Điểm bất động chung đối với các ánh xạ nửa tương thích và ánh xạ tương thích với các biến thể của nó trong không gian metric nhân

ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG ĐỐI VỚI CÁC ÁNH XẠ NỬA TƯƠNG THÍCH VÀ ÁNH XẠ TƯƠNG THÍCH VỚI CÁC BIẾN THỂ CỦA NÓ TRONG KHÔNG GIAN METRIC NHÂN 20 2.1.. Năm 2015, Kang [6] và các cộng sự đã đưa ra kh

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Phạm Hiến Bằng Các tài liệu trong luận văn là trung thực Các kết quả chính của luận văn chưa từng được công bố trong các luận văn Thạc sĩ của các tác giả khác

Tôi xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện Luận văn này

đã được cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong Luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc

Tác giả

Mẫn Thị Bắc

LỜI CẢM ƠN

Bản luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Phạm Hiến Bằng Nhân dịp này tôi xin cám ơn Thầy về sự hướng dẫn hiệu quả cùng những kinh nghiệm trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn

Xin chân thành cảm ơn Phòng Đào tạo- Bộ phận Sau Đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Toán, các thầy cô giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học và Trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã giảng dạy và

tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn

Bản luận văn chắc chắn sẽ không tránh khỏi những khiếm khuyết vì vậy rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn học viên để luận văn này được hoàn chỉnh hơn

Cuối cùng xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã động viên, khích lệ tôi trong thời gian học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn

Tháng 04 năm 2020

Tác giả

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

3

1.2 Mối quan hệ và các tính chất của các ánh xạ tương thích và các

biến thể của nó trong không gian metric nhân 9

Chương ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG ĐỐI VỚI CÁC ÁNH XẠ NỬA TƯƠNG THÍCH VÀ ÁNH XẠ TƯƠNG THÍCH VỚI CÁC BIẾN THỂ CỦA NÓ TRONG KHÔNG GIAN METRIC NHÂN 20 2.1 Điểm bất động chung đối với các ánh xạ nửa tương thích trong

2.2 Điểm bất động đối với các ánh xạ tương thích và các biến thể của

lý về điểm bất động của các ánh xạ đó trong không gian metric nhân Năm

2015, Kang [6] và các cộng sự đã đưa ra khái niệm về các ánh xạ tương thích trong không gian metric nhân đồng thời đạt được một số kết quả về điểm bất động chung đối với các ánh xạ tương thích trong không gian metric nhân Một hướng nghiên cứu gần như đồng thời với việc nghiên cứu đã nêu ở trên là việc xét điểm bất động đối với ánh xạ nửa tương thích, ánh xạ tương thích yếu, ánh

xạ giao hoán và giao hoán yếu Năm 1995, J Cho [2] và các cộng sự đã đưa

ra khái niệm về ánh xạ nửa tương thích trong các không gian tôpô Năm 1996, Jungck [5] đã đưa ra khái niệm về các ánh xạ tương thích yếu và đạt được kết quả về điểm bất động của ánh xạ tương thích yếu trong không gian metric Năm 2013, Gu [3] và các cộng sự đã đưa ra định nghĩa về các ánh xạ giao hoán

và giao hoán yếu trong một không gian metric nhân và chứng minh một vài định lý về các điểm bất động của những ánh xạ này Năm 2016, P.Kumar, S Kumar, S.M Kang [7] đã đưa ra khái niệm ánh xạ nửa tương thích trong không gian metric nhân và thiết lập định lí điểm bất động chung đối với các ánh xạ đó

Theo hướng nghiên cứu này, chúng tôi chọn đề tài: “Điểm bất động chung đối với các ánh xạ nửa tương thích và ánh xạ tương thích với các biến thể của nó trong không gian metric nhân ”

Ý nghĩa thời sự: Đề tài có ý nghĩa thời sự, đã và đang được nhiều nhà toán học trong và ngoài nước quan tâm nghiên cứu

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

Mục đích của luận văn là nghiên cứu và trình bày một số kết quả về không gian metric nhân và một số định lý về sự tồn tại điểm bất động chung đối với các ánh xạ nửa tương thích và điểm bất động chung đối với các ánh xạ tương thích với các biến thể của nó trong không gian metric nhân

3 Phương pháp nghiên cứu

Sử dụng phương pháp của giải tích hàm

4 Bố cục luận văn

Nội dung đề tài được viết chủ yếu dựa trên các tài liệu [6] và [7], gồm 39 trang, trong đó có phần mở đầu, hai chương nội dung, phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo

Chương 1: Trình bày một số khái niệm và tính chất cơ bản của không gian metric nhân

Chương 2: Là nội dung chính của đề tài, trình bày một số kết quả về Điểm bất động chung đối với các ánh xạ nửa tương thích và ánh xạ tương thích với các biến thể của nó trong không gian metric nhân

