Cho hình chóp S.ABC đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a , ACB SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SB tạo với mặt đáy một góc bằng 45◦.. Ba chiếc bình hình trụ cùng chứa một lượng nước [r]
Trang 1ĐỀ THAM KHẢO
(Đề thi có 6 trang)
KỲ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
NĂM HỌC 2021 Bài thi: TOÁN
Mã đề thi BT4
Câu 1 Từ một nhóm gồm 14 học sinh có bao nhiêu cách chọn ra 2 học sinh?
14.C1
14
Câu 2 Cho cấp số cộng (un) có u1 = 25 và u3 = 11 Hãy tính u2
Câu 3 Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như hình vẽ
x
y0
y
1
+∞
−∞
3
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A (−∞; 3) B (2; +∞) C (1; +∞) D (−∞; +∞)
Câu 4 Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như hình vẽ
x
y0
y
−∞
1
−2
+∞
Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại
Câu 5 Cho hàm số f (x), bảng xét dấu của f0(x) như sau:
x
f0(x)
Số điểm cực trị của hàm số đã cho là
Câu 6 Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = 2x + 1
x − 2 là
Trang 2Câu 7.
Đồ thị hàm số nào sau đây có dạng như đường cong hình dưới đây
A y = x3− 3x2− 1 B y = x4− 3x2+ 2
C y = −x3+ 3x2 + 2 D y = x3− 3x2+ 2
x
y
O
Câu 8 Số giao điểm của đồ thị hàm số y = x3− 3x + 1 và trục hoành là
Câu 9 Với a là số thực dương tùy ý, log4(a3) bằng
3log2a B. 3log2a C. 3 + log4a D.
3
2log2a
Câu 10 Tính đạo hàm của hàm số y = ex− ln x
A y0 = e
x
0 = ex− 1
0 = ex+ 1
0 = xex
Câu 11 Viết biểu thức pa√
a (a > 0) về dạng lũy thừa của a là
Câu 12 Phương trình 23−4x = 1
32 có nghiệm là
Câu 13 Phương trình log3(3x − 2) = 3 có nghiệm là
11
25 3
Câu 14 Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = 2 − cos x tương ứng là:
A 2x − cos x + C B 2 − sin x + C C 2x − sin x + C D x2+ sin x + C
Câu 15 Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f (x) = x
x − 2 trên khoảng (2; +∞) là
(x − 1)2 + C B. x − 2 ln (x − 2) + C
(x − 2)2 + C D. x + 2 ln (x − 2) + C
Z 2
1 2f (x)dx = 2;
Z 5
2
f (x)dx = 3 Tính I =
Z 5
1
f (x)dx
Câu 17 Tính tích phân I =
Z e
1
x ln xdx
A I = e
2− 1
1
e2− 2
e2+ 1 4
Câu 18 Tìm phần ảo của số phức z = 19 − 20i ?
Trang 3Câu 19 Cho hai số phức z1 = 4i − 5, z2 = 7 − 3i Phẩn thực của số phức z1− z2 là
Câu 20 Cho số phức z = 2 − i Điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn số phức z trên mặt phẳng tọa độ?
A Q (2; 1) B P (1; 2) C N (−1; 2) D M (2; −1)
Câu 21 Thể tích khối chóp có diện tích đáy bằng 3 và chiều cao bằng 4 là
Câu 22 Thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy B và chiều cao h là
3Bh
Câu 23 Cho khối nón có chiều cao bằng 6 và đường kính đường tròn đáy bằng 8 Thể tích của khối nón là
A V = 128π B V = 160π C V = 32π D V = 384π
Câu 24 Cho hình trụ tròn xoay có độ dài đường sinh là l , độ dài đường cao là h và r là bán kính đáy Công thức diện tích xung quanh của hình trụ tròn xoay đó là
A Sxq = πrh B Sxq = πrl C Sxq = πr2h D Sxq = 2πrl
Câu 25 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho #»a = −#»
i + 2#»
j − 3#»
k Tọa độ của vectơ #»a là
A (−1; 2; −3) B (−2; −1; −3) C (−3; 2; −1) D (2; −3; −1)
Câu 26 Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) : (x − 5)2+ (y − 7)2 + (z + 8)2 = 25 Mặt cầu (S)
có tọa độ tâm và bán kính lần lượt là
A I (5; 7; −8),R = 5 B I (5; −7; −8), R = 25
C I (−5; −7; 8), R = 5 D I (5; 7; 8), R = 5
Câu 27 Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P ) : 2x − 6y + 4z − 5 = 0 Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của (P )?
