Không gian các ánh xạ liên tục với tôpô dãy hội tụ mở và các phủ đếm được theo điểm

Mục đích của luận văn là nghiên cứu sự tồn tại các lưới đếm được theođiểm và các tính chất của không gian CcsX, Y CcsX, Y là tập tất cả cácánh xạ liên tục từ không gian tôpô X vào khôn

MỤC LỤC

Trang

MỤC LỤC 1

LỜI NÓI ĐẦU 2

§1 Kiến thức chuẩn bị 4

§2 Các tính chất đơn giản của không gian Ccs(X, Y ) 9

§3 Một số tính chất của không gian Ccs(X, Y ) liên quan đến các phủ 16

KẾT LUẬN 36

TÀI LIỆU THAM KHẢO 37

LỜI NÓI ĐẦU

Lý thuyết cơ bản về các phủ, đặc biệt là phủ đếm được theo điểm trongcác không gian mêtric tổng quát đã được các nhà toán học như D K Burke,

G Gruenhege, E Michael, Y Tanaka, quan tâm từ những năm 1970.Trong những năm gần đây, các vấn đề nói trên được nghiên cứu sâu hơntrong các không gian tôpô đặc biệt bởi các nhà toán học như Shou lin,Pengfei Yan, Y Tanaka Sự tồn tại các phủ đếm được theo điểm, các đặctrưng của mỗi loại phủ trong không gian đặc biệt là những vấn đề được nhiềungười quan tâm

Mục đích của luận văn là nghiên cứu sự tồn tại các lưới đếm được theođiểm và các tính chất của không gian Ccs(X, Y ) (Ccs(X, Y ) là tập tất cả cácánh xạ liên tục từ không gian tôpô X vào không gian tôpô Y với tôpô dãyhội tụ-mở) Ngoài ra, luận văn còn nghiên cứu mối quan hệ giữa không gian

Ccs(X, Y ) với các không gian khác Với mục đích trên, luận văn được trìnhbày theo các mục sau

§1 Kiến thức chuẩn bị

§2 Các tính chất cơ bản của không gian Ccs(X, Y )

§3 Một số tính chất của không gian Ccs(X, Y ) liên quan đến cácphủ

Trong §1, chúng tôi giới thiệu lại một số khái niệm và kiến thức cơ bản

để phục vụ cho việc nghiên cứu các mục tiếp theo

Trong §2, trước tiên chúng tôi giới thiệu về không gian các ánh xạ liêntục C(X, Y ) với tôpô dãy hội tụ-mở Tiếp theo đó, chúng tôi trình bày các

tính chất cơ bản của không gian Ccs(X, Y ) tương tự như của không C(X, Y )với tôpô compact-mở Đưa ra và chứng minh các Mệnh đề 2.2, 2.3, 2.4, 2.6

và Hệ quả 2.7; Định lý 2.8

Trong §3, chúng tôi chứng minh chi tiết một số tính chất liên quan đếncác phủ của không gian Ccs(X, Y ) đã được đưa ra trong tài liệu tham khảo[4]; như các Bổ đề 3.1, 3.4 và các Định lý 3.2, 3.6, 3.12, 3.17 Đưa ra vàchứng minh một số kết quả mới về điều kiện đủ để không gian Ccs(X, Y ) làcs-σ-không gian và sự tồn tại các loại lưới trong Ccs(X, Y ) như Mệnh đề 3.5,Mệnh đề 3.8, Mệnh đề 3.10; Hệ quả 3.14, Mệnh đề 3.15

Nhân đây, tôi xin được chân thành cảm ơn thầy giáo PGS.TS Đinh HuyHoàng đã tận tình hướng dẫn tôi hoàn thành luận văn này Tôi xin gửi lờicảm ơn tới các thầy cô giáo trong khoa Toán, khoa Sau đại học, đặc biệt làcác thầy cô giáo trong tổ Giải tích cùng các bạn học viên Cao học 13 - Toán

