Không gian với k- lưới o bảo tồn bao đóng di truyền

Đặc biệt là những năm gần đây, các vấn đề về phủ đã đợc nghiên cứu sâu sắc hơn và từ các tính chất của chúng các nhà toán học đã tìm ra đợc những định lý quan trọng trong việc nghiên cứu

Mục lục

Đ4 Không gian với k - lới - bảo tồn bao đóng di truyền 16

Đ5 Không gian với k - lới σ - bảo tồn bao đóng di truyền 23

Đ6 Không gian với cs - lới σ - bảo tồn bao đóng di truyền 27

Lời mở đầu

Kể từ những năm đầu thập niên 70 của thế kỷ XX, các vấn đề về phủ của không gian tôpô đã thu hút đợc nhiều sự quan tâm của các nhà toán học trên toàn thế giới Đặc biệt là những năm gần đây, các vấn đề về phủ đã đợc nghiên cứu sâu sắc hơn và từ các tính chất của chúng các nhà toán học đã tìm ra đợc những định lý quan trọng trong việc nghiên cứu không gian tôpô nh: Điều kiện

để một không gian tôpô có thể mêtric hoá đợc, hay về mối quan hệ giữa các không gian tôpô đặc biệt Chúng ta có thể kể tên những nhà toán học đã dành nhiều tâm huyết trong việc nghiên cứu các vấn đề về phủ của không gian tôpô nh: Y Tanaka, Shou Lin, L Foged, Chuan Liu,…

Trong khoá luận này, chúng tôi tập trung nghiên cứu về một loại phủ đặc biệt, đó là họ k - lới σ - bảo tồn bao đóng di truyền (σ - hereditarily closure - preserving k - networks) mà ta viết ngắn gọn là là k - lới σ - HCP; các tính chất của không gian tôpô có một họ k - lới σ - HCP, cũng nh tìm hiểu mối quan hệ giữa không gian này với một số không gian tôpô khác Ngoài ra, khoá luận còn đi nghiên cứu mối quan hệ giữa không gian tôpô có một họ k - lới σ - HCP và không gian tôpô có một họ cs - lới σ - HCP Với mục đích nh vậy, khoá luận đợc trình bày theo 6 phần nh sau:

Đ1 Một số khái niệm cơ bản Trong phần này, chúng tôi giới thiệu một

số khái niệm và tính chất cơ bản của tôpô đại cơng để làm cơ sở cho các phần sau Ngoài ra, chúng tôi còn đa ra một số kết quả có chứng minh nh mệnh đề 1.6, mệnh đề 1.29

Đ2 Các họ hữu hạn địa phơng Dựa trên khái niệm về họ hữu hạn điạ

phơng, chúng tôi giới thiệu một số tính chất của họ này, những tính chất này khá quan trọng trong việc nghiên cứu mối quan hệ giữa không gian tôpô có k

- lới σ - HCP và các không gian tôpô khác

Đ3 Một số không gian tôpô đặc biệt Mục đích của phần này là giới

thiệu một số không gian tôpô đặc biệt, mối quan hệ giữa các không gian và tính chất của các không gian đó, nhằm tạo tiền đề nghiên cứu các phần sau

Đ4 Không gian với k - lới bảo tồn bao đóng di truyền Trong phần này,

chúng tôi bắt đầu giới thiệu các khái niệm k - lới, khái niệm bảo tồn bao đóng

di truyền ( hereditarily closure - preserving) và viết ngắn gọn là HCP; nghiên cứu một số tính chất của không gian có k - lới HCP và đa ra ví dụ về không gian có một k - lới HCP

Đ5 Không gian với k - lới σ - bảo tồn bao đóng di truyền Trong phần

này, chúng tôi đa ra các tính chất của không gian có một k - lới σ - HCP, đồng thời đa ra một số không gian tôpô có k - lới σ - HCP

Đ6 Không gian với cs - lới σ - bảo tồn bao đóng di truyền Đây là phần

cuối cùng trong khoá luận này ở đây chúng tôi đã nghiên cứu không gian tôpô có một cs - lới σ - HCP, đặc biệt là đi nghiên cứu mối quan hệ giữa không gian có một k - lới σ - HCP và không gian có một cs - lới σ - HCP

