Các không gian với phủ và k lưới

Giả sử X là một không gian tôpô và A ⊂ X giaocủa họ tất cả các tập hợp đóng chứa A đợc gọi là bao đóng của tập hợp A.. Nếu Y và f -1 y là các không gian thoả mãn tiên đề đếm đợc thứ nhất

Trờng đại học vinh

Khoa toán -

các không gian với phủ và k -lới

khoá luận tốt nghiệp đại học

Lời mở đầu

Chúng ta đã quá quen thuộc với các Định lý về phép mêtric hoá cơ bảnchẳng hạn, chúng ta có Định lý về phép mêtric hoá của Nagata-Smirnov nóirằng một không gian chính quy là cả khả mêtric nếu và chỉ nếu nó có một cơ

sở mở hữu hạn σ -địa phơng, và các Định lý khác, đặc biệt là các Định lý vềphép mêtric trên các không gian Moore, các M-không gian và các không gianmêtric phổ biến khác

Một phủ P là một “k-lới” đối với X nếu với tập compact K và tập mở Unào đó mà K⊂ U thì tồn tại một P′⊂ P,P′ hữu hạn để K ⊂ P' ⊂U

Những không gian Lasnev và các không gian thơng đã biết của các không gian mêtric có thể đựơc đặc trng bởi các phơng pháp của k-lới

Trong khoá luận này chúng ta nghiên cứu lý thuyết về phép mêtric hoátheo ngôn ngữ của các tôpô yếu, các k-lới, và làm rõ một số Định lý về phépmêtric hoá cơ bản

Chúng ta giả thiết tất cả các không gian là Hausdorff và tất cả các ánhxạ là liên tục

Với mục đích nh vậy, khoá luận đợc trình bày theo các phần nh sau:

Chơng 1 Trình bày một số kiến thức và tính chất cơ bản của tôpô đại

c-ơng để làm cơ sở cho các phần sau

Chơng 2 Trình bày các khái niệm nh không gian Frêchet, các khônggian chứa bản sao của Sωvà các không gian đợc làm trội bởi tập con mêtric.Cuối cùng cho tôi gửi lời cảm ơn sâu sắc nhất tới PGS.TS.TRầN VĂN

ÂN, ngời đã trực tiếp hớng dẫn tôi hoàn thành khoá luận này Đồng thời chotôi gửi lời cảm ơn đến các thầy giáo, cô giáo trong Khoa Toán - Trờng ĐạiHọc Vinh đã quan tâm, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập tại trờng Do

điều kiện thời gian và những hạn chế về năng lực nên khoá luận sẽ khôngtránh khỏi những thiếu sót Rất mong nhận đợc những ý kiến đóng góp củaquý thầy cô và các bạn

Vinh, tháng 4 năm 2005

Tác giả

Chơng I Các kiến thức chuẩn bị

Đ1 Một số khái niệm cơ bản

1.1.1 Định nghĩa Cho tập X ≠φ Họ τ các tập con của X đợc gọi

là một tôpô trên X, nếu nó thoả mãn:

(i) φ ∈τ, X ∈τ;

(ii) Với mọi A,B ∈τ thì A ∩ B ∈τ;

(iii) Với mọi họ { Aα: α∈ I } ⊂τ thì I Aα

Khi đó, (X, τ) đợc gọi là không gian tôpô, mỗi phần tử của X gọi là một

điểm trong không gian tôpô ( X, τ ) Mỗi tập A ∈ τ gọi là một tập mở Phần

bù của tập mở đợc gọi là tập đóng Nếu không sợ nhầm lẫn các tôpô trên X ta

viết không gian X thay cho không gian ( X, τ )

1.1.2 Nhận xét Từ định nghĩa trên ta có các nhận xét sau:

(i) φ và X là các tập mở;

(ii) Giao của hai tập mở là một tập mở;

