K lưới đếm được theo điểm và các vấn đề liên quan

Mục đích của luận văn là tập trung nghiên cứu các loại lới, mối quan hệ giữa chúng và các không gian với các loại lới đếm đợc theo điểm, xétmột số bất biến qua các loại ánh xạ thông qua

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn: GS.TS Trần Văn Ân

VINH - 2005

Lời mở đầu

Các phủ đếm đợc với các đặc trng khác nhau nh k-lới, cs*-lới, lới, p-k lới,… hay thoả mãn điều kiện (C1), (C2), (C3), đã đợc nhiều nhàtoán học quan tâm nghiên cứu nh Chuan Liu, Shou Lin, Y Tanaka, PengfeiYan Đặc biệt là công trình của Y Tanaka đã chỉ ra đợc các điều kiện tơng

wcs*-đơng để k-lới tồn tại và một số vấn đề liên quan đến k-lới Dới sự hớng dẫncủa thầy giáo, PGS TS Trần Văn Ân chúng tôi đã mạnh dạn tiếp cận hớngnghiên cứu trên

Mục đích của luận văn là tập trung nghiên cứu các loại lới, mối quan

hệ giữa chúng và các không gian với các loại lới đếm đợc theo điểm, xétmột số bất biến qua các loại ánh xạ thông qua một số kết quả của G.Gruenhage, E Michanel và Y Tanaka trong [12] và [5] Đặc biệt là chú ý

đến mối quan hệ giữa các loại lới và tập trung nghiên cứu hai loại khônggian Lasnev và không gian Moore Với mục đích trên, ngoài phần phụ lục,tài liệu tham khảo luận văn đợc trình bày theo ba chơng nh sau

Trong chơng 1 đầu tiên chúng tôi giới thiệu về các loại lới đếm đợctheo điểm Sau đó trình bày mối liên hệ giữa các loại lới, chứng minh đợccác mệnh đề nêu trong [12] nhng cha đợc chứng minh hay chứng minh vắntắt nh 1.2.10, 1.2.12, 1.2.14

Sau đó đa ra đợc một số ví dụ về các không gian có loại lới đếm đợctheo điểm

Trong chơng 2 sau khi trình bày một số kiến thức liên quan cần sửdụng trong luận văn, chúng tôi chứng minh một số tính chất và hệ quả củakhông gian Lasnev và không gian Moore đơc nêu trong [12] nhng chachứng minh hoặc chứng minh còn vắn tắt nh : 2.1.2, 2.1.8, 2.1.16, 2.1.12,2.1.13, 2.1.17

Trong chơng 3, sau khi trình bày tóm tắt một số loại ánh xạ và mốiliên hệ giữa chúng, chúng tôi xét sự bảo tồn của các không gian qua ánh xạthơng, ánh xạ hoàn chỉnh, s-ánh xạ, ánh xạ giả mở Đặc biệt xét tính bảotồn của không gian Lasnev qua ánh xạ đóng 3.2.8.

Trong quá trình tìm tòi nghiên cứu hoàn thành luận văn, chúng tôi đã

đặt ra một số vấn đề, do điều kiện thời gian và lợng kiến thức, năng lực cònhạn chế nên cha có kết quả Vì vậy chúng tôi xin giới thiệu vào phần cuốicủa khoá luận để tiếp tục tìm hiểu

Nhân dịp này, tôi xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tớithầy giáo PGS TS Trần Văn Ân, ngời đã trực tiếp tận tình hớng dẫn tôihoàn thành luận văn này Đồng thời tôi xin chân thành cảm ơn các thầy côgiáo trong Tổ Giải Tích, Khoa Toán, Khoa sau đại học đã nhiệt tình giảngdạy, tất cả các bạn bè đã động viên, giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi suốtquá trình học tập, nghiên cứu tại trờng Đại học Vinh Nhân dịp này tôi xinchân thành cảm ơn tới Sở Giáo dục đào tạo Nghệ An, ban giám hiệu trờngPTTH Phan Bội Châu, cùng ban bè đồng nghiệp đã tạo điều kiện giúp đỡtôi trong suốt quá trình học tập Do điều kiện thời gian và năng lực còn hạnchế nên khoá luận không thể tránh khỏi những thiếu sót Rất mong quýthầy cô và các bạn đóng góp ý kiến

Vinh, tháng 12 năm 2005

Tác giả

Chơng 1 Mối quan hệ giữa các loại lới

1.1 Các khái niệm cơ bản

Trong chơng này các không gian đợc giả thiết là T1, chính quy, các ánhxạ f: X→Y là liên tục, lên