Tất cả các không gian tôpô đợc giả thiết là không gian chính quy, các ánh xạ đều toàn ánh, liên tục

Sau khi kết thúc khoá luận, chúng tôi đã có những vấn đề gợi mở Tuy nhiên, do điều kiện thời gian cũng nh những hạn chế về năng lực nên cha thể giải quyết trọn vẹn Do đó, chúng tôi xin giới thiệu vào phần cuối của khoá luận

Nhân dịp này, tôi xin chân thành cảm ơn PGS.TS Trần Văn Ân, ngời đã trực tiếp hớng dẫn tôi hoàn thành khoá luận này Tôi xin gửi lời cảm ơn đến các thầy giáo, cô giáo trong khoa Toán, Trờng Đại học Vinh đã quan tâm, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập tại trờng Do điều kiện thời gian và những hạn chế về năng lực nên khoá luận sẽ không tránh khỏi những thiếu sót Rất mong nhận đợc những ý kiến đóng góp của quý thầy cô và các bạn

Vinh, tháng 4 năm 2004

Tác giả

Đ1 Một số khái niệm cơ bản

1.1 Định nghĩa Cho tập X ≠ φ Họ τ các tập con của X đợc gọi là một tôpô trên X, nếu nó thoả mãn:

(i) φ ∈τ, X ∈τ

(ii) Với mọi A, B ∈τ thì A ∩ B ∈τ

(iii) Với mọi họ { Aα: α ∈ I } ⊂τ thì  J

A

∈

α α∈τ Khi đó, (X, τ) đợc gọi là không gian tôpô, mỗi phần tử của X gọi là một

điểm trong không gian tôpô ( X, τ ) Mỗi tập A ∈τ gọi là một tập mở Phần bù của một tập mở đợc gọi là tập đóng Nếu không sợ nhầm lẫn các tôpô trên X ta viết không gian X thay cho không gian ( X, τ )

1.2 Nhận xét Từ định nghĩa trên ta có các nhận xét sau:

(i) φ và X là các tập mở

(ii) Giao của hai tập mở là một tập mở

(iii) Hợp của một họ tuỳ ý các tập mở là một tập mở

1.3 Định nghĩa Cho không gian tôpô ( X,τ ) và B ⊂ τ, B đợc gọi là cơ sở của tôpô τ nếu với mọi V ∈τ và với mọi x ∈ V, tồn tại U ∈B sao cho x ∈ U ⊂ V

1.4 Định nghĩa a Cho không gian tôpô ( X,τ ), x ∈ X Tập U ⊂ X đợc gọi là

lân cận của điểm x, nếu tồn tại V ∈τ sao cho x ∈ U ⊂ V

b Gọi u(x) là họ tất cả các lân cận của x Khi đó, họ con B(x) của u(x) đợc gọi là cơ sở lân cận tại điểm x, nếu với mọi V ∈u(x), tồn tại U ∈ B(x) sao cho x

∈ U ⊂ V

1.5 Định nghĩa Cho không gian tôpô X Dãy { xn : n ∈ N } đợc gọi là hội

tụ về điểm x, nếu với lân cận V bất kỳ của x thì bắt đầu từ lúc nào đó, các phần

tử của dãy {xn} đều nằm trong V

Lúc đó, ta gọi x là điểm hội tụ của dãy {xn}

1.6 Mệnh đề Cho X là không gian tôpô và { x n : n ∈ N } là dãy trong X hội tụ

về điểm x ∈ X Khi đó, { x n : n ∈ N } ∪ {x} là tập compact.

Chứng minh Đặt A = { xn : n ∈ N } ∪ {x} Giả sử { Aα: α∈ I } là một phủ mở của A, khi đó tồn tại α0 ∈ I sao cho x ∈Aα0 Mà dãy {xn} hội tụ về x vàAα0là tập mở nên tồn tại n0 ∈ N sao cho xn ∈ Aα0, với mọi n/n0 Do đó {xn: n / n0 } ∪

{x} ⊂Aα0

Bây giờ với mỗi xi ∈ A, i =1, 2, , n… 0 - 1, ta chọn Ai ∈ { Aα:α ∈ I } sao

cho xi ∈ Ai Khi đó ta có { xn : n ∈ N } ∪ {x} ⊂ ( n1

1 i i

A

−

= ) ∪Aα0 hay {Ai :

i = 1,2, ,n… 0 - 1, α0} là phủ mở hữu hạn của A, do đó A là tập compact

1.7 Hệ quả Cho không gian tôpô X và dãy { x n : n ∈ N } hội tụ về điểm x Khi

đó, { x n : n /m } ∪ {x} là tập compact, với m ∈ N nào đó.

