Chuyên đề Toán

Dạng 2: Các bài toán về tìm số các số hạng của một dãy số.. Dạng 3: Các bài toán về tìm tổng các số hạng của một dãy số... Đường vuông góc hạtừ đỉnh A xuống cạnh đối diện BC gọi là đường

Chuyên đề toán nâng cao Dành cho học sinh tiểu học.

_

Phần 1: Các bài toán về dãy số.

Dạng 1: Viết thêm một số số hạng vào trước, sau hoặc giữa của một dãy số

Các bước giải bài toán dạng này là:

Bước 1: Xác định quy luật của dãy số đã cho Những quy luật thường gặp ở tiểu học là:

Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ hai) bằng số hạng đứng liền trước nó cộng với một sốtự nhiên a

Ví dụ minh họa 1:

Hãy viết tiếp 2 số hạng của dãy số sau:

-Số hạng thứ tư là 630 bằng số hạng trước nó ( 90 ) nhân với thứ tự nó ( 4 ) cộngvới 3 : 630 = 90  ( 4 + 3 )

Quy luật của bài toán là: Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ hai) bằng số hạng đứngliền trước nó nhân với tổng của thứ tự số hạng đó với một số tự nhiên a

Vậy 2 số hạng sau của dãy số là:

630  ( 5+ 3 ) = 5040 và 5040  ( 6 + 3 ) = 45360

Dãy số trên là: 3, 15, 90, 630, 5040, 45360

Cách ra đề:

Bước 1: Chọn quy luật của dãy số

Bước 2: Chọn các số hạng tự do ( các số hạng không bị ràng buộc theo quy luật )đứng ở đầu dãy số

Bước 3: Chọn 3 số hạng tiếp theo của dãy theo quy luật

Bước 4: Đặt thành đề toán

Câu lệnh: Hãy viết tiếp

Hãy ra một đề toán về viết tiếp 2 số hạng vào sau một dãy số cho trước

Bước 1: Chọn quy luật của dãy số: Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ hai) bằng sốhạng đứng liền trước nó cộng với thứ tự của số hạng đó rồi cộng với một số tự nhiên 5

Bước 2: Chọn các số hạng tự do: 2

Bước 3: Chọn 3 số hạng tiếp theo của dãy theo quy luật:

2 + 2 + 5 = 9

9 + 3 + 5 = 17

17 + 4 + 5 = 26

Bước 4: Đặt thành đề toán

Hãy viết tiếp 2 số hạng của dãy số sau: 2, 9, 17, 26

Ví dụ minh họa 2:

Tìm số hạng đầu của dãy số sau:

Vậy các số hạng phải tìm là :

-Số hạng thứ nhất: 1  4 + 16 = 20 (đáp số)

-Số hạng thứ hai : 2  4 + 16 = 24

-Số hạng thứ 15 : 15  4 + 16 = 76

Dãy số trên được viết lại là:

20, 24, 28, 32 80, 84, 88 ( với 18 số hạng)

Cách ra đề:

Bước 1: Chọn quy luật: số hạng thứ n = a  n + b

Bước 2: Xác định 3 số hạng cuối theo quy luật trên và số số hạng của dãy

Bước 3: Nêu các số hạng phải tìm

Hãy ra một đề toán về tìm một số số hạng đứng trước của một dãy số đã cho.

Bước 1: Chọn quy luật: Mỗi số hạng của dãy bằng số thứ tự của nó nhân với 3 rồicộng với 5

Bước 2: Xác định 3 số hạng cuối theo quy luật trên: ,35, 38, 41 và dãy số có 15số hạng

-Số hạng thứ 10: 3  10 + 5 = 35

-Số hạng thứ 11: 3  11 + 5 = 38

-Số hạng thứ 12: 3  12 + 5 = 41

Bước 3: Nêu các số hạng phải tìm: Tìm 5 số hạng đầu

Đề toán: Tìm 5 số hạng đầu của dãy số sau:

, 35, 38, 41

Biết rằng dãy số trên có 12 số hạng

Ví dụ minh họa 3:

Điền các số thích hợp vào ô trống sao cho tổng của 3 ô liên tiếp đều bằng 2005

Ta nhận xét:

