Định lí điểm bất động đối với ánh xạ giãn trong không gian g metric

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ------ĐINH NHƯ QUỲNH ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG ĐỐI VỚI ÁNH XẠ GIÃN TRONG KHÔNG GIAN... ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM -----

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

- -ĐINH NHƯ QUỲNH

ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG ĐỐI VỚI

ÁNH XẠ GIÃN TRONG KHÔNG GIAN

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

- -ĐINH NHƯ QUỲNH

ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG ĐỐI VỚI

ÁNH XẠ GIÃN TRONG KHÔNG GIAN

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Phạm Hiến Bằng Các tài liệu trong luận văn là trung thực Các kết quả chính của luận văn chưa từng được công bố trong các luận văn Thạc sĩ của các tác giả khác

Tôi xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện Luận văn này

đã được cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong Luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc

Tác giả

Đinh Như Quỳnh

tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu khoa học

Bản luận văn chắc chắn sẽ không tránh khỏi những khiếm khuyết vì vậy rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn học viên để luận văn này được hoàn chỉnh hơn

Cuối cùng xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã động viên, khích lệ tôi trong thời gian học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn

Tháng 04 năm 2019

Tác giả

MỤC LỤC

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ VỀ KHÔNG GIAN G - METRIC 3

1.2 Một số tính chất cơ sở của không gian G - metric 4 1.3 Sự hội tụ và ánh xạ liên tục trong không gian G - metric 7

Chương 2 ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG ĐỐI VỚI ÁNH XẠ GIÃN

2.1 Điểm bất động đối với ánh xạ giãn trong không gian G-metric 10 2.2 Điểm bất động chung đối với các ánh xạ giãn trong không gian

MỞ ĐẦU

Nguyên lí điểm bất động (hay nguyên lí ánh xạ co) đã được Banach chứng minh vào năm 1922 Từ đó đã có nhiều tác giả mở rộng kết quả này cho nhiều loại ánh xạ khác nhau trên các không gian khác nhau Hướng thứ nhất là

mở rộng khái niệm không gian metric Đầu tiên phải kể đến khái niệm không gian b - metric được đưa ra bởi Bakhtin [2] Tác giả đã chứng minh Định lí điểm bất động đối với ánh xạ co trong không gian b - metric, là tổng quát hóa của nguyên lí co Banach trong không gian metric Tiếp đến là khái niệm không gian 2-metric được đưa ra bởi Gahler [4] và khái niệm không gian D-metric được đưa ra bởi Dhage [3] Năm 2004, Mustafa và Sims [7] đã đưa ra khái niệm không gian G-metric Gần đây, Một số tác giả như Mustafa, Chugh, Shatanawi, Mohanta, đã quan tâm nghiên cứu và đạt được một số kết quả về điểm bất động đối với các ánh xạ co trong không gian G-metric đầy đủ Hướng thứ hai phải kể đến là nghiên cứu điểm bất động trong các không gian nói trên nhưng đối với ánh xạ giãn Theo hướng này, một số tác giả đã đạt được các kết quả đẹp đẽ như Maheshwari, Mustafa, Awawdeh, Shatanawi, Sahu, Sanodia, Gupta,

Theo hướng nghiên cứu này chúng tôi chọn đề tài: “Định lí điểm bất động đối với ánh xạ giãn trong không gian G- metric“

Đề tài có ý nghĩa thời sự, đã và đang được nhiều nhà toán học trong và ngoài nước quan tâm nghiên cứu

Nội dung đề tài được viết chủ yếu dựa trên các tài liệu [1], [9] và [10], gồm 35trang, trong đó có phần mở đầu, hai chương nội dung, phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo

Chương 1: Trình bày một số khái niệm và tính chất cơ bản của không gian G - metric

Chương 2: Là nội dung chính của đề tài, trình bày một số kết quả về điểm bất động và điểm bất động chung đối với ánh xạ giãn trong không gian G -metric

Cuối cùng là phần kết luận trình bày tóm tắt kết quả đạt được

CHƯƠNG 1

1.1 Không gian G - Metric

Định nghĩa 1.1.1 Một không gian G - metric là cặp ( , )E G , trong đó E là một tập khác rỗng và G E: ´ E´ E ® [0,¥ ) là một hàm sao cho với mọi , , w,

u v a Î E , các điều kiện sau đây được thỏa mãn:

Hàm G như trên được gọi là một G - metric trênE

Các tính chất trên có thể giải thích theo nghĩa của không gian metric Cho ( , )E r là một không gian metric và G E: ´ E ´ E ® [0,¥ ) là hàm số được xác định bởi

( , , w) ( , ) ( , w) ( , w)

G u v = r u v + r u + r v với mọi u u, , wÎ E

Khi đó ( , )E G là một không gian G - metric Trong trường hợp này, G u v( , , w)

có thể hiểu là chu vi của tam giác với các đỉnh u v, và w Điều kiện(G1) có nghĩa là với một điểm ta không thể có chu vi dương, và điều kiện(G2) tương đương với khoảng cách giữa hai điểm khác nhau không thể bằng 0 Hơn nữa,

vì chu vi của một tam giác không phụ thuộc vào thứ tự các đỉnh của nó, nên ta

có (G4) Cuối cùng, (G5) là mở rộng của bất đẳng thức tam giác sử dụng một

đỉnh thứ tư

Ví dụ 1.1.2 Nếu E Ì ¡ , E ¹ Æ, thì hàm G E: ´ E ´ E ® [0,¥ )được xác định bởi

1.2 Một số tính chất cơ bản của G - Metric

Mệnh đề 1.2.1.Nếu ( ,E G) là không gian G - metric thì

( , , ) 2 ( , , )

G u v v £ G v u u với mọi u v, Î E Chứng minh Theo bất đẳng thức hình chữ nhật (G5) cùng với tính đối xứng

( )f G u v( , , w) £ G u a( , , w)+ G a v( , , w)

( )g ( , , w) 2[ ( , , ) ( , , w) ( , , w)]

3

G u v £ G u v a + G u a +G a v

( )e Giả sử G u v( , , w) = 0 Ta chỉ ra nếu v ¹ w thì u = v Thật vậy, theo (G5), Ta có

0£ G u u v( , , )£ G u v( , , w)= 0Þ G x x y =( , , ) 0

Theo (G2)nếu u ¹ v thì G u u v >( , , ) 0, do đó G u u v =( , , ) 0 kéo theo u = v

Vì G là đối xứng theo các biến của nó nên nếu w ¹ v thì u = w Do đó,

w

v = u = , mâu thuẫn với giả thiết v ¹ w Khi đó v = u = w 

( )f Nếu a = v hoặc a = u thì kết quả là hiển nhiên Giả sử rằng a ¹ u và

( )i Xét hai trường hợp Nếu v = w thì

(2) Nếu v Î B u r( , )0 thì tồn tại d > 0 sao cho B v( , )d Í B u r( , )0

1.3 Sự hội tụ và ánh xạ liên tục trong không gian G - metric

Định nghĩa 1.3.1 Cho ( ,E G) là không gian G - metric, cho điểm u Î Evà cho dãy {u n}Í E Dãy{u n} được gọi là G - hội tụ đếnu , và ta viết u n ® u

hay { }u n ¾ ¾ ® , nếuG u

,lim ( n, m, ) 0

n m G u u u

® ¥ = , tức là với " >e 0, $n0 Î Nsao cho G u u( n, m, )u < e, với mọi n m Î Nn, : n m, ³ n0

Định nghĩa 1.3.2 Cho ( ,E G) là không gian G - metric, dãy {u n}Í E được gọi là G - Cauchy nếu với mỗi e > 0, tồn tại N Î ¥ sao cho G u u( n, m,u l) < e

Mệnh đề 1.3.5.Cho ( ,E G) là không gian G -metric Khi đó các khẳng định sau là tương đương

Định nghĩa 1.3.8 Cho ( ,E G) và (E G¢ ¢ là các không gian , ) G - metric và ánh

xạf :E ® E ¢ Khi đó f được gọi là G - liên tục tại một điểm a Î E

nếu với e > 0 tùy ý, tồn tại d > 0 sao cho u v, Î E ; G a u v( , , ) < d kéo theo ( ( ), ( ), ( ))

G f a f u¢ f v < e Hàm f là G - liên tục trên E khi và chỉ khi nó là

G - liên tục tại mọi a Î E

Mệnh đề 1.3.9 Cho ( ,E G) và ( E G ¢ ¢ là các không gian , ) G - metric Ánh xạ

:

f E ® E ¢ được gọi là G - liên tục tại một điểm u Î E khi và chỉ khi nó là

G - liên tục theo dãy tại u ; nghĩa là, khi {u n} là G - hội tụ đến u thì ( (f u n))

là G - hội tụ đến f u( )