1.1.1 Định nghĩa Giả sử X là một không gian và P là một phủ của

X (không nhất thiết phải mở hay đóng) Đặt P < ω = {P'' ⊂ P : p' < ω},trong đó p ′ ký hiệu lực lợng của họ p ′

i) P đợc gọi là một lới tại x ∈ X nếu với bất kỳ U mở trong X, x ∈ Uthì tồn tại P ∈ P sao cho x ∈ P ⊂ U

ii) P đợc gọi là k-lới nếu với bất kỳ U mở trong X, K ⊂ U với K làtập con compact của X thì tồn tại P ' ∈ P < ω sao cho K ⊂ ∪ P ' ⊂ U, trong

đó ∪ P ' = ∪ {P: P ∈ P '} = ∪ P '

iii) P đợc gọi là một p-k lới nếu với bất kỳ y ∈ X, K là tập compact trong

X sao cho K ⊂ X \{y} thì tồn tại P ' ∈ P < ω sao cho K ⊂ ∪ P ' ⊂ X\{y}

iv) P đợc gọi là một cs-lới nếu với bất kỳ {xn} là dãy trong X hội tụtới x ∈ X và U là một lân cận của x thì tồn tại n ∈ N và P ∈ P sao cho {x}

∪{xm: m ≥ n} ⊂ P ⊂ U

v) P đợc gọi là một cs*-lới nếu {xn} là dãy trong X hội tụ tới

x ∈ X và U là một lân cận của x thì tồn tại dãy con {x } của {xni n} và P ∈P

sao cho {x}∪{x : i n ∈ Ơ } ⊂ P ⊂ U

vi) P đợc gọi là wcs*-lới nếu {xn} là dãy trong X hội tụ tới x ∈ X và U

là một lân cận của x thì tồn tại dãy con { }xn i của {xn}và P ∈ P sao cho {x :ni

i ∈ Ơ } ⊂ P ⊂ U

vii) P đợc gọi là một p-wcs*-lới nếu {xn} là dãy trong X hội tụ tớix∈X và y≠x thì tồn tại dãy con { }xn i của {xn} và P ∈ P sao cho{x : i ni ∈Ơ } ⊂ P ⊂ X \{y}

1.1.2 Định nghĩa Tập con P của không gian tô pô X đợc gọi là một

lân cận dãy của x trong X nếu với mọi dãy {xn} hội tụ về x thì luôn tồn tại

n0 ∈Ơ sao cho xn ∈ P với mọi n ≥ n0

1.1.3 Định nghĩa Giả sử Px là họ các tập con chứa x của X, Px đợcgọi là một lới tại x nếu mỗi lân cận U của x đều tồn tại P ∈ Px mà P ⊂ U

1.1.4 Định nghĩa Giả sử phủ P của không gian tôpô X đợc cho bởi

P = {Px : x∈X}, trong đó mỗi Px là một họ các tập con chứa x của X saocho

(1) Mỗi Px là một lới tại x, nghĩa là với mọi lân cận U của X đều tồntại P∈ Px mà P⊂U

(2) Nếu P1, P2∈Px thì đều tồn tại P3∈Px mà P3 ⊂P1 ∩P2 Phủ P đợcgọi là một sn-lới của X nếu với mỗi phần tử P ∈ Px là một lân cận dãy của

x trong X

1.1.5 Định nghĩa Giả sử phủ P đợc xác định nh trong định nghĩa 1.1.4.

Khi đó P đợc gọi là một cơ sở yếu của X nếu mỗi tập con mở G của X làtập mở khi và chỉ khi với mỗi x ∈ G luôn tồn tại P ∈ Px mà P⊂G

1.1.6 Mệnh đề [C] Nếu P là một cơ sở yếu thì P là sn- lới.

Chứng minh Giả sử P là một cơ sở yếu của không gian tôpô X Ta cầnchứng minh rằng với mỗi phần tử P ∈ Px là một lân cận dãy của x Thật vậy,giả sử ngợc lại tồn tại P0 ∈ Px không là lân cận dãy của x Khi đó sẽ tồn tạidãy {xn} ⊂ X\P0 mà {xn} hội tụ về {x} Do x∉{xn}nên {xn} không là tập

đóng Suy ra X\{xn} không là tập mở Mặt khác P là một cơ sở yếu nên vớimỗi a ∈ X\({xn}∪ {x}) luôn tồn tại P∈Pa mà P ⊂ X\({xn}∪ {x}) ⊂ X\{xn}.Tại x thì P0 ∈ Px và P0 ⊂ X\{xn} Do P là cơ sở yếu nên X\{xn} là một tập

mở Điều này mâu thuẫn với lập luận trên là X\ {xn} không là tập mở chứngminh ở trên Vậy P là sn- lới

1.1.7 Định nghĩa (i) Một họ {Aα}α ∈ I các tập con của không gian X

đợc gọi là họ HCP (hereditarily closure presering) nếu với họ J ⊂ I và với

mọi họ {Bα} α ∈ J sao cho Bα ⊂ Aα với mỗi α ∈ J ta có JBα JB

1.1.9 Mệnh đề ảnh một họ σ-HCP qua ánh xạ đóng là một họ

σ -HCP.

