TOÁN 8 – 15 ĐỀ ÔN LUYỆN HỌC KÌ 2 CÓ ĐÁP ÁN.

A. Giải bài toán bằng cách lập phương trình.. Trang 8 Một tổ sản xuất theo kế hoạch mỗi ngày phải làm được 18 sản phẩm. Nhưng thực tế do cải tiến kĩ thuật, mỗi ngày tổ đã làm được thêm [r]

Giải phương trình và bất phương trình sau:

x  x

 Bài 2 (1.5 điểm) :

d/ Chứng minh rằng: Ba đường thẳng OE CD BH, , đồng quy

Một lâm trường lập kế hoạch trồng rừng với dự định mỗi tuần trồng 35 ha Do mỗi

tuần trồng vượt mức 5 ha so với kế hoạch nên không những trồng thêm 20 ha mà còn hoàn thành sớm trước 2 tuần Hỏi lâm trường dự định trồng bao nhiêu ha rừng?

Bài 4 (3,5 điểm)

Cho hình vuông ABCD Trên cạnh AB lấy điểm E sao cho BE 1AB

3

 Đường thẳng DE cắt CB kéo dài tại K

a) Chứng minh ADE đồng dạng BKE

b) Gọi H là hình chiếu của Ctrên DE Chứng minh: AD.HD HC.AE

c) Tính diện tích tam giác CDK khi độ dài AB 6cm

d) Chứng minh 2

CH.KD CD CB.KBBài 5 (0,5 điểm)

Cho , ,a b c là các số không âm có tổng bằng 1 Chứng minh: b c 16abc

- HẾT -

Bài 2 Giải bài toán bằng cách lập phương trình

Một tàu thủy xuôi dòng một khúc sông dài 72km, sau đó chạy ngược dòng khúc sông

ấy 54 km hết tất cả 6 giờ Tính vận tốc riêng của tàu thủy biết vận tốc dòng nước là

Bài 4: Cho tam giác ABC nhọn, đường cao BD và CE cắt nhau tại H

a) Chứng minh AD AC  AE AB và ABC  ADE

b) Chứng minh BE BA CD CA BC   2

c0 Chứng minh HED đồng dạng với HBC

d) Khi tam giác ABC đều, tính tỉ số diện tích tam giác HED và tam giác ABC

Bài 5 : Cho hai số dương x, y thỏa mãn: x + y = 2 Chứng minh: x y x2 2 2 y22

Bài 3: (2,0 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình

Một đội sản xuất dự định mỗi tuần hoàn thành 30 sản phẩm, nhưng thực tế đã vượt mức mỗi tuần 10 sản phẩm, vì vậy không những đã hoàn thành kế hoạch sớm 3 tuần mà còn sản xuất thêm được 20 sản phẩm nữa Hỏi theo kế hoạch đội phải sản xuất bao nhiêu sản phẩm?

Bài 4: (3,5 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH

a) Chứng minh rằng tam giác ABC đồng dạng với tam giác HBA

b) Cho BH 4cm ; BC13cm Tính AH và AB

c) Gọi E là một điểm tùy ý trên AB , đường thẳng qua H và vuông góc với HE cắt cạnh

AC tại F Chứng minhAE CH  AH FC

d) Xác định vị trí của E trên AB để đoạn thẳng EF có độ dài ngắn nhất

Bài 5 (0,5 điểm) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 2 22 4 7

2 2

x xA

x x

 



  - Hết -

Bài 4 (3,5 điểm) Cho tam giác nhọn ABC, AD là trung tuyến, M là trung điểm AD Tia BM cắt cạnh AC tại P , đường thẳng song song với AC kẻ từ D cắt BP tại I

a) Chứng minh PA = DI Tính tỉ số AP

ACb) Tia CMcắt AB tại Q Chứng minh PQ // BC

c) Chứng minh PQ MB  BC MP

d) Tính tỉ số diện tích hai tam giác AQP và ABC

Bài 5 (0,5 điểm) Với , ,a b c là các số dương Chứng minh:

xuống AC, gọi M là giao điểm của BH và CD

a) Chứng minh: AHB đồng dạng với CAD

b) Chứng minh: BC DA CM CD  Tính diện tích tam giác BMC biết BC6cm AB, 8cm c) Kẻ MK vuông góc với AB ( K thuộc AB ) MK cắt AC tại I Chứng minh MI BM KB IC

d) Chứng minh:  BIM AMC

Bài 5 (0,5 điểm) Cho , ,a b c là 3 cạnh của một tam giác và p là nửa chu vi của tam giác đó

