Không gian các ánh xạ liên tục và k lưới

Sự tồn tại của phủ đếm đợc theo điểm, các đặc trng của mỗi loại phủ trong không gian đặc biệt .... Mục đích của khoá luận là nghiên cứu sự tồn tại các k - lới và k - lới đếm đợc theo điể

Lời mở đầuCác vấn đề cơ bản về các phủ đếm đợc theo điểm trong các không gian metric tổng quát đã đợc các nhà toán học nh Burke, Grnenhage, Michael, Tanaka, quan tâm từ những năm 1970 Trong những năm gần đây, các vấn đề nói trên đợc nghiên cứu sâu hơn trong các không gian tôpô đặc biệt (T1 và chính qui) bởi các nhà toán học nh Pengfeiyan, Tanaka, Shoulin Sự tồn tại của phủ đếm đợc theo

điểm, các đặc trng của mỗi loại phủ trong không gian đặc biệt là những vấn đề thờng đợc quan tâm

Mục đích của khoá luận là nghiên cứu sự tồn tại các k - lới và k - lới đếm đợc theo điểm của không gian C(X, Y) với tôpô mở compact (C(X, Y) là tập tất cả các

ánh xạ liên tục từ không gian tôpô X vào không gian tôpô Y Ngoài ra khoá luận còn nghiên cứu các vấn đề liên quan đến cơ sở yếu và tôpô xác định bởi phủ.Với mục đích nh trên khoá luận đợc trình bày theo các mục nh sau

Đ1 Các khái niệm cơ bản

Đ2 Không gian các hàm liên tục

Đ3 Sự tồn tại k - lới của C(X, Y).

Đ4 Cơ sở yếu và tôpô xác định bởi phủ

Trong Đ1, chúng tôi giới thiệu lại một số khái niệm và kết quả cơ bản làm cơ

sở cho các mục tiếp theo

Trong Đ2, đầu tiên chúng tôi giới thiệu về không gian các hàm liên tục C(X, Y) với tôpô mở compact Tiếp theo, chúng tôi trình bày các tính chất cơ bản của không gian C(X, Y) Chứng minh chi tiết các Mệnh đề 2.2, 2.3, 2.4 Các Mệnh đề này đã có trong các tài liệu tham khảo, tuy nhiên chứng minh còn vắn tắt hoặc cha có chứng minh

Trong Đ3, chúng tôi tìm các điều kiện để tồn tại các k- lới và k- lới đếm đợc theo điểm của không gian C(X, Y) nh Định lý 3.1, 3.2, 3.3

Trong Đ4, dành cho việc trình bày một số kết quả về sự tồn tại cơ sở yếu đếm

đợc theo điểm của C(X, Y) và các phủ đếm đợc theo điểm xác định C(X, Y) nh

Hệ quả 4.4, Định lý 4.5, Hệ quả 4.7

Tất cả các kết quả ở trong Đ3 và Đ4 là do chúng tôi đề xuất và chứng minh.Nhân đây, tác giả chân thành cảm ơn thầy giáo PGS.TS Đinh Huy Hoàng đã nêu vấn đề nghiên cứu và hết lòng hớng dẫn tác giả hoàn thành khoá luận này Tác giả cũng xin cảm ơn các thầy, cô giáo trong tổ Giải tích, trong khoa Toán và các bạn bè đã dạy dỗ và giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và hoàn thành khoá luận Do điều kiện thời gian và năng lực còn hạn chế nên khoá luận sẽ không tránh khỏi thiếu sót Rất mong quí thầy cô và bạn đọc đóng góp ý kiến

Vinh, tháng 4/2004.

Tác giả

Đ1 Các khái niệm cơ bản

Mục này dành cho việc trình bày một số khái niệm và kết quả cơ bản cần dùng trong khoá luận.