đã giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn này

Vinh, tháng 12 năm 2007

Tác giả

(2) Hợp của một số tuỳ ý và giao của một số hữu hạn các phần tử của τ

là thuộc τ

Tập X cùng với tôpô τ trên đó được gọi là một không gian tôpô nói gọn

là không gian, ký hiệu (X, τ )

Tập con E của X được gọi là Gδ-tập, nếu E là giao của một số đếm đượccác tập mở trong X

1.2 Định nghĩa Giả sử B là một họ các tập mở của không gian tôpô

X B được gọi là cơ sở tôpô của X nếu với mỗi x ∈ X và mọi lân cận U của

x đều tồn tại V ∈ B sao cho x ∈ V ⊂ U

1.3 Định nghĩa Họ ϑ các tập con của không gian tôpô (X, τ ) được gọi

là tiền cơ sở của tôpô τ nếu

X = ∪{V : V ∈ ϑ}

và họ tất cả các giao hữu hạn các phần tử của ϑ lập thành cơ sở của tôpô τ 1.4 Định nghĩa Không gian tôpô X được gọi là compact nếu mỗi phủ

mở của X đều có phủ con hữu hạn.

Tập con A của không gian tôpô X được gọi là compact nếu không giancon A của X là một không gian compact, tức A cũng là không gian compactvới tôpô cảm sinh

1.5 Định nghĩa Không gian tôpô X được gọi là T1-không gian nếu vớimỗi cặp điểm phân biệt x, y ∈ X tồn tại lân cận U của x sao cho y 6= U 1.6 Định nghĩa Không gian tôpô X được gọi là T2-không gian nếu vớimỗi cặp điểm phân biệt x, y 6= X đều tồn tại lân cận U của x, lân cận V của

Ta viết ∪ P thay cho ∪{P : P ∈ P}

Nếu P = {P : P mở trong X} thì P được gọi là phủ mở của x

Nếu P = {P : P compact trong X} thì P được gọi là phủ compact của X

1.9 Định nghĩa Giả sử P là một phủ của không gian X.

(1) P được gọi là k-lưới nếu mọi K-compact và U mở trong X sao cho

K ⊂ U đều tồn tại họ con hữu hạn F của P thỏa mãn K ⊂ ∪ F ⊂ U (2) P được gọi là một lưới nếu mọi x /∈ X và mọi U mở trong X mà x ∈ Uđều tồn tại P ∈ P sao cho x ∈ P ⊂ U

(3) P được gọi là cs-lưới của không gian tôpô X nếu mỗi dãy {xn} hội tụtới x trong X và U là lân cận của điểm x thì tồn tại P ∈ P và m ∈ N sao cho

{xni : i ∈ N } ⊂ P ⊂ U

1.10 Định nghĩa Giả sử P là họ các tập con nào đó của không gian X

Họ P được gọi là đếm được theo điểm nếu mỗi điểm của X thuộc không quáđếm được các phần tử của P

Họ P được gọi là hữu hạn địa phương nếu mọi x ∈ X đều tồn tại một lâncận U của x mà U chỉ giao với một số hữu hạn các phần tử của P

Họ P = {Pα : α ∈ Λ} được gọi là có tính chất HCP nếu

∪{Bα : α ∈ Λ0} = ∪{Bα : α ∈ Λ0},

với bất kỳ Λ0 ⊂ Λ và Bα ⊂ Pα với mọi α ∈ Λ0.

Họ P được gọi là có tính chất W HCP nếu {x(P ) ∈ P : P ∈ P} là họ cótính chất HCP

Họ P được gọi là σ-hữu hạn địa phương nếu P =

∞

[

n=1

Pn, trong đó mỗi Pn

là hữu hạn địa phương

1.11 Định nghĩa T1-không gian, chính quy X được gọi là ℵ-không giannếu X có một k-lưới σ-hữu hạn địa phương

1.12 Định nghĩa T1-không gian, chính quy X được gọi là ℵ0-không giannếu X có một k-lưới đếm được

