Lưu ý khi chấm bài Trên đây chỉ là sơ lược đáp án, bài làm của học sinh phải được trình bày tỉ mỉ.. Mọi cách giải khác, nếu đúng, vẫn cho điểm tương đương như trên..[r]
Trang 1http://toanhocmuonmau.violet.vn
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
BẮC GIANG
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
Đề thi có 01 trang
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HOÁ CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2012-2013 MÔN THI: TOÁN - LỚP 12 CHUYÊN
Ngày thi: 31 /03/2013
Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian giao đề
Câu 1 (4 điểm)
Cho điểm I(-1;2) và hàm số 2
1
x y x
= + (1)
1) Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến đó cắt Ox, Oy lần lượt
tại A và B (A, B khác O) sao cho OB = 2 OA
2) Tìm các điểm M, N trên hai nhánh của đồ thị hàm số (1) sao cho độ dài MN nhỏ nhất
Câu 2 (4 điểm)
1) Giải phương trình
2 sin(4 ) sin 2 cos 2 2 sin 3 sin cos 1 0,
4
x−π + x+ x− x+ x+ x− =
(x ∈ℝ )
2) Tìm các giá trị thực của tham số m để hệ phương trình
2
x y x my
xy y x
có đúng ba nghiệm thực phân biệt
Câu 3 (4 điểm)
1) Tính tích phân
3
1
3 3 3 1
7
dx
2) Tìm tất cả các hàm số f :ℝ+ →ℝ thỏa mãn +
( ( )) ( ( ))
xf xf y = f f y , ∀x y, ∈ℝ+
Câu 4 (6 điểm)
1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxyz, cho elip (E):
2 2 1 4
x y
+ = Lập phương trình đường thẳng d song song với đường thẳng ∆: x – y + 2013 = 0, đồng thời d cắt (E) tại hai điểm A, B sao
cho diện tích tam giác OAB bằng 4
5
2) Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông, AD = 2a, SA=a SB, =a 3 Mặt phẳng (SAB)
vuông góc với mặt phẳng (ABCD).Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD
3) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(1; 0; 0) và mặt phẳng (P) có phương
trình: x + y – z - 1 = 0 Lập phương trình đường thẳng d đi qua A, d nằm trong (P) sao cho góc giữa
d và Oz nhỏ nhất
Câu 5 (2 điểm)
Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + + = b c 1 Chứng minh rằng
3 2
a bc b ca c ab
a bc b ca c ab
-Hết -
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh Số báo danh:
Giám thị 1: (Họ tên và ký)
Giám thị 2: (Họ tên và ký)
Trang 2http://toanhocmuonmau.violet.vn
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
BẮC GIANG
HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HOÁ CẤP TỈNH
NGÀY THI 31/3/2013 MÔN THI: TOÁN LỚP 12 CHUYÊN
Bản hướng dẫn chấm có 04 trang
Câu I
1
'
x
Tiếp tuyến của ĐT hàm số cắt các trục Ox,Oy tại A, B thoả mãn OB = 2OA suy ra
hệ số góc của tiếp tuyến là k = ±2 Do y’ >0 nên k = 2
Xét phương trình
2 2 1
+ suy ra x = -2 hoặc x = 0
Với x = 0 thì phương trình tiếp tuyến là d1: y = 2x (không thoả mãn)
Với x = -2 thì phương trình tiếp tuyến là d2: y = 2x +8 (thoả mãn)
2 Không mất tính tổng quát, ta giả sử xM > -1, xN < -1
Khi đó M( 1 a; 2 2),N( 1 b; 2 2)
− + − − − + , với a, b > 0
2
2
2
2
2
64
MN a b
a b
a b
a b
= + + +
+
+
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 2
2
0
2
64
a b
a b
a b
a b
= >
⇔ = =
Từ đó tìm được M( 2-1; 2- 2) và N(- 2-1; 2 + 2)
0,5
0,5 0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
II 1 Phương trình đã cho tương đương với
sin 4x - cos 4x +sin2x + cos 2x – 2sin 3x + sin x + cos x – 1 = 0
⇔(sin 4x + sin2x) - (cos 4x – cos 2x) – 2sin 3x + sin x + cos x – 1 = 0
⇔ 2sin3xcosx + 2sin 3x sin x – 2sin 3x + sin x + cos x - 1 = 0
⇔ 2sin3x(cosx + sin x – 1) + sin x + cos x - 1 = 0
⇔ (2sin3x + 1)(cosx + sin x – 1) = 0
⇔
2
sin 3
2 2
k x
k
x k
π
= +
KL
2.Nhận xét (0; 0) luôn là một nghiệm của hệ với mọi m
1
1 0,5
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 3http://toanhocmuonmau.violet.vn
Nếu x = 0 ⇒ y = 0 và ngược lại
Xét xy ≠0 HPT tương đương với
2 2 2 2
2 1
m
y y
x x
(*)
Đặt
3 2 3 2
x y
u v x u v y uv
y x
Khi đó hệ phương trình (*) thành
2
u
u
−
(**)
Dễ thấy yêu cầu bài toán tương đương với (1) có đúng 2 nghiệm u ≠ 0 và u ≠ 2
Đặt ( ) 2 9
2
u
f u u
u
− , u ∈ ℝ\ 0; 2{ }
Lập bảng biến thiên của f(u) suy ra m ∈ (−∞; 0)∪(0;1)∪(25;+∞)
0,5
0,5
0,5 Câu
III 1) Ta có
3 3 3
3
1
x
=
Đổi cận
3
3
1
2 7
Khi đó
2
.
