Phương pháp chiếu cho bài toán bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động của một ánh xạ không giãn

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌCTRẦN THỊ HOÀNG ANH PHƯƠNG PHÁP CHIẾU CHO BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN TRÊN TẬP ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA MỘT ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN Chuyên ngành: TOÁN ỨN

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

TRẦN THỊ HOÀNG ANH

PHƯƠNG PHÁP CHIẾU CHO BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN

TRÊN TẬP ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA MỘT ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN

Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG

MÃ SỐ: 60.46.01.12

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS PHẠM NGỌC ANH

Thái Nguyên - 2014

Trường Đại Học Khoa Học - Đại Học Thái Nguyên

Người hướng dẫn khoa học: PGS TS Phạm Ngọc Anh

Phản biện 1:

Phản biện 2:

Luận văn sẽ được bảo vệ trước hội đồng chấm luận văn họp tại: Trường Đại Học Khoa Học - Đại Học Thái Nguyên

Ngày tháng năm 2014

Có thể tìm hiểu tại Thư Viện Đại Học Thái Nguyên

Lời cảm ơn 3

Một số kí hiệu - chữ viết tắt 7

Chương 1 Các kiến thức cơ bản về

ánh xạ không giãn và bất đẳng thức biến phân 9

1.1 Không gian Hilbert và một số tính chất 9

1.2 Điểm bất động của ánh xạ không giãn 11

1.3 Bài toán Bất đẳng thức biến phân 14

1.3.1 Phép chiếu trực giao . 14

1.3.2 Bài toán bất đẳng thức biến phân . 14

1.3.3 Một vài ứng dụng . 20

1.4 Kết luận 26

Chương 2 Phương pháp chiếu dạng ẩn để giải bài toán VIFIX 27 2.1 Phát biểu bài toán 27

2.2 Phương pháp chiếu mở rộng 29

2.3 Phương pháp ánh xạ co 32

2.4 Kết luận 43

Chương 3 Phương pháp chiếu dạng hiện để giải bài toán VIFIX 44 3.1 Phương pháp chiếu mở rộng 45

3.2 Phương pháp tối ưu hóa điểm bất động 49

3.3 Ứng dụng 543.4 Kết luận 59

Tài liệu tham khảo 62

Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học - Đạihọc Thái Nguyên Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc với PGS.TS.Phạm Ngọc Anh (Học viện Công nghệ Bưu chính Viễn thông), ngườithầy đã trực tiếp hướng dẫn tận tình và động viên tác giả trong suốtthời gian nghiên cứu vừa qua.

Xin chân thành cảm ơn tới các thầy, cô giáo trong Khoa Toán - Tin,Phòng Đào tạo, các bạn học viên lớp Cao học Toán K6B trường Đạihọc Khoa học - Đại học Thái Nguyên, và các bạn đồng nghiệp đã tạođiều kiện thuận lợi, động viên tác giả trong quá trình học tập và nghiêncứu tại trường

Tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới gia đình và ngườithân luôn khuyến khích, động viên tác giả trong suốt quá trình học tập

và làm luận văn

Mặc dù có nhiều cố gắng nhưng luận văn khó tránh khỏi những thiếusót và hạn chế Tác giả mong nhận được những ý kiến đóng góp quýbáu của các thầy cô và bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn.Xin chân thành cảm ơn!

Học viên Cao học Toán K6B,Trường ĐH Khoa học - ĐH Thái Nguyên

Lý thuyết bất đẳng thức biến phân ra đời vào những năm 60, làmột công cụ mạnh và thống nhất để nghiên cứu các bài toán cân bằng.Theo Harker và Pang, bài toán bất đẳng thức biến phân được giới thiệulần đầu tiên vào năm 1966 bởi Hartman và Stampacchia Những nghiêncứu đầu tiên về bất đẳng thức biến phân liên quan tới việc giải cácbài toán biến phân, bài toán điều khiển tối ưu và các bài toán biên códạng của phương trình đạo hàm riêng Bài toán biến phân trong khônggian vô hạn chiều và các ứng dụng của nó được giới thiệu trong cuốnsách "An introduction to variational inequalities and their application"của Kinderlehrer và Stampacchia xuất bản năm 1980 và trong cuốnsách "Variational and quasivariational inequalities: Application to freeboundry problems" của Baiocchi và Capelo xuất bản năm 1984.

