chuyên đề toán sơ cấp

CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN SƠ CẤPCHUYÊNĐỀ 1: SỬ DỤNG SỐ VÔ TỶ TRONG GIẢI TOÁN Các bạn học sinh THCS được làm quen với số vô tỷ từ lớp 7 ,nhưng sử dụng số vô tỷ để giải toán lại là một công việc

CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN SƠ CẤP

CHUYÊNĐỀ 1: SỬ DỤNG SỐ VÔ TỶ TRONG GIẢI TOÁN Các bạn học sinh THCS được làm quen với số vô tỷ từ lớp 7 ,nhưng sử dụng số vô tỷ để giải toán lại là một công việc còn mới mẻ bởi các em rất ít được làm quen với bài toán dạng này Với kién thức về số vôtỷ ở THCS ta có thể giải được một số bài toán hay và khó với lời giải ngắn gọn và đẹp

TRƯỚC HẾT CẦN CHÚ Ý : Nếu a là số nguyên dương không chính phương thì a là một số vô tỷ

MỘT SỐ BÀI TOÁN ỨNG DỤNG :

BÀI TOÁN 1: Cho a,b,c là các số hữu tỷ và a ≠ 0 chứng minh rằng nếu x = m - n 2là nghiệm của phương trình ax2+bx +c = 0 (1) thì x = m – n 2 cũng là nghiệm của phương trình đó

LỜI GIẢI :Do x = m+ n 2 là nghiệm của (1) nên a(m + n 2)2 + b (m + n 2)+c= 0  ( am2 + 2an2 + bm + cn )+(2amn + bn) 2) = 0 (1’)

Nếu 2amn + bn  0 thì từ (1’)  2 =

bn amn

c bm an am







 2

2 2 2

khi đó vế trái là số

vô tỷ ,vế phải là số hữu tỷ Điều này vô lý vậy 2amn + bn = 0 từ (1’)  am2 + 2an2+bm + c = 0

Do đó a( m – n 2)2 + b( m – n 2)2 + c = (am2 + 2an2 +bm + c) – (2amn + bn) 2=0

Vậy x = m – n 2 cũng là nghiệm của (1)

BÀI TOÁN 2 : tìm các số hữu tỷ x,y thỏa mãn 2 3  3 = x 3 - y 3 (2) LỜI GIẢI : Do 2 3  3 > 0 nên x > y ≥ 0 Ta có

(2)  2 3- 3 = x 3 + y 3 - 2 3xy

 (x+y-2) 3 = 2 3xy - 3 (2’)  (x+y-2)23 = 12xy - 12 3xy + 9

 3xy =

4

3 4 ) 2









nếu x+y-2 ≠ 0 thì từ (2’) suy ra 3 =

2

3 3 2







y x

xy

khi đó vế trái là số vô tỷ vế phải là

số hữu tỷ , điều này vô lý vậy x+y-2 =0 từ (2’) suy ra 2 3xy - 3 = 0 do x> y ≥ 0 nên suy ra x =

2

3

, y =

2

1

( thỏa mãn x> y ≥ 0 )

BÀI TOÁN 3 : Cho bát giác lồi có các góc bằng nhau Độ dài các cạnh là các số nguyên dương Chứng minh rằng các cạnh đối của bát giác đó bằng nhau

LỜI GIẢI : Gọi bát giác đều làABCDEFGH Đường thẳng AB lần lượt cặt cắt các đường thẳng HG và CD tại M,N Đường thẳng EF lần lượt cắt các đường thẳng HG,CD tại P ,Q (hình vẽ) do các góc của bát giác bằng nhau nên mỗi góc trong của nó là

8

180 ) 2 8



=1350 Từ đó suy ra mỗi góc trong của tứ giác là

1800 – 1350 = 450 Do đó các tam giác

MAH , NBC , PDE , QGF là các tam giác vuông cân và tứ giác MNPQ là hình chữ nhật

Gọi độ dài các cạnh AB,BC,CD,DE, EF,FG,GH,HA theo thứ tự là a,b,c,d,e,f,g,h (với a,b,c,d,e,f,g,h là các số nguyên dương )

Suy ra MA = MH =

2

h

, NB = NC =

2

b

, PD = PE =

2

d

, QG = QF =

2

f

Ta có MN = PQ nên h a b  f e d  (e a) 2 hb f  d

2 2

2 2

a e

d f b h













chứng minh tương tự ta có c = g , b = f , d = h

BÀI TOÁN 4 :Cho 2 thùng Avà B đựng nước với dung tùy ý và 2 các gáo với dung tích lần lượt là 2lít và 2- 2lít Hỏi có thể dùng 2 gáo đó để chuyển 1 lít nước từ thùng này sang thùng kia hay không?

LỜI GIẢI :

Gỉa sử có thể dùng gáo 1(dung tích 1 lít ) và gáo 2( dung tích 2- 2) lít để chuyển 1 lít nước từ thùng A sang thùng B bằng cách đong m lít gáo 1 và n lít gáo 2 (m,nN)

Với qui ước m>0 nếu đong từ Asang B và m<0 nếu đong từ B sang A Tương tự với n

Ta có :

m 2 n( 2  2 ) = 1  (n-m) 2 = 2n-1 nếu m ≠ n thì m=n= Q

2

1

(vô lý )

m n

n







 2 1

vậy không thể dùng 2 gáo trên để chuyển 1 lít nước từ thùng này sang thùng kia

CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP :

BÀI 1: Tìm nghiệm nguyên của phương trình :

