C¸c bµi to¸n ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö b»ng ph¬ng ph¸p nhãm nh thÕ nào cuối cùng cũng phải đạt đợc mục đích là có nhân tử chung hoặc vận dụng đợc hằng đẳng thức đáng nhớ 4- Ph¬ng p[r]
Trang 1a- Định nghĩa: Phân tích đa thức thành nhân tử là biến đổi đa thức đó thành một
tích của những đa thức khác
b- Bảy hằng đẳng thức đáng nhớ
a (A+B) 2 = A2+2AB+B2
b (A-B) 2 = A2-2AB+B2
c A2-B2 = ( A-B)(A+B)
d (A+B)3 = A3+3A2B +3AB2+B3
e (A-B)3 = A3-3A2B +3AB2-B3
f A3+B3 =(A+B)(A2 +AB +B2)
g A3+B3 =(A+B)(A2 +AB +B2)
c- Phân tích đa thức thành nhân tử bằng các phơng pháp thông thờng
a Đặt nhân tử chung
b Dùng hằng đẳng thức
c Nhóm các hạng tử
d Phối hợp các phơng pháp trên
d Phân tích đa thức thành nhân tử bằng các phơng pháp khác
a Tách một hạng tử thành nhiều hạng tử
b Thêm, bớt cùng một hạng tử
c Đặt ẩn phụ
d Dùng phơng pháp hệ số bất định
e Nhẩm nghiệm
e Đổi dấu một hạng tử A=-(-A)
f Cho đa thức f(x), đa thức này có nghiệm x=a khi và chỉ khi f(a)=0
h Cho đa thức f(x) = anxn + an -1xn-1 + + a2x + a
Đa thức này nếu có nghiệm là số nguyên thì nghiệm đó phải là ớc của a
Các ví dụ cụ thể
1 Ph ơng pháp 1 : Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phơng pháp đặt nhân tử chung. Đây là phơng pháp đợc dùng cho các bài toán phân tích ở mức
độ đơn giản Tuy nhiên có những đa thức cần phải biến đổi một số bớc mới xuất hiện nhân tử chung
Ví dụ 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a x2- 3x b 12x3- 6x2+3x
c 2
5 x2 + 5x3 + x2y d 14x2y-21xy2+28x2y2
Giải
Trang 2a x2- 3x =x(x-3)
b 12x3- 6x2+3x =3x(4x2 -2x +3)
c 2
5 x2 + 5x3 + x2y = x2(
2
5 + 5x + y)
d 14x2y-21xy2+28x2y2 = 7xy(2x -3y +4xy)
Ví dụ 2 Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a 5x2 (x -2y) -15xy(x -2y)
b x(x+ y) +4x+4y
Giải
a 5x2 (x -2y) -15xy(x -2y) = (x -2y)(5x2-15xy)
= (x -2y)5x(x-3y)
b x(x+ y) +4x+4y = x(x+ y)+(4x+4y)
= x(x + y)+(x + y)4 = (x+ y)(x + 4)
ở hai ví dụ trên việc phân tích thức đa thành nhân tử ở mức độ đơn giản Học sinh nhận thấy ngay đợc nhân tử chung Nhiều khi để xuất hiện nhân tử chung phải đổi dấu các hạng tử có trong đa thức nh ví dụ sau:
Ví dụ 3: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a 10x(x-y)-8y(y-x)
b 5x(x-2000) - x + 2000
Giải
a.10x(x-y)-8y(y-x)
= 10x(x-y)+8y(x-y)
= (x-y)(10x+8y)
=2(x-y)(5x+4y)
b 5x(x-2000) -x+2000
=5x(x-2000) -(x-2000)
=(x-2000)(5x -1)
Việc phân tích đa thức thành nhân tử đợc ứng dụng trong các bài tập khác
nh tìm x chứng minh, tính giá trị của biểu thức
Ví dụ 4
Tính giá trị của biểu thức x(x-1)-y(1-x) tại x=2000, y=1999
Giải:
Trang 3Nếu theo cách làm thông thờng ta sẽ thay ngay giá trị của biến vào biểu thức để tính giá trị Cách làm đó phải tính rất phức tạp mới cho kết quả Vì vậy giáo viên gợi ý cho học sinh phân tích biểu thức thành nhân tử rồi mới thay số tính giá trị biểu thức
Ta có x(x-1)-y(1-x) =x(x-1)+y(x-1)
=(x-1)(x+y)
Thay x=2001, y=1999 ta đợc
(2001-1) (2001+1999)
= 2000.4000
= 8000000
Ví dụ 5: Chứng minh rằng 55n+1- 55n
Ta sẽ biến đổi vế trái thành một tích trong đó có một thừa số chia hết cho 54
Ta có 55n+1-55n=55n.55 – 55n
=55n(55 -1)
=55n.54
Ví dụ 6: Tìm x biết
5x(x-1) = x-1
5x(x-1) -(x-1) = 0
(x-1)(5x-1) = 0
x-1= 0 hoặc 5x-1= 0
x=1 hoặc x=
1 5
2.