Chứng minh Giả sử P là một họ σ-HCP trong X ánh xạ f: X → Y là

ánh xạ đóng, liên tục, toàn ánh Ta cần chứng minh {f(P): P∈P} là họ

σ-HCP trong Y Thật vậy, vì P là σ-HCP nên P biểu diễn đợc dới dạng

1.1.10 Định nghĩa Không gian tô pô X đợc gọi là một không gian

Lindoloff nếu với mọi phủ mở tuỳ ý của X đều có một phủ con đếm đợc

1.1.11 Nhận xét Không gian thoả mãn tiên đề đếm đợc thứ hai là

không gian Lindoloff

1.1.12 Định nghĩa Tập A ⊂ X gọi là Gδ - tập nếu A là giao đếm đợccác tập mở chứa A

1.1.13 Định nghĩa (i) Không gian tôpô X là không gian dãy nếu A

⊂ X là đóng khi và chỉ khi không dãy nào trong A hội tụ đến một điểmnằm ngoài A

(ii) Không gian tôpô X đợc làm trội bởi P nếu hợp của họ tuỳ ý các

P'' ⊂ P là đóng trong X và đợc xác định bởi P''

1.1.14 Định nghĩa Không gian X đợc gọi là ℵ -không gian nếu có

một k-lới σ-hữu hạn địa phơng

1.2 Mối quan hệ giữa các loại lới

1.2.1 Mệnh đề Mỗi k-lới là một wcs*-lới.

Chứng minh Giả sử P là một k-lới, {xn} là một dãy trong X, xn → x ∈ X

và U là một lân cận của x Ta cần chỉ ra tồn tại P ∈ P và dãy {x : i∈ Ơ } ⊂ni{xn} sao cho {x : ini ∈Ơ } ⊂ P ⊂ U Vì U là lân cận của x và xn → x nên tồn tại

số n0 ∈ Ơ sao cho xn ∈ U với mọi n ≥ n0 Đặt K = {x} ∪ { xn : n ≥ n0} thì

K là tập con compact của X và K ⊂ U Vì P là một k- lới nên tồn tại họ hữu hạn P '

∈ P< ω của P sao cho K ⊂ ∪ P ' ⊂ U hay

{x} ∪ {x :n ≥ nn 0 }∪ P ' ⊂ U

Do P ' hữu hạn nên tồn tại P ∈P ' và một dãy con

{x :i ∈ Ơ } ⊂ {xni n : n ≥ n0} ⊂ {xn},sao cho

x :i ∈ Ơ } ⊂ P ⊂ X \{y} Vậy P là một p-wcs*-lới

1.2.3 Hệ quả Nếu P là một k-lới thì P là p-wcs*- lới.

1.2.4 Mệnh đề [A] Nếu P là một k-lới thì P là p-k-lới.

Chứng minh Giả sử P là một k-lới, y là phần tử bất kỳ của X, K là tập concompact trong X, K ⊂ X \{y} Đặt U = X \{y} thì U là tập mở trong X và K ⊂ U

Do đó tồn tại P ' ∈P < ω sao cho K ⊂∪P ' ⊂ U hay K ⊂∪P ' ⊂ X \{y} Suy ra

P là một p-k-lới

1.2.5 Mệnh đề Nếu P là một p-k-lới thì P là một p-wcs*-lới

Chứng minh Giả sử P là một p-k-lới {xn} là dãy trong X hội tụ tới x

∈ X và y ≠ x Ta cần chỉ ra tồn tại dãy con {x } của {xni n} và P ∈ P sao cho {

i

n

x : i∈Ơ } ⊂ P ⊂ X \{y} Vì X\{y} là lân cận của x và xn → x nên tồn tại số

n0 ∈Ơ sao cho xn ∈ X\{y} với mọi n ≥ n0 Đặt K = {x} ∪ {x : n n i ≥ n0} thì

K là tập con compact của X và K ⊂ X\{y} Vì P là một p-k-lới nên tồn tại

P' hữu hạn sao cho K ⊂ ∪P ' ⊂ X \{y} Do P ' là tập hữu hạn nên ắt tồn tại

P ∈ P ' ⊂ P và một dãy con {x : i∈ Ơ } ⊂ {ni x : n ≥ nni 0} ⊂ {xn} sao cho:

{x : i∈ni Ơ } ⊂ P ⊂ X \{y}

Vậy P là một p-wcs*-lới

1.2.6 Mệnh đề 1 Nếu P là một cs- lới thì P là một cs*-lới

2 Nếu P là một cs*-lới thì P là một wcs*-lới.

3 Nếu P là một wcs*- lới thì P là một p-wcs*- lới

Chứng minh 1 Giả sử {xn} là một dãy trong X, xn →x ∈ X và U làmột lân cận của x Vì P là một cs- lới nên tồn tại số tự nhiên n và P ∈ P

sao cho {x} ∪ {xm : m ≥ n} ⊂ P ⊂ U Do {xm : m ≥ n} là một dãy con của{xn} nên theo định nghĩa cs*-lới suy ra P là một cs*-lới

2 Giả sử P là một cs*-lới Khi đó với {xn} là một dãy trong X, xn→ x ∈ X

và U là một lân cận của x thì tồn tại dãy con {x : ini ∈Ơ } của {xn} và P∈ P saocho {x} ∪ {x : i∈ni Ơ } ⊂ P ⊂ U Từ đó suy ra {x : i∈ni Ơ } ⊂ P ⊂ U Do đó P

là một wcs*- lới

3 Giả sử P là một wcs*- lới và giả sử {xn} là một dãy trong X, xn → x ∈ X

Do {y} đóng trong X nên U = X \{y} là một lân cận của X Vì P là mộtwcs*-lới nên tồn tại dãy con {x : i∈ni Ơ } của {xn} và P ∈ P sao cho{x : i∈ Ơ } ⊂ P ⊂ U = X \{y} Vậy ni P là một p-wcs*-lới

1.2.7 Mệnh đề [C] Nếu P là một wcs*-lới đóng thì P là một cs*-lới.

Chứng minh Giả sử P là một wcs*-lới đóng của X, {xn} là một dãytrong X, xn→x∈X và U là một lân cận của x Khi đó tồn tại dãy con

{x : i∈ Ơ } của {xni n} và P ∈ P sao cho {x : i∈ Ơ }⊂ P ⊂ U Vì P đóng vàni

i

n

x →x nên x ∈ P Do dó {x} ∪ {x : i∈ Ơ }⊂ P ⊂ U Suy ra ni P là một cs*-lới

1.2.8 Mệnh đề Mỗi k-lới đóng là một cs*-lới.

Chứng minh Giả sử P là một k-lới đóng của X, {xn} là một dãy trong

X, xn →x∈X và U là một lân cận của x Theo chứng minh ở mệnh đề 1.2.1suy ra tồn tại P∈P ' và một dãy con {x :i ni ∈ Ơ } ⊂ {xn} sao cho

{x : i∈ Ơ } ⊂ P ⊂ U.ni

Vì P đóng và xni →x nên x∈P Do đó {x} ∪ {x : i∈ni Ơ } ⊂ P ⊂ U Vậy P là một cs*- lới

1.2.9 Bổ đề.[2] Mọi không gian với p-k-lới đếm đợc theo điểm là

khả mêtric (mêtric hoá đợc).

1.2.10 Định lý 1 Cho P là wcs*-lới đếm đợc theo điểm của không gian X Khi đó P là k-lới khi và chỉ khi P là wcs*-lới và mỗi tập con compact của X là compact dãy

2 Cho P là một phủ σ-HCP của X Thì P là k-lới khi và chỉ khi P là wcs*-lới

Chứng minh 1 * Điều kiện cần: Giả sử P là k-lới đếm đợc theo điểmcủa không gian tôpô X Theo 1.2.1 suy ra P là wcs*-lới Theo bổ đề 1.2.9,mọi không gian compact với k-lới điểm đếm đợc theo điểm là khả mêtric và

do đó là compact dãy Suy ra mỗi tập con compact của X là compact dãy

* Điều kiện đủ: Giả sử P là phủ có wcs*-lới và mỗi tập con compactcủa X là compact dãy, ta cần chứng minh P là một k-lới Thật vậy, giả sử