-Ô 6, 7, 8 có tổng = 2005

-Ô 7, 8, 9 có tổng = 2005

-Suy ra: ô 9 = 200 và ô 8 = 2005 – ( 300 + 200) =1505

-Vậy ô 7 = 2005 – ( 1505 + 200) = 300

Tiếp tục tìm các ô còn lại

Chú ý: (Về cách ra đề )

-Có thể thay 2005 bởi số khác lớn hơn 500

-Có thể thay cặp 200 và 300 bởi một cặp số khác có tổng nhỏ hơn 2005

-Có thể thay ô 6 và ô 10 bởi một cặp ô khác sao cho giữa chúng có 3 ô trống

Dạng 2: Các bài toán về tìm số các số hạng của một dãy số.

 Nếu là dãy số cách đều thì ta áp dụng công thức:

hạng số

2 giữa cách Khoảng

) đầu hạng Số

cuối hạng Số

Số các số hạng có 3 chữ số chia hết cho 3 là:

Aùp dụng công thức tìm số các số hạng của dãy số cách đều ta có:

Số các số hạng có 3 chữ số là số chẵn chia hết cho 9 là:

Aùp dụng công thức tìm số các số hạng của dãy số cách đều ta có:

Số các số hạng khi chia cho 4 dư 1 bé hơn 450 là:

( 449 – 1) : 4 +1 = 113

Ví dụ 4:

Người ta trồng cây hai bên đường của một đoạn đường quốc lộ dài 21km Hỏiphải dùng bao nhiêu cây để đủ trồng trên đoạn đường đó ? Biết rằng cây nọ trồng cách câykia 5m

Aùp dụng công thức trồng cây trên đoạn đường

Số cây dùng để đủ trồng đoạn đường trên:

(21000 : 5 +1 )  2 = 8402 (cây)

Ví dụ 5:

Một cuốn sách dày 284 trang Hỏi phải dùng bao nhiêu lượt chữ số để đánh số thứtự các trang của cuốn sách đó

-Số trang có số thứ tự ghi bằng 1 chữ số: 9 – 1 + 1 = 9 (trang)

-Số trang có số thứ tự ghi bằng 2 chữ số: 99 – 10 + 1 = 90 (trang)

-Số trang có số thứ tự ghi bằng 3 chữ số: 284 – 100 + 1 = 185 (trang)

-Số lượt chữ số để đánh số thứ tự các trang sách:

9 + 90  2 + 185  3 = 744 (lượt)

Ví dụ 6:

Để ghi số thứ tự các trang của một cuốn sách, người ta dùng 762 lượt chữ số Hỏicuốn sách đó dày bao nhiêu trang ?

-Số trang có số thứ tự ghi bằng 1 chữ số: 9 – 1 + 1 = 9 (trang)

-Số trang có số thứ tự ghi bằng 2 chữ số: 99 – 10 + 1 = 90 (trang)

-Số lượt chữ số để đánh thứ tự các trang có 1 và 2 chữ số: 9 + 902 = 189 (lượt)

-Số lượt chữ số để đánh thứ tự các trang có 3 chữ số: 762 – 189 = 573 (lượt)

Số trang có 3 chữ số: 573 : 3 = 191 (trang)

-Tổng số trang sách: 9 + 90 + 191 = 290 (trang)

Ví dụ 7:

Để ghi thứ tự các nhà trên một đường phố, người ta dùng các số chẵn 2, 4, 6, 8 để ghi các nhà ở dãy phải và các số lẻ 1, 3, 5, 7 để ghi các nhà ở dãy trái của đường phốđó Hỏi số nhà cuối cùng của dãy chẵn trên đường phố đó là bao nhiêu, biết rằng khi đánhthứ tự các nhà của dãy này, người ta đã dùng 367 lượt chữ số cả thảy

-Số nhà có số thứ tự ghi bằng 1 chữ số, chẵn: (8 – 2) : 2 + 1 = 4 (nhà)

-Số nhà có số thứ tự ghi bằng 2 chữ số, chẵn: (98 – 10) : 2 + 1 = 4 (nhà)

-Số lượt chữ số để đánh số thự tự các nhà có 1 và 2 chữ số: 4 + 5  2 = 94 (lượt)

-Số lượt chữ số để đánh số thứ tự nhà có 3 chữ số: 367 – 94 = 273 (lượt)

-Số nhà có số thứ tự 3 chữ số: 273 : 3 = 91 (nhà)

Tổng số nhà: 4 + 45 + 91 = 140 (nhà)

Số nhà cuối cùng của dãy chẵn là: 140  2 = 280

Dạng 3: Các bài toán về tìm tổng các số hạng của một dãy số.