Ph ơng pháp 2 : Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phơng pháp dùng hằng đẳng thức
Vận dụng các hằng đẳng thức để phân tích đa thức thành nhân tử đây là cách làm thông dụng nhất đợc áp dụng nhiều nhất Để áp dụng phơng pháp này yêu cầu học sinh phải nắm chắc bảy hằng đẳng thức đắng nhớ
Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
a x2-6x +9
b x2-6
c 1- 27x3
d x3+ 3
1
x
e -x3+9x2-27x +27
Trang 4a x2-6x +9 =(x-3)2
b x2-6 =(x- √6 ) (x+ √6 )
c 1- 27x3 = (1-3x)(1+3x+9x2)
d x3+ 3
1
x = (x+
1
x )(x2-1+
1
x2 )
e -x3+9x2-27x +27 =-(x3-9x2+27x -27) =-(x-3)3
ở ví dụ trên là các hằng đẳng thức đã đợc khai triển Việc phân tích chỉ là cách viết theo chiều ngợc lại của các hằng đẳng thức
Ví dụ 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a 8x3+12x2y +6xy2+y3
b (xy+1)2-(x-y)2
Giải
a 8x3+12x2y +6xy2+y3
=(2x)3 +3.(2x)2y +3.2x.y2 +y3
=(2x+y)3
b.(xy+1)2-(x-y)2
=[(xy+1)-(x-y)].[(xy+1) +(x-y)]
=(xy-x-y+1)(xy+x-y+1)
3- Ph ơng pháp 3 : Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phơng pháp nhóm các hạng tử.
Đối với phơng pháp này cần ly ý cho học sinh khi nhóm các hạng tử phải chú đến dấu trớc ngoặc đặc biệt là dấu trừ ở ngoài ngoặc
Ví dụ 1:Phân tích đa thức thành nhân tử
a x2 - x - y2 - y b x2 - 2xy + y2 - z2
c x2 -3x + xy - 3y d 2xy +3z + 6y + xz
Giải
a, x2 - x - y2 - y b, x2 - 2xy + y2 - z2
=( x2 - y2 ) - (x +y) =(x2 - 2xy + y2)- z2
= (x + y) (x - y)- (x +y) =(x-y)2-z2
=(x + y) (x- y -1) =(x-y-z)(x-y+z)
c, x2 -3x + xy - 3y d, 2xy +3z + 6y + xz
=(x2+xy) -(3x+3y) =(2xy+6y)+(3z+xz)
=x(x+y)-3(x+y) =2y(x+3)+z(3+x)
=(x+y)(x-3) =(x+3)(2y+z)
Trang 5ở ví dụ 1 khi phân tích đa thức thành nhân tử ta đã phối hợp các phơng pháp nh : Nhóm các hạng tử đặt nhân tử chung và dùng hằng đẳng thức
Ví dụ 2: Phân tích đa thức thành nhân tử
a bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)
b a3(b2 -c 2)+b(c2-a2)+c(a2-b2)
Phơng pháp chung để làm loại toán này là khai triển hai trong số ba hạng tử còn giữ nguyên hạng tử thứ ba để từ đó làm xuất hiện nhân tử chung chứa trong số hạng thử ba Ví dụ a ta khai triển hai hạng tử đầu còn giữ nguyên hạng tử thứ ba
để làm xuất hiện nhân tử chung là a+
a bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)
=b2c+bc2+c2a-ca2-ab(a+b)
=(b2c -ca2) +(bc2+c2a) -ab(a+b)
=c(b2-a2) +c2(b+a)- ab(a+b)
=c(b-a)(b+a)+c2(b+a) - ab(a+b)
=(b+a)(cb-ca +c2)- ab(a+b)
=(a+b)(cb-ca +c2- ab)
=(a+b)[(cb+c2)-(ca+ba)
=(a+b)[c(b+c)-a(c+b)]
=(a+b)(b+c)(c-a)
b.a3(b2 -c 2)+b3(c2-a2)+ c3(a2-b2)
=a3b2- a3c2 + b3c2 - b3a2+c3(a2-b2)