1.13 Định nghĩa Không gian tôpô X được gọi là σ-không gian nếu X

có một lưới σ-hữu hạn địa phương

1.14 Định nghĩa Tập con Y của không gian X được gọi là rời rạc nếumọi tập con của Y đều là tập đóng trong Y

Không gian X được gọi là ℵ1-compact nếu mọi tập con rời rạc, đóng của

nó đều đếm được hoặc hữu hạn

1.15 Định nghĩa Không gian chính quy X với một cs-lưới σ-hữu hạnđịa phương là một cs-σ-không gian

1.16 Định nghĩa Phủ B của không gian tôpô X được gọi là cái mịnhay cái làm mịn của phủ U nếu mỗi phần tử B được chứa trong phần tử nào

đó của phủ U

1.17 Định nghĩa Không gian chính quy X được gọi là paracompact nếumỗi phủ mở của X đều có cái mịn hữu hạn địa phương mở.

1.18 Định nghĩa Ánh xạ f : X−→Y từ không gian tôpô X vào khônggian tôpô Y được gọi là ánh xạ phủ compact nếu với mỗi tập compact Ctrong Y đều tồn tại một tập compact K trong X sao cho f (K) = C

1.19 Định lý ([4]) Nếu X là không gian tôpô thì các điều kiện sau tươngđương

(i) X là một ℵ0-không gian;

(ii) X là không gian chính quy với một cs-lưới đếm được

1.20 Định lý ([2]) Nếu X là không gian chính quy, thì các điều kiệnsau đây tương đương

a) Không gian X là paracompact;

b) Mỗi phủ mở của X có cái mịn hữu hạn địa phương;

c) Mỗi phủ mở của X có cái mịn σ-hữu hạn địa phương

1.21 Bổ đề Không gian tôpô X là ℵ0-không gian khi và chỉ khi X cócs-lưới đếm được

1.22 Định nghĩa Cho không gian X và P là phủ gồm các tập con của

X Khi đó X được gọi là k-không gian nếu X được xác định bởi phủ gồmtất cả các tập con compact của X

1.23 Bổ đề Nếu không gian tôpô X là k-không gian mà mỗi điểm là

Gδ-tập thì X là không gian dãy

§2 CÁC TÍNH CHẤT ĐƠN GIẢN CỦA KHÔNG GIAN Ccs(X, Y )

Trong mục này, sẽ trình bày một số ký hiệu, khái niệm và tính chất cơbản của không gian các ánh xạ liên tục Ccs(X, Y )

Giả sử X, Y là hai không gian tôpô Ký hiệu C(X, Y ) là tập tất cả cácánh xạ liên tục từ X vào Y

Giả sử {xn} là dãy hội tụ tới x trong X Ta ký hiệu

tuỳ ý của cơ sở đó có dạng

Sau đây, ta chứng minh một số tính chất đơn giản của không gian Ccs(X, Y )

2.2 Mệnh đề Nếu Y là T1-không gian thì Ccs(X, Y ) là T1-không gian.Chứng minh Giả sử f, g ∈ Ccs(X, Y ) sao cho f 6= g Khi đó, luôn tồn tại

x ∈ X sao cho f (x) 6= g(x) Vì Y là T1-không gian nên tồn tại lân cận mở Ucủa f (x) sao cho g(x) /∈ U

Đặt Z = {x; x, } thì (Z, U ) là lân cận của f vì (Z, U ) thuộc tiền cơ sởcủa tôpô τcs trong Ccs(X, Y ) Do g(x) /∈ U nên g /∈ (Z, U ) Vậy Ccs(X, Y ) là

T1-không gian

2.3 Mệnh đề Nếu Y là T2- không gian thì Ccs(X, Y ) là T2-không gian.Chứng minh Giả sử f ∈ Ccs(X, Y ) sao cho f 6= g Khi đó, luôn tồn tại

x ∈ X sao cho f (x) 6= g(x) Vì Y là T2-không gian nên tồn tại các lân cận

mở U, V lần lượt của f (x) và g(x) sao cho U ∩ V = ∅

Giả sử Z = {x; x, x, } là dãy hội tụ trong X Khi đó (Z, U ) là lân cậncủa f và (Z, V ) là lân cận của g trong Ccs(X, Y ) thỏa mãn