Bài toán bất đẳng thức biến phân có quan hệ mật thiết với cácbài toán tối ưu khác Bài toán bù phi tuyến, xuất hiện vào năm 1964trong luân án tiến sĩ của Cottle, là một trường hợp đặc biệt của bàitoán bất đẳng thức biến phân Gần đây, bài toán bất đẳng thức biếnphân cũng là một đề tài được nhiều người quan tâm nghiên cứu Nhiềutác giả đã quan tâm và xây dựng các kỹ thuật để giải quyết bất đẳngthức biến phân và vấn đề tối ưu hóa liên quan Một ứng dụng quantrọng của bài toán bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất độngcủa một ánh xạ không giãn là mô hình định tuyến lưu lượng mạngđiện thoại CDMA (Viết tắt của Code - Division mutiple access datanetwork) được đăng trong bài báo "Fixed point optimization algorithmand its Application to power control in CDMA data networks", Iiduka,

H (2010), Mathematical Programming, Series A, doi 010-0427-x.[10] Bài toán đặt ra là tìm một phương án tối ưu lưu lượngtrên các đường truyền nhằm đạt được chất lượng dịch vụ tốt nhất chotất cả các đường truyền kết nối trên mạng với một mạng dữ liệu chotrước.

10.1007/s10107-Trong luận văn này, chúng ta xét một số phương pháp giải bài toánbất đẳng thức biến phân là tìm điểm x∗ ∈ F ix(T ) sao cho

h(A − γf )x∗, x − x∗i ≥ 0, ∀x ∈ F ix(T ),với T là ánh xạ không giãn của tập con lồi, đóng, khác rỗng C của khônggian Hilbert thực H, A : C → H là toán tử tuyến tính bị chặn, dươngmạnh, và f : C → H là ánh xạ co với hệ số ρ Luận văn đề cập đến haithuật toán để giải quyết bài toán bất đẳng thức biến phân: Thuật toánchiếu dạng ẩn

"Algorithms Construction for Variational Inequalities", Yonghong Yao,Yeong - Cheng Liou and Shin Min Kang (2011), Fixed point TheoryAppications, doi: 10.1155/ 2011/794203, ID 794203.[11]

Chương 1 Các kiến thức cơ bản về ánh xạ không giãn và bất đẳngthức biến phân Chương này nhắc lại các kiến thức cơ bản về không gianHilbert, bài toán bất đẳng thức biến phân, các ví dụ, các kiến thức về

ánh xạ không giãn, điểm bất động của ánh xạ không giãn, phép chiếu

và mối quan hệ với bất đẳng thức biến phân

Chương 2 Phương pháp chiếu dạng ẩn để giải bài toán (V IF IX).Chương này trình bày phương pháp chiếu mở rộng dạng ẩn và phươngpháp ánh xạ co để giải bài toán (V IF IX)

Chương 3 Phương pháp chiếu dạng hiện để giải bài toán (V IF IX).Chương này trình bày phương pháp chiếu mở rộng, phương pháp tối ưuhóa điểm bất động và ứng dụng của phương pháp này

Thái Nguyên, tháng 06 năm 2014

Học viên

Trần Thị Hoàng Anh

Rn không gian Euclide n-chiều

hx, yi tích vô hướng của hai véc tơ x, y

xn → x dãy {xn} hội tụ mạnh tới x

xn * x dãy {xn} hội tụ yếu tới x

P rC(x) phép chiếu mêtric, hay còn gọi là phép chiếu

trực giao của điểm x trên tập Clim := lim sup giới hạn trên

lim := lim inf giới hạn dưới

V I bài toán bất đẳng thức biến phân

V IF IX bài toán bất đẳng thức biến phân

trên tập điểm bất động

T HV I bài toán bất đẳng thức biến phân tam cấp

BV I bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp

V I(F, C) bài toán bất đẳng thức biến phân với

ánh xạ giá F trên C

DV I(F, C) bài toán đối ngẫu của bài toán V I

B(O, R) hình cầu tâm O bán kính R

CP (F, C) bài toán bù tuyến tính

FCnat ánh xạ giá tự nhiên

Sol(F, C) tập nghiệm của bài toán V I

Sol(F, C)∗ tập nghiệm của bài toán đối ngẫu DV I

∂f (x) dưới vi phân của f tại x

NC(x) nón pháp tuyến tại điểm x trên tập C

F ix(S) tập điểm bất động của ánh xạ S

CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ

ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN VÀ BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN

1.1 KHÔNG GIAN HILBERT VÀ MỘT SỐ TÍNH CHẤT

Trong phần đầu của chương này, ta nhắc lại một số vấn đề cơ bảnthuộc không gian Hilbert như tính trực giao, hình chiếu, toán tử compact

và toán tử bị chặn Chương này ta tham khảo các tài liệu [5], [9], [2]