=(a3b2 -b3a2 ) –(a3c2 -b3c2 ) +c3(a2-b2)
=a2b2 (a-b) – c2(a3-b3)+c3(a2-b2)
=a2b2 (a-b) –c2(a-b)(a2+ab+b2)+c3(a-b)(a+b)
= (a-b)(a2b2-c2a2-c2ab- c2b2 + c3a + c3b)
= (a-b)[( a2b2-c2b2)+ (c3b-c2ab) + (c3a -c2a2)]
=(a-b)[b2(a-c)(a+c) + c2b(c-a) + c2a(c-a)]
=(a-b)(a-c)(b2a+b2c -c2b –c2a)
=(a-b)(a-c)[(b2a -c2a) + (b2c -c2b )]
=(a-b)(a-c)[ a(b-c)(b+c) +bc(b-c)]
=(a-b)(a-c) (b-c)(ab+ac +bc)
Trang 6Các bài toán phân tích đa thức thành nhân tử bằng phơng pháp nhóm nh thế nào cuối cùng cũng phải đạt đợc mục đích là có nhân tử chung hoặc vận dụng đợc hằng đẳng thức đáng nhớ
4- Ph ơng pháp 4 : Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phơng pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử
Phơng pháp này cho các đa thức cha phân tích đợc ngay thành nhân tử Ta tách một hạng tử thành nhiều hạng tử để vận dụng các phơng pháp đã biết
Ví dụ 1: Phân tích đa thức thành nhân tử
a x2-7x+12
b 4x2-3x-1
Giải
a x2-7x+12
Cách 1: Tách số hạng -7x thành - 4x-3x
Ta có x2-7x+12 =x2-4x-3x +12
=(x2-4x)-(3x -12)
= x(x-4)-3(x-4)
=(x-4)(x-3)
Cách 2: Tách số hạng 12 thành 21- 9
x2-7x+12 =x2-7x +21-9
=(x2-9) –(7x-21)
=(x-3) (x+3) -7(x-3)
=(x-3) (x+3 -7)
=(x-3) (x -4)
b 4x2-3x-1
Cách 1: Tách số hạng 4x2 thành x2+3x2
Ta có 4x2-3x-1
=x2+3x2-3x-1
=(x2-1) + (3x2-3x)
=(x-1)(x+1) +3x(x-1)
=(x-1)(x+1+3x)
=(x-1)( 4x +1)
Cách 2: Tách số hạng -3x thành - 4x +x
4x2-3x-1
= 4x2-4x +x -1
= 4x(x-1)+ (x -1)
= (x -1)(4x+1)
Cách 3: Tách số hạng -1 thành - 4 +3
4x2-3x-1
Trang 7=4x2-3x -4 +3
=4(x-1)(x+1) -3 (x-1)
=(x-1)(4x+4-3)
=(x-1)(4x+1)
Với bài toán này khi phân tích đa thức trên thành nhan tử có ba lời giải tơng ứng với ba cách tách học sinh có thể chọn một trong ba cách
Ví dụ 2: Phân tích đa thức trên thành nhân tử
a x3-2x -4
b x3+8x2+17x +10
Giải
a x3-2x -4
=.x3-2x -8+4
=(x3-8)-(2x-4)
=(x-2)(x2+2x +4)-2(x-2)
b x3+8x2+17x +10
=x3+x2+7x2 + 10x +7x + 10
=x2(x+1) +7x(x+1) +10(x+1)
=(x+1)(x2 +7x +10)
=(x+1)(x2 + 2x +5x+10)
=(x+1) [x(x+2) +5(x+2)]
=(x+1)(x+2)(x+5)
Ví dụ 3: Phân tích đa thức trên thành nhân tử
a x3+3x2 +6x +4
b x3-11x2+30x
Giải
a x3+3x2 +6x +4
=x3+x2 +2x2 +2x +4x +4
=x2(x+1) +2x(x+1) +4(x+1)
=x(x+1)(x2 +2x +4)
b x3-11x2+30x
=x(x2-11x +30)
=x(x2 -5x-6x +30)
=x [x(x-5) -6(x-5)]
= x(x-5)(x-6)
Trong phần a ta thấy vẫn còn đa thức bậc hai mà không thể phân tích đợc nữa Vậy làm thế nào để biết đợc một đa thức có phân tích đợc hay không ta dựa vào định lí sau:
Trang 8Một đa thức: axn + nn - 1xx - 1 + + a1x + a
Đa thức này có nghiệm là số nguyên thì nghiệm đó phải là ớc của hệ số tự