Giả sử X là không gian tôpô

1.1 Định nghĩa Giả sử B là một họ các tập mở của X B đợc gọi là cơ sở

của X nếu mỗi tập hợp mở trong X là hợp của một họ nào đó những tập hợp thuộc B

1.2 Định nghĩa Họ V ‘ ⊂ T (T là tôpô trong X) đợc gọi là tiền cơ sở của

tôpô T nếu họ tất cả các giao hữu hạn các phần tử của V ’ lập thành cơ sở của tôpô T

1.3 Định nghĩa Giả sử x là một điểm của X Họ B(x) những lân cận của x

gọi là một cơ sở tại điểm x nếu với mỗi lân cận V của x, tồn tại một tập hợp U

∈B(x) sao cho U ⊂ V

1.4 Định nghĩa Giả sử A và P là các tập con của X và A ⊂ P A đợc gọi là

mở (đóng) trong P nếu tồn tại W mở (đóng) trong X sao cho

A = P ∩ W

1.5 Định nghĩa X đợc gọi là T1- không gian nếu với hai phần tử bất kì phân

biệt x1 và x2 của X luôn tồn tại lân cận U của x1 sao cho x2 ∉ U

1.6 Định nghĩa X đợc gọi là T2- không gian hoặc không gian Hauxơdooc

nếu mỗi cặp điểm khác nhau x1, x 2 ∈ X đều tồn tại một lân cận U của x1 và một lân cận V của x2 sao cho U ∩ V = φ

1.7 Định nghĩa X đợc gọi là T3- không gian hoặc không gian chính qui nếu

với mỗi tập đóng F trong X và mọi phần tử x ∉ F luôn tồn tại hai tập hợp mở U và

V sao cho

x ∈ U, F ⊂ V và U ∩ V = φ

1.8 Định nghĩa Họ P các tập con của X đợc gọi là một phủ của A ⊆ X nếu

A ⊂∪{P : P ∈P}.

Ta viết ∪P thay cho ∪{P : P ∈P }

Nếu P = {P : P mở trong X} thì P đợc gọi là phủ mở của X

Nếu P = {P : P compact trong X} thì P đợc gọi là phủ compact của X

1.9 Định nghĩa X đợc gọi là compact nếu mỗi phủ mở của X đều có một phủ

con hữu hạn

1.10 Định nghĩa X đợc gọi là compact địa phơng nếu với mọi x ∈ X đều tồn tại một lân cận U của x sao cho U là một tập compact của X

1.11 Định lý Giả sử X là một T2- không gian chính qui, compact địa phơng,

A là một tập hợp compact của X và V là một tập hợp mở chứa A Khi đó, tồn tại một tập hợp mở U sao cho U compact và

A ⊂ U ⊂ U ⊂ V

1.12 Định lý Nếu X là không gian tôpô chính qui, A là tập compact và U là

lân cận của A thì tồn tại lân cận V đóng của A sao cho

V ⊂ U

1.13 Định lý T1- không gian X là một không gian chính qui khi và chỉ khi

với mỗi điểm x ∈ X và mỗi lân cận V của x tồn tại một lân cận U của x sao cho

x ∈ U ⊂U ⊂ V

1.14 Định nghĩa X đợc gọi là thoả mãn tiên đề đếm đợc thứ nhất nếu X có

sơ sở lân cận đếm đợc tại mỗi điểm x ∈ X

1.15 Định nghĩa Giả sử P và P’ là phủ của X P’ đợc gọi là cái làm mịncủa P nếu với mọi P’ ∈P’, tồn tại P ∈P sao cho

P’ ⊂ P

1.16 Định nghĩa Giả sử P là một phủ của X Ta nói X đợc xác định bởiphủ P hoặc P xác định X nếu U là mở (đóng) trong X khi và chỉ khi U ∩ P là mở (đóng) trong P với mọi P ∈P

1.17 Định nghĩa Phủ P của X đợc gọi là phủ đếm đợc theo điểm nếu mỗi

điểm của X thuộc không quá đếm đợc các P ∈P

1.18 Định nghĩa Giả sử P là một phủ của X Kí hiệu P< ω là họ tất cả các tập con hữu hạn của P

P đợc gọi là một k - lới của X nếu với mỗi tập compact K và mọi tập mở U chứa K (K ⊂ U) của X, luôn tồn tại P’ ∈P< ω sao cho

trong đó Px thoả mãn điều kiện định nghĩa 1.19

Đ2 Không gian các ánh xạ liên tục

Giả sử X, Y là hai không gian tôpô Kí hiệu C(X, Y) là tập tất cả các ánh xạ liên tục từ X vào Y