A n#»
1 = (2 ; 6 ; 4) B n#»
4 = (−6 ; 4 ; −5) C n#»
2 = (1 ; −3 ; 2) D n#»
3 = (2 ; −6 ; −5)
Câu 28 Trong không gian Oxyz, đường thẳng qua hai điểm M (−2; 1; 2) , N (3; −1; 0) có vectơ chỉ phương là
A #»u = (5; 0; 2) B. #»u = (1; 0; 2) C. #»u = (−1; 0; 2) D. #»u = (5; −2; −2)
Câu 29 Một lô hàng gồm 30 sản phẩm tốt và 10 sản phẩm xấu Lấy ngẫu nhiên 3 sản phẩm Xác suất để 3 sản phẩm lấy ra có ít nhất một sản phẩm tốt bằng
135
15
244 247
Câu 30 Hàm số nào dưới đây nghịch biến trên R?
A y = x − 2
x − 1 B. y = −x
3− 2x C y = x3+ 3x2 D y = x4+ 3x2
Câu 31 Giá trị nhỏ nhất của hàm số f (x) = x4 − 10x2+ 2 trên đoạn [−1 ; 2] bằng
Câu 32 Nghiệm của bất phương trình: log1
5 (2x − 3) > −1
2 < x < 4 B. x >
3
Trang 4Câu 33 Cho
Z 2
1 [4f (x) − 2x] dx = 1 Khi đó
Z 2
1
f (x) dx bằng
Câu 34 Cho hai số phức z1 = 4 + 2i và z2 = −1 − 3i Phần thực của số phức z1.z2 là
Câu 35 Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC),SA = a√
2, tam giác ABC vuông cân tại B và AC = 2a Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABC) bằng
Câu 36 Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) , ∆ABC là tam giác đều cạnh bằng a, SA = 2a Khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SAB) bằng
√ 3a
√ 3a 2
Câu 37 Trong không gian , phương trình mặt cầu tâm I (−2; 0; 0) và đi qua M (0; 2; 0) là:
A (x − 2)2+ y2+ z2 = 8 B (x + 2)2+ y2+ z2 = 8
C (x + 2)2+ y2+ z2 = 2√
2 D (x + 2)2+ (y − 2)2+ z2 = 4
Câu 38 Trong không gian Oxyz , cho điểm hai điểm M (1; 0; 1) và N (3; 2; −1) Đường thẳng M N
có phương trình tham số là
A
x = 1 + t
y = t
z = 1 + t
B
x = 1 + 2t
y = 2t
z = 1 + t
C
x = 1 − t
y = t
z = 1 + t
D
x = 1 + t
y = t
z = 1 − t
Câu 39 Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên R và có bảng xét dấu của đạo hàm như sau:
x
f0(x)
Biết f (−4) = f (4) = −7 Giá trị lớn nhất của hàm số y = |f (x) + 5| trên đoạn [−4; 4] đạt được tại điểm nào?
Câu 40 Có bao nhiêu cặp số nguyên dương (a ; b) thỏa mãn logab + 6 logba = 5 và 2 ≤ a ; b ≤ 2005
Câu 41 Cho hàm số y = f (x) =
( 2x3− x khi x ≥ 1
− 3x + 4 khi x ≤ 1 . Biết tích phân I =
Z π 3 π 4
f (tan x) cos2x dx+
Z
√ e−1
0
xf (ln (x2+ 1))
x2+ 1 dx =
a
b với a, b ∈ N và a
b là phân số tối giản Tính giá trị biểu thức P = a + b
Câu 42 Cho số phức z thỏa mãn |z| = 10 và w = (6 + 8i) z + (1 − 2i)2 Tập hợp các điểm biểu diễn
số phức w là đường tròn có tâm là
A I (3; 4) B I (6; 8) C I (1; −2) D I (−3; −4)
Trang 5Câu 43 Cho hình chóp S.ABC đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a , [ACB = 60◦ cạnh bên
SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SB tạo với mặt đáy một góc bằng 45◦ Thể tích của khối chóp S.ABC là
3√
3
a3√ 3
a3√ 3
a3√ 3 12
Câu 44 Ba chiếc bình hình trụ cùng chứa một lượng nước như nhau, độ cao mực nước trong bình II gấp đôi bình I và trong bình III gấp đôi bình II Nhận xét đúng về bán kính đáy r1, r2, r3 của ba bình
I, II, III là
A r1, r2, r3 theo thứ tự lập thành một cấp số nhân công bội √
2
B r1, r2, r3 theo thứ tự lập thành một cấp số nhân công bội 2
C r1, r2, r3 theo thứ tự lập thành một cấp số nhân công bội √1
2
D r1, r2, r3 theo thứ tự lập thành một cấp số nhân công bội 1
2
Câu 45 Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng ∆ : x + 3
1 =
y − 1
1 =
z + 2
4 và mặt phẳng (P ) : x + y − 2z + 6 = 0 Biết cắt mặt phẳng (P ) tại A, M thuộc sao cho AM = 2√
3 Tính khoảng cách từ M tới mặt phẳng (P )
3
Câu 46
Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm f0(x) xác định trên R Đồ thị hàm
số y = f0(x) như hình vẽ dưới đây: Hỏi hàm số y = f (x2) có bao nhiêu
điểm cực đại và bao nhiêu điểm cực tiểu?