 Nếu là dãy số cách đều thì ta áp dụng công thức:

Số hạng thứ n = Số hạng thứ nhất + ( n – 1 )  khoảng cách giữa 2 số

Tổng các số hạng của dãy số:

S =

2

hạng số

các Số ) n thứ hạng Số

nhất thứ hạng Số

-Số ghế của hàng cuối: 15 + 2  ( 25 – 1 ) = 63 (ghế)

-Tổng số các ghế: ( 15 + 63 )  25 : 2 = 975 (ghế)

Dạng 4: Các bài toán về dãy chữ

b)Đến khi dừng lại, một người đếm được 2005 chữ O Hỏi người đó đếm đúng haysai ? Tại sao ?

c)Một người đếm trong dãy có 2004 chữ T Hỏi trong dãy có bao nhiêu chữ O ,bao nhiêu chữ I ?

d)Người ta tô màu các chữ cái trong dãy theo thứ tự: xanh, đỏ, tím, vàng, nâu Hỏichữ cái thứ 2005 được tô màu gì ?

Giải:

a)Ta nhận xét:

Mỗi cụm từ “ TO QUOC VIET NAM” có 13 chữ cái Cụm từ chứa chữ cái thứ

2005 là cụm từ thứ: 2005 : 13 = 154 dư 3

Vậy chữ cái thứ 2005 cũng là chữ cái thứ 3 trong cụm từ thứ 155 là chữ Q

b)Trong cụm từ “ TO QUOC VIET NAM” có 2 chữ O

Ta nhận xét: Trong cụm từ có 2 chữ O, vậy tổng số chữ O trong dãy phải là sốchẵn Người ấy đếm được 2005 chữ O là số lẻ

Kết luận: Người ấy đếm sai

c)Trong cụm từ “ TO QUOC VIET NAM” có 2 chữ T, 2 chữ O, 1 chữ I Vậy trong

1 cụm từ : Số chữ cái T = Số chữ cái O = Số chữ cái I : 2

Vậy số chữ cái O trong dãy là: 2004 (bằng số chữ cái T là 2004)

Số chữ cái I trong dãy là: 2004 : 2 = 1002

d)Gọi mỗi dãy chữ cái được tô màu: xanh, đỏ, tím, vàng, nâu là một nhóm màu

Ta có: 2005 : 5 = 401 (nhóm)

Vậy chữ cái thứ 2005 là chữ cái thứ 5 của nhóm màu 401 Đó là chữ được tô màunâu

Phần 2: Các bài toán có nội dung hình học.

Phân dạng:

Các bài toán về nhận dạng các hình hình học:

-Nhận dạng đoạn thẳng

-Nhận dạng tam giác

-Nhận dạng tứ giác

Các bài toán về chu vi và diện tích các hình:

-Vận dụng công thức tính chu vi và diện tích để giải toán

-Vận dụng phương pháp diện tích để giải toán

Các bài toán về cắt ghép hình:

-Toán về cắt hình

-Toán về ghép hình

-Cắt ghép

Các bài toán về hình học không gian

Dạng 1: Các bài toán về nhận dạng các hình hình học.