Với mỗi tập con K của không gian X và với mỗi tập con U của không gian Y ta

kí hiệu

(K, U) = {f ∈ C(X, Y) : f(K) ⊂ U}.Trong [1], ta có mệnh đề sau:

2.1 Mệnh đề Họ tất cả các tập (K, U), trong đó K là tập con compact bất

kì trong X và U là một tập mở trong Y, là tiền cơ cở của tôpô T trong C(X, Y)

Ta gọi tôpô này là tôpô mở - compact Sau này, nếu không nói khác thì tôpô trên C(X, Y) luôn hiểu là tôpô mở - compact

Họ tất cả các giao hữu hạn các tập hợp dạng (K, U) trong đó K, U là những tập nh trên lập thành cơ sở của tôpô mở compact Một phần tử tùy ý của cơ sở đó

có dạng n

i 1=

(Ki, Ui) trong đó mỗi Ki là một tập con compact của X, còn mỗi Ui là một tập con mở của Y

Sau đây, ta chứng minh một số tính chất cơ bản của không gian C(X, Y)

2.2 Mệnh đề Nếu Y là T1- không gian thì C(X, Y) là T1- không gian.

Chứng minh Giả sử f, g ∈ C(X,Y) sao cho f ≠ g Khi đó, luôn tồn tại x ∈ X sao cho f(x) ≠ g(x) Vì Y là T1- không gian nên tồn tại lân cận mở U của f(x) sao cho

g(x) ∉ U Vì {x} là tập compact nên ({x}, U) là lân cận của f Vì g∉({x}, U) nên

C(X, Y) là T1- không gian.

2.3 Mệnh đề Nếu Y là T2- không gian thì C(X, Y) là T2- không gian.

Chứng minh Giả sử f, g ∈ C(X, Y) sao cho f ≠ g Khi đó, tồn tại x ∈ X sao cho f(x) ≠ g(x) Vì Y là T2- không gian nên tồn tại các lân cận mở U, V lần lợt của

f(x), g(x) sao cho U ∩ V = φ Ta thấy ({x}, U) là lân cận của f và ({x}, V) là lân cận của g mà ({x}, U) ∩ ({x}, V) = φ Thật vậy, với mỗi h ∈ ({x}, U), ta có

h(x) ∈ U Khi đó, h(x)∉ V (vì U∩ V = φ) hay h∉ ({x}, V)

Vì thế, ({x}, U) ∩ ({x}, V) = φ Từ đó suy ra C(X, Y) là T2- không gian

2.4 Mệnh đề Nếu Y là không gian chính qui thì C(X, Y) là không gian

chính qui.

Chứng minh Với mỗi f ∈ C(X, Y) và mỗi lân cận mở W của f ta cần chứng

minh tồn tại lân cận đóng V của f sao cho V ⊂ W Giả sử

W = n

i 1=

(Ki, Ui)trong đó Ki là tập compact trong X, Ui là tập mở trong Y với mọi i = 1 ,n

Vì f ∈ (Ki, Ui) với mọi i = 1 ,n nên f(Ki) ⊂ Ui với mọi i = 1 ,n Vì f là ánh xạ liên tục từ X vào Y và Ki là tập con compact trong X nên f(Ki) là tập con compact trong Y (i = 1 ,n) Vì Y là không gian chính qui nên tồn tại lân cận đóng Vi của

f(x) ∈ f(Ki) ⊂ Vi ∀x ∈ Ki,nghĩa là

f ∈ ({x}, Vi) ∀x ∈ Ki

hay

f ∈ x∈ K i ({x}, Vi)

Ngợc lại, giả sử g ∈ x∈ K i ({x}, Vi) Khi đó, ta có

g ∈ (Ki, Vi)

Vậy, ta có

(Ki, Vi) = x∈K i ({x}, Vi)

Tiếp theo, ta chứng minh rằng với mỗi x ∈ Ki, tập ({x}, Vi) là đóng trong C(X,

Y) hay C(X, Y) \ ({x}, Vi) là tập mở Với bất kì ϕ∈ C(X, Y) \ ({x}, Vi) ta có ϕ(x) ∉