Chứng minh rằng: 1 1 1 2(1 1 1)

p a p b p c a b c 

I TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (1,0 điểm)

Em hãy chọn chữ cái đứng trước câu trả lời đúng

Câu 4: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có ABCvuông

tại A, AB = 4cm, AC = 3cm, BB' = 6cm Diện tích xung

quanh của hình lăng trụ đó là:

A 2

360cm B 2

72cm

C 36cm2 D 24cm2

II BÀI TẬP TỰ LUẬN (9,0 điểm)

1

xPx



b) Tính giá trị của biểu thức P biết 2x 3 7

c) Tìm x nguyên để P nhận giá trị nguyên

Bài 2 (1,5 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình

3 ngày và còn vượt mức 14 sản phẩm Tính số sản phẩm tổ đó phải làm theo kế hoạch

Bài 3 (1,5 điểm) Giải các phương trình và bất phương trình sau:

d) Xác định vị trí của điểm E trên MP sao cho diện tích HEF đạt giá trị nhỏ nhất

Bài 5: (0,5 điểm) Cho x > 1, y > 1 và x y 6 Tìm giá trị nhỏ nhất của:

I TRẮC NGHIỆM: (2 điểm): Hãy khoanh tròn chữ cái trước câu trả lơi đùng:

1 Phương trình nào sau đây là phương trình bậc nhất một ẩn?

3) Tính giá trị của P với x thỏa mãn x 2 1

Bài 2 (1,5 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình

Một ô tô đi từ A đến B hết 5 giờ Lúc đầu ô tô đi với vận tốc 30km/h, sau khi đi được 3

4quãng đường AB, ô tô đó đã tăng vận tốc thêm 10km/h trên quãng đường còn lại Tính quãng đường AB

Bài 3: (3,5đ) Cho tam giác ABC có A900, đường cao AD AB, 8cm AC, 6cm

1) Chứng minh tam giác ADC đồng dạng tam giác BAC

2) Tính BC AD,

3) Kẻ DEAB E( AB DH), AC H( AC) Chứng minh AEH đồng dạng ACB

4) Gọi I là trung điểm BC, chứng minh AI vuông góc EH và tính diện tích tứ giác AEIH Bài 4: (0,5đ) Cho a + 4b = 1 CMR: a2 + 4b2 ≥ 1

5

ngược dòng từ B trở về A Thời gian xuôi dòng ít hơn thời gian ngược dòng là 40 phút Tính khoảng cách hai bến A và B biết vận tốc riêng của dòng nước là 3km/h và vận tốc riêng của ca

nô không đổi

Bài 5 (3,5 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A có AB AC Lấy điểm M tùy ý trên cạnh

AB Kẻ đường thẳng MH vuông góc với BC tại H Đường thẳng MH cắt tia CA tại N

1) Chứng minh: BM BA BH BC 

2) Chứng minh:AMN ~HMB AMH; ~NMB

3) Gọi K là giao điểm của CM và BN Chứng minh AB là tia phân giác của .HAK

4) Chứng minh BM BA CM CK  không đổi khi M chuyển động trên cạnh AB

Câu 6 (0,5 điểm) Tìm GTNN và GTLN (nếu có) của biểu thức M = 42 1

3

xx



 - HẾT -

A) 3x+17< 5 B) -2x+1 < -1 C) 1

2x+5 > 3,5 D) 1 - 2x < -3 4) Phương trình 2x  5 3 x có nghiệm là :

AB=3AM Kết quả nào sau đây đúng:

A) AC = 6cm B) CN=3cm C)AC = 9cm D) CN = 1,5 cm

6) Cho ∆ABC đồng dạng với ∆A’B’C’ theo tỉ số 2

5 và chu vi của ∆A’B’C’ là 60cm Khi đó chu vi ∆ABC là:

A) 20cm B) 24cm C) 25cm D) 30cm

7) Cho AD là phân giác của ∆ABC (DBC) có AB=14cm, AC=21cm, BD = 8cm

Độ dài cạnh BC là:

A) 15cm B) 18cm C) 20 cm D) 22 cm

8) Một hình hộp chữ nhật có chiều rộng, chiều dài, diện tích xung quanh lần lượt bằng

4cm; 5cm và 54 cm2 Chiều cao của hình hộp chữ nhật là :

A) 5 cm B) 6cm C) 4 cm D) 3 cm II.Tự luận (8điểm)

Bài 1(1.0 điểm): Cho các biểu thức A=2x 1

2 b) Tìm x để A x2 5

Bài 2(1.0 điểm):Giải bất phương trình và biểu diễn tập nghiệm trên trục số

Bài 3(2.0 điểm): Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình:

Lúc 6 giờ, ô tô thứ nhất khởi hành từ A Đến 7giờ 30 phút ô tô thứ hai cũng khởi hành từ A đuổi theo và kịp gặp ô tô thứ nhất lúc 10giờ30 phút Biết vận tốc ô tô thứ hai lớn hơn vận tốc ô

tô thứ nhất là 20km/h Tính vận tốc mỗi ô tô ?