A 2 điểm cực tiểu, 1 điểm cực đại
B 2 điểm cực tiểu, 3 điểm cực đại
C 2 điểm cực đại, 3 điểm cực tiểu
D 2 điểm cực đại, 1 điểm cực tiểu
x
y
O
Câu 47 Cho các số dương a, b, c thay đổi thỏa mãn log2a + log2c ≥ 2log2b Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = a + b + c + 1
3b
3− 2b2+ 2 bằng
Câu 48
Cho parabol (P1) : y = −x2 + 4 cắt trục hoành tại hai điểm A , B và
đường thẳng d : y = a (0 < a < 4) Xét parabol (P2) đi qua A , B và có
đỉnh thuộc đường thẳng y = a Gọi S1 là diện tích hình phẳng giới hạn
bởi (P1) va d S2 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P2) và trục hoành
Biết S1 = S2 (Tham khảo hình vẽ) Tính T = a3− 8a2+ 48a
A T = 32 B T = 72 C T = 99 D T = 64
x
y
O
y = a
Trang 6Câu 49 Cho số phức z thỏa mãn điều kiện |z − 1| = √
2 Giá trị lớn nhất của biểu thức T =
|z + i| + |z − 2 − i| bằng
Câu 50 Trong không gian Oxyz, cho hai mặt cầu (S1) : (x + 4)2 + y2+ z2 = 16, (S2) : (x + 4)2 +
y2 + z2 = 36 và điểm A (4; 0; 0) Đường thẳng d thay đổi nhưng luôn tiếp xúc với (S1), đồng thời cắt (S2) tại hai điểm B, C Tam giác ABC có thể có diện tích lớn nhất là bao nhiêu?
A 28√
HẾT
Trang 7-7 ĐÁP CHI TIẾT MÃ ĐỀ BT4
Câu 39 Xét g (x) = f (x) + 5 ⇒ g0(x) = f0(x)
g0(x) = 0 ⇔ x = −4 ∨ x = −1 ∨ x = 2 ∨ x = 4
Bảng biến thiên
x g(x)0
g(x)
−2
g(2)
−2 g(−1)
Từ bảng biến thiên ta thấy y = |f (x) + 5| đạt GTLN tại x = 2
Chọn đáp án B
Câu 40 logab + 6 logba = 5 ⇔ logab + 6 1
logab = 5 ⇔
"
logba = 2 logba = 3 ⇔
"
b = a2
b = a3 TH1: b = a2 và 2 ≤ b ≤ 2005 nên 2 ≤ a2 ≤ 2005 ⇔√2 ≤ a ≤√
2005
Vì a ; b ∈ N∗ nên a ∈ {2, 3, 4, 5, , 44} Do đó có 43 cặp số (a ; b)
TH2: b = a3 và 2 ≤ b ≤ 2005 nên 2 ≤ a3 ≤ 2005 ⇔√3
2 ≤ a ≤ √3
2005
Vì a ; b ∈ N∗ nên a ∈ {2, 3, 4, 5, , 12} Do đó có 11 cặp số (a ; b)
Vậy có 54 cặp số (a ; b) thỏa mãn yêu cầu bài toán
Chọn đáp án A
Câu 41 Ta có I =
Z π 3 π 4
f (tan x) cos2x dx+
Z
√ e−1
0
xf (ln (x2+ 1))
x2+ 1 dx=J+K +) J =
Z π
3
π
4
f (tan x)
cos2x dx Đặt t = tan x ⇒ dt = 1
cos2xdx.