Cuối cùng là phần kết luận trình bày tóm tắt kết quả đạt được

CHƯƠNG 1 CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Không gian metric nhân

Đ nh ngh a 1.1.1 Cho E là một tập khác r ng Một metric nhân là một ánh xạ :E E thỏa mãn các điều kiện sau:

(ii) ( , )u v ( , )v u , u v, E ;

(iii) ( , )u v ( , ) ( , )u w w v , u v w, , E bất đ ng thức tam giác nhân

Khi đó ( , )E được gọi là một không gian metric nhân

1

khi khi

Khi đó, n, là một không gian metric nhân

Ví dụ 1.1.3 Cho : 1, thỏa mãn ( , )u v a u v , với mọi ,

u v và a 1 Khi đó, là một metric nhân và ( , ) là một không gian metric nhân Ta có thể gọi đó là không gian metric nhân thông thường

Nhận t 1.1.4 Chú ý rằng ví dụ 1.1.2 đúng với các số thực dương và ví dụ

1.1.3 đúng với mọi số thực

Ví dụ 1.1.5 Cho ( , )E là một không gian metric Cho a là ánh xạ xác định

Nhận t 1.1.7 Metric nhân và metric là độc lập với nhau

Thật vậy, ánh xạ được định nghĩa trong ví dụ 1.1.2 là một metric nhân mà không là metric vì nó không thỏa mãn bất đ ng thức tam giác

Đ nh ngh a 1.1.8 Cho ( , )E là một không gian metric nhân Khi đó

(1) dãy { }u n E gọi là hội tụ nhân tới u nếu với m i hình cầu mở nhân

tụ nhân đến một phần tử thuộc E

Chú ý 1.1.9 Tập các số thực dương là không đầy đủ theo metric thông

thường Lấy E và dãy u n {1 / }n Hiển nhiên, u n là một dãy Cauchy trong E với metric thông thường và E không là không gian metric đầy đủ do 0 Trong trường hợp không gian metric nhân, ta lấy dãy

Đ nh ngh a 1.1.10 Cho f là ánh xạ từ một không gian metric nhân ( , )E

vào chính nó Khi đó, f được gọi là một phép co nhân nếu tồn tại một số thực

lim n lim n

n fu n gu t với t E nào đó

Đ nh ngh a 1.1.12 Cho f và g là các ánh xạ từ một không gian metric nhân

giao hoán tại những điểm trùng, tức là nếu ft gt với t E thì fgt gft

Năm 1995, Cho và các cộng sự [2] đã đưa ra khái niệm về nửa tương thích trong các không gian topo như sau

Đ nh ngh a 1.1.13 [2] Cho f và g là các ánh xạ từ một không gian topo vào

chính nó Khi đó, f và g được gọi là nửa tương thích nếu

(1) fv gv kéo theo fgv gfv và

(2) fu n u và gu n u kéo theo fgu n gu khi n

ây giờ, ta sẽ định nghĩa tính nửa tương thích theo điều kiện 2 chỉ trong phạm vi không gian metric nhân như sau:

Đ nh ngh a 1.1.14 Cho f và g là các ánh xạ từ một không gian metric nhân

n fgu gu , với mọi dãy { }u n E sao cho lim n lim n

với u nào đó thuộc E

Điều này suy ra rằng nếu f và g là nửa tương thích và fv gv thì fgv gfv Chú ý rằng f và g là nửa tương thích không nhất thiết f và g là tương thích

Hơn nữa, tính nửa tương thích của f và g không kéo theo tính nửa tương thích

của g và f

Ví dụ 1.1.15 Cho E [1, 3] và :E E [1, ) được xác định bởi

metric nhân Lấy các ánh xạ , :f g E E xác định bởi

gu

n nên fu n 2 và gu n 2 u 1

Tiếp theo, ta chỉ ra nửa tương thích là tương thích yếu Thật vậy, với

Lấy , :f g E E là các ánh xạ xác định bởi

khi u khi u

o đó f và g là nửa tương thích, nhưng g và f không là nửa tương thích

Tính tương thích yếu không kéo theo tính nửa tương thích Ở đây, g và

f là tương thích yếu vì chúng giao hoán tại điểm trùng của chúng 2

3 , nhưng

không là nửa tương thích Tính nửa tương thích không nhất thiết kéo theo tương thích vì lim n, n 1

n d fgu gfu trong các ví dụ 1.1.15 và 1.1.16

Trong ví dụ tiếp theo, ta sẽ chỉ ra tính tương thích không nhất thiết kéo theo tính nửa tương thích