Bài 4(3.5 điểm): Cho  ABC vuông tại A, đường cao AH Kẻ đường phân giác AD của  CHA

và đường phân giác BK của  ABC (DBC; KAC) BK cắt lần lượt AH và AD tại E và F

a) Chứng minh:  AHB ∽  CHA b) Chứng minh:  AEF ∽  BEH

c) Chứng minh: KD // AH d) Chứng minh: EH KD

AB BCBài 5(0.5 điểm) Tìm cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn phương trình: x3 + 3x = x2y + 2y + 5

 Vậy nghiệm của bất phương trình là 7

xx





b) Tìm các giá trị của x để A 3

Bài 3 Gọi khối lượng than đội khai thác theo kế hoạch là x (tấn; x > 0)

Gọi khối lượng than đội khai thác theo kế hoạch là x (tấn; x > 0)

Chứng minh được: CH // BD =>C 1 D1( so le trong)

Chứng minh được: ∆DHC đồng dạng ∆ACB (g.g)

Áp dụng định lý Ta- let trong BOE DOE,

d) Chứng minh: Ba đường thẳng OE CD BH, , đồng quy

Gọi I là giao điểm của BH và CD

Ta có HC BD/ / theo hệ quả của Định lý Ta-let

22

1

I K H

Vì a b c bc ac ab     a b c   bc ac ab   0

Hay a–1  b–1 –1 c 0

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: S x x| 2

Bài 3 Gọi diện tích rừng lâm trường dự định trồng là x (ha), x0

Thời gian dự định trồng là x

35 (tuần)

Do thực tế, mỗi tuần vượt mức 5 ha nên thực tế mỗi tuần trồng được 35 5 40  (ha)

Diện tích rừng trồng vượt kế hoạch 20 ha nên diện tích rừng thực tế trồng được là x 20 (ha)

Vì thực tế hoàn thành sớm trước 2 tuần nên ta có phương trình

x(x 2)



2(x 2) 4 2xA

+) Ta thấy x=2 không thỏa mãn điều kiện xác định nên không tồn tại giá trị của A

+) Ta thấy x1 thỏa mãn điều kiện xác định

Gọi vận tốc riêng của tàu thủy là x(km / h)(x3)

Vận tốc của tàu thủy khi xuôi dòng là x 3(km / h)

Vận tốc của tàu thủy khi ngược dòng là x 3(km / h)

Thời gian của tàu thủy khi xuôi dòng hết khúc sông 72km là 72 (h)

x 3

Thời gian của tàu thủy khi ngược dòng khúc sông ấy 54km là 54 (h)

x 3Theo bài ra ta có phương trình:

  (loại) hoặc x=21(thỏa mãn)

Vậy vận tốc riêng của tàu thủy là 21km/h

D A

( )ADB HEB gg

( )AEC HDC gg

   

d Khi tam giác ABC đều thì      A B C 600

Vì tam giác ABC đều có BD,CE là đường cao đồng thời là đường trung tuyến, phân

giác của tam giác ABC Mặt khác BD cắt CE tại H Suy ra H là trọng tâm tam giác ABC

30HBC ACB

    Suy ra tam giác BHC cân tại H

HBC ABC

HB HC

2

14

x 

Sp/ tuần Thời gian Tổng số sp

Kế hoạch 30 30x x

Gọi số sản phẩm tổ phải làm theo kế hoạch là x( sản phẩm) (x0)

Thời gian tổ làm theo kế hoạch là:

 

   

2

2 2

Với m1, bất phương trình đã cho có tập nghiệm: S 

Với m1, bất phương trình đã cho có tập nghiệm: 1

Năng suất tổ đó làm trong thực tế là: 60

19

x (sản phẩm/ngày)

Vì đội đã tăng năng suất thêm 5 sản phẩm mỗi ngày nên ta có phương trình:

PAM IDM (so le trong, DI // AC)

MA = MD (do M là trung điểm AD )

 AMP DMI (2 góc đối đỉnh)

Vậy ΔAPM = ΔDIM (g.c.g)

QAM  NDM (so le trong, DN // AB)

MA = MD (M là trung điểm AD)