(iii) Hợp của một họ tuỳ ý các tập mở là tập mở

1.1.3 Định nghĩa Cho không gian tôpô ( X,τ ) và B ⊂ τ, B đợc gọi

là cơ sở của tôpô τ nếu với mọi V ∈ τ và với mọi x ∈ V, tồn tại U ∈B sao

cho x ∈ U ⊂ V

1.1.4 Định nghĩa a Cho không gian tôpô ( X,τ ), x ∈ X Tập U ⊂ X

đợc gọi là lân cận của điểm x, nếu tồn tại V ∈τ sao cho x ∈ U ⊂ V

b Gọi Υ(x) là họ tất cả các lân cận của x, khi đó họ con B(x) của

U(x) đợc gọi là cơ sở lân cận tại điểm x, nếu với mọi V ∈ Υ(x), tồn tại U

∈B(x), sao cho x ∈ U ⊂ V

1.1.5 Định nghĩa Họ P các tập con của không gian tôpô X đợc gọi

là điểm đếm đợc (point - countable) Nếu mỗi x ∈ X thì x đợc chứa trongnhiều nhất là đếm đợc các phần tử p ∈P

1.1.6 Định nghĩa Giả sử X là một không gian tôpô và A ⊂ X giaocủa họ tất cả các tập hợp đóng chứa A đợc gọi là bao đóng của tập hợp A Ký

hiệu A hay clA

1.1.7 Nhận xét (i) A là tập đóng và là tập đóng nhỏ nhất chứa A;

(ii) Tập A ⊂ X là đóng khi và chỉ khi A = A;

Tập A ∩ X \ A đợc gọi là tập biên của tập hợp A và ký hiệu ∂A.

(ii) Mỗi điểm x ∈∂A đợc gọi là điểm biên của A

1.1.10 Định lý Điểm x ∈ X đợc gọi là điểm biên của A khi và chỉ khi với lân cận U bất kỳ của x, ta có U ∩ A ≠φ và U ∩ (X \ A) ≠φ

1.1.11 Định nghĩa Giả sử A là một tập hợp con của không gian tôpô

X, điểm x ∈ X đợc gọi là điểm tụ của tập hợp A nếu x ∈ \ { }A x

Tập hợp tất cả các điểm tụ của tập A ký hiệu là Ad

Điểm x là điểm tụ của tập hợp A khi và chỉ khi một lân cận bất kỳ Ucủa x đều chứa ít nhất một điểm y của A khác x

1.1.12 Định nghĩa Cho không gian tôpô X Khi đó điểm x∈X đợcgọi là điểm cô lập của X nếu { }x là tập mở

1.1.13 Định nghĩa Cho không tôpô X Dãy {xn: n ∈ N} đợc gọi là

hội tụ về điểm x, nếu với lân cận V bất kỳ của x thì bắt đầu từ lúc nào đó, các

phần tử của dãy {xn} đều nằm trong V

Lúc đó, ta gọi x là điểm hội tụ của dãy {xn}

1.1.14 Mệnh đề Cho X là không gian tôpô và {x n : n ∈ N} là dãy trong X hội tụ về điểm x ∈ X Khi đó, {xn: n ∈ N} ∪ {x} là tập compact

Chứng minh Đặt A = {xn : n ∈ N} ∪ {x} Giả sử {Aα: α∈ I} là mộtphủ mở của A, khi đó tồn tại α0 ∈ I sao cho x ∈ Aα0mà dãy {xn} hội tụ về x

và Aα0 là tập mở nên tồn tại n0 ∈N sao cho xn∈ Aα0, với mọi n ≥ n0 Do đó

{xn: n ≥ n0}∪{x}⊂ Aα0

{xn: n ∈ N} ∪ {x} ⊂ 1

1

n i i A

1.1.15 Định nghĩa Cho không gian tôpô X và tập A ⊂ X Điểm x ∈

X đợc gọi là điểm giới hạn của tập A nếu mọi lân cận Ux của x đều chứa một

điểm khác x trong tập A

Ký hiệu A′là tập hợp tất cả các điểm giới hạn của X

1.1.16 Nhận xét Nh vậy x ∈ X là điểm giới hạn của A nếu với mọi

Ux là lân cận của x thì (Ux \ {x}) ∩ A ≠φ

Một điểm x không là điểm giới hạn đợc gọi là điểm cô lập

1.1.17 Định nghĩa Cho X, Y là hai không gian tôpô.