V i Vì Vi đóng nên Y \ Vi là tập mở Từ đó, ({x}, Y\ Vi) là tập mở trong C(X,Y), chứa ϕ Rõ ràng, nếu ψ ∈({x}, Y\Vi) thì ψ(x)∈ Y\V i Do đó ψ∉({x}, Vi) Từ đó suy ra

({x}, Y\ Vi) ⊂ C(X, Y) \ ({x}, Vi)

và dó đó C(X, Y) \ ({x}, Vi) mở hay ({x}, Vi) đóng

Cuối cùng, từ bao hàm thức (1) suy ra mỗi tập (Ki,Vi) là đóng trong C(X,Y) Từ

đó ta có V là tập đóng trong C(X, Y)

Đ3 Sự tồn tại của k - lới của C(X, Y)

Trong mục này, ta sẽ đa ra các điều kiện để tồn tại k- lới và k- lới đếm đợc theo điểm của không gian C(X, Y) Từ đây về sau ta kí hiệu K là họ tất cả các tập compact trong X, u là cơ sở của tôpô trong Y

Giả sử P là họ các tập con nào đó của không gian tôpô X Kí hiệu

P * = {∪ℑ : ℑ⊂P , ℑ hữu hạn},

P* = {∩ℑ : ℑ⊂P , ℑ hữu hạn},trong đó

Do đó

f(P) ⊂ Uhay

f ∈ (P, U) ∈ P~⊂ *P~ Vì thế P~* là phủ của C(X, Y).

Tiếp theo, ta chứng minh P~* là k- lới của C(X, Y) Giả sử K là tập compact

của C(X, Y) và W là tập con mở của C(X, Y) chứa K Khi đó, với mỗi f ∈ K ắt tồn tại lân cận V của f sao cho V ⊂ W và V có dạng

V = k

i 1=

(Ki, Ui),trong đó Ki∈K , Ui∈U với mọi i = 1 ,k

P g

1 ⊂ Ui , ∀i = 1 ,k

Từ (1) suy ra

g(K i) ⊂ =i 

m j ji

P g

1 ⊂ Ui , ∀i = 1 ,k

và do đó g ∈ (Ki, Ui) với mọi i = 1 ,k hay g ∈ V Vì thế, P~f ⊂ V Nh vậy f

Thật vậy, giả sử tồn tại G ∈ P * sao cho fG quá đếm đợc, nghĩa là tồn tại một

số quá đếm đợc tập U ∈U sao cho

f(G) ⊂ U

Khi đó, lấy x ∈ G ta có f(x) thuộc quá đếm đợc tập của U Điều này mâu thuẫn với tính đếm đợc theo điểm củaU Từ đó, ta có điều phải chứng minh

3.2 Định lý Nếu X là T2- không gian, chính qui và compact địa phơng thì P*

là k- lới của C(X, Y) trong đó

P = {(G, U) : G ∈ g , U ∈U }

với g = {G ⊂ X : G mở, G compact}

Chứng minh Trớc hết chứng minh P* là phủ của C(X, Y)

Thật vậy, với mỗi f ∈C(X,Y), lấy x ∈ X Khi đó tồn tại U∈U sao cho f(x)∈ U Vì U là tập mở, f liên tục nên f -1(U) là tập mở và x ∈ f -1(U) Từ X là T2- không gian, chính qui và compact địa phơng, suy ra tồn tại V mở chứa {x} sao cho V

Tiếp theo ta chứng minh P* là k - lới

Giả sử K là tập con compact của C(X, Y) và W là tập con mở của C(X, Y) sao cho K ⊂ W Khi đó, với mọi f ∈ K ắt tồn tại lân cận V chứa f sao cho V ⊂ W và V

có dạng

V = m

i 1=

(Ki, Ui)trong đó Ki∈K , Ui ∈U ∀i = 1 ,m

Vì f ∈ (Ki, Ui) với mọi i = 1 ,m nên f(Ki) ⊂ U i với mọi i = 1 ,m Do đó,

K i ⊂ f -1(Ui) và f -1(Ui) là mở trong X Vì Ki là tập con compact trong X, X là T