Định lý 1.3.10 Nếu ( ,E G)là không gian G - metric thì hàm G u v( , , w) liên tục theo cả ba biến của nó, nghĩa là, nếu u v, , wÎ E và {u n}, { }, {v n w n}Í E

sao cho u m ® u , v m ® v và wm ® w thì { (G u m,v m, w )}m ® G u v( , , w)

CHƯƠNG 2 ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG ĐỐI VỚI ÁNH XẠ GIÃN

TRONG KHÔNG GIAN G-METRIC

2.1 Điểm bất động đối với ánh xạ giãn trong không gian G-metric

Định nghĩa 2.1.1 Cho ( ,E G) là không gian G - metric và S E: ® E S gọi

là ánh xạ giãn nếu $ >a 1 sao cho với mọiu v, , wÎ E , ta có

Khi đó S có điểm bất động duy nhất

Chứng minh.Theo giả thiết, nếu Su = Sv, thì 0 = G Su Sv Sv( , , ) ³ a G u v v( , , )

,suy raG u v v =( , , ) 0, do đó u = v Vì vậy, S là đơn ánh và khả nghịch

Giả sử h là ánh xạ nghịch đảo của S Khi đó

Giả sử, tồn tại v ¹ u sao cho Sv = v, khi đó ta có

Khi đó S có điểm bất động duy nhất

Chứng minh.Theo giả thiết,nếu Su = Sv, thì 0 = G Su Sv Sv( , , ) ³ a G u v v( , , ), suy raG u v v =( , , ) 0, do đó u = v, suy raSlà đơn ánh, nên là song ánh, do đó

S là khả nghịch Giả sửhlà ánh xạ nghịch đảo của S Khi đó

( , , ) ( ( ), ( ), ( )) ( , , )

G u v v = G S hu S hv S hv ³ a G hu hv hv

Như vậy với mỗi ,u v Î E ta có G hu hv hv( , , ) £ kG u v v( , , ), ở đók = 1 / a

Áp dụng Định lí 1.2[6] đối với ánh xạ nghịch đảo h, và dùng phương pháp tương tự trong chứng minh của Định lí 2.1.3, ta kết luận S có điểm bất động duy nhất

Hệ quả 2.1.5.Cho ( ,E G) là không gian G - metric đầy đủ Nếu tồn tại a > 1

và S E: ® E là toàn ánh, sao cho với mọi u v, , wÎ E

( , , w) { ( , w, w) ( , w, w)}

G Su Sv S ³ a G u + G v , (2.3)

thì S có điểm bất động duy nhất

Chứng minh.Kết quả suy ra từ Định lí 2.1.4, bằng cách lấy w= v trong (2.3)

Định lí 2.1.6.Cho ( ,E G) là không gian G - metric đầy đủ, và S E: ® E toàn ánh thỏa mãn điều kiện sau đây với mọi u v, , wÎ E

trong đó a > 1 Khi đó S có điểm bất động duy nhất

Chứng minh.Từ điều kiện (2.4) suy ra S là đơn ánh và khả nghịch Giả sử h là ánh xạ nghịch đảo của S Theo điều kiện (2.4) "u v, , wÎ E , ta có

Để chứng minh uduy nhất, ta sử dụng chứng minh tương tự trong Định lí 2.1.3

Định lí 2.1.7.Cho ( ,E G) là không gian G - metric đầy đủ không đối xứng và

:

S E ® E là toàn ánh thỏa mãnđiều kiện sau với mọi u v, , w Î E

( , , ) ( , , )( , , w) max ( , w, w) (w, , )

a > Khi đó S có điểm bất động duy nhất

Chứng minh.Giả sử Sthỏa mãn điều kiện (2.8).Khi đó S là đơn ánh và khả nghịch Trong điều kiện (2.8), lấy w = v Khi đó với mọi u v, , w Î E , ta có

( , , ) { ( , , ) ( , , )}

G Su Sv Sv ³ a G u v v + G v u u ,(2.9)

từ (G5) suy ra

( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) 2 ( , , )

G u v v = G v v u £ G v u u + G u v u = G v u u

Do đó

1( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )

2G u v v + G u v v £ G v u u + G u v v , suy ra

3( , , ) ( , , ) ( , , )

2G u v v £ G v u u + G u v v (2.10) Kết hợp (2.9) và (2.10) ta nhận được

3( , , ) ( , , )

2

G Su Sv Sv ³ a G u v v (2.11)

Gọih là ánh xạ nghịch đảo của S Khi đó áp dụng (2.11) ta được

3( , , ) ( ( ), ( ), ( )) ( , , )

= và b < 1.Khi đó, theo Định lí 1.2[6],$!u Î E sao cho h u( ) = u

, nhưng u = S h u( ( )) = S u( ), chứng tỏ rằng u là điểm bất động của S

Để chứng minh tính duy nhất, giả sử v ¹ u sao cho S v( ) = v, từ (2.8) ta có

3( , , ) ( , , ) { ( , , ) ( , , )} ( , , )

> , nên G u v v( , , ) > G u v v( , , ) Mâu thuẫn này suy rau = v

Định lí 2.1.8.Cho ( ,E G) là không gian G - metric đầy đủ không đối xứng và

:

S E ® E là toàn ánh thỏa mãn điều kiện sau với mọi u v, , wÎ E

( , , ) { ( , , ), ( , , )}

G Su Sv Sv ³ a max G u v v G v u u với k > 1 (2.14)

Khi đó S có điểm bất động duy nhất

Chứng minh.Vì max G u v v G v u u{ ( , , ), ( , , )} ³ G u v v( , , ), nên theo (2.14), ta có

( , , ) ( , , )

G Su Sv Sv ³ a G u v v ,với mọi u v, , wÎ E (2.15)

Theo Định lí 2.1.4, S có điểm bất động duy nhất

Hệ quả 2.1.9.Cho ( ,E G) là không gian G - metricđầy đủ không đối xứng và

:

S E ® E là toàn ánh thỏa mãn điều kiện sau với mọi u v, , wÎ E

( , , ), ( , , )( , , w) max ( , w, w), (w, , )

và kết luận được suy ra từ Định lí 2.1.3

Định lí 2.1.11.Cho ( ,E G) là không gian G - metric đầy đủ và S E: ® E là toàn ánh thỏa mãn điều kiện sau với mọi u v, , wÎ E

( , , w) ( , , w) ( , , ) ( , , ) (w, w,Sw)

trong đó a + b+ c+d > 1 và b+ c < 1.(2.18)

Khi đó S có một điểm bất động

Chứng minh Lấy u0 Î E , vì S là toàn ánh nên tồn tại u1 sao cho u1 Î S- 1( )u0

Lập luận tương tự ta có thể lấy 1

® ¥ = và {u n} là dãy G - Cauchy Vì( ,E G) là không

gian đầy đủ, nên tồn tại u Î E sao cho {u n} làG - hội tụ tới u

Điều này là không thể xảy ra cho cả hai c+ d = 0 và a = 0 Do đó

1 Nếu c+ d ¹ 0 thì G v v u =( , , ) 0, suy rau = v

2 Nếu a ¹ 0 thì aG u v v ®( n, , ) 0 khi n ® ¥ , suy rau n ® v

Do đó trong cả hai trường hợp ta đều có u = v, nhưng Sv = u, nên

Sv = u = v Vậy v là điểm bất động của S

Nếu a < thì điểm bất động của 1 S là không duy nhất, vì ánh xạ đồng nhất

thỏa mãn điều kiện (2.18) Tuy nhiên nếu a > 1 thì điểm bất động là duy nhất

Hệ quả 2.1.12.Cho ( ,E G) là không gian G - metric đầy đủ và S E: ® E là toàn ánh thỏa mãn điều kiện sau với mọi u v, , wÎ E

( , , ), (w, , ), ( , , )

G u G v G v v

G Su Sv S

G u v v G u u G v u u a

với a > 2 Khi đó S có điểm bất động duy nhất

Chứng minh Như trong Định lí 2.1.11, tồn tại một dãy {u n} với u n-1 ¹ u n và

+

³

³Suy ra

2( n , n, n) ( n, n , n )