U là một tập mở bất kỳ trong X và K là một tập con compact của X sao cho

K ⊂ U Với mỗi x ∈ X nhờ tính chất đếm đợc theo điểm của phủ P ta đặt

{P ∈ P : x ∈ P ⊂ U} = {Pn(x) : n ∈ Ơ }

Khi đó K đợc phủ bởi một họ P''∈ P- < ω với P' ⊂ {Pn(x): x ∈ X, n ∈Ơ }.Giả sử ngợc lại K ⊄ ∪P'' với mọi P'' ⊂ {Pn(x) : x ∈ X, n ∈ Ơ } Khi đó với

x0 ∈ K ta có P0(x0) ∈ P suy ra {P0(x0)} ∈ P < ω Vì K ⊄ ∪ P ' = {P0(x0)} nêntồn tại x1 ∈ K\ P0(x0) Xét P' = {P0(x0), P1(x0), P0(x1), P1(x1)} Vì K ⊄ ∪ P'nên tồn tại x2 ∈ K\∪ P', tiếp tục quá trình trên ta xây dựng đợc dãy {xn}trong K sao cho xn∉ Pi(xj) với mọi i, j < n Vì K là compact dãy nên tồn tạidãy con S của {xn} hội tụ tới một điểm x trong K Vì P là một wcs*-lới nêntồn tại P ∈ P sao cho P ⊂ U và P chứa một dãy con S' của S Lấy xnk

∈ S' ; x nk ∈ P suy ra tồn tại m sao cho P = Pm (x ) Lấy n'nk k= max [m, nk] ta

đợc xn ∈ Pm (n'k) Điều này mâu thuẫn với cách xây dựng dãy {xn} Vậy P

là một k-lới

2 Giả sử P là một phủ của X có tính chất σ-HCP Vì P là k-lới nêntheo mệnh đề 1.2.1 P là wcs*-lới Do đó ta chỉ cần chứng minh điều ngợclại Giả sử P ={Pn : n ∈Ơ } là wcs*-lới có tính chất σ- HCP với Pn

⊂ Pn + 1, U là tập mở bất kỳ trong X và K là compact sao cho K ⊂ U Vớimỗi n ∈ Ơ , đặt:

Pn'= {P∈Pn : P ⊂ U và Un = ∪ Pn' }.

Vì mỗi điểm của K là Gδ-tập trong X (do đó trong K) nên tậpcompact K thoả mãn tiên đề đếm đợc thứ nhất Do đó K là tập compact dãy.Giả sử K ⊄ Un với mọi n = 1,2,…, khi đó với mỗi n = 1,2,… ắt tồn tại xn ∈K\Un Do K compact nên tồn tại dãy con {x }của {xnk n} sao cho

k

n

x → x ∈ K ⊂ U Vì P là wcs*-lới nên không mất tính tổng quát ta giả sửtồn tại P ∈ P sao cho { }xn k ⊂ P ⊂ U Từ đó suy ra P ∈ Pn' nào đó Điềunày mâu thuẫn với xnk ∉ Un k = ∪p' với mọi nnk k Do đó tồn tại i ∈ Ơ saocho K ⊂ Ui Nhng P'i là một phủ HCP nên tập compact K đợc phủ bởi một

số hữu hạn P ' ⊂P'i Thật vậy, ta có K ⊂ Ui = ∪ {P' : P' ∈P'i} Giả sử mọi

họ con hữu hạn của P'i đều không phủ K Lấy P0' ∈ P'i, khi đó ắt tồn tại x1

∈K\P'0 phủ K và tồn tại P'1 ∈ P'i sao cho x1 ∈ P'1 Vì P'1 ∪ P'0 không phủ Knên tồn tại x2 ∈ K\ (P'1 ∪ P'0) và tồn tại P'2 ∈ P'i sao cho x2 ∈P'2 Tiếp tục

lý luận tơng tự ta xây dựng đợc dãy {xn} ⊂ K, {P'n} ⊂ P'i sao cho xn ∈ P'n

với mọi n và xn ∉ P'k với mọi k < n Từ K là tập compact dãy suy ra tồn tạidãy con {x : k ∈ Ơ } ⊂ {xnk n} sao cho { }xn k hội tụ tới x ∈ K Khi đó ắt tồntại P' ∈ P'i sao cho x ∈ P' Từ Pi có tính chất HCP suy ra

Chứng minh * Điều kiện cần: Giả sử P là p-k-lới đếm đợc theo điểm.Khi đó theo mệnh đề 1.2.5 ta suy ra P là p-wcs*-lới Theo bổ đề 1.2.9 suy