(i) ánh xạ f: X → Y đợc gọi là ánh xạ liên tục nếu nghịch ảnh của

(i) f liên tục;

(ii) f -1 (V) mở trong X, với mọi tập V mở trong Y;

(iii) f -1 (V) đóng trong X, với mọi tập V đóng trong Y;

(iv) f( A ) ⊂ f A( ) với mọi tập A ⊂ X;

(v) f−1( )B ⊂ f -1 ( B ) với mọi tập B ⊂ Y.

1.1.19 Mệnh đề Nếu ánh xạ f: X → Y từ không gian tôpô X vào không gian tôpô Y là ánh xạ liên tục và đóng khi đó

(i) f( A ) = f A( ) với mọi tập A ⊂ Y;

(ii) f−1( )B ⊂ f -1 ( B ) với mọi tập B ⊂ Y.

Từ (3) và (4) ta có f-1(B) = f−1( )B

1.1.20 Mệnh đề Cho f: X → Y là ánh xạ đóng Giả sử A ⊂ X sao cho mọi tập con của A đều đóng trong X Khi đó mọi tập con của f(A) đều

đóng trong Y

Chứng minh Giả sử F là tập con bất kỳ của f(A) Khi đó tồn tại B ⊆

A sao cho f (B) = F Do mọi tập con của A đều đóng, suy ra B đóng Mà f là

ánh xạ đóng nên f (B) đóng

Vậy F đóng, với mọi F ⊂ f (A)

1.1.21 Định nghĩa (i) Họ P các tập con của không gian tôpô X đợcgọi là một phủ của tập con A trong X nếu A ⊂ {P: P ∈P }.

Ta viết  P thay cho  {P: P ∈P }

(ii) Họ P các tập con của không gian tôpô X đợc gọi là một phủ của Xnếu X =  P.

1.1.22 Định nghĩa Cho X là không gian tôpô và P là một phủ của X.Phủ B của X đợc gọi là cái mịn của P nếu mỗi phần tử của phủ B đợc chứatrong phần tử nào đó của phủ P

1.1.23 Định nghĩa Cho không gian tôpô X Họ P các tập con của X

đợc gọi là một lới trong X nếu P là một phủ của X sao cho với mọi x ∈ X vàmoi tập mở U chứa x tồn tại một phần tử P ∈P sao cho x ∈ P ⊂ U

1.1.24 Bổ đề Giả sử f: X → Y là ánh xạ liên tục, đóng với X là không gian chính quy Nếu Y và f -1 (y) là các không gian thoả mãn tiên đề

đếm đợc thứ nhất với mọi y ∈ Y thì X cũng là không gian thoả mãn tiên đề

đếm đợc thứ nhất.

Chứng minh Giả sử x ∈ X, y = f(x) và {Vn} là cơ sở lân cận giảm tại ytrong không gian Y và {Un} là cơ sở lân cận giảm tại x trong f-1(y), với mỗi n

ta chọn tập mở Wn trong X sao cho x ∈ Wn⊂ f-1(Vn), Wn ∩ f-1(y) ⊂ Un và W n+1

⊂Wn Ta sẽ chứng minh {Wn} là cơ sở lân cận đếm đợc tại x trong X Giả sửngợc lại {Wn} không là cơ sở lân cận tại x Khi đó, tồn tại một lân cận G của x trong

X sao cho Wn \ G ≠φ, với mọi n Với mỗi n ta lấy một xn ∈ Wn \ G Khi đó, dãy{xn} không có điểm tụ trong X Thật vậy, vì X là T2-không gian nên f-1 (y) cũng

là T2-không gian với mọi y ∈ Y Do đó {x} =

tụ của dãy {xn} thì z = x nhng điều này mâu thuẫn vì tồn tại một lân cận G của x

mà G không chứa điểm xn nào cả Do dãy{xn} không có điểm tụ nào trong X nênmọi tập con của nó đều đóng Bây giờ ta chọn số n0 để Wn ∩ f-1 (y) ⊂ G Vớimọi n > n0 và giả sử A = {xn : n > n0} Khi đó dãy {xn} không có điểm tụ trong