2 1 3 4 1 2

5

11











 x y y x

BÀI 2: Chứng minh số 99999 + 111111 3 không thể biểu diễn được dưới dạng (A+B

3)2 với A,B là các số nnguyên

BÀI 3 :Chứng minh rằng số 10n 2  với n=0,1,2,3,… từng đôi một khác nhau

 a ký hiệu chỉ phần lẻ của số thực a

CHUYÊN ĐỀ 2 : SỬ DỤNG CÔNG THỨC ĐƯỜNG PHÂN GIÁC VÀO VÀO GIẢI TOÁN

ĐẶT VẤN ĐỀ : Sử dụng định lý ta-lét và tam giác đồng dạng ta có thể tính được độ dài đường phân giác trong tam giác theo độ dài cạnh của tam giác Các công thức về độdài đường phân giác sẽ giúp ta giải được nhiều bài toán lý thú

BÀI TOÁN MỞ ĐẦU:

Xét tam giác ABC Với các cạnh BC=a , AC=b ,AB=c gọi 3 đường phân giác trong của

 ABC là AD = da BE = db CF = dc

CÔNG THỨC ĐƯỜNG PHÂN GIÁC CỦA TAM GIÁC

Để tính độ dài AD theo ,a,b,c trước hết tính BD,CD Theo tính chất đường phân giác trong ta có :

c b

a c b

BC c

b

CD BD b

CD c

BD















c b

ac

 (1) và

CD =

c b

ab

 (2) trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa A dựng tia CK Sao cho BCK  BAD tia CK cắt tia AD tại K (Hình 1)

Ta có ADB CDK và ABD CKD Suy ra ABD đồng dạng với

CKD

KD

CD BD

AD







ABD

AC

AK AD

AB





thức trên ta có : AD.AK-AD.DK = AB.AC-BD.CD Chú ý rằng AK-DK= AD

Nên AD2 = AB.AC – BD.CK Hay da = bc – BD.CD (3)

Từ (1) , (2) , (3) suy ra da = bc - 2

2

) (b c

bc a

 (4) Hay da = bc(1- 2

2

) (b c

a

 ) (5)

Để ý rằng (b+c)2 – a2 = (b+c-a)(b+c+a) = 2p(2p-2a) = 4p(p – a) nên từ (5) ta có

) (

2 )

(

) (

4

2

c b

hayd c

b

bc a p

p









Từ (4) (5) (6) với chú là (b+c)2  4bc ta có các bất đẳng thức đối với độ dài các đường phân giác trong của tam giác :

bc - a d a2 bc

2

4 (7) ; d a2 p(p a) (8) đẳng thức ở (8) xảy ra khi

AB=AC Dối với da,db ta cũng có các công thức tương tự

MỘT SỐ BÀI TOÁN VẬN CÔNG THỨC ĐƯỜNG PHÂN GIÁC

BÀI TOÁN 1 :

Gọi da,db,dc là độ dài 3 đường phân giác của tam giác ABC với p = AB+BC+CA

Chứng minh rằng :

a, ab+bc+ca - ( 2 2 2 ) 2 2 2 2

4

1

p d d d c b

a    a  b  c 

b, da+db+dc p 3

LỜI GIẢI :

a, Từ công thức (8) ta có da +db +dc  p(p-a)+p(p-b)+p(p-c) = 3p2-2p2=p2

4

1 2 2 2

c b a ca bc



b, áp dụng BĐT bunhiacopxki va (a) tacó (da+db+dc)2 2 2 2 2

3 ) (

3 d a d b d c  p

ra điều cần chứng minh

Đẳng thức ở (a) xảy ra cũng như ở (b) xảy ra khi a=b=c hay tamgiác ABCđều

BÀI TOÁN 2: Gỉa sử đường phân giác trong BE , CF của tam giác ABC cắt đường tròn ngoại tiếp tmam giác ABC tại M,N chứng minh rằng EM=FN thì tam giác ABCcân tại A

LỜI GIẢI :

Sử dụng tính chất các góc nội tiếp ta có : ABC đồng dạng MCE nên

CE

ME BE

AE



(9)

 ACF đồng dạng tam giác  NBF nên

BF

NF CF

AF

 (10 )

Từ (9) (10)và sử dụng (1) (2) (6) ta được

2

b c a b c a ac c a

ca b BE

CE

AE











2

c b a c b a ab b a

ba c CF

BF

AF











ac.(a+c) ac(abc)(ac b) = ab.(a+b) ab(abc)(ab c)

từ đó suy ra c(a+c) c(ac b) = a(a+b) b(ab c) suy ra

b3(a+b)2(a+b-c)- c3(a+c)2(a+c-b) = 0

 ((b-c)(a+b+c)[b2(a+b)(a+b-c)+c2(a+c)(a+c-b) +bc(a+b)(a+c)] = 0  b = c Hay AB = AC

BÀI TOÁN 3 : cho tam giác ABC ,biết rằng 2 phaan giác BE và CF bằng nhau chứng minh rằng ABC là tam giác cân

LỜI GIẢI : Sử dụng công thức (4) theo giả thiết ta có db= dc  db = dc

0 ) ( ) (

[ )

( )

2 2

2



























c a

b b

a

c bc b c b a

ab c ab c

a

ac

b

ac

0 )

( ) (

( 2 ) (

2 2 2

3 3























c a b a

b c a b c a b c

bc

b

c

b c c

a b a

b c a a b cb c bc

b



















) ( ) (

) ( 2 1

)[

2 2 2

hay AB = AC Một số bài toán luyện tập BÀI 1 Chứng minh rằng minh rằng da..db.dc pS

BÀI 2 Chứng rằng da+db +dc  3 3S