ra mỗi tập compact K của X là mêtric hoá đợc Do đó K là tập compact dãy

* Điều kiện đủ: Giả sử P là p-wcs*-lới và mỗi tập con compact của X

là compact dãy, ta cần chứng minh P là p-k-lới Thật vậy, do {x} đóng nên U

= X \ {x} là tập mở trong X Giả sử K là một tập con compact của X sao cho

K ⊂ U Với mỗi x ∈ X nhờ tính chất đếm đợc theo điểm của P ta đặt

{P ∈ P : x ∈ P ⊂ U} = {Pn(x) : n ∈ Ơ }

Khi đó K đợc phủ bởi một họ P ' ∈P < ω với P ' ⊂ {Pn(x): x ∈ X, n ∈ Ơ }.Giả sử ngợc lại K ⊄ ∪ P ' với mọi P ' ⊂ {Pn (x) : x ∈ X, n ∈ Ơ } Khi đó với

x0 ∈ K ta có P0 (x0) ∈ P suy ra {P0 (x0)} ∈ P < ω Vì K ⊄ ∪ P' = {P0(x0)}nên tồn tại x1 ∈ K \P0(x0) Xét

P ' = {P0(x0), P1(x1), P0(x1), P1(x0)}

Vì K ⊄∪ P ' nên tồn tại x2 ∈ K \ ∪P ', tiếp tục quá trình trên ta xâydựng đợc dãy {xn} trong K sao cho xn ∈ Pi(xj) với mọi i, j < n Vì K làcompact dãy nên tồn tại dãy con S của {xn} hội tụ tới một điểm x trong K

Vì P là một p-wcs*- lới nên tồn tại P ∈ P sao cho P ⊂ U và P chứa một dãycon S' của S Lấy x ∈ S', nk x ∈ P Suy ra tồn tại m sao cho: P = Pn k m (x ).nk

Lấy n'k = max [m,nk] ta đợc xn ∈Pm( )'

k

n Điều này mâu thuẫn với cách xâydựng dãy {xn} Vậy K ⊂ ∪ P'' ⊂ X\ {x}, hay P là p-k-lới Ta có điều phảichứng minh

1.2.12 Bổ đề Giả sử X là một không gian dãy hoặc không gian mà

mỗi điểm thuộc nó là một Gδ -tập Khi đó phủ điểm đếm đợc P của X là một k-lới (tơng ứng, p-k-lới) nếu và chỉ nếu P là wcs*-lới (tơng ứng, p-wcs*-l- ới).

Chứng minh Vì X là không gian dãy nên nó đợc xác định bởi phủ

gồm tất cả các tập con compact mêtric Do đó mỗi tập con compact của mộtkhông gian dãy là compact dãy Vì mỗi tập con compact mà mỗi điểm làmột Gδ-tập là compact dãy Do P là k-lới nếu và chỉ nếu P là wcs*-lới vàmỗi tập con compact của X là compact dãy Từ đó ta có điều phải chứngminh (Trờng hợp P là p-k-lới thì P là p-wcs*-lới, điều này đợc suy ra từmệnh đề 1.2.11)

1.2.13 Hệ quả Giả sử ánh xạ f: X → Y thoả mãn các điều kiện (1) hay (2) dới đây

(1) f là một ánh xạ thơng và X là một không gian dãy

(2) f là một ánh xạ đóng và mỗi điểm của X là một Gδ - tập

Khi đó với mỗi dãy {y n } hội tụ tới y trong Y với y ≠ y n , tồn tại một dãy {x n } hội tụ tới x và {f(x n )} là một dãy con của {y n }

Chứng minh Đặt A = {yn : n ∈ Ơ } Vì A không đóng trong Y (y ≠ yn)nên B = f-1(A) không đóng trong X Vì X là không gian dãy, nên tồn tại

một dãy {xn} hội tụ đến một điểm không nằm trong B và {f(xn)} là một dãycon của {yn}.

Từ yn → y (yn ≠ y) nên với bất kỳ i ∈ Ơ , tồn tại x ∈ f-1(y) sao cho

Với mỗi n ∈ Ơ ta chọn xn ∈ Un Khi đó {xn} là dãy hội tụ tới x và {f(xn)}

là một dãy con của {yn}

1.2.14 Mệnh đề (sự tồn tại k-lới) Nếu không gian Y thoả mãn một

trong các điều kiện sau thì Y có một k-lới đếm đợc theo điểm

1 Y có một cơ sở yếu đếm đợc theo điểm.

2 Y có một k-lới σ - HCP

3 Y là ảnh đóng của ℵ- không gian X.

4 Y là ánh xạ thơng, ảnh Lindelof của một k và ℵ- không gian X.

5 Y đợc làm trội bởi ℵ- không gian Xα (α <γ).

Chứng minh (1) Với mỗi y ∈ Y, đặt Py = {Pn (y) : n ∈ Ơ } Giả sử

P = {P'y : y ∈ Y} là một cơ sở yếu đếm đợc theo điểm của Y Có thể giảthiết Pn(y) giảm Khi đó với bất kỳ y ∈ Y và bất kỳ {yn} ⊂ Pn(y) đều hội tụtới y Ngợc lại lấy bất kỳ dãy {yn} hội tụ tới y thì với mọi n tồn tại nm sao

cho yk ∈ {Pn(y)} với mọi k ≥ nm Thật vậy, giả sử A = {yn : n ∈ Ơ }\Pn (y) làvô hạn Vì A ∪ {y} là đóng trong Y và P là cơ sở yếu nên với mỗi P khôngthuộc A, P ≠ y đều tồn tại m ∈Ơ sao cho Pm(P) ∩ (A ∪ {y}) = φ Suy ra