Ta nói hai vectơ x, y của một không gian Hilbert H trực giao vớinhau, và kí hiệu x⊥y, nếu hx, yi = 0 Từ định nghĩa ấy có thể suy rangay các tính chất đơn giản sau đây:

a) Nếu x⊥y thì y⊥x Ta có x⊥x khi và chỉ khi x = 0 Vectơ 0 trựcgiao với mọi vectơ x

b) Nếu x⊥ (y1, y2, , yn) thì x⊥ (α1y1 + α2y2 + + αnyn)

c) Nếu x⊥yn, yn → y (∀n → ∞) thì x⊥y

d) Nếu tập M trù mật trong H thì M⊥ gồm một phần tử duy nhất là

0, nghĩa là x⊥M ⇒ x = 0

e) Nếu x⊥y thì kx + yk2 = kxk2 + kyk2 (định lý Pythagore)

f ) Nếu {xn} là một hệ trực giao (nghĩa là các vectơ xn trực giao từngđôi một) thì chuỗi

x = y + z với y ∈ M, z ∈ M⊥, (1.1)trong đó y là phần tử của M gần x nhất, tức là kx − yk ≤ kx − uk vớimọi u ∈ M

Toán tử compact là một lớp quan trọng của toán tử bị chặn

Định nghĩa 1.1.1 Toán tử A : H → H được gọi là toán tử compactnếu với mọi dãy {xn} bị chặn trong trong H, dãy {Axn} chứa dãy conhội tụ

Định lí 1.1.2 ([9]) Mọi toán tử compact đều bị chặn

Định lí 1.1.3 ([9]) Cho A là toán tử compact trong không gian Hilbert

H và B là toán tử bị chặn trên H Khi đó, AB và BA là toán tử compact.Định nghĩa 1.1.2 Một toán tử được gọi là hữu hạn chiều nếu miềngiá trị của nó là hữu hạn

Định lí 1.1.4 ([9]) Toán tử bị chặn hữu hạn chiều là compact

Định lí 1.1.5 ([9]) Giới hạn của dãy hội tụ đều các toán tử compact

là compact Trong trường hợp đặc biệt, nếu T1, T2, , Tn là các toán tửcompact trong không gian Hilbert H và kTn − T k → 0 khi n → ∞ vớimọi toán tử T trên H thì T là compact

Hệ quả 1.1.1 Giới hạn của dãy hội tụ các toán tử hữu hạn chiều làtoán tử compact

Định lí 1.1.6 ([9]) Một toán tử T trên không gian Hilbert H là compactnếu và chỉ nếu nó biến một dãy hội tụ yếu thành dãy hội tụ mạnh Tức là

T là compact nếu và chỉ nếu xn * x thì T xn → T x với bất kì xn, x ∈ H

1.2 ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN

Trong mục này, ta nêu một số khái niệm về ánh xạ không giãn và cácđịnh lí điểm bất động của ánh xạ không giãn trong không gian Hilbertthực H với tích vô hướng h·, ·i và chuẩn k · k

Định nghĩa 1.2.1 Cho C là tập con lồi đóng khác rỗng của H Ánh

xạ T : C → C là ánh xạ không giãn nếu

kT x − T yk ≤ kx − yk, ∀x, y ∈ C

Định nghĩa 1.2.2 Điểm x ∈ C được gọi là điểm bất động của ánh xạ

T nếu T x = x Kí hiệu: F ixT là tập các điểm bất động của T Tức là

F ixT = {x ∈ C : T x = x}

Định nghĩa 1.2.3 Tập C có cấu trúc chuẩn tắc trong không gian địnhchuẩn X nếu mọi tập con lồi, đóng, bị chặn H của nó với diamH > 0ddeuf chứa một điểm x ∈ H sao cho: sup{kx − zk : z ∈ H} < diamH.Bây giờ, ta nhắc lại một số định lý điểm bất động quan trọng.Định lí 1.2.1 ([2], Kirk) Cho C là một tập hợp lồi, compact yếu, cócấu trúc chuẩn tắc trong không gian định chuẩn X và T : C → C làmột ánh xạ không giãn Khi đó, T có điểm bất động trong C

Chứng minh Đặt

F = L ⊂ C : L lồi, đóng, không rỗng, T (L) ⊂ L

F 6= ∅ vì C ∈ F Với quan hệ thứ tự là bao hàm thức, (F, ⊂) trở thànhtập hợp được sắp thứ tự bộ phận.

Đặt G = {Lα} với Lα ∈ F và lồng nhau Khi đó ∩

αLα 6= ∅ vì Ccompact yếu và T (∩

α Lα) ⊂ ∩

αLα, vậy ∩

α Lα là cận dưới của G Theo bổ

đề Zorn, F chứa một phần tử cực tiểu H

Ta chứng minh H chỉ gồm một điểm bằng phản chứng Giả sử d =diamH > 0 Do C có cấu trúc chuẩn tắc nên tồn tại z ∈ H sao cho

r = sup {kz − xk : x ∈ H} < d

Đặt D = {z ∈ H : H ⊂ B(z, r)} 6= ∅, trong đó B(z, r) là hình cầu đóngtâm z bán kính r Lấy z bất kì trong D, do T là không giãn, ta có