N Q

I

P M

D

A

N Q

I

P M

D A

d) Tính tỉ số diện tích hai tam giác AQP và ABC

Ta có APQ∽ACB do PQ ( / /BC) nên

2 2

AQP ABC



b) Tìm giá trị của x để C4

x xx

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S x x|  1

Biểu diễn trên trục số

c) Tứ giác MKBC là hình chữ nhật (vì có 3 góc vuông) nên KB MC  2

Lại có B 1C1 (cmt) nên IMC ∽ MCB (g – g)

 hay  IMB MCA  3

Theo câu c) có IMC ∽ MCB (g – g) suy ra IC MC IC BC MB MC  4

Từ  3 và  6 ta được: MAC ∽ IBM (c – g – c)

Suy ra MIB AMC  (hai góc tương ứng)

Bài 5 Trước hết, ta chứng minh bđt : 1 1 4

a b  a b

 với a,b > 0 Xét hiệu :

1 1

I K

Vì , ,a b c là độ dài 3 cạnh của một tam giác nên , ,a b c0,p a 0,p b 0,p c 0

Áp dụng BĐT trên cho 2 số dương p a và p b ta có:

Câu 1: D Câu 2: B Câu 3: C Câu 4: B

Gọi số ngày tổ sản xuất hoàn thành sản phẩm theo kế hoạch là: x(ngày) (x3)

Thì số sản phẩm tổ sản xuất phải làm theo kế hoạch là: 18x (sản phẩm)

Số ngày tổ sản xuất làm thực tế là: x3 (ngày)

Số sản phẩm thực tế tổ sản xuất đã làm là: (18 4)( x3) 22( x3) (sản phẩm)

Số sản phẩm tổ sản xuất pải làm theo kế hoạch là: 18.20 360 (sản phẩm)

43 4x 043x>

đã cho là:

434

EH MH

  hay MH HN

EH  FHXét NHM và FHE có:

MH HN

EH

EF

FH

HFE MNP

HNM MNP

HEF MNPHNM HE

Do SMNP và MP không đổi nên SHFE nhỏ nhất khi HE nhỏ nhất  HEMP

Vậy điểm E nằm trên MP sao cho HEMP thì SHFEđạt giá trị nhỏ nhất

 (1) Tương tự: 9 9 1 2 9 9 1

1 4 yy

 (2) Lấy (1) + (2) vế với vế ta được

2 2S

     S 28; Dấu “= ” xảy ra khi x = y = 3

Khi đó GTNN của S = 28 khi x = y = 3

Vậy với x thỏa mãn x 2 1 thì P = 18

Bài 2 Gọi quãng đường AB là x (km, x > 0)  3

4 quãng đường AB là 3

4x (km) Thời gian đi 3

4 quãng đường đầu là 3 : 30 3 1

4x 120x40x (h) Quãng đường còn lại là 1 3 1

4 4x

  (km)

Ô tô đã tăng vận tốc thêm 10km/h nên vận tốc mới là 30 + 10 = 40 (km/h)

Thời gian đi quãng đường còn lại là: 1 : 40 1

4) Gọi K là giao của AI và EH

Ta có: AEH ∽ACB ch c g v(  ) =>  AEH ACB

H

D

B

a  b Bài giải

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho 2 bộ số (a; 1) và (2b; 2), ta có

a) Điều kiện xác định : x0;x2

2

2 2

Vậy tập nghiệm của phương trình là S 2

Bài 3 Giải bất phương trình sau và biểu diễn tập nghiệm trên trục số

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: S{x|x12}

Biểu diễn tập nghiệm trên trục số:

Bài 4 Gọi khoảng cách A và B là x (km,x >0)

Vân tốc riêng của ca no là: 36 3 33  km/h

Vận tốc ngược dòng là: 33 3 30  km/h

Thời gian đi xuôi dòng là

36x h Thời gian đi ngược dòng là

30x h Thời gian xuôi ít hơn thời gian ngược 40' 2

AB NH M M là trực tâm củatam giác NCB CK NB CKN 90 o

Chứng minh tương tự câu 2) ta có:

Suy ra BM BA CM CK  BH BC CH CB BC BH CH   (  )BC (không đổi) 2

Vậy BM BA CM CK  không đổi khi M chuyển động trên cạnh AB

( 2)3

xx

a Giải được phương trình ra nghiệm: x=11

Có đối chiếu điều kiện và kết luận 0.25 0.25

b) Giải đúng BPT ra nghiệm: x>-1

Kết hợp điều kiện và kết luận: x>-1 và x≠3

0.25 0.25

Quãng đường ô tô thứ hai đi là: 3(x+20) (km)