Pm(P) ∩ A = φ Từ Pn(y) ∩ A = φ với mọi n (theo cách đặt A) và A đóngtrong Y (do Pm(P) ∩ A = φ) Vì A đóng trong Y và A vô hạn nên y ∈ A,mâu thuẫn với cách đặt A

Bây giờ ta chứng minh Y là không gian dãy Giả sử A không đóngtrong Y, {yn} ⊂ A, yn hội tụ tới y và U là một lân cận của y Khi đó tồn tại

Pm(y) ∩ A= φ Vì yn ∈ Pm(y) và {yn} ⊂ A nên suy ra mâu thuẫn Vậy y ∈

A Ngợc lại giả sử {yn} ⊂ A, yn → y thì y ∈ A Ta chứng minh A đóng Giả

sử A không đóng suy ra Y\A không mở Do đó tồn tại y0 ∈ Y\A sao cho

Pn(y0) ∩ A ≠φ Từ đó ta chọn đợc

yn ∈ Pn(y0) ∩ A, {yn} ⊂ Pn(y0) ∩ A ⊂ A, yn → y0.Suy ra y0 ∈ A mâu thuẫn với y0 ∈ Y\A Vậy A đóng Do đó y làkhông gian dãy Vì P là cơ sở yếu nên P là wcs*- lới Do đó P là một

k-lới đếm đợc theo điểm

2 Giả sử Y có một k-lới σ-HCP Với mỗi n ∈ Ơ đặt

Dn = {y ∈ Y: Pn không là hữu hạn theo điểm tại y}

và P 'n = {P \ Dn: P ∈ Pn}∪ {{y}: y ∈ Dn}

Giả sử P ' = ∪{ P 'n : n ∈ Ơ } Khi đó P ' là một wcs*-lới đếm đợc theo

điểm Hơn nữa mỗi điểm của Y là Gδ-tập Theo bổ đề 1.2.13 suy ra P'' làmột k-lới điểm đếm đợc của Y

3 Giả sử Y là ảnh đóng của một ℵ-không gian và f: X → Y là một

ánh xạ đóng, X là một ℵ-không gian Vì X là một ℵ-không gian nên nó có

P là một k-lới σ-hữu hạn địa phơng của X Vì mỗi điểm của X là Gδ -tậpnên theo 1.1.14 và bổ đề 1.1.13 ta có f(P) là một k-lới σ-HCP của Y Do đósuy ra Y có một k-lới điểm đếm đợc

4 Giả sử f: X → Y là một ánh xạ thơng, Lindelof Do X là ℵ- khônggian nên nó có p-k lới σ-hữu hạn địa phơng Theo [9], định lý 7.3 mỗi điểmcủa X là Gδ-tập và k-không gian X là không gian dãy Do đó theo bổ đề1.2.13, f(P) là wcs*-lới đếm đợc theo điểm Mặt khác, Y là không giandãy, vì qua ánh xạ thơng ánh của một không gian dãy là không gian dãy

Do đó theo bổ đề 1.2.13 f(P) là một k-lới điểm đếm đợc của Y

5 Giả sử Y đợc làm trội bởi ℵ- không gian Xα (α < γ) Với mỗi α,

1.3 Một số ví dụ về các loại lới

1.3.1 Ví dụ về k-lới Mọi không gian tôpô đều có k-lới.

Chứng minh Giả sử X là một không gian tô pô Đặt P = {P: P mởtrong X} thì P là một phủ mở trong X Giả sử U là một tập mở bất kỳ trong

X, K là tập compact của X với K ⊂ U Do K compact nên tồn tại phủ hữu

hạn P1, P2, P3, thuộc P sao cho K ⊂ n i

i 1

P

=

U ⊂ U Vậy P là k-lới

1.3.2 Ví dụ về cs- lới Mọi không gian thoả mãn tiên đề đếm đợc

thứ hai đều có cs-lới.