1.8 Định nghĩa Giả sử X là một không gian tôpô và A ⊂ X Giao của họ tất cả các tập hợp đóng chứa A đợc gọi là bao đóng của tập hợp A Ký hiệu Ahay clA

1.9 Nhận xét Từ định nghĩa ta có

(i) Alà tập đóng và là tập đóng nhỏ nhất chứa A

(ii) Tập A ⊂ X là đóng khi và chỉ khi A = A

(iii) Nếu A ⊂ B ⊂ X thì A ⊂ B

1.10 Mệnh đề ([4]) Cho không gian tôpô X , A và B là những tập hợp con

của X Khi đó

(i) φ = φ

(ii) A ⊂ A.

(iii) A ∪ B = A ∪ B.

(iv) ( A ) = A.

1.11 Hệ quả Cho không gian tôpô X và họ {A i : i = 1, 2, , n} là họ hữu hạn…

các tập con của X Khi đó

A A

=

=

1.12 Định nghĩa Cho không gian tôpô X và tập A⊂ X Điểm x ∈X đợc gọi là

điểm giới hạn của tập A nếu mọi lân cận Ux của x đều chứa một điểm khác x trong tập A

Kí hiệu A' là tập hợp tất cả các điểm giới hạn của X

1.13 Nhận xét (i) Nh vậy x ∈ X là điểm giới hạn của A nếu với mọi Ux là lân cận của x thì (Ux\ {x}) ∩ A ≠∅

(ii) Một điểm x không là điểm giới hạn đợc gọi là điểm cô lập

1.14 Mệnh đề([3]) Tập con của không gian tôpô là đóng khi và chỉ khi nó

chứa mọi điểm giới hạn của nó

Bây giờ, ta chứng minh (A ∪ B)' ⊂ A' ∪ B' Với x ∈ (A ∪ B)', theo định

nghĩa ta có x ∈ ( ) { } A ∪ B x\ mà ( ) { } A ∪ B x\ = A { } x\ ∪ B { } x\ nên x ∈ A' hoặc x

∈ B' Do đó, (A ∪ B)' ⊂ A' ∪ B'

Nh vậy A' ∪ B' = (A ∪ B)'

Bằng quy nạp, ta có kết quả sau:

1.17 Hệ quả Cho X là không gian tôpô và {A i : i = 1,2, , n} là họ hữu hạn…

các tập con của X Khi đó ta có

' n 1 i i n

1 i i

1.19 Định nghĩa Cho không gian tôpô X

(i) Không gian X đợc gọi là T1 - không gian, nếu mỗi phần tử x ∈ X thì {x} là tập đóng

(ii) Không gian X đợc gọi là T2 - không gian (Hausdoff) nếu mỗi cặp

điểm khác nhau x1, x2∈X, tồn tại một lân cận U của x1 và một lân cận V của x2

sao cho U ∩ V = ∅

(iii) Không gian X đợc gọi là không gian chính quy nếu với mỗi điểm x

∈X, mỗi tập đóng F sao cho x ∉ F, tồn tại các tập mở U và V sao cho x ∈ U,

1.21 Mệnh đề ([4]) Cho không gian tôpô X Khi đó X là không gian chính quy

khi và chỉ khi với mọi x ∈ X và U là tập mở chứa x, tồn tại tập mở V ⊂ X sao cho x ∈ V⊂ U.

1.22 Định nghĩa Cho X là không gian tôpô và U là một phủ của X Phủ B

của X đợc gọi là cái mịn của U nếu mỗi phần tử của phủ B đợc chứa trong phần tử nào đó của phủ U.