T (H) ⊂ B(T z, r) nên coT (H) ⊂ B(T z, r) Vì coT (H) là tập hợp lồi,đóng trong C nên cũng là compact yếu, hơn nữa coT (H) ⊂ coH = H nên

T (coT (H)) ⊂ T (H) ⊂ coT (H), vậy coT (H) ∈ F Mặt khác coT (H) ⊂

H và H là cực tiểu nên coT (H) = H Từ đây ta có H ⊂ B(T z, r), suy

ra T z ∈ D, vậy T (D) ⊂ D với z bất kì trong D

Ta sẽ kiểm tra D lồi, đóng Cho z1, z2 ∈ D và z = αz1 + (1 − α)z2với α ∈ [0, 1] Khi đó kx − zik 6 r, i = 1, 2 với mọi x ∈ H Từ đó

kx − zk 6 r với mọi x ∈ H nên z ∈ D, vậy D lồi Nếu zn ∈ D và zn → zthì kx − znk < r suy ra kx − zk 6 r với mọi x ∈ H nên z ∈ D, vậy Dđóng

Tóm lại D ⊂ C là tập lồi, đóng và bất biến đối với T , vậy D ∈ F Từ

D ⊂ H và H là cực tiểu, suy ra D = H Khi đó, với mọi u, v ∈ D = H

ta có ku − vk6 r, từ đây : d = diamH = diamD 6 r < d, ta gặp mâuthuẫn Vậy, H chỉ gồm một điểm, tức là: H = {x∗} Do H là bất biếnđối với T nên ta có T x∗ = x∗

Định lí 1.2.2 ([2], Browder-Gohde) Cho C là một tập hợp lồi, đóng,

bị chặn trong không gian lồi đều X và T : C → C là một ánh xạ không

giãn Khi đó, tập hợp các điểm bất động của T là lồi, đóng và khôngrỗng.

Chứng minh Theo giả thiết X lồi đều nên X phản xạ, do đó C làcompact yếu và có cấu trúc chuẩn tắc Vậy theo Định lý Kirk, tập hợpcác điểm bất động T không rỗng, ngoài ra nó đóng vì T liên tục Tachỉ còn chứng minh tính lồi của tập hợp này Cho u = T u, v = T v và

m = λu+(1−λ)v với một λ ∈ [0, 1] nào đó Khi đó u−m = (1−λ)(u−v)

và v − m = λ(v − u) Vì T là ánh xạ không giãn nên ta có

1.3 BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN

1.3.1 Phép chiếu trực giao

Định nghĩa 1.3.1 Cho C là một tập con lồi đóng khác rỗng của mộtkhông gian Hilbert thực H Phép chiếu metric, hay còn gọi là phép chiếutrực giao của một điểm x ∈ H trên C dưới chuẩn Euclide k · k, ký hiệu

P rC(x), được xác định bởi

P rC(x) = argmin{kx − yk : y ∈ C} (1.2)Tính chất 1.3.1

(i) Với mỗi x ∈ H, P rC(x) tồn tại và duy nhất,

(ii) hx − P rC(x), y − P rC(x)i ≤ 0, ∀y ∈ C, x ∈ H,

(iii) kP rC(x) − P rC(y)k2 ≤ hP rC(x) − P rC(y), x − yi , ∀x, y ∈ H,(iv) kP rC(x) − P rC(y)k ≤ kx − yk, ∀x, y ∈ H,

(v) kP rC(x)−P rC(y)k2 ≤ kx−yk2−kP rC(x)−x+y −P rC(y)k2, ∀x, y ∈H,

(vi) kP rC(x) − yk2 ≤ kx − yk2 − kP rC(x) − xk2, ∀x ∈ H, y ∈ C

1.3.2 Bài toán bất đẳng thức biến phân

Định nghĩa 1.3.2 Cho C 6= ∅ là một tập lồi, đóng trong H và F :

C → H Khi đó, bài toán bất đẳng thức biến phân, viết tắt V I(F, C),được phát biểu dưới dạng:

Tìm x∗ ∈ C sao cho hF (x∗), x − x∗i ≥ 0, ∀x ∈ C (1.3)Như thường lệ, F được gọi là ánh xạ giá Một biểu diễn hình họccủa bài toán bất đẳng thức biến phân V I(F, C) có dạng: x∗ ∈ C là một

nghiệm của V I(F, C) khi và chỉ khi góc tạo bởi véc tơ F (x∗) và véc tơ

y − x∗ là góc nhọn hoặc vuông với mọi y ∈ C Ta có thể định dạng điềunày dưới dạng nón pháp tuyến ngoài tại điểm x∗ của tập C như sau:

NC(x∗) = {w ∈ H : hw, y − xi ≤ 0, ∀y ∈ C}

Véc tơ w ∈ NC(x∗) được gọi là véc tơ pháp tuyến ngoài tại điểm x∗ ∈ C.Bài toán bất đẳng thức biến phân V I(F, C) chỉ ra rằng: x∗ ∈ C lànghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân V I(F, C) khi và chỉ khi

F (x∗) là một véc tơ pháp tuyến ngoài tại x∗ của C, hay

0 ∈ F (x∗) + NC(x∗)

Định nghĩa 1.3.3 Cho C là một tập con lồi, khác rỗng của một khônggian Hilbert thực H và một ánh xạ F : C → H Ánh xạ F được gọi là(a) đơn điệu mạnh trên C với hằng số β > 0, nếu

(f ) tựa đơn điệu hiển trên C, với mỗi x, y ∈ C,

hF (y), x − yi > 0 ⇒ hF (z), x − yi , ∀z ∈ (x + y

2 , y).

Các suy luận dưới đây được suy ra trực tiếp từ định nghĩa 1.3.3

(a) =⇒ (b) =⇒ (c) =⇒ (d) =⇒ (e) ⇐= (f ) ⇐= (d)

Mệnh đề 1.3.1 Điểm x∗ là một nghiệm của bài toán bù CP (F, C) nếu

và chỉ nếu x∗ là nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân V I(F, C).Chứng minh Nếu x∗ là nghiệm của bài toán bù CP (F, C), thì x∗ ∈

Rn+, F (x∗) ∈ Rn+ và hF (x∗), x∗i = 0 Khi đó,

hF (x∗), x − x∗i = hF (x∗), xi − hF (x∗), x∗i = hF (x∗), xi ≥ 0, ∀x ∈ Rn+.Mặt khác, giả sử x∗ ∈ Rn

+ là nghiệm của bài toán bất đẳng thức biếnphân V I(F, C) Đặt

ei = (0, , 0, 1, 0, , 0), y = x∗ + ei,trong đó 1 là vị trí thứ i Khi đó, y ∈ Rn+ và

hF (x∗), x∗i = 0

Trong bài toán bất đẳng thức V I(F, C), với mỗi x ∈ C và λ > 0,xét ánh xạ FCnat : C → C được xác định bởi

Hầu hết các kết quả về sự tồn tại nghiệm của bài toán bất đẳngthức biến phân V I(F, C) được chứng minh đều dựa vào định lí điểmbất động Browder

Định lí 1.3.1 Cho C là một tập con lồi, compact và khác rỗng củakhông gian Hilbert thực H, và một ánh xạ liên tục F : C → H Khi đó,bài toán bất đẳng thức biến phân V I(F, C) có nghiệm

Chứng minh Theo tính chất (1.3.1) (i), ánh xạ P rC còn được gọi là ánh

xạ không giãn trên C Do vậy, với mỗi λ > 0, phép chiếu P rC(I − λF ) :

C → C là một ánh xạ liên tục Từ C là một tập lồi compact khác rỗng

và P rC(I − λF ) liên tục, theo Mệnh đề 1.3.2 và Tính chất 1.3.1, tồntại duy nhất không điểm x∗ ∈ C của ánh xạ giá tự nhiên Fnat

C sao cho

0 = FCnat(x∗) Áp dụng Tính chất 1.3.1 (iii) với x = x∗ − λF (x∗),

hy − P rC(x∗ − λF (x∗)), x∗ − λF (x∗) − P rC(x∗ − λF (x∗))i ≤ 0, ∀y ∈ C.Kết hợp điều này với P rC(I − λF )(x∗) = x∗, suy ra

R > 0 sao cho bài toán bất đẳng thức biến phân V I(F, C ∩ B(0, R)) cómột nghiệm xR thỏa mãn kxRk < R

Chứng minh Giả sử bài toán bất đẳng thức biến phân V I(F, C) có 1nghiệm x∗ ∈ C Chọn R thỏa mãn R > kx∗k Khi đó

Ngược lại, giả sử xR là một nghiệm của bài toán bất đẳng thức biếnphân V I(F, C ∩ B(0, R)) thỏa mãn kxRk < R Khi đó, với mỗi y ∈ C,tồn tại  ≥ 0 đủ nhỏ sao cho z = xR+(y −xR) ∈ C ∩B(0, R) Theo địnhnghĩa của nghiệm xR của bài toán V I(F, C ∩ B(0, R)), ta có xR ∈ C và

0), x − x0

kx − x0k → +∞ khi kxk → +∞, x ∈ C.