Chứng minh Giả sử (X, T) là không gian tô pô thoả mãn tiên đề đếm

đợc thứ hai Khi đó (X, T) có cơ sở đếm đợc các phần tử

{U1, U2,…, Un,…}

Đặt P = {U1, U2,…, Un,…} thì P là một phủ đếm đợc theo điểm của X Giả

sử {xn} là một dãy trong X, xn → x∈U, trong đó U là lân cận mở của x

trong X Vì với bất kỳ U mở trong X, ta có U = i

Chơng 2 Không gian với các loại lới đếm đợc theo điểm

Trong chơng này các không gian đợc giả thiết là T1, chính quy, các ánh xạ f: X→Y là liên tục, lên.

2.1 Không gian Lasnev

2.1.1 Định nghĩa Không gian tô pô X gọi là đợc xác định bởi phủ P

( hoặc P xác định X) nếu U ⊂ X là mở (đóng) trong X khi và chỉ khi U ∩P

là mở (tơng ứng, đóng) trong P với mọi P ∈ P.

2.1.2 Bổ đề Giả sử X là không gian dãy Khi đó các điều kiện (1),

(2) cho dới đây là tơng đơng

(1) X có một cs*-lới đếm đợc theo điểm.

(2) X có một phủ điểm đếm đợc P thoả mãn mỗi tập mở U ⊂ X đợc xác định bởi {P ∈P ; P ⊂ U}

Chứng minh (1) ⇒ (2) Giả sử X có một cs*-lới đếm đợc theo điểm

P và U là tập mở trong X Giả sử rằng tập con A ⊂ U không phải là tập mởtrong U Để chứng minh tập mở U đợc xác định bởi phủ

{P ∈ P : P ⊂ U} ta cần chứng minh rằng nếu tập A⊂U không mở trong U,thì tồn tại P∈ P mà P⊂ U sao cho P ∩ A không là tập mở trong P.Thậtvậy, giả sử rằng tập con A ⊂ U không phải là tập mở trong U Khi đó X\Akhông đóng trong X Từ giả thiết X là không gian dãy, suy ra tồn tại mộtdãy {xn} trong X\A hội tụ tới một điểm x ∈ A Vì P là cs*-lới nên tồn tại P

∈P và một dãy con S của {xn} sao cho K = S ∪ {x} ⊂ P ⊂ U Khi đó

K ∩ A không là tập mở trong K Do đó P ∩ A không là tập mở trong P

(2) ⇒ (1) Giả sử {xn} là một dãy hội tụ tới x và U là một lân cậncủa x Ta giả thiết rằng xn ≠ x và xn ∈ U với mỗi n ∈ N Vì {xn : n ∈Ơ }

không đóng trong U và theo giả thiết không gian tô pô X đợc xác định bởiphủ {P ∈ P ; P ⊂ U} nên tồn tại P ∈ P sao cho P ⊂ U và P ∩ {xn : n ∈Ơ }không đóng trong P Khi đó P chứa x và P là một dãy con của {xn} Do đó

P là cs*-lới Ta có điều phải chứng minh

2.1.3 Bổ đề [12] 1) X là s-ảnh thơng (giả mở) của không gian

mêtric nếu và chỉ nếu X là một không gian dãy (tơng ứng, không gian Frechet) thoả mãn điều kiện (2) trong bổ đề 2.1.2.

2) X là s-ảnh mở của không gian mêtric khi và chỉ khi X có một cơ sở

điểm đếm đợc

3) X đợc gọi là s-ảnh đóng của không gian mêtric nếu và chỉ nếu X là không gian Frechet với k-lới đóng σ-CP đếm đợc theo điểm (còn đợc gọi là không gian N 0 - Frechet).

2.1.4 Định lý [12] a) X là s-ảnh thơng của không gian mêtric khi và

chỉ khi X là một không gian dãy với cs*-lới đếm đợc theo điểm.

b) X là s-ảnh mở của không gian mêtric khi và chỉ khi X là không gian thoả mãn tiên đề đếm đợc thứ nhất với cs*-lới đếm đợc theo điểm

Chứng minh Dễ dàng suy ra đợc kết quả này từ định nghĩa s-ảnh

th-ơng ở bổ đề 2.1.3 và kết quả thu đợc từ bổ đề 2.1.2

2.1.5 Bổ đề [12] Giả sử Sω1 là không gian thơng thu đợc từ hợp rời của ω1 dãy hội tụ Lα (α < ω1) bằng cách đồng nhất tất cả các điểm giới hạn thành điểm ∞ Khi đó mỗi phủ điểm đếm đợc bất kỳ của Sω1 không là cs*-l-

ới đếm đợc theo điểm

Chứng minh Giả sử Sω1có cs*-lới đếm đợc theo điểm P Đặt