G u u u G u u u

a

Đặt q 2

a

= , khi đóq < 1 Bằng cách tương tự trong chứng minh Định lí 2.1.11,

ta thấy rằng dãy {u n}là G - Cauchy và do tính đầy đủ của ( ,E G), dãy {u n}là

G - hội tụ tới u Î E Vì S là G - liên tục, nên

1

n n

Su = u - ® Su khi n ® ¥

Do đó Su = u Vậyu là điểm bất động của S

Để chứng minh tính duy nhất, ta giả sử cóv ¹ u sao cho Sv = v, khi đó (2.22) kéo theo

G u u u G u u u

a

( , , ) 0

G y u u

a = vàa G u( n+1,u u n, n) ® 0 khi n ® ¥

Do đó, G v u u =( , , ) 0, suy rau = v

Nhưng Sv = u , nênSv = u = v Vậyv là điểm bất động của S

2.2.Điểm bất động chung đối với các ánh xạ giãn trong không gian metric

G-Định nghĩa 2.2.1 Cặp( , )R S các tự ánh xạ trên không gian G - metric ( , )E G

gọi là nửa tương thích nếu lim ( n, , ) 0

G v - v v £ pG v - v - v - Kết hợp với (2.28) ta được

2

( n , n , n) ( n , n , n )

G v + v + v £ p G v - v - v - Bằng quy nạp ta có

0 1 1

1

( , , )1

Trường hợp 1.R là ánh xạ liên tục Vì limSu n = limRu n = w, nên

Vì ( , )R S là nửa tương thích và limSu = n w, nên limSRu n = Rw

Trường hợp 2.S là ánh xạ liên tục VìlimSu n = limRu n = w,nên

Vì ( , )R S là nửa tương thích và limRu = n w, nênlimRSu n = Sw

Vì b > 2 nên G(w, w, w)R R £ 0, suy ra Rw = w Vậy Rw= Sw = w

Tính duy nhất Giả sử u là điểm bất động khác của R và S Khi đó

Chứng minh Lấy u0 Î E tùy ý Vì R E( )Ì S E( ), nên tồn tại u1sao cho

Trường hợp 1 R là ánh xạ liên tục Vì limRu n = limu n = w, nên

Vì ( , )R S là nửa tương thích và limSu = n w, nênlimSRu n = Rw

Bây giờ sử dụng (b) với u = Ru v n, = u n+1, ta có

Vì a > 1 nên G S( w, w, w)S £ 0, suy ra Sw= w Vậy Sw= Rw = w

Trường hợp 2.S là ánh xạ liên tục Vì limRu n = limSu n = w, nên

limSSu n = Sw và limSRu n = Sw

Vì ( , )R S là nửa tương thích và limSu = n w, nên limRSu n = Sw

Theo Mệnh đề 1.2.3, ta có

1(w, w, w) (w, w, w)

Tính duy nhất Giả sử u là điểm bất động khác của R và S, khi đó

Định lí 2.2.5.Cho ( ,E G) không gian G - metric đầy đủ, , , , R S T H E: ® E

là các ánh xạ thỏa mãn các điều kiện sau:

Chứng minh Lấy u0 Î E tùy ý Nếu S E( ) Ì T E( )và R E( )Ì H E( )thì

tồn tại u u sao cho 1, 2 Su1 = T u0 = v0 &Ru2 = Hu1 = v1

Bằng quy nạp ta có thể định nghĩa dãy

Trường hợp 1.S là ánh xạ liên tục VìlimSu n = w & limT u n = w nên

Vì( , )S T là nửa tương thích vàlimT u = n wnênlimT Su n = Sw

Bây giờ sử dụng (b) với u = Su v n, = u n+1, ta có

+ > , suy ra G T( w, w, w) £ 0Þ Tw= w

Sử dụng (b) với u = Rw và v = u n+1ta có

KẾT LUẬN

Luận văn đã trình bày:

Một số khái niệm và tính chất cơ sở của không gian G - metric

Một số kết quả về điểm bất động đối với ánh xạ giãn trong không gian G

-metric Các kết quả được trình bày trong Định lí 2.1.3, Định lí 2.1.4, Định lí 2.1.6, Định lí 2.1.7, Định lí 2.1.8, Định lí 2.1.11, Định lí 2.1.13, Định lí 2.1.14

và Định lí 2.1.15

Một số kết quả về điểm bất động chung đối với ánh xạ giãn trong không gian G - metric.Các kết quả được trình bày trong Định lí 2.2.1, Định lí 2.2.3, Định lí 2.2.5