Ví dụ 1.1.17 Cho E [0,1] và :E E [1, ) xác định bởi

( , )u v a u v , trong đó ,u v E và a 1

Khi đó, ( , )E là một không gian metric nhân Lấy , :f g E E là các ánh xạ

xác định bởi

fu u ,

10

Điều này kéo theo f và g không là nửa tương thích

1.2 Mối quan hệ và các tính chất của các ánh ạ tương thích và các biến thể của nó trong không gian metric nhân

ây giờ, ta sẽ xem xét các định nghĩa về các ánh xạ tương thích và các biến thể của nó trong các không gian metric nhân như sau:

Đ nh ngh a 1.2.1 Cho f và g là hai ánh xạ từ không gian metric nhân ( , )E vào chính nó Khi đó f và g được gọi là

(1) tương thích nếu lim n, n 1

n fgu gfu , trong đó { }u n E là một dãy sao cho lim n lim n

(2) tương thích kiểu ( )A nếu

1 2

và

1 2

trong đó { }u n E là một dãy sao cho lim n lim n

n fx n gx t với t E (4) tương thích kiểu ( )C nếu

trong đó { }u n E là một dãy sao cho lim n lim n

n fu n gu t với t E (5) tương thích kiểu ( )P nếu lim n, n 1

n d ffu ggu , trong đó { }u n E là một dãy sao cho lim n lim n

n fu n gu t với t E Tiếp theo là một số kết quả về mối liên hệ và các tính chất của các ánh

xạ tương thích và các biến thể của nó

Mệnh đề 1.2.2 Cho f và g à các ánh xạ tương thích kiểu ( )A ếu một trong f ho c g à i n t c th f và g à tương thích

h ng minh Vì f và g là tương thích kiểu ( )A nên lim n, n 1

n gfu ffu , ở đó lim n lim n

n fu n gu t với t E nào đó

Giả sử f liên tục Khi đó lim n lim n

n ffu n fgu ft với t nào đó thuộc E

n fgu gfu , tức là f và g là các ánh xạ tương thích

Tương tự, nếu g là liên tục, khi đó f và g là các ánh xạ tương thích

Mệnh đề 1.2.3 i c p ánh xạ tương thích kiểu ( )A à tương thích kiểu ( )B

h ng minh Giả sử f và g là các ánh xạ tương thích kiểu ( )A Khi đó, ta có

Vậy f và g là các ánh xạ tương thích kiểu ( )B

Mệnh đề 1.2.4 Cho f và g à các ánh xạ i n t c t một không gian metric nhân ( , )E vào chính nó ếu f và g à các ánh xạ tương thích kiểu ( )B th f

1 2

và

1 2

o đó, f và g là các ánh xạ tương thích kiểu ( )A Mệnh đề được chứng minh

Mệnh đề 1.2.5 Cho f và g à các ánh xạ i n t c t một không gian metric nhân ( , )E vào chính nó ếu f và g à các ánh xạ tương thích kiểu ( )B th f

Theo bất đ ng thức tam giác nhân, ta có

fgu gfu n, n fgu ggu n, n ggu gfu n, n Cho n và chú ý đến giả thiết f và g là các ánh xạ tương thích kiểu ( )B ,

n fgu ft n ft ffu n ggu gfu .

o đó f và g là các ánh xạ tương thích Mệnh đề được chứng minh

Mệnh đề 1.2.6 Cho f và g à các ánh xạ i n t c t một không gian metric nhân ( , )E vào chính nó ếu f và g à các ánh xạ tương thích th f và g à tương thích kiểu ( )B

h ng minh Vì f và g là tương thích nên tồn tại dãy { }x n X sao cho

n fgu gfu Vì f và g là các ánh xạ liên tục, nên ta có

lim n lim n lim n lim n

Từ đó ta có

1 2

và

1 2

Vậy f và g là các ánh xạ tương thích kiểu ( )B

Mệnh đề 1.2.7 Cho f và g à các ánh xạ i n t c t một không gian metric nhân ( , )E vào chính nó hi đó

(1) f và g à tương thích f và g tương thích kiểu ( )B

(2) f và g à tương thích kiểu ( ) A f và g à tương thích kiểu( )B

h ng minh (1) Chứng minh suy ra từ Mệnh đề 1.2.5 và Mệnh đề 1.2.6

(2) Chứng minh được suy ra từ Mệnh đề 1.2.3 và Mệnh đề 1.2.4

Mệnh đề 1.2.8 Cho f và g à các ánh xạ tương thích t một không gian metric nhân ( , )E vào chính nó ếu ft gt với t E th

fgt fft ggt gft

h ng minh Giả sử rằng { }u n E là một dãy được xác định bởi u n t ,

lim n, lim n, n lim n, 1

o đó lim n

n gfu ft Ta được điều phải chứng minh

b Chứng minh tương tự a ta được lim n

c Giả sử rằng f và g liên tục tại t Vì gu n t khi n và f liên tục tại

t, nên theo (a), ta có gfu n ft khi n M t khác, g liên tục tại t, nên

metric nhân ( , )E vào chính nó ếu ft gt với t nào đó thuộc E th

fgt fft ggt gft

h ng minh Giả sử rằng { }u n E là một dãy xác định bởi u n t, 1,2,

n với t E và ft gt Khi đó, ta có fu n, gu n ft khi n

Vì f và g là tương thích kiểu ( )B , nên ta có

Mệnh đề 1.2.11 Cho f và g à ánh xạ tương thích kiểu ( )B t một không gian metric nhân ( , )E vào chính nó i ử lim n lim n