Thật vậy, với mỗi h ∈ (Z, U ), ta có h(Z) ⊂ U Khi đó h(Z) * V (vì

U ∩ V = ∅) Do đó h /∈ (Z, V ) Từ đó suy ra Ccs(X, Y ) là T2-không gian

2.4 Mệnh đề Nếu Y là không gian chính quy thì Ccs(X, Y ) là khônggian chính quy

Chứng minh Với mỗi f ∈ Ccs(X, Y ) và mỗi lân cận W của f tồn tại mộttập W0 ∈ B trong đó B là cơ sở tôpô của Ccs(X, Y ) sao cho W0 ⊂ W Ta cầnchứng minh tồn tại lân cận đóng V của f sao cho V ⊂ W Không mất tínhtổng quát ta có thể coi W = W0 Giả sử

trong đó Zilà dãy hội tụ trong X, Uilà tập mở trong Y với mọi i = 1, 2, , n

Vì f ∈ (Zi, Ui) với mọi i = 1, 2 , n nên f (Zi) ⊂ Ui, i = 1, 2 , n Mặt khác,

do f là ánh xạ liên tục từ X vào Y và Zi là dãy hội tụ trong X nên f (Zi)

là dãy hội tụ trong Y , với i = 1, 2, , n Từ giả thiết Y là không gian chínhquy suy ra tồn tại lân cận đóng Vi của f (Zi) với i = 1, 2, , n sao cho

f (Zi) ⊂ Vi ⊂ Ui , i = 1, 2, , n

Do đó

f ∈ (Zi, Vi) ⊂ (Zi, Ui) với mọi i = 1, 2, , nhay

(Zi, Vi) Khi đó V là lân cận của f

Ta còn phải chứng minh V là tập đóng Muốn chứng minh V đóng, trướchết ta cần chứng minh rằng với mỗi i = 1, 2, , n đều có

(Zi, Vi) = \

t∈Z i

trong đó Zi = {x; x1, x2, }; Zt = {t; t, t }, t ∈ Zi

Thật vậy, với mỗi f ∈ (Zi, Vi) ta có f (Zi) ⊂ Vi Do đó

Ngược lại, giả sử g ∈ \

t∈Z i(Zt, Vi) Khi đó ta có

Bây giờ ta chứng minh rằng với mỗi t ∈ Zi, tập (Zt, Vi) là đóng trongkhông gian Ccs(X, Y ) hay Ccs(X, Y ) \ (Zt, Vi) là tập mở

Thật vậy, với bất kỳ ϕ ∈ Ccs(X, Y ) \ (Zt, Vi) ta có ϕ(t) /∈ Vi Vì Vi đóngnên Y \ Vi là tập mở Từ đó (Zt, Y \ Vi) mở trong Ccs(X, Y ) chứa ϕ Rõ ràng,nếu ψ ∈ (Zt, Y \ Vi) thì ψ(t) ∈ Y \ Vi Do đó ψ /∈ (Zt, Vi) Từ đó suy ra

(Zt, Y \ Vi) ⊂ Ccs(X, Y ) \ (Zt, Vi)

và do đó Ccs(X, Y ) \ (Zt, Vi) mở hay (Zt, Vi) đóng

Như vậy, từ bao hàm thức (1) suy ra mỗi tập (Zi, Vi) là đóng trong

Ccs(X, Y ) Do đó, ta có V là tập đóng trong Ccs(X, Y ) Mệnh đề được chứngminh

2.5 Định nghĩa (i) Tôpô compact-mở là tôpô được ký hiệu là τ trênC(X, Y ) mà nó nhận họ các tập dạng

2.6 Mệnh đề Với hai không gian tôpô X, Y bất kỳ ta có

τp ⊂ τcs ⊂ τ

Chứng minh Trước tiên ta sẽ chứng minh τp ⊂ τcs Theo định nghĩa, tậptiền cơ sở trong τp là tập có dạng