Khi đó, bài toán bất đẳng thức biến phân V I(F, C) có nghiệm

Chứng minh Chọn H và R sao cho H > kF (x0)k, R > kx0k và

Kết hợp điều này với (1.5), ta có kxRk 6= R và do đó kxRk < R.Như vậy, xR là một nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân

V I(F, C ∩ B(0, R)) Theo Định lí 1.3.2, bài toán V I(F, C) có nghiệm

1.3.3 Một vài ứng dụng

Ví dụ 1.3.1 Bài toán cân bằng mạng giao thông

Xét một mạng giao thông cho bởi một mạng luồng hữu hạn Gọi

• N : Tập hợp các nút của mạng

• A : Tập hợp các cạnh mà mỗi cạnh là một đoạn đường

Giả sử O ⊆ N, D ⊆ N sao cho O ∩ D 6= ∅ Mỗi phần tử của O đượcgọi là điểm nguồn, còn mỗi phần tử của D được gọi là điểm đích Mỗiđiểm nguồn và điểm đích được nối với nhau bởi một tập hợp liên tiếpcác cạnh (được gọi là một tuyến đường)

• I : Tập hợp các phương tiện giao thông

• fi

a : Mật độ giao thông của phương tiện i trên đoạn đường a ∈ A.Đặt f là véc tơ có các thành phần fai với i ∈ I và a ∈ A

• ci

a : Chi phí khi sử dụng phương tiện giao thông i trên đoạn đường

a ∈ A Đặt c là véc tơ có các thành phần cia với i ∈ I, a ∈ A Chiphí giao thông hoàn toàn phụ thuộc vào lưu lượng, tức là c = c(f )

• xi

w : Mật độ giao thông của phương tiện i ∈ I trên tuyến w ∈ O ×D.Giả sử trong mạng giao thông trên, phương trình cân bằng sau đượcthỏa mãn:

diw = X

p∈P w

xip, ∀i ∈ I, w ∈ O × D, (1.6)

trong đó, Pw là tập hợp các tuyến đường của w = (o, d) nối điểm nguồn

o và điểm đích d Trên phương trình (1.6), thì nhu cầu sử dụng loạiphương tiện i trên tuyến đường w bằng đúng tổng mật độ giao thôngcủa phương tiện đó trên mọi tuyến đường nối điểm nguồn và điểm đíchcủa tuyến đường đó Khi đó, ta có phương trình

chi phí thấp nhất khi có lưu lượng giao thông trên tuyến đó Trái lại,chi phí sẽ không phải thấp nhất Đặt

C = {(f, d) : ∃x ≤ 0 sao cho(1.6) và (1.7) đúng}

Khi đó, ta có định lí sau:

Định lí 1.3.3 Một cặp véc tơ (f∗, d∗) ∈ C là một điểm cân bằng củamạng giao thông khi và chỉ khi nó là nghiệm của bài toán bất đẳng thứcbiến phân: Tìm (f∗, d∗) ∈ C sao cho

h(c(f∗), λ(d∗)), (f, d) − (f∗, d∗)i ≥ 0, ∀(f, d) ∈ C (1.9)Chứng minh Điều kiện cân bằng (1.9) kéo theo rằng

[Cpi(f∗) − λiw(d∗)].[xip− xip∗] ≥ 0, ∀xip ≥ 0 (1.10)Thật vậy, nếu xip∗ > 0 thì Cpi(f∗) − λiw(d∗) = 0 và do đó (1.10) đúng;nếu xip∗ = 0 thì Cpi(f∗) − λiw(d∗) > 0, như vậy (1.10) đúng

Bất đẳng thức (1.10) đúng với mọi p ∈ Pw, do đó ta có thể viết

Điều này kéo theo (1.9).

Giả sử x∗ = (f∗, d∗) ∈ C thỏa mãn bất đẳng thức biến phân (1.9)hay (1.13), ta cần chứng minh cũng thỏa mãn điều kiện cân bằng (1.9).Với mỗi phương tiện i và một tuyến đường p ứng với một cặp w (nguồn-đích) Ta xây dựng một điểm chấp nhận được x sao cho

Cpi(f∗)(xip− xip∗) − λiw(d∗)(diw− diw∗)] ≥ 0 (1.14)

Bây giờ, nếu xip∗ > 0, ta có thể lựa chọn xip sao cho xip > xip∗ hoặc

xip < xip∗ và ngược lại Khi đó, 1.14 đúng nếu Cpi(f∗) − λiw(d∗) = 0 Mặtkhác, nếu xip∗ = 0 thì xip ≥ xip∗ Như vậy, từ bất đẳng thức biến phân(1.9) suy ra rằng

Cpi(f∗) ≥ λiw(d∗)

Ký hiệu Sol(F, C) là tập nghiệm của bài toán bất đẳng thức biếnphân V I(F, C) Thông qua các giả thiết đơn điệu của hàm giá F , việcgiải bài toán bất đẳng thức biến phân V I(F, C) rất gần với việc giải bàitoán sau (kí hiệu DV I(F, C)):