2-không gian, chính qui và compact địa phơng nên tồn tại Vi mở sao cho V i

Khi đó, Pf ∈P*và P~f mở trong C(X, Y)

Vì f = {P~f : f∈K} là phủ mở của tập compact K nên tồn tại f1, f2, , fn∈ K

sao cho

K ⊂ n

j

f j P

1

Vậy P* là k- lới của C(X, Y)

3.3 Định lý Giả sử P là k lới compact của X và g là phủ của Y sao cho với

mọi y ∈ Y và với mọi tập con mở U ⊂ Y mà y ∈ U đều tồn tại G ∈ g* sao cho

y ∈ G0 ⊂ G ⊂ U

(G0 là phần trong của G)

Khi đó P~* là k- lới của C(X, Y), trong đó

P ~ = {(K, G) : K ∈P *, G ∈ g*}

Hơn nữa, nếu P đếm đợc và g* đếm đợc theo điểm thì P*~đếm đợc theo

điểm.

Để chứng minh Định lý ta cần Bổ đề sau

3.4 Bổ đề Nếu g là phủ của Y thoả mãn giả thiết của Định lý 3.3 thì với

mỗi tập con compact A trong Y, với mọi tập con W mở trong Y mà A ⊂ W đều

tồn tại G ∈ g* sao cho

Chứng minh Định lý3.3 Đầu tiên, chứng minh *P~ là phủ của C(X, Y)

Giả sử f ∈ C(X, Y) và P ∈P Vì f liên tục nên f(P) là tập compact trong Y Lấy

U là tập mở trong Y sao cho f(P) ⊂ U Theo Bổ đề 3.4 tồn tại G ∈ g* sao cho

f(P) ⊂ G0⊂ G ⊂ U

Do đó

f ∈ (P, G) ∈ P~ ⊂ *P~

Nh vậy, *P~ là phủ của C(X, Y)

Tiếp đến, ta chứng minh *P~ là k- lới

Giả sử D là tập compact trong C(X, Y), W là tập con mở trong C(X, Y) sao cho

D ⊂ W Khi đó với mọi f ∈ D vì W mở và D ⊂ W nên tồn tại lân cận V của f sao cho V ⊂ W và V có dạng

V = m

i 1=

(Ki, Ui)trong đó Ki ∈K , Ui ∈U với mọi i = 1 ,m Vì f ∈ V nên f ∈ (Ki, Ui) với mọi i

= 1 ,m Do đó f(Ki) ⊂ Ui với mọi i = 1 ,m hay

f(P i) ⊂ 0

i

G ⊂ Gi ⊂ Ui ∀i = 1 ,m

Từ đó ta có

~

Vậy, *P~ là k- lới của C(X, Y)

Cuối cùng, ta chứng minh rằng nếu P đếm đợc và g*đếm đợc theo điểm thì

*sao cho gK quá đếm đợc, nghĩa là tồn tại một số quá đếm đợc tập G ∈ g* sao cho

f(K) ⊂ G

Khi đó, lấy x ∈ K ta có f(x) thuộc quá đếm đợc tập của g* Đây là một điều mâu thuẫn Từ đó ta có điều phải chứng minh.

Định lý 3.6 Giả sử P là k- lới đếm đợc gồm các tập compact của X và g là phủ của Y sao cho g * đếm đợc theo điểm và với mỗi y ∈ Y và với mỗi tập con

mở U ⊂ Y, U chứa y đều tồn tại G ∈ g * thoả mãn

y ∈ G0 ⊂ G ⊂ U

Khi đó

1) C(X, Y) là gf - không gian đếm đợc

2) C(X, Y) thoả mãn tiên đề đếm đợc thứ nhất

Chứng minh 1) Giả sử f ∈ C(X, Y) Đặt

f∈ vf .