({x}, U ) = {f ∈ C(X, Y ) : f (x) ∈ U }, x ∈ X, U mở trong Y

Khi đó, coi {x} là một dãy dừng ta có

({x}, U ) = {f ∈ C(X, Y ) : f (x) ∈ U }

là tập tiền cơ sở trong τcs Do đó τp ⊂ τcs

Bây giờ ta sẽ chứng minh τcs ⊂ τ Theo định nghĩa, tập tiền cơ sở trong

τcs là tập có dạng

(Z, U ) = {f ∈ C(X, Y ) : f (Z) ⊂ U }

trong đó Z là dãy hội tụ trong X, U là tập mở trong Y

Giả sử Z = {x; x1, x2, } Khi đó, Z là một tập compact nên

(Z, U ) = {f ∈ C(X, Y ) : f (Z) ⊂ U },

cũng là tập tiền cơ sở trong τ Do đó τcs ⊂ τ

Từ hai kết luận trên ta suy ra τp ⊂ τcs ⊂ τ

2.7 Hệ quả Nếu Y là T1-không gian (tương ứng, T2-không gian, chínhquy) thì C(X, Y ) là T1-không gian (tương ứng, T2-không gian, chính quy).Chứng minh Từ các Mệnh đề 2.2; 2.3; 2.4 và vì τcs ⊂ τ suy ra C(X, Y )

là T1-không gian (tương ứng, T2-không gian, chính quy) nếu Y là T1-khônggian (tương ứng, T2-không gian, chính quy)

2.8 Định lý Nếu X là không gian khả li và Y là không gian mà mỗiđiểm của nó đều là Gδ-tập thì mọi điểm của Ccs(X, Y ) cũng là Gδ-tập.Chứng minh Giả sử E là tập con đếm được trù mật trong X và f ∈

Ccs(X, Y ) Khi đó, với mọi x ∈ E, vì f (x) là Gδ-tập nên tồn tại các tập mở

§3 MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA KHÔNG GIAN Ccs(X, Y )

LIÊN QUAN ĐẾN CÁC PHỦ

Trong mục này, các không gian nói tới được giả thiết là T1 và chính quy

3.1 Bổ đề ([4]) Giả sử P là họ các tập con của không gian X mà Pkhép kín đối với phép giao hữu hạn Khi đó, nếu mọi dãy hội tụ Z trong

X, Z ⊂ S sao cho với S là phần tử thuộc tiền cơ sở của tôpô trong X đềutồn tại P ∈ P và n ∈ N để Zn ⊂ P ⊂ S; thì P là cs-lưới trong X

Chứng minh Giả sử {xn} ⊂ X, xn hội tụ tới x và U là tập mở trong

X, x ∈ U Ta có thể giả thiết xn ⊂ U với mọi n Đặt

đề 1 của [5] thì C(S, Y ) đồng phôi với một không gian con của C(S, Y ) Từ

đó mỗi không gian con của cs-σ-không gian cũng là một cs-σ-không gian.Giả sử P = {Pi} là đếm được các tập mở thuộc cơ sở của S và nó khépkín đối với phép lấy giao hữu hạn và giả sử R =

∞

[

j=1

Rj là một cs-lưới σ-hữuhạn địa phương của Y Đặt

(x, V ) là lân cận mở thuộc tiền cơ sở của f mà nó chỉ giao với những phần

F−1(U ) = {x ∈ S | fi(x) ∈ U với fi nào đó thuộc F }

Tồn tại các số nguyên N, i và j phụ thuộc x thỏa mãn FN ⊂ (Pi0, Rj) ⊂(x, U ).