Đổi cận x = π
3 ⇒ t =√3; x = π
4 ⇒ t = 1
Suy ra J =
Z
√ 3
1
f (t) dt =
Z
√ 3
1
f (x) dx =
Z
√ 3
1
2x3− x dx = x4
2 − x
2 2
√ 3
1
= 3
+) K =
Z
√
e−1
0
xf (ln (x2 + 1))
x2+ 1 dx.
Đặt t = ln (x2+ 1) ⇒ dt = 2x
x2+ 1dx ⇒
x
x2+ 1dx =
dt 2 Đổi cận x =√
e − 1 ⇒ t = 1; x = 0 ⇒ t = 0
Suy ra K =
Z 1
0
f (t)dt
2 =
Z 1
0
f (x)dx
2 =
Z 1
0
−3x + 4
2 dx =
−3
4x
2 + 2x
1
0
= 5 4 Vậy I = J + K = 3 + 5
4 =
17
4 Do đó
(
a = 17
b = 4 ⇒ P = a + b = 21 Chọn đáp án C
Câu 42 Ta có w = (6 + 8i) z + (1 − 2i)2
⇔ w − (−3 − 4i) = (6 + 8i) z
⇔ |w − (−3 − 4i)| =√62+ 82|z|
Trang 8⇔ |w − (−3 − 4i)| = 10.10 ⇔ |w − (−3 − 4i)| = 100
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức w là đường tròn (C) có tâm I (−3; −4)
Chọn đáp án D
Câu 43
Ta có ∆ABC vuông tại B nên BC = AB cot [ACB = a cot 60◦ = a
√ 3 3
⇒ S∆ABC = 1
2BA.BC =
1
2a.
a√ 3
3 =
a2√ 3 6
Ta có AB là hình chiếu vuông góc của SB trên (ABC) ⇒
\
SB, (ABC)
=
\
SB, AB= [SBA = 45◦ ∆SAB vuông tại A nên SA = AB tan [SBA =
AB tan 45◦ = a
Vậy VS.ABC = 1
3SABC.SA =
1 3
a2.√ 3
6 .a =
a3√ 3 18
S
B
Chọn đáp án B
Câu 44 Gọi V1, V2, V3 lần lượt là lượng nước; h1, h2, h3 lần lượt là độ cao mực nước trong các bình I,
II, III
Ta có: V1 = πr21h1, V2 = πr22h2, V3 = πr23h3
Theo giả thiết: V1 = V2 = V3 ⇔
(
V1 = V2
V2 = V3 ⇔
(
πr12h1 = πr22h2
πr22h2 = πr32h3 ⇔
(
r12h1 = r22h2
r22h2 = r23h3 (∗) Mặt khác: h3 = 2h2 = 4h1 nên (∗) ⇔
(
r2
1h1 = r2
22h1
r2
2h2 = r2
32h2 ⇔
(
r2
1 = 2r2 2
r2
2 = 2r2 3
⇔
(
r1 =√
2r2
r2 =√
2r3
Do đó r1, r2, r3 theo thứ tụ lập thành một cấp số nhân công bội √1
2. Chọn đáp án C
Câu 45 Đường thẳng ∆ : x + 3
1 =
y − 1
1 =
z + 2
4 có vectơ chỉ phương #»u = (1; 1; 4).
Mặt phẳng (P ) : x + y − 2z + 6 = 0 có vectơ chỉ phương #»n = (1; 1; −2)
sin (∆, (P )) = |cos ( #»u , #»n )| = | #»u #»n |
| #»u | | #»n | =
r 1
3 = sin ϕ Suy ra d (M, ∆) = M H = M A sin ϕ = 2√
3.r 1
3 = 2.