X nên A là tập đóng trong X Vì x ∈ G nên x ∉ A Do đó, y = f(x) ∉ f(A) = B.Mặt khác vì {Vn} là cơ sở lân cận giảm tại điểm y, Wn ⊂ f-1(Vn), với mọi n và xn

∈ Wn nên y ∈ B = f A( ) Điều này kéo theo y∈B\ B vì thế tập hợp B = f(A)không đóng trong Y Từ đó suy ra f không phải là ánh xạ đóng Điều này mâuthuẫn với giả thiết, vì thế điều giả sử là sai

Vậy họ{Wn} là cơ sở lân cận tại điểm x

1.1.25 Định nghĩa Tập con G của không gian tôpô X đợc gọi là Gδ

-tập nếu G là giao của đếm đợc các tập mở trong X

Từ nay về sau tất cả các không gian đợc giả thiết là T2-không gian vàcác ánh xạ là liên tục

Đ 2 Một số không gian đặc biệt

1.2.1 Định nghĩa (i) Không gian X đợc gọi là T 1-không gian, nếu

mỗi phần tử 2x ∈ X thì {x} là tập đóng

(ii) Không gian X đợc gọi là T2-không gian (Hausdoff), nếu mỗi cặp

điểm khác nhau x1, x2 ∈ X, tồn tại một lân cận U của x1 và một lân cận Vcủa x2 sao cho U ∩ V = φ

(iii) Không gian X đợc gọi là không gian chính quy nếu với mỗi điểm

x ∈ X, mỗi tập đóng F sao cho x ∉ F, tồn tại các tập mở U vàV sao cho x ∈

-1.2.3 Định nghĩa Không gian tôpô X đợc gọi là không gian compact

nếu với mỗi phủ mở của nó chứa một phủ con hữu hạn

Không gian tôpô X đợc gọi là paracompact nếu nó là không gian

chính quy và mỗi phủ mở của nó là cái mịn hữu hạn địa phơng

Không gian mêtric là không gian tôpô paracompact

1.2.4 Định nghĩa Không gian tôpô X đợc gọi là không gian thoả mãn

tiên đề đếm đợc thứ nhất nếu với mọi x ∈ X, tồn tại cơ sở đếm đợc tại x

Không gian mêtric là không gian thoả mãn tiên đề đếm đợc thứ nhất

1.2.5 Định nghĩa Không gian tôpô X đợc gọi là không gian mêtric

hoá đợc nếu tồn tại một mêtric trên X, sao cho tôpô sinh bởi mêtric này trùng

với tôpô ban đầu của không gian X

1.2.6 Định nghĩa Không gian tôpô X đợc gọi là không gian Lasnev,

nếu nó là ảnh đóng của một không gian mêtric qua ánh xạ liên tục

1.2.7 Định nghĩa Không gian tôpô X đợc gọi là không gian mêtric

compact nếu mọi dãy trong X đều tồn tại một dãy con hội tụ

G là không gian rời rạc nếu nh mỗi điểm của nó là lân cận của chính

nó

1.2.8 Định nghĩa Không gian tôpô X đợc gọi là khả li nếu tồn tại tập

con đếm đợc trù mật khắp nơi trong X

Không gian tôpô X đợc gọi là khả li di truyền, nếu mọi tập con của nó

cùng với tôpô cảm sinh là không gian khả li

1.2.9 Định nghĩa Không gian tôpô X đợc gọi là compac địa phơng

nếu mỗi điểm a của không gian X, tồn tại lân cận U ∋ a sao cho Ulàcompact

1.2.10 Nhận xét Mọi không gian compact đều là compact địa phơng

Mọi không gian rời rạc đều là compact địa phơng

1.2.11 Định nghĩa Không gian tôpô X đợc gọi là k-không gian nếu A

⊂ X là đóng trong X khi và chỉ khi A ∩ K là tập đóng trong K với mọi tậpcompact K ⊂ X