1.23 Định nghĩa Không gian tôpô X đợc gọi là paracompact nếu nó là không

gian chính quy và mỗi phủ mở của nó có cái mịn hữu hạn địa phơng mở

1.24 Nhận xét Không gian mêtric là không gian tôpô paracompact.

1.25 Mệnh đề Giả sử Y là không gian con của không gian tôpô X với tôpô

cảm sinh và x 0 là điểm hội tụ của dãy {x n } các phần tử của Y đối với tôpô trên

X Khi đó, nếu x 0 ∈ Y thì x 0 cũng là điểm hội tụ của dãy {x n } theo tôpô cảm sinh trên Y.

Chứng minh Để tiện trong chứng minh, ta gọi τ là tôpô trên X và họ các tập U

= {U ∩ Y : U ∈τ} là tôpô cảm sinh trên Y Giả sử x0 là điểm hội tụ của dãy {xn} các phần tử của Y đối với tôpôτ Gọi V là một lân cận mở bất kỳ của x0 đối với tôpô

U Khi đó, tồn tại lân cận U của x0 trong X sao cho V = U ∩ Y Vì x0 là điểm hội tụ của dãy {xn} theo tôpô τ nên tồn tại n0∈ N sao cho {xn : n ≥ n0} ⊂ U Do đó {xn : n ≥

n0} ⊂ U ∩ Y = V Vậy x0 là điểm hội tụ của dãy {xn} đối với tôpô U

1.26 Định nghĩa Cho X, Y là hai không gian tôpô.

a) ánh xạ f: X → Y đợc gọi là ánh xạ liên tục, nếu nghịch ảnh của mỗi tập mở là một tập mở

b) ánh xạ f: X → Y đợc gọi là ánh xạ đóng (mở), nếu với mỗi tập đóng (mở) A ⊂ X thì f(A) là tập đóng (mở) trong Y.

1.27 Mệnh đề([3]) Cho X, Y là hai không gian tôpô và ánh xạ f: X → Y Khi

đó, các mệnh đề sau tơng đơng

(i) f liên tục.

(ii) f - 1 (V) mở trong X, với mọi tập V mở trong Y.

(iii) f -1 (V) đóng trong X, với mọi tập V đóng trong Y.

(iv) f(A) ⊂ f ( A ), với mọi tập A ⊂ X.

1.30 Mệnh đề([2]) Nếu X là không gian paracompact, Y là không gian tôpô

và f: X → Y là ánh xạ toàn ánh, liên tục, đóng thì mỗi tập compact trong Y là

ảnh của một tập compact trong X.

1 31 Định nghĩa Cho không gian tôpô ( X, τ ) Trên X ta đa vào một quan hệ

Ký hiệu Sω1là không gian thơng thu đợc từ tổng tôpô của ω 1 dãy hội tụ

không tầm thờng bằng cách đồng nhất tất cả các điểm giới hạn của ω 1dãy đó.

Đ2 các họ hữu hạn địa phơng

2.1 Định nghĩa Họ P các tập con của không gian tôpô X đợc gọi là hữu hạn

địa phơng nếu với mỗi x ∈ X, tồn tại lân cận U của x sao cho U chỉ giao với hữu hạn phần tử của họ P

2.2 Định nghĩa Họ P các tập con của không gian tôpô X đợc gọi là rời rạc, nếu mỗi điểm của không gian có một lân cận cắt nhiều nhất một phần tử của họ

P

2.3 Nhận xét Từ định nghĩa, ta thấy

(i) Một họ rời rạc là một họ hữu hạn địa phơng

(ii) Một họ hữu hạn địa phơng thì mọi họ con đều hữu hạn địa phơng

2.4 Mệnh đề([3]) Cho X là không gian tôpô và họ {Uα: α ∈ I} là họ hữu hạn

địa phơng Khi đó, họ {Uα: α ∈ I} cũng là họ hữu hạn địa phơng.

2.5 Định nghĩa Họ P các tập con của không gian tôpô X đợc gọi là họ σ - hữu hạn địa phơng (σ - rời rạc), nếu nó là hợp của đếm đợc các họ hữu hạn địa

A A

trong đó J ⊂ I, Aα⊂ Uα với mỗi α∈ J.

