Chuyen de Toan

Đặt vấn đề I - Lý do chọn đề tài ưưưưNhưưchúngưtaưđãưbiếtưphươngưtrìnhưbậcưhaiưlàưmộtưtrongưnhữngưnộiư dungưquanưtrọngưcủaưchươngưtrìnhưđạiưsốưlớpư9,ưcácưbàiưtoánưliênư quanưđếnưphươngưt

một số ứng dụng của định lý vi - ét

A Đặt vấn đề

I - Lý do chọn đề tài

ưưưưNhưưchúngưtaưđãưbiếtưphươngưtrìnhưbậcưhaiưlàưmộtưtrongưnhữngưnộiư dungưquanưtrọngưcủaưchươngưtrìnhưđạiưsốưlớpư9,ưcácưbàiưtoánưliênư quanưđếnưphươngưtrìnhưbậcưhaiưlàưvôưcùngưphongưphú.ưDoưvậyưkhảư năngưgặpưphươngưtrìnhưbậcưhaiưtrongưcácưkìưthiưưtuyểnưsinhưvàoư

THPT,ưvàoưcácưtrườngưchuyên,ưlớpưchọnưlàưrấtưcao,ưđặcưbiệtưlàưcácư bàiưtoánưliênưquanưđếnưđịnhưlýưVi-ét.ư

ưưưưTuyưnhiênưphânưphốiưchươngưtrìnhưchoưphầnưđịnhưlýưVi-étưlàưrấtưítư (1ưtiếtưlýưthuyết,ư1ưtiếtưbàiưtập),ưvìưthếưquaưthựcưtếưgiảngưdạyưtôiư

thấyưđạiưđaưsốưhọcưsinhưthườngưlúngưtúngưđôiưkhiưcònưnhầmưlẫnưkhiư

đứngưtrướcưcácưbàiưtoánưcóưliênưquanưđếnưđịnh lý Vi-ét và một số ứng dụng của định lí này (ưNhưưkhiưgặpưcácưbàiưtoánưtìmưhaiưsốư

biếtưhiệuưvàưtích,ưcácưbàiưtoánưchứaưthamưsố,ưphươngưtrìnhưtươngưđư

ơng,ưphươngưtrìnhưcóưnghiệmưchung )

A Đặt vấn đề

I - Lý do chọn đề tài:

ưưưưTrướcưthựcưtếưđó,ưnhằmưgiúpưcácưemưnắmưđượcưmộtưcáchưcóưhệư thốngưvàưcóưkhảưnăngưgiảiưquyếtưđượcưcácưbàiưtậpưvềưdạngưnàyư mộtưcáchưthànhưthạo,ưgópưphầnưphátưhuyưkhảưnăngưsuyưluận,ưócư phánưđoán,ưtínhưlinhưhoạtưcủaưhọcưsinh,ưtôiưưđãưnghiênưcứuưvàưđềư

xuấtưchuyênưđề:ư“Một số ứng dụng của định lý Vi-ét ”.

II- Mục đích nghiên cứu:

III- Ph ơng pháp nghiên cứu

ưưưưư-ưQuaưthựcưtếưgiảngưdạyưđặcưbiệtưlàưtừưkinhưnghiệmưbồiưdưỡngư họcưsinhưgiỏi,ưônưtậpưchoưhọcưsinhưthiưvàoưTHPT.

ưưưưư-ưQuaưtraoưđổi,ưhọcưhỏiưkinhưnghiệmưcủaưbạnưbèưđồngưnghiệp,ư nhữngưđồngưchíưcóưnhiềuưnămưcôngưtác,ưcóưbềưdàyưkinhưnghiệmư trongưcôngưtácưgiảngưdạy.

IV- Nhiệm vụ của đề tài

mứcưđộưkhó,ưdễưchoưphùưhợp.

-ưChuyênưđềưnàyưápưdụngưtốtưnhấtưtrongưcácưtiếtưdạyưtựưchọn,ưtrongư việcưônưluyệnưhọcưsinhưgiỏi,ưhướngưdẫnưhọcưsinhưônưthiưvàoưTHPT,ư

đặcưbiệtưlàưônưthiưvàoưcácưtrườngưchuyên,ưlớpưchọn.

b giải quyết vấn đề.

b giải quyết vấn đề

  

I–cở sở lý thuyết

2 Dấu của nghiệm số ph ơng trình bậc hai

1 Điều kiện về nghiệm của ph ơng bậc hai một ẩn

VD1: Gi¶i ph ¬ng tr×nh sau b»ng c¸ch nhÈm nhanh nhÊt

VD2: Gi¶i ph ¬ng tr×nh sau b»ng c¸ch nhÈm nhanh nhÊt­­­­­­­­­­­­­­­­

Dạng 2:

VD1

Choưphươngưtrìnhưx2ư-ư27xư+ư43ư=ư0.ưGọiưx1;ưx2ưlàưhaiưnghiệmưcủaưphươngưtrìnhưtrênư (x1ư<ưx2).ưKhôngưgiảiưphươngưtrìnhư,ưhãyưtínhưgiáưtrịưcủaưcácưbiểuưthứcưsau:

I.Cách giải

II.Một số ví dụ

x 

Vớiưnhữngưbiểuưthứcưmàưcóưchứaưluỹưthừaưbậcưcaoưthìưviệcưbiểuư diễnưluỹưthừaưbậcưcaoưcủaư1ưnghiệmưưquaưluỹưthừaưthấpưhơnưcủaư nghiệmưđóưcũngưlàưmộtưphươngưánưđôiưkhiưgiúpưchoưviệcưtínhưtoánư thuậnưlợiưhơnưnhiều.ưVớiưphươngưtrìnhưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưcóư2ư nghiệmưưx1ư,ưx2ưvàưSư=ưx1ư+ưx2ư;ưPư=ưx1ư.ưx2ư.ưKhiưđóư:

Tính giá trị của một biểu thức mà biến số là các nghiệm của ph ơng trình bậc hai nào đóư

dạng 3: lập ph ơng trình khi có hai biểu thức chứa hai nghiệmư

II Một số ví dụ

I Cách giải ư

Taưcầnưlậpưphươngưtrìnhưbậcưhaiưnhậnưưưưưưưưưưưlàưcácưnghiệm.ưĐiềuưnàyưdựaưtrênưđịnhưlýư ưNếuưưưưưưưưưưưưưưưưưư=ư“ Sưvàưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưthìưưưưưưưưưưưưưlàưcácưnghiệmưcủaưphươngưtrìnhưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưư ”.

10  72 

1 28

nghiÖm­lµ S2  4 P

lËp ph ¬ng tr×nh khi cã hai biÓu thøc chøa hai nghiÖm­

;

VD2:ưChoưphươngưtrìnhư x2  px q  0

ưcóưhaiưnghiệmưvàưkhôngưgiảiưphươngưtrìnhưhãyưlậpưphươngưtrìnhư

(1)

1 1

1

11

x y

x y

x x







2 2

1 1

x x

2 2

vớiưđiềuưkiệnư S2  4P màưởưđâyư ưưNênưkhôngưthoảưmãnưđiềuưkiệnưđầuưbài

ưb)ưCó 52 13 2ab  2abư=ư12ư abư=ư6

2 2 2910

a b ab

Dạng 4:

NếuưhaiưsốưUưvàưVưcóưtổngưUư+ưVư=ưSưvàưtíchưU.Vư=ưPưthìưUưvàưVưlàưnghiệmưcủaưphươngưtrìnhư x2  Sx P   0(*)

Điềuưkiệnưđểưphươngưtrìnhư(*)ưcóưnghiệmưlàư  S2  4P 0 hayư S2  4 P

ĐóưchínhưlàưđiềuưkiệnưtồnưtạiưhaiưsốưUưvàưVưmàưtổngưUư+ưVưư=ưSưvàưUư.Vư=ưPư

ưNhưưvậyưkhiưbiếtưtổngưvàưtíchưhaiưsốưthìưtaưsẽưtìmưđượcưhaiưsốưđóưthôngưquaưviệcưgiảiưphươngưtrìnhưbậcưhai

5 )

7

x y xy a

2 2

5)

S

S P S

S P S P

5 )

7

x y xy a

tìm điều kiện của tham số để ph ơng trình đã cho có

hai nghiệm thoả mãn một hệ thức nào đóư

nghiệmưmàưnghiệmưnàyưbằngưbìnhưphươngưcủaưnghiệmưkia.ư

0 (1)4

1 2 1 2

m x

m x

VD6:ưưưưưChoưx1;ưx2ưưlàưhaiưnghiệmưcủaưphươngưtrìnhưx 2 ư ư3xư+ưaư=ư0

1 2

1

5 2 1

( 1) 3 (3)

( 1) 12 (4)

(5)(6)

tìm điều kiện của tham số để ph ơng trình đã cho có hai nghiệm thoả

mãn một hệ thức nào đóư

Dạng 5:ư

Dạng 6: ư xét dấu các nghiệm của ph ơng trình bậc haiư

1.ưPhươngưtrìnhưcóư2ưnghiệmưdươngư    0; P  0; S  0

0; P 0; S 0

    2.ưPhươngưtrìnhưcóư2ưnghiệmưâmư ư

3.ưPhươngưtrìnhưcóư2ưnghiệmưtráiưdấu:ưPư<ư0.ư

Nhiềuưbàiưtoánưđòiưhỏiưtìmưđiềuưkiệnưđểưphươngưtrìnhưbậcư2ưcóưítưnhấtư1ưnghiệmưkhôngưâm.ưThườngưcóư2ưcáchưgiải:ư