Chơng II Các không gian với phủ và k- lới

Đ1 Các không gian chứa bản sao của Sω hoặc S 2

2.1.1 Định nghĩa Cho Lo ={an , n ∈ N} ∪ {∞} là dãy vô hạn với điểmgiới hạn ∞, ở đây N đợc hiểu là tập hợp các số tự nhiên Với mỗi n ∈ N, lấy Ln làdãy hội tụ vô hạn chứa điểm giới hạn an, lấy L là tổng tôpô

Σ{Ln: n ∈ N}

Sω là không gian thơng xác định từ L bằng việc đồng nhất tất cả các điểmgiới hạn an thuộc L với điểm ∞

S2 là không gian thơng xác định từ tổng tôpô L0 và L bằng việc đồngnhất mỗi điểm an thuộc L0 với điểm giới hạn an thuộc L Khi đó hợp củacác tập có dạng {∞}∪ {an: n ≥ m} ∪ {Un : n≥ m} trong đó Un là một lân cậncủa an trong Ln, là cơ sở lân cận (bằng lân cận địa phơng) của {∞} trong S2.

2.1.2 Định nghĩa Một không gian X đợc gọi là không gian Frechet,

nếu với mọi A ⊂ X và với mọi x ∈ A, tồn tại dãy {Xn: n ∈ N} trong A hội tụtới x

Một không gian X đợc gọi là không gian Frechet mạnh nếu với mọi

dãy giảm {An : n ∈ N} với x ∈ I {A n : n ∈ N} tồn tại một dãy {xn: n ∈

N} hội tụ tới điểm x với xn∈ An

2.1.3 Ví dụ Không gian thoả mãn tiên đề đếm đợc thứ nhất là Frechet mạnh

Không gian Frechet mạnh là không gian Frechet

2.1.4 Mệnh đề Mọi ảnh đóng của một không gian thoả mãn tiên đề

đếm đợc thứ nhất là Frechet

Chứng minh Cho f : S → X là ánh xạ đóng với S thoả mãn tiên đề

đếm đợc thứ nhất Lấy x ∈ A trong X.

Chọn B ⊂ S sao cho f( B ) = A Khi đó, f-1(x) ∩ B ≠φ Vì thế chọn b

∈ f-1(x) ∩ B Khi đó tồn tại một dãy {b n : n ∈ N} trong B hội tụ tới b Vậy{f(bn ): n ∈ N} là dãy trong A hội tụ tới x Nh vậy X là Frechet

2.1.5 Định nghĩa Cho X là một không gian Một tập con U của X

đ-ợc gọi là mở theo dãy nếu với mỗi dãy trong X hội tụ tới một điểm trong U

thì thuộc U

Một không gian X đợc gọi là không gian dãy nếu mọi tập con mở theo

dãy của X thì mở trong X

2.1.6 Nhận xét Không gian thoả mãn tiên đề đếm đợc thứ nhất là

không gian dãy

Không gian dãy rõ ràng là ảnh thơng của không gian mêtric

Không gian dãy là k-không gian, k-không gian rõ ràng là ảnh thơngcủa không gian compact địa phơng

2.1.7 Mệnh đề Mỗi khẳng định sau kéo theo X là không gian dãy.

(1) X là một không gian Frechet;

(2) X là ảnh thơng của một không gian thoả mãn tiên đề đếm đợc thứ nhất;

(3) X là một k-không gian trong đó mọi điểm đều là Gδ.

Chứng minh Cho U là tập mở theo dãy trong X Chúng ta thấy rằng U

mở trong X

(1) Giả sử X là không gian Frechet U là tập không mở trong X Khi

đó X\ U không đóng Suy ra tồn tại x \ ∈ X Unhng x \ ∉ X U Vì X là Frechet nêntồn tại dãy { } xn ⊂ X \ U , xn→ x Lại do x∈U ,và U mở theo dãy nên {x n} ∈U Điều

(2) Giả sử f: S → X là ánh xạ thơng với S thoả mãn tiên đề đếm đợcthứ nhất Do f-1(U) là mở theo dãy trong S, S là không gian thoả mãn tiên đề