Chứng minh: Theo hệ quả 1.15, ta sẽ chứng minh:

' J J

' J

A A

) A A ( ∪ = ∪α∈ α 

∈

α αα

∈

tức là cần chứng minh x là điểm giới hạn của 

của điểm x sao cho 0

x

V chỉ giao với hữu hạn các phần tử của họ trên Giả sử họ

đó là {Ai : i = 1, 2, , n} Ta đặt A = {1, 2, , n} Ta sẽ chứng minh mọi lân… …cận Vx của điểm x thì (Vx\ {x}) ∩ 

A

∉ α

∈

α α= ∅ (Do V ⊂ 0

x

V ),(V\ {x}) ∩ 

2.7 Mệnh đề ([3]) Mọi không gian mêtric đều có một cơ sở σ − rời rạc.

Đ3 Một số không gian tôpô đặc biệt

Trong phần này, chúng tôi giới thiệu định nghĩa một số không gian tôpô

đặc biệt, các tính chất và mối quan hệ giữa các không gian đó

3.1 Định nghĩa Không gian tôpô X đợc gọi là không gian thoả mãn tiên đề

đếm đợc thứ nhất nếu với mọi x ∈ X, tồn tại cơ sở đếm đợc tại x

3.2 Nhận xét Không gian mêtric là một không gian thoả mãn tiên đề đếm đợc

thứ nhất

3.3 Định nghĩa Không gian tôpô X đợc gọi là không gian thoả mãn tiên đề

đếm đợc thứ hai nếu X có một cơ sở đếm đợc

3.4 Nhận xét Không gian tôpô X thoả mãn tiên đề đếm đợc thứ hai là không

gian thoả mãn tiên đề đếm đợc thứ nhất Điều ngợc lại không đúng, nhng nếu thêm điều kiện thì ta có:

3.5 Mệnh đề Nếu X là không gian tôpô thoả mãn tiên đề đếm đợc thứ nhất

và X có đếm đợc phần tử thì X thoả mãn tiên đề đếm đợc thứ hai.

3.6 Định nghĩa Không gian tôpô X đợc gọi là không gian Frechet, nếu với

mọi tập A ⊂ X và mọi x ∈ A, tồn tại dãy {xn : n ∈ N} trong A sao cho {xn} hội

tụ về x

3.7 Mệnh đề Cho X, Y là hai không gian tôpô và ánh xạ f: X → Y liên tục, toàn ánh và đóng Khi đó, nếu X là không gian Frechet thì Y cũng vậy.

Chứng minh Ta sẽ chứng minh Y là không gian Frechet Thật vậy, giả sử A

⊂ Y và y ∈ A bất kỳ Ta chứng minh tồn tại dãy {yn : n ∈ N} ⊂ A sao cho {yn} hội tụ về y

Vì y ∈ A và f là toàn ánh nên tồn tại x ∈ f − 1 ( A ) sao cho y = f(x)

Do f là ánh xạ liên tục và đóng nên theo mệnh đề 1.29, ta có f − 1 ( A ) = f − 1 ( A )

Mà theo giả thiết, X là không gian Frechet, nên tồn tại dãy {xn : n ∈ N} ⊂ f

-1(A), sao cho dãy {xn} hội tụ về x ∈ f − 1 ( A )

Bây giờ, với mỗi n ∈ N ta chọn yn = f(xn) Khi đó, {yn: n ∈ N} là một dãy trong A Hơn nữa, f là ánh xạ liên tục, dãy {xn} hội tụ về x nên ta có {f(xn)} sẽ hội

tụ về f(x), tức là {yn: n ∈ N} hội tụ về y Vậy Y cũng là không gian Frechet

Ta cũng dễ dàng chứng minh đợc kết quả sau

3.8 Mệnh đề Không gian con của không gian Frechet là không gian Frechet 3.9 Mệnh đề Nếu không gian tôpô X thoả mãn tiên đề đếm đợc thứ nhất thì X

là không gian Frechet.