HoặcưSư=ư0:ưtồnưtạiưnghiệmưkhôngưâm

Hoặcưưưưưưưưưưưưưưưưưưcóư1ưnghiệmưkhôngưâm,ư1ưnghiệmưâm

0

  0

S 

0, 0

S  P 

m­<­2

m m

m m

4

m m

VD4:ưChoưphươngưtrìnhưư(mư+ư1)x2 ư+ư2(mư+ư4)xư+ưmư+ư1ư=ư0.ưTìmưmưđểưphươngưtrìnhưcó: a)ưMộtưnghiệmư

2

1 1

2

1 0 0

VD5:ư Choưphươngưtrìnhưư(mư ư4)x2 ư–ư2(mư–ư2)xư+ưmư-1ư=ư0 Tìmưmưđểưphươngưtrìnhư a)ưCóư2ưnghiệmưtráiưdấuưvàưnghiệmưâmưcóưGTTĐưlớnưhơn

m a

m m

+ưTH1:ưNếuưmư–ư4ư=ư0ưmư=ư4ưthìưưphươngưưđãưchoưtrởưthànhư-4xư+ư3ư=ư0ư 3

04

x  



Vậyưmư=ư4ưlàưmộtưgiáưtrịưthoảưmãn

+ưTH2:ưNếuưmư ư4ư0ư  mư 4ưphươngưtrìnhưđãưchoưlàưphươngưtrìnhưbậcưhaiưcóư3ư khảưnăngưxảyưraưđểưphươngưtrìnhưcóưmộtưnghiệmưdương

0 2

0 0

4

m

m m

b

m a

0 4

so sánh nghiệm của ph ơng trình bậc hai với một số cho tr ớc

Dạng 7:

ởưdạngưnàyưcácưbàiưtoánưthườngưgặpưlà:ưTìmưđiềuưkiệnưcủaưthamưsốưđểưsoưsánhưnghiệmưvớiưmộtưsốưchoưtrước

Để giải các bài tập kiểu này ta th ờng thực hiện các b ớc sau:

4 4

m m

m

m m

Bằngưcách:ưĐặtưtư=ưxư ưmưưưưưưưxư=ưtư+ưm.ưPTưđãưchoưviếtưđượcưdướiưdạngưlà

(tư+ưm)2ư+ưtư+ư2mư=ư0ưưưưưưưtư2ư+ư(2mư+ư1)tư+ưm2ư+ư2mư=ư0ư(*)

Cáchư2:



P S

2 2

0 4

m

m m m m

m m m m

giải các bài toán cực trị liên quan đến biểu thức giữa

các nghiệm của PT bậc hai

Dạng 8:

CácưbàiưtoánưthườngưgặpưlàưchoưmộtưphươngưtrìnhưtaưphảiưtìmưGTNN,ư

GTLNưcủaưmộtưbiểuưthứcưgiữaưcácưnghiệmưcủaưphươngưtrìnhưấy.Trongưtrườngưhợpưbiểuưthứcưđóưđốiưxứngưgiữaưcácưnghiệmưcầnưhướngưdẫnưhọcưsinhưthựcưhiệnưtheoưcácưbướcưsau:

tìmưgiáưtrịưcủaưmưđểưphươngưtrìnhưcóưhaiưnghiệmưphânưbiệtưx1,ưx2ưưsaoưchoưbiểuưthứcưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưđạtưGTNN.ư

giải các bài toán cực trị liên quan đến biểu thức giữa

các nghiệm của PT bậc hai

cóưhaiưnghiệmưx1,ưx2ưưvàưbiểuưthứcưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưđạtưgiáưtrịưlớnưnhất.ư

giải các bài toán cực trị liên quan đến biểu thức giữa

các nghiệm của PT bậc hai

Dạng 9: xét mối quan hệ giữa các nghiệm của hai ph ơng trình

ưưưưưưưưưưHaiưphươngưtrìnhưax2ư+ưbxư+ưcư=ư0ưvàưa x’x 2ư+ưb xư+ưc ư=ư0’x ’x

I Cách giải

cóưnghiệmưchungưkhiưvàưchỉưkhiưhệư

2 2

9.1 Hai ph ơng trình có nghiệm chung

Dạng 9: xét mối quan hệ giữa các nghiệm của hai ph ơng trình

VD1:ưưưChoưcácưsốưa,ưb,ưcưđôiưmộtưkhácưnhauư,ưcưưưưư0.ưBiếtưrằngưcácưphươngư

trình:ưx2ư+ưaxư+ưbcư=ư0ư(1);ưx2ư+ưbxư+ưcaư=ư0ư(2)ưcóưítưnhấtưmộtưnghiệmưchung.ưTìmưnghiệmưcủaưchúng,ưkhiưđóưhãyưtìmưliênưhệưgiữaưa,ưb,ưc.ư