Những kiến thức cần củng cố và bổ sung:

-Khái niệm về đoạn thẳng: nối 2 điểm AB ta được đoạn thẳng AB Các điểm A và

B ta gọi là các đầu mút của đoạn thẳng đó

-Khái niệm về tam giác: tam giác ABC có 3 đỉnh là đỉnh A, đỉnh B, đỉnh C; có 3góc là góc A, góc B, góc C; có 3 cạnh là cạnh AB, cạnh BC, cạnh CA Đường vuông góc hạtừ đỉnh A xuống cạnh đối diện BC gọi là đường cao của hình tam giác Tam giác ABC có góc

A vuông gọi là tam giác vuông tại A Tam giác có 1 góc tù gọi là tam giác tù

-Khái niệm về tứ giác: Tứ giác ABCD có 4 đỉnh là đỉnh A, đỉnh B, đỉnh C và đỉnhD; 4 góc là góc A, góc B, góc C, góc D; 4 cạnh là AB, BC CD, AD

-Khái niệm về hình chữ nhật: Hình chữ nhật ABCD là hình tứ giác có 4 gócvuông Hình ABCD có 2 cạnh dài AD và BC bằng nhau; hai cạnh rộng AB và CD bằng nhau.Các cạnh dài song song với nhau, các cạnh rộng cũng song song với nhau Số đo của cáccạnh dài gọi là chiều dài, số đo của các cạnh rộng gọi là chiều rộng của hình chữ nhật đó.Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O, ta có: OA = OB = OC = OD

-Khái niệm về hình vuông: Hình vuông ABCD là một tứ giác có 4 góc vuông và 4cạnh bằng nhau Mỗi hình vuông là một hình chữ nhật Hai đường chéo AC và BD vuông gócvới nhau

-Khái niệm về hình thang: Hình thang ABCD có hai cạnh đáy BC và AD songsong với nhau BC là đáy lớn, AD là đáy nhỏ Hình thang có 1 góc vuông gọi là hình thangvuông

-Khái niệm về hình tròn: Hình tròn tâm O, bán kính r có AB là đường kính Độ dàicủa đường kính gấp 2 lần bán kính Đường bao quanh hình tròn gọi là đường tròn Đoạnthẳng nối tâm của hình tròn với một điểm trên đường tròn là bán kính Đoạn thẳng nối 2điểm trên đường tròn đi qua tâm của hình tròn là đường kính của hình tròn đó

1 Nhận dạng đoạn thẳng:

Từ đầu mút A có 4 đoạn thẳng:

Từ đầu mút B có 3 đoạn thẳng:

Từ đầu mút C có 2 đoạn thẳng:

Từ đầu mút D có 1 đoạn thẳng:

Cộng : có 10 đoạn thẳng

AB, AC, AD, AE

BC, BD, BE

CD, CEDE

Kết luận: khí nối 5 điểm đó với nhau ta được 10 đoạn thẳng

Cách 2: phương pháp quy nạp không hoàn toàn.

Ta nhận xét:

-Khi có 2 điểm nối lại thì ta được 1 đoạn thẳng: 2 = 2  ( 2 – 1 ) : 2

-Khi có 3 điểm nối lại thì ta được 3 đoạn thẳng: 3 = 3  ( 3 – 1 ) : 2

-Khi có n đoạn thẳng: ?

Vậy quy luật ở đây là : “Khi có n điểm nối lại ta được số đoạn thẳng xác định bởicông thức: S = n  ( n – 1 ) : 2

Aùp dụng công thức với n = 5 ta có:

Số đoạn thẳng : 5  ( 5 – 1 ) : 2 = 10 (đoạn thẳng)

Cách 3: phương pháp đồ thị.

Nhưng lúc này mỗi đoạn thẳng được kẻ đến 2 lần

Vậy số đoạn thẳng đếm được khi nối 5 điểm với nhau là:

Nếu trên cạnh đáy BC lấy n điểm thì đếm được ?

Vậy quy luật ở đây là : nếu trên cạnh đáy BC ta lấy n điểm, khi nối lại ta được sốtam giác là: S = 1 + 2 + 3 … n + 1 = ( n + 2 )  ( n + 1 ) : 2

Theo đề bài ta có n = 4 Số tam giác trên hình vẽ là:

( 4 + 2 )  ( 4 + 1 ) : 2 = 15 ( hình )

Cách 2: phương pháp liệt kê (quy luật tam giác có chung cạnh).