Do quãng đường hai xe đi bằng nhau nên ta có pt:

4,5x= 3(x+20)

Giải đúng pt , tìm được x = 40(TMĐK)

Kết luận đúng

0.25 0.25 0.25 0.25 0.25

0.25 0.25 0.25

Kết luận hai tam giác đồng dạng 0.5 0.25

b) Chứng minh được góc EAF = góc EBH 0.5

FE

Khẳng định có căn cứ: góc HEB= góc AEF

Kết luận hai tam giác đồng dạng 0.25 0.25

c) Chứng minh đúng tam giác ABD cân tại B suy ra: AB=BD

Chứng minh hai tam giác ABK, DBK bằng nhau

Suy ra: KD vuông góc BC hay KD//AH

0.5 0.25 0.25 d) Chứng minh được: EH BH BH

Chứng minh được: BH AB

AB  BCSuy ra: EH AB

Với x nguyên, để y nguyên thì x-5 chia hết cho x2+2

Suy ra : (x-5)(x+5) chia hết cho x2+2

Suy ra: 27 chia hết cho x2+2

Bài 1: (2 điểm) Khoanh tròn vào chữ cái đứng trước câu trả lời đúng:

1) Giá trị của phân thức

4

)2(42

2



x

x





2





x

2(

53

xx

a) Nếu tam giác vuông này có 2 cạnh góc vuông tỉ lệ với 2 cạnh góc

vuông của tam giác vuông kia thì 2 tam giác vuông đó đồng dạng

b) Tỉ số diện tích của 2 tam giác đồng dạng bằng tỉ số đồng dạng

c) Nếu 2 tam giác bằng nhau thì chúng đồng dạng với nhau theo tỉ số

đồng dạng k = 1

d) Hai tam giác cân luôn đồng dạng với nhau

Phần II: Tự luận (7 điểm)

Bài 1: (2 điểm) Giải bất phương trình sau và biểu diễn tập nghiệm trên trục số:

8

5124

2

1 x    x

Bài 2: (2 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình:

Một đội máy kéo dự định mỗi ngày cày được 40 ha Khi thực hiện, mỗi ngày cày được 52 ha Vì vậy, đội không những đã cày xong trước thời hạn 2 ngày mà còn cày thêm được 4 ha nữa Tính diện tích ruộng mà đội phải cày theo kế

hoạch đã định?

Bài 3: (3 điểm)

Cho ABC vuông tại A, đường cao AH (H BC) Biết BH = 4cm ; CH = 9cm Gọi

I, K lần lượt là hình chiếu của H lên AB và AC Chứng minh rằng:

a) Tứ giác AIHK là hình chữ nhật

b) Tam giác AKI đồng dạng với tam giác ABC

c) Tính diện tích ABC

Câu 3 (1điểm): Giải toán bằng cách lập phương trình

Hiệu của hai số là 16 và số lớn gấp 5 lần số bé Tìm hai số đó?

Câu 4 (3,5 điểm): Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH và đường phân giác trong BD

DC  AC c) Qua C vẽ đường thẳng a song song với BD, từ B kẻ BE  a (E  a), đường thẳng BE cắt đường thẳng AC tại F Chứng minh: DA.FC = DC.FA

d) Chứng minh: ABE BDC.

Bài 4: Cho  ABC nhọn (AB < AC) có hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H

1) Chứng minh:  ABD đồng dạng  ACE (1đ)

2) Chứng minh: HD.HB = HE.HC (1đ)

3) AH cắt BC tại F Kẻ FI  AC tại I Chứng minh: IF FA

IC CF (1đ) 4) Trên tia đối của tia AF lấy điểm N sao cho AN = AF Gọi M là trung điểm cạnh IC Chứng minh: NI  FM (0,5đ)

Bài 5: Để trang bị bàn ghế cho hội trường của cơ quan, Cô Lan có đến một Xưởng sản xuất để đặt mua một số bộ bàn ghế Theo đơn đặt hàng của cô Lan thì mỗi ngày Xưởng phải sản xuất 15 bộ bàn ghế để kịp giao Tuy nhiên, do Xưởng vừa được trang bị thêm thiết bị nên mỗi ngày, Xưởng đã sản xuất được 20 bộ bàn ghế Vì thế, không những hoàn thành kế hoạch trước 4 ngày mà Xưởng còn dư ra 20 bộ bàn ghế Hỏi theo đơn đặt hàng của cô Lan thì Xưởng phải sản xuất bao nhiêu bộ bàn ghế? (0,5đ)