Khi đó, từ P~* khép kín với phép giao hữu hạn suy ra Vf cũng vậy Ta sẽ chứng minh Vf là lới tại f Giả sử V là tập mở trong C(X, Y), f ∈ V Ta có thể giả thiết

V = n

i 1=

(Ki, Ui)trong đó Ki là tập compact trong X, Ui là tập mở trong Y với i = 1 ,n

Ta có

f(K i) ⊂ f(Pi) ⊂ Ui , i = 1 ,n (1)

Do đó

f ∈ (Pi, Ui) ⊂ (Ki, Ui) , i = 1 ,n.Vì f liên tục nên f(Pi) là tập compact Từ (1) và Bổ đề 3.4 suy ra tồn tại Gi ∈ g* sao cho

G ) là tập mở trong C(X, Y) Vì thế, từ (2) suy ra tập con W của C(X, Y) là

mở khi và chỉ khi với mỗi f ∈ W đều tồn tại P~∈ Vf sao cho

f ∈ P~⊂ W

Do đó V là cơ sở yếu của C(X, Y) Từ Định lý 3.3 và (2) suy ra P~* đếm đợc

theo điểm Từ đó Vf là đếm đợc Vậy C(X, Y) là gf- không gian đếm đợc

2) Từ hệ thức (2) ta thấy rằng với mọi f ∈ C(X, Y) và V là tập mở trong C(X,Y),

Nh vậy, tại mỗi điểm của C(X, Y) có cơ sở lân cận đếm đợc Từ đó ta có điều cần chứng minh

x2, , x m∈ K sao cho

K ⊂ m

i 1=

 P x i ⊂ U

Mặt khác P x i ∈P với mỗi i = 1 ,m nên P là k- lới

Ngợc lại, giả sử Plà một k-lới Ta sẽ chứng minh P là một cơ sở yếu của X.Với mỗi x ∈ X đặt

Px = {P ∈P : x ∈ P}.Khi đó

Ngợc lại, nếu G ⊂ X sao cho với mọi x ∈G đều tồn tại P ∈Pmà x ∈ P ⊂ Gthì do P mở nên G là tập mở trong X Vậy P là một cơ sở yếu của X.

4.2 Định lý Giả sử X là T2- không gian, chính qui và compact địa phơng

Khi đó P*′là k- lới của C(X, Y) trong đó

P ’ = {(G, U)0 : G ∈ g, U ∈u }

với

g = {G ⊂ X : G mở, G compact}

Chứng minh Đầu tiên ta chứng minh P*′phủ C(X, Y).

Thật vậy, với mỗi f ∈ C(X, Y) Lấy x ∈ Y Khi đó tồn tại U ∈ u sao cho f(x)

∈ U Vì X là T2- không gian, chính qui và compact địa phơng nên tồn tại V mở

của {x} sao cho V compact và

Vì f ∈ (Ki, Ui), ∀i = 1 ,m nên

f(K i) ⊂ Ui, ∀i = 1 ,m

Do đó

K i ⊂ f -1(Ui)Vì X là T2- không gian chính qui và compact địa phơng nên tồn tại Vi mở sao cho

1

j

f j P

Chứng minh 1) Vì g và u đếm đợc nên P’đếm đợc đếm đợc Khi đó từ họ tất cả các tập con hữu hạn của một tập đếm đợc là đếm đợc suy ra P*′đếm đợc.

2) Để chứng minh P*′đếm đợc theo điểm ta chỉ cần chứng minh P’đếm đợc theo điểm

Giả sử f ∈ C(X, Y) Với mỗi G ∈ g đặt

ℑG = {U ∈u : f ∈ (G, U)0}.Vì g đếm đợc nên để chứng minh P’đếm đợc theo điểm chỉ cần chứng tỏ mỗi

ℑG là đếm đợc, G ∈ g Thật vậy, giả sử tồn tại G ∈ g sao cho ℑG quá đếm đợc nghĩa là tồn tại một số quá đếm đợc tập U ∈u sao cho

Chứng minh Từ P*′là phủ mở của C(X, Y) (vì mỗi phần tử thuộc P*′đều mở)

và kết quả của Mệnh đề 4.1, Định lý 4.2 cùng Nhận xét 4.3 ta có điều phải chứng minh

4.5 Định lý Giả sử X là T2- không gian, chính qui, compact địa phơng Khi