Chọn đáp án A
Câu 46 Từ đồ thị hàm số y = f0(x) , ta thấy: f0(x) = 0 ⇔
x = 0
x = 1
x = 3
, f0(x) > 0 ⇔ x ∈ (−∞; 0) ∪
(3; +∞) f0(x) < 0 ⇔ x ∈ (0; 1) ∪ (1; 3) Ta có y0 = (f (x2))0 = 2x.f0(x2) y0 = 0 ⇔
"
x = 0
f0(x2) = 0 ⇔
x = 0
x = ±1
x = ±√
3
f0(x2) > 0 ⇔
"
x2 < 0
x2 > 3 ⇔ x ∈ −∞;√3 ∪ √3; +∞ Lập Bảng biến thiên.Kết luân Vậy hàm số y = f (x2) có 2 điểm cực tiểu và 1 điểm cực đại
Chọn đáp án A
Trang 9Câu 47 Từ giả thiết log2a + log2c ≥ 2log2b ⇔ log2(ac) ≥ log2b2 ⇔ ac ≥ b2
Ta có: P = (a + c)+b+1
3b
3−2b2+2 ≥ 2√
ac+b+1
3b
3−2b2+2 ≥ 2b+b+1
3b
3−2b2+2 = 1
3b
3−2b2+3b+2
Xét hàm số: f (b) = 1
3b
3− 2b2+ 3b + 2 với b > 0
Có f0(b) = b2− 4b + 3 = 0 ⇔
"
b = 1
b = 3. Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên, ta được: min f (b)
b>0
= f (3) = 2 ⇒ P ≥ 2
Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 2 đạt được khi b = 3 và a = c = 3
Chọn đáp án B
Câu 48 - Goi A , B la cac giao điêm cua (P1) va truc Ox ⇒ A (−2; 0), B (2; 0) ⇒ AB = 4
- Goi M , N la giao điêm cua (P1) va đương thăng d ⇒ M −√
4 − a; a, N √4 − a; a ⇒ MN =
2√
4 − a
- Nhân thây: (P2) la parabol co phương trinh y = −a
4x
2+ a - Ap dung công thưc tinh diên tich hinh phăng ta đươc:
S1 = 2
Z 4
a
p
4 − y.dy = −4
3
(4 − y)
3 2
4
a
= 4
3(4 − a)
√
4 − a S2 = 2
Z 2
0
−a
4x
2 + a
dx = 2
−ax 3
12 + ax
2
0
= 8a
3 .
- Theo gia thiêt: S1 = S2 ⇒ 4
3(4 − a)
√
4 − a = 8a
3 ⇔ (4 − a)3 = 4a2 ⇔ a3− 8a2+ 48a = 64
Chọn đáp án D
Câu 49 Đặt z = x + yi (x, y ∈ R), ta có |z − 1| =√2 ⇔ |x − 1 + yi| =√
2 ⇔
q (x − 1)2+ y2 =√
2
⇔ (x − 1)2+ y2 = 2 ⇔ x2+ y2 = 2x + 1
(*) Lại có T = |z + i| + |z − 2 − i| = |x + (y + 1) i| + |x − 2 + (y − 1) i| = px2+ y2+ 2y + 1 +
px2+ y2− 4x − 2y + 5
Kết hợp với (*) ta được T =√
2x + 2y + 2 +√
6 − 2x − 2y =p2 (x + y) + 2 + p6 − 2 (x + y) Đặt T = x + y, khi đó T = f (t) = √
2t + 2 +√
6 − 2t với t ∈ [−1; 3]
Cách 1: Sử dụng phương pháp hàm số
Ta có f0(t) = √ 1
2t + 2− √ 1
6 − 2t; f
0(t) = 0 ⇔ t = 1
Mà f (1) = 4, f (−1) = 2√
2, f (3) = 2√
2
Vậy max f (t) = f (1) = 4 Cách 2: Sử dụng phương pháp đại số
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có T = √
2t + 2 +√
6 − 2t ≤p(1 + 1) 8 = 4
Đẳng thức xảy ra khi t = 1
Chọn đáp án A
Câu 50 (S1) , (S2) có cùng tâm I (−4; 0; 0) và lần lượt có bán kính là r1 = 4, r2 = 6
Gọi T là hình chiếu của I trên d, ta được T B = √
IB2− IT2 = 2√
5, tức BC = 4√
5
Gọi (P ) là tiếp diện của (S1) tại T , khi đó ∆ qua T và nằm trong (P )
Gọi H là hình chiếu của A trên d, ta có AH ≤ AT , dấu bằng xảy ra khi d⊥AT
Gọi M, N là các giao điểm của đường thẳng AI và (S1) với AM < AN
Dễ thấy AN = 12 và đây cũng chính là độ dài lớn nhất của AT
Trang 10Lúc này ta có AH ≤ AN = 12, bằng xảy ra khi d⊥AN Vậy diện tích lớn nhất của tam giác ABC là 24√
5 Chọn đáp án B