do a
Ví dụ: Đa thức: x2 + 2x + 4 không phân tích đợc bởi vì: Nếu phân tích đợc thì đa thức này phải có nghiệm nguyên là ớc của 4 Ta thấy Ư(4) = { 1; 2; 4} thử các± ± ± gía trị đó đều không phải là nghiệm của đa thức x2 + 2x + 4 nên đa thức này không phân tích đợc nữa
5- Ph ơng pháp 5 : Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phơng pháp thêm, bớt hạng tử:
Với các đa thức đã cho không có chứa thừa số chung, không có dạng của một hằng đẳng thức cũng không thể nhóm số hạng Do vậy ta phải biến đổi đa thức bằng cách thêm bớt cùng một số hạng tử để có thể vận dụng đợc phơng pháp phân tích đã biết
Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
a3 + b3 + c3 - 3abc
= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 + c3 - 3a2b - 3ab2 - 3abc
= (a3 + 3a2b + 3ab2 + b3) + c3 - (3a2b + 3ab2 + 3abc)
= (a + b)3 + c3 - 3ab(a + b + c)
= (a + b + c) [(a+b)2 - (a + b)c + c2- 3ab]
= (a + b + c) (a2 +2ab + b2 - ac - bc + c2 - 3ab)
= (a + b + c) (a2 + b2+ c2 - ab - ac - bc)
Trong bài toán trên ta đã thêm và bớt các hạng tử 3a2b, 3ab2 để có thể nhóm vận dụng đợc các phơng pháp phân tích đã biết
Ví dụ 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) x5 + x4 + 1 b) x5 + x + 1 c) x8 + x7 + 1
Giải:
a) x5 + x4 + 1
Ta sẽ thêm bớt các hạng tử x3, x2, x vào đa thức đợc:
x5 + x4 + x3 - x3 + x2 - x2 + x - x + 1
= (x5 + x4 + x3) - (x3 + x2 + x) + (x2 + x + 1)
= x3(x2 + x + 1) - x(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1)
= (x2 + x + 1)( x3 - x + 1)
b) x5 + x + 1
Cách 1: Ta sẽ thêm bớt x4, x3, x2 vào đa thức giống cách làm nh phần a để xuất hiện nhân tử chung x2 + x + 1
Có: x5 + x + 1
= x5 + x4 - x4 + x3- x3+ x2- x2 + x + 1
Trang 9= (x5 + x4 + x3) - (x4 + x3 + x2) + x2 + x + 1
= x3(x2 + x + 1) - x2(x2+ x + 1) + (x2+ x + 1)
= (x2+ x + 1) (x3- x2 + 1)
Cách 2: Ta thêm bớt x2 để làm xuất hiện nhân tử chung x2+ x + 1
Ta có:
x5+ x + 1 = x5 + x2 - x2 + x + 1
= (x5 - x2) + (x2 + x + 1)
= x2(x3 - 1) + (x2+ x + 1)
= x2(x - 1) (x2+ x + 1) + (x2+ x + 1)
= (x2+ x + 1)(x3 - x2+ 1) c) x8 + x7 + x = x8 + x7 + 1 + x2 - x2 + x - x
= (x8 - x2) + (x7 - x) + (x2 + x + 1)
= x2 (x6 - 1) + x(x6 - 1) + (x2 + x + 1)
= (x3- 1)(x3 + 1)(x2 + x) + (x2 + x + 1)
= (x - 1)(x2 + x + 1)(x3 + 1)(x2 + x)+ (x2 + x + 1)
= (x2 + x + 1)(x6 - x4+ x3 - x + 1) Chú ý: Các đa thức trên đều có dạng: x3k + 1 + x3k+2 + 1
Những đa thức này khi phân tích thành nhân tử đều có chứa thừa số (x2 + x + 1)
6- Ph ơng pháp 6: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phơng pháp đặt ẩn phụ.