Tìm x∗ ∈ C sao cho hF (x), x − x∗i ≥ 0, ∀x ∈ C

Bài toán này thường được gọi là bài toán đối ngẫu của bài toán bấtđẳng thức biến phân V I(F, C) Ta kí hiệu tập nghiệm của bài toán

DV I(F, C) là Sol(F, C)∗ Khi đó, tính chất của tập nghiệm Sol(F, C)

và mối quan hệ của nó với tập nghiệm Sol(F, C)∗ như nhau

Định lí 1.3.4 Cho C là một tập con lồi đóng khác rỗng của một khônggian Hilbert thực H và một ánh xạ liên tục F : C → H Khi đó,

(i) Tập nghiệm Sol(F, C) là lồi và đóng

(ii) Sol(F, C) ⊆ Sol(F, C)∗

(iii) Nếu F là ánh xạ giả đơn điệu thì Sol(F, C)∗ ⊆ Sol(F, C)

Tuy nhiên, bao hàm thức (iii) trong Đinh lí 1.3.4 có thể không xảy

ra trong trường hợp ánh xạ giá F là tựa đơn điệu

Ví dụ 1.3.2 Cho C = [−1, 1], F (x) = x2 Khi đó, ánh xạ giá F làtựa đơn điệu trên C Dễ dàng chứng minh được rằng tập nghiệm củabài toán bất đẳng thức biến phân V I(F, C) là Sol(F, C) = {−1} vànghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân đối ngẫu DV I(F, C) làSol(F, C)∗ = {−1, 0}

Hơn nữa, ví dụ dưới đây chỉ ra rằng bài toán V I(F, C) có thể không

có nghiệm ngay cả trong trường hợp ánh xạ giá là tựa đơn điệu trên C

Ví dụ 1.3.3 Trong không gian R2, cho 3 điểm A1(−1, 0), A2(0,√

3α)2(x1, y1) nếu (x, y) ∈ 41,(−√

3x − y +√

3α)2(x2, y2) nếu (x, y) ∈ 42,(−√

G(x, y) = {(x∗, y∗) ∈ C : hF (x, y), (x, y) − (x∗, y∗)i ≥ 0}

Khi đó, dễ dàng thấy rằng ∩3i=1G(Ai) = ∅ Do đó, Sol(F, C) = ∅ vàSol(F, C)∗ 6= ∅

Bây giờ, ta chỉ ra rằng dưới việc chọn các tham số α > 0 và  > 0

đủ nhỏ, ánh xạ giá F là tựa đơn điệu trên C Từ định nghĩa, ta nhậnthấy rằng F là tựa đơn điệu trên các miền 44 ∩ 4i với mọi i = 1, 2, 3.Chọn α = 0.9,  = 0.1 Chú ý rằng với mọi cặp điểm (x, y) và (¯x, ¯y) saocho (x, y) ∈ 41 và (¯x, ¯y) ∈ 42, hoặc (x, y) ∈ 42 và (¯x, ¯y) ∈ 43, hoặc(x, y) ∈ 43 và (¯x, ¯y) ∈ 41, thì

hF (¯x, ¯y), (x, y) − (¯x, ¯y)i ≤ 0

Mặt khác, nếu ta chọn (x, y) ∈ 42 và (¯x, ¯y) ∈ 41, hoặc (x, y) ∈ 43 và(¯x, ¯y) ∈ 42, hoặc (x, y) ∈ 41 và (¯x, ¯y) ∈ 43, thì

11 ), b

3 = (0.95, 0.05√

3)

Như vậy, F là tựa đơn điệu trên C.

Tuy nhiên, các tập nghiệm Sol(F, C) và Sol(F, C)∗ có thể trùng nhaungay cả trong trường hợp ánh xạ giá F không có tính chất tựa đơn điệutrên C

PHƯƠNG PHÁP CHIẾU DẠNG ẨN

ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN VIFIX

Chương 2 trình bày phương pháp chiếu dạng ẩn để giải bài toán(V IF IX) và phương pháp ánh xạ co, đồng thời chứng minh sự hội tụcủa phương pháp này Chương này sử dụng một số tài liệu tham khảo[8], [11], [7]

2.1 PHÁT BIỂU BÀI TOÁN

Cho C là một tập con lồi, đóng, khác rỗng của không gian Hilbertthực H, f : C → H là ánh xạ không giãn Ta xét bài toán bất đẳngthức biến phân trên tập điểm bất động: Tìm điểm x∗ ∈ F ix(T ) sao cho

với P rC là phép chiếu metric từ H vào C, A là toán tử đơn điệu đi từ

C → H và λ là hằng số Korpelevich đã chứng minh được sự hội tụ củadãy {xn} đến một nghiệm của V I(C, A)

