1) vô nghiệm thì

¿

2

m−3=0

2

m−3=− 1

⇔ m=1

¿ {

¿

Vậy phơng trình (1) vô nghiệm khi m = 3 hoặc m = 1

0,25 0.25

0,25 0,25

Câu 3

2,0

A xy    x xy    y 

+ Nếu x+ y<0 , vì xy ≥ 0 nên x và y cùng dấu ⇒ x , y ≤ 0 0,25

1 1,0điểm

0

Nếu x+ y ≥ 0 vì xy ≥ 0 nên x và y cùng dấu ⇒ x , y ≥ 0

Lập luận tơng tự nh trên ta có A=(√xy +x+ y

2 − x)+(x+ y2 −√xy − y)=0 Vậy A = 0 không phụ thuộc vào x, y

0,25

0,25

0,25

2 1,0điểm

Ta có a n b n=[(22 n+1+1)+ 2n+ 1][(22 n +1+ 1)− 2 n+1]

¿(22 n+1+1)2−(2n +1)2=4 42 n+1=4 16n+ 1

Ta thấy 16n có số tận cùng bằng 6, nên 4 16n có chữ số tận cùng bằng 4

Suy ra 4 16n+1 có chữ số tận cùng bằng 5 Vậy a n b chia hết cho 5

Suy ra trong hai số a n ;b có ít nhất một số chia hết cho 5

Mặt khác a n+b n=[(22n +1

+ 1)+ 2n+1]+[(22n +1

+ 1)− 2 n+1] = 4n+1+2

Ta thấy 4n+1 có chữ số tận cùng bằng 4 hoặc bằng 6 suy ra

4n+1

+ 2 có chữ số tận cùng bằng 6 hoặc bằng 8 nên a n+bn không chia hết cho 5 Do đó trong hai số a n và b n có một số không chia hết cho 5

Vậy trong hai số trên có một và chỉ một số chia hết cho 5

0,25

0,25

0,25 0,25

Câu4

3,0

điểm

I

K

M

N

1 1,0điểm

Trên tia đối của tia DC lấy điểm K sao cho DK = BM

    và BAM DAK

Do đó AMNAKN(c.g.c) MNNK

Vì vậy : Chu vi tam giác CMN là

MN + CN+ CM = CN + KN + CM =

= CD + KD + CM = CD + BM + CM = 2a

0.25 0.25 0.25 0.25

2 1,0điểm Gọi I là giao điểm của AN và DM

Chứng minh đợc ANDDMC c g c( )  DAN CDM 

mà DAN AND   900 Nên CDM AND 900 hay DIN  900

Đặt DN= CM = x (0 x a  ) a 3 ,x BM NC  2x

Tính đợc AM x 13;AN x 10

AND

 vuông tại D , có đờng cao DI nên ta có

 2

2

.

x

AD AN AI AI

AN x

AIM

 vuông tại I nên ta có

2

13

10 10

IM  AM  AI  x  

Do đó

130 10

AM

0.25 0.25

0.25

0.25

3 1,0điểm

Ta có S AMN S ABCD S ADN  S MCN  S ABM

2



a x

a

Do

2

0

a x

x a



3

S

2

3

,

AMN

S   x Khi M N

lần lợt là trung điểm của BC ,CD

, 2

AMN

a

Vậy

2

3

, 8

AMN

a MinS  khi M N

lần lợt là trung điểm của BC , CD

2

2

AMN

a MaxS  khi

, ,





0.25

0.25

0.25

0.25

Câu 5

1,0

điểm

1,0điểm Ta có a,b,c dơng áp dụng BĐT Côsi ta có:

√b+c

a .1 ≤(b+c a +1):2=a+b+c

2a Do đó √ a

b+c ≥

2a a+b+c .

Tơng tự √ b

c +a ≥

2b a+b+c ;√ c

a+b ≥

2 c a+b+c

Cộng từng vế √ a

b+c+√ b

a+c+√ c

a+ b ≥

2(a+b+ c) a+b +c =2

Xảy ra dấu đẳng thức khi:

¿

a=b+c b=c +a c=a+b

⇒a+b+c=0

¿ { {

¿

không thoả mãn a, b, c

> 0 nên đẳng thức không xảy ra

0.25

0,25

0,25

0,25

VËy √ a

b+c+√ b

a+c+√ c

a+ b>2 víi a, b, c > 0.