Phơng pháp này thờng áp dụng với những đa thức có dạng A(x) B(x) + C Trong đó A(x) và B(x) có thể biểu diễn đợc qua nhau Ví dụ A(x) có thể viết dới dạng của B(x) hoặc ngợc lại Ta xét một số ví dụ sau:
Ví dụ 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) - 12
b) 4x(x+y)(x+y+z)(x+z)+y2z2
Giải:
a) (x2 + x + 1)( (x2 + x + 2) - 12
Đặt x2 + x + 1 = y => x2 + x + 2 = y + 1
Ta có y(y+1) - 12 = y2 + y - 12
= y2 - 9 + y - 3
= (y - 3)(y + 3) + (y - 3)
= (y - 3)(y + 3 + 1)
= (y - 3)(y + 4) Thay y = x2 + x + 1 ta đợc:
(y - 3)(y + 4) = (x2 + x + 1 - 3)(x2 + x + 1 + 4)
= (x2 + x - 2) (x2 + x + 5)
= (x2 - 1 + x - 1)(x2 + x + 5)
Trang 10= [(x - 1)(x + 1) + x - 1](x2 + x + 5)
= (x - 1)(x + 1 + 1)(x2 + x + 5)
= (x - 1)(x + 2)(x2 + x + 5)
ở trong ví dụ này ta đã đổi biến x thành biến y sau đó đi phân tích đa thức chứa biến y thành nhân tử rồi quay trở lại đa thức với biến ban đầu là x Cuối cùng
ta lại phân tích đa thức chứa biến x thành nhân tử
b) 4x(x + y)(x + y + z)(x + z) + y2z2
Nếu để nguyên đa thức trên thì rất khó đặt ẩn phụ nên ta phải biến đổi thêm:
4x(x + y)(x + y + z)(x + z) + y2z2
= 4x(x + y + z)(x + y)(x + z) + y2z2
= 4(x2 + xy + xz) (x2 + xy + xz + yz) + y2z2
Đặt: x2 + xy + xz = m
Ta có: 4m(m + xz) + y2z2
= 4m2 + 4mxz + y2z2
= (2m + yz)2
Thay m = x2 + xy + xz ta đợc:
(2m + yz)2 = (2x2 + 2xy + 2xz + yz)2
Ví dụ 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) (x2 + x)2 - 2(x2+ x) - 15
b) (x + 2)(x+3)(x+4)(x + 5) - 24
c) (x2 + 8x + 7)(x2 + 8x + 15) + 15
Giải:
a) (x2 + x)2 - 2(x2+ x) - 15
Đặt: x2 + x = y
Ta có: y2 - 2y - 15 = y2 - 5y + 3y - 15
= y(y - 5) + 3(y - 5)
= (y - 5)(y + 3) Thay y = x2+ x ta đợc:
(y - 5)(y + 3) = (x2 + x - 5)(x2 + x + 3)
Hai đa thức x2 + x - 5 và x2 + x + 3 không phân tích đợc nữa
b) (x + 2)(x+3)(x+4)(x + 5) - 24
= (x + 2)(x+5)(x+3)(x + 4) - 24
= (x2 + 7x + 10)(x2 + 7x + 12) - 24
Trang 11Đặt x2 + 7x + 10 = y ta đợc x2 + 7x + 12 = y + 2
y(y + 2) = 24 = y2 + 2y - 24
= y2 - 16 + 2y - 8
= (y - 4)(y + 4) + 2(y - 4)
= (y - 4)(y + 4 + 2)
= (y - 4)(y + 6) Thay y = x2 + 7x + 10 ta đợc:
(y - 4)(y + 6) = (x2 + 7x + 10 - 4)(x2 + 7x + 10 + 6)
= (x2 + 7x + 6) (x2 + 7x + 16)
= (x2 + x + 6x + 6) (x2 + 7x + 16)
= [x(x+1) + 6(x+1)] (x2 + 7x + 16)
= (x+1)(x + 6) (x2 + 7x + 16) c) (x2 + 8x + 7)(x2 + 8x + 15) + 15
Đặt x2 + 8x + 7 = y => x2 + 8x + 15 = y + 8
Ta có: y(y + 8) + 15 = y2 + 8y + 15
= y2 + 5y + 3y + 15
= y(y + 5) + 3(y + 5)
= (y + 5)(y + 3) Thay y = x2 + 8x + 7 ta đợc:
(y + 5)(y + 3) = (x2 + 8x + 7 + 5)( x2 + 8x + 7 + 3)
= (x2 + 8x + 12)( x2 + 8x + 10)
= (x2 + 2x + 6x +12)( x2 + 8x + 10)
= [x(x + 2) + 6(x + 2)] (x2 + 8x + 10)
= (x + 2)(x + 6)( x2 + 8x + 10)
ở hai ví dụ trên ta thấy cách làm giống nhau khi phân tích các đa thức đó thành nhân tử Ta còn có cách đặt ẩn phụ khác trong ví dụ dới đây