Định nghĩa 2.1.1 Cho S, T : C → C là 2 ánh xạ không giãn với

F ix(T ) 6= ∅ Cho f : C → H là ánh xạ co với hệ số co ρ, F : C → H

là ánh xạ κ − Lipschitz với κ > 0 và đơn điệu mạnh với hằng số η Cho

0 < µ < 2η/κ2, 0 < γ ≤ τ, với τ = 1 −p1 − µ(2η − µκ2) Bài toán bấtđẳng thức biến phân tam cấp (T HV I), tìm x∗ ∈ E sao cho

h(µF − γf )x∗, x − x∗i ≥ 0, ∀x ∈ E, (2.2)với E là tập nghiệm của bài toán (HV I), tìm z∗ ∈ F ix(T ) sao cho

h(µF − γS)z∗, z − z∗i ≥ 0, ∀z ∈ F ix(T ); (2.3)với giả thiết tập nghiệm E 6= ∅

Định nghĩa 2.1.2 Toán tử A : C → H là một toán tử tuyến tính, bịchặn, dương mạnh với hệ số ˜γ > 0 nếu: hAx, xi ≥ ˜γkxk2

Bổ đề 2.1.1 (Nguyên lý tính nửa đóng, [8]) Cho C là tập con lồi, đóng,khác rỗng của không gian Hilbert thực H và cho T : C → C là ánh xạkhông giãn với F ix(T ) 6= ∅ Nếu {xn} là dãy trong C hội tụ yếu đến x

và nếu {(I − T )xn} hội tụ mạnh đến y, thì (I − T )x = y, đặc biệt, nếu

y = 0 thì x ∈ F ix(T )

Bổ đề 2.1.2 ([8]) Cho λ ∈ (0, 1) , µ > 0 và F : C → H là một toán

tử trên C sao cho với mỗi hằng số κ, η > 0, F là toán tử κ − Lipschitz

và đơn điệu mạnh với hệ số η Kết hợp với T : C → C là ánh xạ khônggiãn thì ánh xạ Tλ : C → H được xác định bởi

Tλx := T x − λµF (T x), ∀x ∈ C

là ánh xạ co với µ < 2η/κ2, khi đó,

kTλx − Tλyk ≤ (1 − λτ )kx − yk, ∀x, y ∈ C,với τ = 1 −p1 − µ(2η − µκ2) ∈ (0, 1)

2.2 PHƯƠNG PHÁP CHIẾU MỞ RỘNG

Định lí 2.2.1 ([11]) Cho C là tập con lồi đóng khác rỗng của khônggian Hilbert thực H.Cho A : C → H là một toán tử tuyến tính bị chặndương mạnh và f : C → H là ánh xạ co với hệ số co ρ Cho T : C → C

là ánh xạ không giãn với F ix(T ) 6= ∅ và γ > 0 là hằng số thỏa mãn(˜γ − 1)/ρ < γ < ˜γ/ρ Với mỗi t ∈ (0, 1), cho dãy {xt} được xác định bởi

xt = T P rC[I − t(A − γf )]xt, ∀t ∈ (0, 1) (2.4)Khi đó, dãy {xt} hội tụ theo chuẩn, khi t → 0+ đến x∗ ∈ F ix(T ) lànghiệm duy nhất của bài toán (V I) (1.3)

Chứng minh Trước tiên, ta chứng minh dãy {xt} được cho bởi (2.4) làxác định Thật vậy, chọn t đủ nhỏ,

kT P rC[I − t(A − γf )]x − T P rC[I − t(A − γf )]yk

≤ k[I − t(A − γf )]x − [I − t(A − γf )]yk

xt = T P rC[I − t(A − γf )]xt (2.7)Tiếp theo, ta sẽ chỉ ra dãy {xt} bị chặn Với x∗ ∈ F ix(T ), ta có

kxt − x∗k = kT P rC[I − t(A − γf )]xt − T P rCx∗k

≤ k[I − t(A − γf )]xt − x∗k

≤ tγkf (xt) − f (x∗)k + tkγf (x∗) − Ax∗k+k(I − tA)(xt − x∗)k

≤ (1 − ˜γt)kxt − x∗k + tγρkxt− x∗k+tkγf (x∗) − Ax∗k

Điều này suy ra

ta đi chứng minh {xt} hội tụ theo chuẩn Từ (2.4), ta có

kxt − T xtk = kT P rC[I − t(A − γf )]xt − T P rCxtk (2.8)

≤ tk(A − γf )xtk −→ 0

Đặt yt = P rC[I − t(A − γf )]xt với mọi t ∈ (0, 1) thì

kyt − xtk 6 tk(A − γf)xtk → 0 (2.9)Tương tự, ta chú ý

kxt − x∗k 6 kyt − x∗k (2.10)

Từ (2.4) và tính chất của phép chiếu metric, ta có

kyt − x∗k2 = C[I − t(A − γf )]xt − [I − t(A − γf )]xt, yt − x∗