0 0

0 0

00

Dạng 9: xét mối quan hệ giữa các nghiệm của hai ph ơng trình

VD2:ưGiảưsửưa,ưbưlàưhaiưsốưphânưbiệt.ưChứngưminhưrằngưnếuưhaiưphươngưtrìnhưưưưưưưư

x2ư+ưax+ư2bư=ư0;ưvàưx2+ưbx+2aư=ư0ưcóưđúngưmộtưnghiệmưchungưthìưcácưnghiệmưsốưcònưlạiưcủaưhaiưphươngưtrìnhưlàưnghiệmưcủaưphươngưtrìnhưx2ư+ư2xư+ưabư=ư0.ư

H ớng dẫn:ưGiảưsửưphươngưtrìnhưx2ư+ưaxư+ư2bư=ư0ưcóưnghiệmưx0;ưx1

phươngưtrìnhưx2ư+ưbxư+ư2aư=ư0ưcóưnghiệmưx0;ưx2ư(x0ưlàưnghiệmưchungưcủaưhaiưphươngưtrìnhưvàưx1ưkhácưx2ư)ưkhiưđóưtaưcó:ư

9.2 Hai ph ¬ng tr×nh t ¬ng ® ¬ng

VD4:ưưưTìmưm,ưnưđểưphươngưtrìnhưx2ư ư(mư+ưn)xư-3ư=ư0ưư(1)

vàưưphươngưtrìnhưx2ư–ư2xư+ư3mư–ưnư–ư5ư=ư0ưư(2)ưtươngưđương.ư

PT(1)ưcóưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưnênưPT(1)ưluônưcóưhaiưnghiệmưphânưbiệtư

x1;ưx2ư.DoưđóưPT(1)ưvàưPT(2)ưtươngưđươngưkhiưhaiưphươngưtrìnhưnàyưcóưcùngưtậpưhợpưnghiệmưnghĩaưlà:

H ớng dẫn:

ơngưphápưcơưbảnưmàưhọcưsinhưthườngưhayưgặpưtrongưcácưkỳưthiưđặcưbiệtưlàưthiưvàoưTHPT,ưvớiưmỗiưmộtưdạngưtôiưđãưlựaưchọnưưhệưthốngưcácưbàiưtậpưtừưdễưđếnưkhóưphùưhợpưvớiưtrìnhưđộưcủaưnhiềuưđốiưtượngưhọcưsinhưnhằmưgiúpưchoưcácưemưcóưkỹưnăngưgiảiưtoán,ưtừưđóưtạoưchoưhọcưsinhưcóưhứngưthú,ưsayưmêưhọcưtập,ưphátưhuyưtríưlực,ưrènưluyệnưkhảưnăngưtưưduyưsángưtạo,ưphânưtích,ưtổngưhợp,ưkháiưquátưhoá,ưtrừuưtượngưhoáưmộtưbàiưtoán,ưmộtưvấnưđề

ưưưưưưChuyênưđề:ư" Một số ứng dụng của định lý Vi-ét "ưlàưvấnưđềưđãưđượcưnhiềuư

thàyưcôưnghiênưcứu.ưSongưvớiưlòngưhamưmuốnưtìmưtòi,ưhọcưhỏiưđểưnângưcaoưtrìnhư

độưcủaưbảnưthân,ưgiảmưbớtưkhóưkhănưchoưhọcưsinhưtôiưđãưnghiênưcứuưvàưviếtư

chuyênưđềưtrên.ưVìưthờiưgianưkhôngưnhiềuưhơnưnữaưđâyưlàưvấnưđềưrấtưrộngưnênưchắcưchắnưchuyênưđềưnàyưkhôngưtránhưkhỏiưnhữngưhạnưchế.ưTôiưrấtưmongưnhậnư

đượcưnhữngưýưkiếnưđóngưgópưquýưbáuưcủaưcácưđồngưchíưlãnhưđạo,ưcácưđồngưchíưtrongưhộiưđồngưbộưmônưvàưcácưbạnưđồngưnghiệpưđểưchuyênưđềưnàyưđượcưhoànưchỉnhưhơnưvàưngàyưcàngưphátưhuyưhiệuưquả.ư

ưưưưưưưưTôiưxinưtrânưtrọngưcảmươnư./.ư