Ví dụ 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
3x6 - 4x5 + 2x4 - 8x3- 4x + 3 + 2x2
Nếu theo cách làm nh các ví dụ trớc thì với ví dụ này ta không thể phân tích
đợc Dễ thấy đa thức không thể có nghiệm x = 0
Vậy ta có thể biến đổi đa thức nh sau:
x3 (3x2 - 4x2+ 2x - 8 - 4
x2+
3
x3+
2
Trang 12= x3[3(x3 + 1
x3 ) - 4(x
2 + 1
x2 ) + 2(x +
1
x3 ) - 8]
Đặt x + 1
x = t => t2 = (x +
1
x )2 = x2 + 2 +
1
x2
=> x2 + 1
2 - 2
t3 = (x + 1
x )3
= x3 + 3x + 3
1
x3
= x3 + 1
x3 + 3(x +
1
=> x3 + 1
x3 = t3 - 3t Thay x + 1
x = t; x2 +
1
x2 = t
2 - 2; x3 + 1
x3 = t
3 - 3t
Ta có:
x3[3(t3 - 3t) - 4(t2 - 2) + 2t - 8]
= x3(3t3 - 9t - 4t2 + 8 + 2t - 8)
= x3(3t3 - 4t2 - 7t)
= x3t (3t2 - 4t - 7)
= x3t[(3t2 - 3) - (4t + 4)]
= x3t[3(t - 1)(t + 1) - 4(t + 1)]
= x3t(t + 1)(3t - 3 - 4)
= x3t(t + 1)(3t - 7)
Thay t = x + 1
x ta đợc
x3(x + 1
x ) (3x +
3
x - 7)(x +
1
x + 1)
= x(x2 + 1)(3x2 + 3 - 7x)(x + 1
x + 1)
= (x2 + 1)(3x2 - 7x + 3) (x2 + x + 1)
Nói chung đây là một bài toán tơng đối phức tạp đòi hỏi phải biến đổi đa thức mới đặt đợc ẩn phụ Bài toán này cho ta một cách đặt ẩn phụ khác hẳn với cách đặt ẩn phụ của các ví dụ trớc
7- Ph ơng pháp 7 : Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phơng pháp dùng hệ
số bất định:
Trang 13Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành tích của 2 đa thức một đa thức bậc nhất, một
đa thức bậc 2
x3 - 19x - 30
Giải:
Cách 1: Với các phơng pháp phân tích đã biết ta có thể phân tích đợc đa thức trên thành 2 đa thức theo đúng yêu cầu của đề bài
Ta có: x3 - 19x - 30
= x3 + 8 - 19x - 38
= (x3 + 8) - 19(x + 2)
= (x+ 2)(x2 - 2x + 4) - 19(x + 2)
= (x + 2)( x2 - 2x + 4 - 19)
= (x + 2) x2 - 2x - 15)
Ta thấy x2 - 2x - 15 còn phân tích đợc nữa nhng do đề bài yêu cầu là đa thức
x3 - 19x - 20 viết dới dạng một tích của 2 đa thức: một đa thức bậc nhất và một đa thức bậc 2 Vậy tích (x + 2)( x2 - 2x - 15) đã thoả mãn yêu cầu của bài toán
Cách 2 : Kết quả phải có dạng:
x3 - 19x - 20 = (x + a)( x2 + bx + c)
= x3 + bx2 + cx + ax2 + abx + ac = x3 + (b + a)x2 + (c + ab)x + ac
Ta phải tìm hệ số a, b, c thoả mãn:
a + b = 0
c + ab = -19
ac = -30 Vì a, c Z và tích ac = -30 do đó a, c { ± 1; ± 2; ± 3; ± 5; ±
6; ± 10; ± 15; ± 30}
Với a = 2; c = -15 khi đó b = -2 thoả mãn hệ thức trên đo là bộ số phải tìm tức là: x3 - 19x - 30 = (x + 2)(x2 - 2x - 15)
Ví dụ 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
x4 + 6x3 + 7x2 + 6x + 1
Giải:
Nhận xét: Đa thức trên nếu có nghiệm nguyên thì nghiệm đó phải là ± 1 Dễ dàng kiểm tra đợc ± 1 không phải là nghiệm của đa thức trên nên đa thức không
có nghiệm nguyên mà chỉ có nghiệm hữu tỉ Nh vậy, nếu đa thức trên phân tích
đ-ợc thành thừa số thì phải có dạng:
x4 + 6x3 + 7x2+ 6x + 1 = (x2 + ax + b)(x2 + cx + d)