Thật vậy, giả sử ngược lại

(Pi0, Rj) ⊂ (x, U ) với mọi N, i, j và x ∈ Pi0, Rj ⊂ U

Khi đó FN * (Pi0, Rj) với mọi N, i, j Từ đó, tồn tại n ≥ N và xij ∈ Pi0 thỏamãn fn(xij) /∈ Rj Bây giờ chúng ta sẽ chỉ ra một dãy con hội tụ của F Chọn fn(1) sao cho fn(1)(P10) * R1 Khi đó tồn tại n(2) > n(1) thỏa mãn

fn(2)(P20) * R2 Tương tự chọn fn(3) sao cho n(3) > n(2) và fn(3)(P30) /∈ R1

và fn(4) sao cho n(4) > n(3) và fn(4)(P40) * R2 Chú ý rằng các chỉ số của

Pi0 được lấy theo thứ tự 1, 2, nhưng các chỉ số của Rj được lấy theo dãy

1, 2, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 4, 1,

Đặt fi0 = fn(i) và chọn xi ∈ Pi0 sao cho fi0(xi) /∈ Rj Khi đó, ta có {fi0} làdãy con của F và do đó nó phải hội tụ tới f0 Mặt khác, tập P0(x) là một cơ

sở đếm được, giảm của x trong S Do đó {xi} hội tụ tới x

Từ sự hội tụ trong tôpô mở-compact kéo theo sự hội tụ liên tục của dãy,{fi0(xi)} hội tụ tới f0(x) Do đó, tất cả trừ hữu hạn phần tử {fi0(xi)} ⊂ U

Từ đó, tồn tại một số N và một Rk ∈ R(x) sao cho fi0(xi) ∈ Rk với mọi

i ≥ N Nhưng từ sự xây dựng của dãy {fi} và {xi} sẽ tồn tại một số m > N

mà fm0 (xm) /∈ Rk Điều này mâu thuẫn Do đó tồn tại N (x), i(x) và j(x) thỏa

Vậy C(X, Y ) là cs-σ-không gian.

3.3 Hệ quả.([4]) Mọi không gian con của cs-σ-không gian là cs-σ-khônggian

Chứng minh Giả sử X là cs-σ-không gian với P =

∞

[

n=1

Pn là cs-lưới, trong

đó Pn-hữu hạn địa phương

Giả sử A là không gian con của không gian X Đặt

Thật vậy, với mọi dãy {xn} ⊂ A mà xn hội tụ tới x thuộc A và U mởtrong A chứa x Do U mở trong A nên suy ra tồn tại V mở trong X sao cho

Từ Pn hữu hạn địa phương trong X suy ra Pn0 hữu hạn địa phương trong

A Vậy PA là cs-lưới σ-hữu hạn địa phương trong A và do đó A là cs-σ-khônggian

3.4 Bổ đề ([4]) Giả sử X là một không gian trong đó mỗi tập compact

là compact dãy Khi đó C(X, Y ) và Ccs(X, Y ) có cùng các dãy hội tụ

Chứng minh Rõ ràng với bất kỳ một dãy hội tụ ở trong tôpô compact-mởthì cũng hội tụ trong tôpô thô hơn, mà τcs ⊂ τ nên một dãy τ -hội tụ thì

Giả sử f0 ∈ (C, U ), với C-compact trong X, U mở trong Y , nhưng có vô

số fi(n) mà fi(n) ∈ (C, U ) Khi đó, với mỗi n sẽ tồn tại x/ n ∈ C sao cho

Vì C là tập compact trong X nên theo giả thiết, C là compact dãy Do đó{xn} có một dãy con hội tụ Z ⊂ C Vì thế, ta có f0 ∈ (Z, U ) Do fn−→f0trong Ccs(X, Y ) nên tồn tại n0 sao cho fn ∈ (Z, U ), với mọi n ≥ n0 Mặtkhác, từ (1) suy ra có vô số fn mà f(n)(Z) * U Ta có điều mâu thuẫn Từ

đó suy ra {fn} hội tụ trong C(X, Y )

Vậy không gian C(X, Y ) và không gian Ccs(X, Y ) có cùng các dãy hội tụ

3.5 Mệnh đề Nếu X là không gian mà mọi tập compact của nó làcompact dãy và P là cs-lưới (tương ứng cs∗-lưới, wcs∗-lưới) trong C(X, Y ),thì P cũng là cs-lưới (tương ứng cs∗-lưới, wcs∗-lưới) trong Ccs(X, Y )