-Các tam giác có chung cạnh AB : ABC, ABD, ABE, ABM, ABN: 5

-Các tam giác có chung cạnh AD : ADC, ADE, ADM, AND : 4

-Các tam giác có chung cạnh AE : AEC, AEM, AEN : 3

-Các tam giác có chung cạnh AM : AMC, AMN : 2

Vậy tổng tam giác có trên hình vẽ là: 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15 ( hình )

Vậy có 15 tam giác ứng với 15 đoạn thẳng tìm được

Cách 4: phương pháp cắt ghép.

Theo hình vẽ ta nhận xét:

Cho tam giác ABC, nối các điểm giữa của mỗi cạnhtam giác ABC ta được tam giác thứ I Nối các điểmgiữa của mỗi cạnh tam giác thứ I ta được tam giácthứ II và cứ nối như thế cho đến khi được tam giácthứ V thì dừng lại Hỏi đếm được bao nhiêu tam giáctrên hình vẽ

Sau mỗi lần nối ta được thêm 4 hình tam giác mới Vậy sau n lần nối ta được 4 

n tam giác mới

Vậy sau 5 lần nối số hình tam giác là: 4  5 + 1 = 21 ( hình )

Ví dụ 4:

Cho hình vuông ABCD có cạnh 4cm Chia mỗi cạnh của hình vuông thành 4 phần bằng nhau rồi nối các điểm chia theo hình vẽ

a)Hỏi có bao nhiêu hình chữ nhật trên hình vẽ ?

b)Tìm tổng các chu vi và tổng các diện tích của các hình vuông tạo thành trênhình vẽ

Vậy tổng số các hình chữ nhật là: 16 + 24 + 8 + 9 + 12 + 6 + 4 + 4 + 1 = 100

b)Tính tổng chu vi của các hình:

Chu vi hình đơn: ( 1  4 )  16 = 64 ( cm )

Chu vi hình vuông ghép 4: ( 2  4 )  9 = 72 ( cm )

Chu vi hình vuông ghép 9: ( 3  4 )  4 = 48 ( cm )

Chu vi hình vuông lớn: ( 4  4 )  1 = 16 ( cm )

Vậy tổng chu vi các hình vuông là: 64 + 72 + 48 + 16 = 200 ( cm )

c)Diện tích các hình vuông:

1  1  16 + 2  2  9 + 3  3  4 + 4  4  1 = 104 ( cm2 )

Dạng 2: Các bài toán về chu vi và diện tích các hình.

A.Các bài toán giải bằng công thức tính chu vi và diện tích:

(Cần củng cố các công thức tính chu vi và điện tích của các hình: hình vuông, chữ nhật, hình thang, tam giác, hình tròn … )

a)Số hình chữ nhật trên hình vẽ:

Theo hình vẽ ta có:

-Hình đơn: 16 hình

-Ghép đôi:

1-2, 2-3, 3-4, 5-6, 6-7, 7-8, 9-10, 10-11, 11-12, 13-14, 14-15,15-16 (ghép ngang): 12 hình

1-5, 5-9, 9-13, 2-6, 6-10, 10-14, 3-7, 7-11, 11-15, 4-8, 8-12,12-16 (ghép dọc): 12 hình

Ví dụ 1: ( Giải bài toán bằng nhiều cách)

Người ta mở rộng một cái ao hình vuông về 4 phía như hình vẽ Sau khi mở rộng, diện tích ao tăng thêm 320 m2 Hỏi cần bao nhiêu cây chuối để trồng xung quanh ao mới Biết rằng cây nọ cách cây kia 3m

Cạnh cái ao hình vuông mới là: 20 + 4 = 24 ( m )

Chu vi cái ao mới: 24  4 = 96 ( m )

Số cây chuối trồng xung quanh ao là:

96 ; 3 = 32 ( cây )

Ví dụ 2: ( Giải bài toán bằng nhiều cách)

Một khu đất hình chữ nhật có chiều dài gấp hai lần chiều rộng Nếu tăng chiềurộng thêm 10m và giảm chiều dài đi 10m thì diện tích sẽ tăng thêm 100m2 Tìm diện tíchkhu đất đó

10 + 10 = 20 (m) Mà chiều dài gấp đôi chiều rộng, theo sơ đồ ta có:

320 : 4 = 80 (m )Chu vi của cái ao mới: 80 + ( 4  4 ) = 96 ( m )Số cây chuối trồng xung quanh ao là:

B C

DN

A

40cm 2 5cm

( Bạn hãy tìm ra các cách giải khác )

Ví dụ 3: ( Giải bài toán bằng nhiều cách)

Cho hình thang vuông ABCD Trên AB lấy điểm M, trên CD lấy điểm N sao cho

MN song song với hai đáy Biết BC bằng 100m, AD bằng 120m, BM bằng 30m, MA bằng70m, tìm diện tích hình thang MBCN

Diện tích tam giác BCN:

100  30 : 2 = 1500 (m2 )

Diện tích tam giác AND:

70  120 : 2 = 4200 ( m2 )

Tổng diện tích 2 tam giác: 4200 + 1500 = 5700 ( m2 )

Diện tích hình thang ABCD:(120 + 100)  ( 30 + 70 ) : 2 = 11000 (m2 )

Diện tích tam giác ABN: 11000 – 5700 = 5300 ( m2 )

8cm

Giải:

Chia phần diện tích được tô màu ra làm 2 phần bằngnhau (bằng một đường chéo hình vuông), Ta nhậnxét mỗi phần diện tích được tô màu là hiệu của ¼hình tròn bán kính 8cm và nửa hình vuông cạnh8cm Vậy diện tích cả phần tô màu là hiệu của ½hình tròn bán kính 8cm và hình vuông cạnh 8cm

P

M A

B C

Diện tích của ½ hình tròn: 8  8  3,14 : 2 = 100,48 (cm2)

Diện tích hình vuông: 8  8 = 64 (cm2)

Diện tích phần tô màu: 100,48 – 64 = 36,48 (cm2)

B.Các bài toán giải bằng vận dụng phương pháp diện tích:

1.Khái niệm về phương pháp diện tích:

Phương pháp diện tích là một phương pháp giải toán dùng để giải các bài toán vềtính diện tích mà không dùng các công thức về diện tích Khi giải các bài toán bằng phươngpháp diện tích ta thường vận dụng các tính chất dưới đây của diện tích:

-Tính chất 1: Nếu một hình được chia thành các hình nhỏ thì tổng diện tích của cáchình nhỏ thu được bằng diện tích của hình lớn ban đầu

-Tính chất 2: Nếu ghép các hình nhỏ lại để được một hình lớn thì diện tích củahình lớn thu được sẽ bằng tổng diện tích các hình nhỏ đem ghép lại

-Tính chất 3: Nếu thêm vào 2 hình có diện tích bằng nhau cùng một hình thì haihình mới thu được cũng có diện tích bằng nhau

-Tính chất 4: Nếu bớt đi ở 2 hình có diện tích bằng nhau một phần chung thì phầncòn lại của chúng cũng có diện tích bằng nhau

-Tính chất 5: Nếu diện tích của tam giác không đổi thì số đo chiều cao và cạnhđáy của tam giác đó là hai đại lượng tỉ lệ nghịch

-Tính chất 6: Nếu số đo cạnh đáy của một tam giác không đổi thì diện tích và số

đo đường cao của tam giác đó là hai đại lượng tỉ lệ thuận

-Tính chất 7: Nếu số đo đường cao của một tam giác không đổi thì diện tích và số

đo cạnh đáy của tam giác đó là hai đại lượng tỉ lệ thuận

-Tính chất 8: Nếu hai tam giác có cùng số đo đường cao và cạnh đáy thì chúng códiện tích bằng nhau

Ví dụ 1:

Cho tam giác ABC có diện tích 100cm2 Kéo dài cạnh AB một đoạn BM =

AB, BC một đoạn CN = BC và CA một đoạn AP = AC Nối M, N, P Tính diện tích tam giác MNP.

Giải:

Nối BP, xét hai tam giác ABC và APB ta thấy chúng cócạnh đáy CA = AP và có cùng chiều cao từ đỉnh B kẻxuống cạnh đáy CP nên 2 tam giác trên có diện tíchbằng nhau: SABC = S APB = 100cm2 Chứng minh tương tự