đếm đợc thứ nhất nên f-1(U) là mở trong S.Vì vậy do f là ánh xạ thơng nên U

là mở trong X

(3) Giả sử K là tập compact bất kỳ của X Khi đó mỗi điểm x của K

là một Gδtrong K, tồn tại một dãy {Vn: n ∈ N} các tập mở trong K sao cho

1

n n

V + ⊂V và { }x =  {V n:n∈N} Bởi vì K là compact, {Vn: n ∈N} là cơ sở lâncận của x trong K Khi đó, K thoả mãn tiên đề đếm đợc thứ nhất Vì K∩U

mở theo dãy trong k nên K ∩ U là mở trong K Do X là k-không gian, ta suy

ra U là mở trong X

2.1.8 Định nghĩa Một không gian X đợc gọi là c-không gian nếu với

mỗi x ∈ A thì x ∈ C với tập con đếm đợc C nào đó của A.

2.1.9 Mệnh đề Mỗi không gian dãy X là c-không gian

Chứng minh Giả sử X là không gian dãy, A là tập con bất kỳ của X.

Lấy x ∈ A và

B = U{C : C là tập con đếm đợc của A},

cho D ⊂ B đếm đợc Khi đó D ⊂ C với C là tập con đếm đợc nào đó của A Vậy D ⊂ B Điều đó cho thấy B ∩ E là đóng trong E, với mọi E đếm đợc, E

⊂ X Rõ ràng B ∩ C là đóng trong C với mọi dãy hội tụ C trong X Vì X làkhông gian dãy, nên B đóng trong X Vì vậy x ∈ A = B = B Khi đó x ∈ C

với C đếm đợc nào đó trong A

2.1.10 Hệ quả Mỗi không gian thoả mãn tiên đề đếm đợc thứ nhất

là c-không gian.

Chứng minh Giả sử X là không gian thoả mãn tiên đề đếm đợc thứ

nhất, A là tập con bất kỳ của X có tính chất là nếu {xn} là dãy tuỳ ý trong A

mà xn→ x thì x ∈ A Khi đó A là tập đóng trong X

Hiển nhiên A ⊂ A

Ngợc lại, giả sử x ∈ A , vì X là không gian thoả mãn tiên đề đếm đợc

thứ nhất nên tại x tồn tại cơ sở lân cận đếm đợc {Un}

Khi đó, ta có dãy {xn} ⊂ A và xn → x Do đó x ∈ A, vậy A đóng trong X suy

ra X là không gian dãy áp dụng Mệnh đề 2.1.8 suy ra X là c-không gian

2.1.11 Mệnh đề (Nogura và Tanaka [1988]) Cho X là một c-không

gian Khi đó, X chứa một bản sao của Sω (tơng ứng S2) nếu và chỉ nếu nó chứa một bản sao đóng của Sω (tơng ứng S2).

Chứng minh Điều kiện cần dễ thấy.

Ta chứng minh điều kiện đủ cho trờng hợp S2 Vì mọi tập con của X làmột c-không gian, giả sử X chứa:

S2 = {∞} ∪ {Un: n ∈ N} ∪ (N x N)

nh một tập con trù mật Vì vậy T(f) là đồng phôi theo S2, điều đó đủ cho thấy T(f) đóng trong X

Để chứng minh điều đó, ta giả sử rằng T(f) là không đóng trong X với mọi

f ∈ F Cho A(f) = S2 \ T(f), trớc hết ta có ∞∈ U{A(f) \ A(f): f ∈ F} cho U là lân cận của ∞ trong X Chọn một tập mở V trong X sao cho ∞∈ V ⊂ V⊂ U

Đặt M = {n ∈ N : an∉ V} Khi đó, M là một tập hữu hạn

Đặt W = U ∪{an: n ∈ M} ∪ {Tn: n ∈ M}

trong đó, Tn = {n} x N Khi đó, W ∩ S2 là lân cận của H trong S2 Chọn T(g) sao cho H ⊂ T(g) ⊂ W ∩ S2 Khi đó, ( )T g \T(g) là tập con khác rỗng của V