t
∫
2) xf xf y( ( ))= f f y( ( )) (1)
Giả sử tồn tại hàm số f(x) thỏa mãn bài toán
Chọn y=1, thay vào (1) ta được
( (1)) ( (1))
xf xf = f f , x∀ ∈ℝ + (*)
(1)
x f
= , thay vào (*) ta được
( (1)) 1
f f =
Do đó xf xf( (1))=1, nên f xf( (1)) 1
x
= , x∀ ∈ℝ + Đặt t=xf(1), ta được
(1) ( ) f
f t
t
= , t∀ ∈ℝ +
Do đó ( )f x a
x
= (a= f(1))>0, x∀ ∈ℝ + Thử lại thấy hàm số vừa tìm thỏa mãn điều kiện bài toán
0,5
0,5
1
0,5
0,5
0,5
0,5
Trang 4http://toanhocmuonmau.violet.vn Vậy hàm số cần tìm là ( )f x a
x
= , x∀ ∈ℝ Với a là hằng số dương +
Câu
IV
1) Vì d // ∆ nên phương trình d có dạng
y = x + m, m ≠ 2013
Hoành độ A, B (nếu có) là nghiệm phương trình
2
4
x
+ + = ⇔ + + − = (1)
d cắt (E) tại hai điểm phân biệt ⇔ (1) có hai nghiệm phân biệt
⇔ ∆’ = -4m2 + 20 > 0
⇔ − 5< <m 5
Khi đó A(x1; x + m), B(x2; x2 + m), với x1, x2 là hai nghiệm của (1)
Ta có AB= 2(x1−x2)2 = 2(x1+x2)2−8x x1 2
Theo Vi-et ta có
1 2
2
1 2
8 5
5
m
x x
m
x x
+ = −
−
Do đó
2
4 10 2 5
m
AB= −
( ; ) | |
2
m
d O AB = Khi đó diện tích tam giác OAB là S =
2
d O AB AB = m − m
Theo bài ta có
2
2
4
(10 2 ) 8
1
m m
= ±
Từ đó tìm được 4 đường thẳng
2) Gọi O = AC ∩BD suy ra OA = OB = OC = OD
Gọi M là trung điểm AB suy ra OM ⊥ (SAB)
Suy ra hình chiếu của OA, OS lên (SAB) lần lượt là MA, MS
Do MA = MS ⇒ OA = OS
Vậy O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD
2
AC a
2) Gọi u=( ; ; )a b c ≠0 là vectơ chỉ phương của d
( )
p
u n
A P
∈
Khi đó u=( ; ;a b a b+ )
Gọi α là góc giữa d và Oz
Ta có
2 2 2
2 2
2 2
Do 00 ≤ α ≤ 900 nên góc α nhỏ nhất khi và chỉ khi cos2α lớn nhất ⇔ m lớn
nhất
Xét b = 0, ta có 1
2
m= (1)
Xét b ≠ 0, chon b = 1 Khi đó
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5 0,5
0,5 0,5
0,5
0,5
Trang 5http://toanhocmuonmau.violet.vn 2
2 2
2
m= thì có một giá trị của a
2
m≠ , (*) có nghiệm khi và chỉ khi ∆’ ≥ 0
⇔ -3m2 + 2m ≥ 0 ⇔ 0 2
3
m
≤ ≤ (2)
Từ (1) và (2) suy ra Max {m} = 2
3 khi đó a = 1, b = 1
Từ đó tìm được (d): 1
x− = =y z
0,5
0,5
Câu
V
Bất đẳng thức đã cho tương đương với
3 2
a bc +b ca+c ab− ≤ + + + (*)
Ta có a+bc=a a( + + +b c) bc= +(a b a)( +c)
Do đó
2
nên
2 2 2 2 2 2 2 2 2
3
Từ đó suy ra bất đẳng thức được chứng minh
Dấu “=” xảy ra khi a = = b c
0,5
0,5
0,5
0,5
Lưu ý khi chấm bài
Trên đây chỉ là sơ lược đáp án, bài làm của học sinh phải được trình bày tỉ mỉ
Mọi cách giải khác, nếu đúng, vẫn cho điểm tương đương như trên