Chứng minh Giả sử X là không gian thoả mãn tiên đề đếm đợc thứ nhất Theo

định nghĩa, với mỗi x ∈ X sẽ tồn tại một cơ sở lân cận đếm đợc Bx

= {Bn(x): n ∈ N} tại x Ta giả sử A là tập con bất kỳ của X, khi đó với mỗi x

∈ A, do n

1 i

i ( x ) B

= là một lân cận của x, nên với mỗi n ∈ N,

i ( x ) B

= ∩ A Ta sẽ chứng minh dãy {xn} hội tụ về x Thật vậy, với U là lân cận bất kỳ của x, do Bx là một cơ sở lân cận tại điểm x nên tồn tại n0∈ N sao cho Bn0( x ) ⊂ U Khi đó với mọi n > n0

, ta có xn∈ n

1 i

i ( x ) B

= ⊂ Bn0( x ) ⊂ U, tức là {xn} hội tụ về x

Nh vậy X là không gian Frechet

3.10 Định nghĩa Không gian tôpô X đợc gọi là không gian dãy nếu mỗi tập A

⊂ X là tập đóng khi và chỉ khi không có dãy {xn} ⊂ A hội tụ về điểm x ∉ A

3.11 Mệnh đề Không gian con đóng của không gian dãy là không gian dãy Chứng minh Giả sử (X, τ) là không gian dãy, (Y,U ) là không gian con đóng của (X, τ) và tập A ⊂ Y

i) Nếu A đóng trong (Y,U ) thì A đóng trong (X, τ), mà X là không gian dãy nên theo định nghĩa không có dãy {xn} ⊂ A hội tụ về x ∉A.

ii) Giả sử A là tập chứa tất cả các điểm hội tụ của dãy bất kỳ trong A đối với

U Ta sẽ chứng minh A đóng trong Y Trớc hết ta chứng minh A đóng trong X Lấy dãy {xn} ⊂ A bất kỳ sao cho dãy {xn} hội tụ về x đối với τ Vì xn∈ A ⊂ Y với n =

1, 2, ,… (X, τ) là không gian dãy và Y đóng nên x ∈ Y Theo mệnh đề 1.25 ta có {xn} hội tụ về x đối với U và theo giả thiết về tập hợp A, ta có x ∈ A

Nh vậy, A đóng trong X, từ đó A đóng trong Y

3.12 Định nghĩa Không gian tôpô X đợc gọi là không gian mêtric hoá đợc,

nếu tồn tại một mêtric trên X, sao cho tôpô sinh bởi mêtric này trùng với tôpô ban đầu của không gian X

3.13 Định nghĩa Không gian tôpô X đợc gọi là không gian Lasnev nếu nó là

ảnh đóng của một không gian mêtric qua ánh xạ liên tục

3.14 Mệnh đề([5]) Không gian Sω1là một không gian Lasnev.

3.15 Định nghĩa Không gian tôpô X đợc gọi là không gian mêtric compact

nếu mọi dãy trong X đều tồn tại một dãy con hội tụ

Đ4 Không gian với k - lới bảo tồn bao đóng di truyền

4.1 Định nghĩa Họ P các tập con của không gian tôpô X đợc gọi là k -

lới, nếu với mọi tập compact K và mọi tập mở U của X sao cho K ⊂ U, tồn tại

họ hữu hạn P * của P sao cho K ⊂∪P * ⊂ U

4.2 Mệnh đề Mọi không gian tôpô đều có một k - lới.

Chứng minh Gọi P = {P ⊂ X : P mở trong X} Giả sử K là tập compact và U là tập mở trong X sao cho K ⊂ U Khi đó, tồn tại họ con {Pi : i ∈ I} của P sao cho K ⊂ 

I i i P

Nh vậy, P là một k - lới của không gian tôpô X

4.3 Định nghĩa a) Họ P = {Aα : α ∈ I} các tập con của không gian tôpô X

đợc gọi là bảo tồn bao đóng di truyền và viết tắt là HCP nếu với mọi họ J

⊂ I và mọi tập Bα ⊂ Aα với α∈ J ta có  

J J

B B

4.4 Ví dụ Xét không gian tôpô X với tôpô rời rạc trên nó Khi đó, ký hiệu

P = {P : P đóng trong X} := {Pα : α ∈ I} Ta sẽ chứng minh P là k - lới HCP của X Giả sử K là tập compact và U là tập mở trong X sao cho K ⊂ U Khi đó,