Chú ý 1.2.12 Trong Mệnh đề 1.2.10, giả sử f và g là ánh xạ tương thích kiểu

( )C ho c kiểu ( )P thay cho ánh xạ tương thích kiểu ( )B , thì kết luận của

Mệnh đề 2.10 vẫn đúng

Chú ý 1 .13 Trong Mệnh đề 1.2.11, giả sử f và g là ánh xạ tương thích kiểu

( )C ho c kiểu ( )P thay cho ánh xạ tương thích kiểu ( )B , thì kết luận của Mệnh

đề 1.2.11 vẫn đúng

Chú ý 1.2.14 M i ánh xạ giao hoán yếu là tương thích nhưng điều ngược lại

nói chung không đúng

Thật vậy, vì f và g là các ánh xạ giao hoán yếu nên

(fgu gfu, ) ( ,fu gu) với mọi u E

Giả sử lim n lim n

n fu n gu t với t E Khi đó

1 fgu gfu n, n (fu gu n, n) (fu t n, ) (gu t n, ) 1

n fgu gfu , do đó f và g là ánh xạ tương thích

Ví dụ 1.2.15 ét E [0, ) với metric nhân ( , )u v e|u v| trên E ét các ánh xạ , :f g E E xác định bởi fu u và 3 gu 2u Khi đó f và 3 g là các ánh xạ tương thích nhưng không giao hoán yếu

Chú ý 1.2.16 Khái niệm về các ánh xạ tương thích và các biến thể của nó là

n fgu gfu

Tuy nhiên:

8 4

n fgu ggu

n gfu ffu

o đó f và g là tương thích nhưng không tương thích kiểu ( ),A tương thích kiểu ( )B , kiểu ( )C và kiểu ( ).P

Ví dụ 1.2.18 Cho E [0,6] với metric nhân thông thường , xét các ánh xạ , :

f g E E xác định bởi

u khi u fu

khi u và

u khi u gu

khi u Khi đó f và g không liên tục tại t 3 Ta sẽ chỉ ra f và g là không tương thích nhưng chúng tương thích kiểu ( )A , kiểu ( )B , kiểu ( )C , và kiểu ( )P Thật vậy, giả sử { }u n [0,6] và fu gu n, n t Theo định nghĩa của f và g ,

3,6

t Vì f và g bằng nhau trên đoạn 3, 6 , nên ta chỉ cần xét t 3 o vậy, ta giả sử u n 3 và u n 3 với mọi n Khi đó, gu n 6 u n 3 từ bên phải và fu n u n 3 từ bên trái Như vậy, vì u n 3 và 6 u n 3 với mọi

Hơn nữa, lim n, n 1

n gfu ffu và ta nhận được

1/3

3

và

1/3

3

khi u n 3 và lim n lim n 3

CHƯƠNG

ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG ĐỐI VỚI CÁC ÁNH XẠ NỬA TƯƠNG THÍCH VÀ ÁNH XẠ TƯƠNG THÍCH VỚI CÁC BIẾN THỂ CỦA NÓ TRONG KHÔNG GIAN

METRIC NHÂN

2.1 Điểm bất động chung đối với các ánh ạ nửa tương thích trong không gian metric nhân

Đ nh ý 1.1 Cho f g S, , và T à các ánh xạ t một không gian metric nhân

đ đủ ( , )E vào chính nó th a m n nh ng đi u ki n au:

một điểm bất động chung du nhất trong E (2.4)

h ng minh Lấy u0 E tùy ý Vì f E( ) T E( ) và g E( ) S E( ), nên tồn tại 1

u E sao cho fu0 Tu1 và với điểm u1 này, tồn tại u2 E sao cho

Suy ra ( , )v v m n 1 khi n và { }v n là một dãy Cauchy nhân o đó

Phép chứng minh tương tự cho trường hợp g là liên tục

Cuối cùng, giả sử z z w là một điểm bất động chung khác của f g S, , và T

Khi đó

z fz gz Sz Tz

ằng cách đ t u w và v z trong (2.2), ta có

3 w z, 3 fw gz,