C là một điểm thay đổi trên đường tròn C khác A và B, kẻ CH vuông góc với AB tại H.. Gọi I là trung điểm của AC, OI cắt tiếp tuyến tại A của đường tròn O;R tại M, MB cắt CH tại K.[r]
Trang 1PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO
HUYỆN TRỰC NINH
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI
MÔN: TOÁN - LỚP 9
Thời gian làm bài 120 phút không kể thời gian giao đề
Đề thi có 01 trang
Bài 1: (4,0 điểm)
Cho biểu thức
1 x
Với
4 a) Rút gọn biểu thức A
b) Tính giá trị của A khi x 17 12 2
c) So sánh A với A
Bài 2: (3,5 điểm) Chứng minh rằng:
b
Biết a; b; c là 3 số thực thỏa mãn điều kiện:
a = b + 1 = c + 2 ; c >0
b) Biểu thức
2 2
2
có giá trị là một số tự nhiên
Bài 3: (3,0 điểm) Giải phương trình
a) x2 3x 2 x 3 x 2 x22x 3
b)
5
Bài 4.(8,0 điểm)
Cho AB là đường kính của đường tròn (O;R) C là một điểm thay đổi trên đường tròn (C khác A và B), kẻ CH vuông góc với AB tại H Gọi I là trung điểm của AC, OI cắt tiếp tuyến tại A của đường tròn (O;R) tại M, MB cắt CH tại K
a) Chứng minh 4 điểm C, H, O, I cùng thuộc một đường tròn
b) Chứng minh MC là tiếp tuyến của (O;R)
c) Chứng minh K là trung điểm của CH
d) Xác định vị trí của C để chu vi tam giác ACB đạt giá trị lớn nhất? Tìm giá trị lớn nhất đó theo R
Bài 5: (1,5 điểm) Cho M 3 22008 3 22008
a) Chứng minh rằng M có giá trị nguyên
b) Tìm chữ số tận cùng của M
Chú ý: Thí sinh không được sử dụng máy tính.
Hết
Trang 2Số báo danh : ……… Chữ ký giám thị 2:……….
Trang 3HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 9
Bài 1 (4 điểm)
a) Rút gọn biểu thức (2 điểm)
:
2 x 1
:
: 2 x 1 :
:
x
0.5
0.5 0.25 0.25 0.5
b) Tính giá trị của A khi x17 12 2 (1 điểm).
Tính x17 12 2 3 2 2 2 x 3 2 2 2 3 2 2 3 2 2
0.5 0.5
c) So sánh A với A(1 điểm).
Biến đổi
Chứng minh được
1
x
với mọi
1
4
1
x
0.25 0.25
0.5
Bài 2 (3 điểm)
a) Chứng minh rằng 2 a b 1 2 b c
b
biết a; b; c là ba số thực thoả mãn điều
Trang 4kiện a = b + 1 = c + 2 ; c > 0 (2 điểm).
Ta có: a b 1 a b 1 ab 1
b 1 c 2 b c 1 b c 0 2 (c > 0 theo (gt))
Từ (1) và (2) suy ra a > b > c > 0
Mặt khác a b 1 a b a b 1 a b 1 1
(Vì a >b>0)
b
Chứng minh tương tự cho trường hợp: 1 2 b c
Vậy 2 a b 1 2 b c
b
(đpcm)
0.5 0.25 0.25
0.5 0.25 0.25
b) Biểu thức
2 2
2
có giá trị là một số tự nhiên (1 điểm).
2 2
2 2
2
2
Vậy B có giá trị là một số tự nhiên
0.5 0.75 0.25
Bài 3 (3điểm) Giải phương trình
a) x2 3x 2 x 3 x 2 x22x 3 (1.75 điểm)
x 1 x 2 x 3 x 2 x 1 x 3 1
Điều kiện
x = 2 thoả mãn điều kiện xác định Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 2
0.5 0.25
0.25 0.5 0.25
b)
x 3
5
(1) (1.25 điểm).
Trang 5Điều kiện
2 x
3
1
(Vì
2
x
3
nên x + 3 > 0)
Giải tiếp phương trình (2) ta được nghiệm của phương trình là x = 2
0.25 0.25 0.25
0.5
Bài 4 (8 điểm)
1) Chứng minh 4 điểm C, H, O, I cùng thuộc một đường tròn (2 điểm)
Chứng minh OI AC
Suy ra OIC vuông tại I suy ra I thuộc đường tròn đường kính OC
CHAB (gt) CHO vuông tại H H thuộc đường tròn đường kính OC
Suy ra I, H cùng thuộc đường tròn đường kính OC hay C, I, O, H cùng thuộc một đường tròn
0.75 0.25 0.75 0.25
2) Chứng minh MC là tiếp tuyến của đường tròn (O; R) (2 điểm)
- Chứng minh AOM COM
- Chứng minh AOM = COM
- Chứng minh MCCO
MC là tiếp tuyến của (O; R)
0.75 0.75 0.25 0.25
3) Chứng minh K là trung điểm của CH ( 2 điểm)
MAB có KH//MA (cùng AB)
KH
AM AB AB 2R (1) Chứng minh cho CB // MO AOMCBH (đồng vị)
C/m MAO đồng dạng với CHB
CH
CH HB AO R (2)
1
0.75
K
M
I
C
A
Trang 6Từ (1) và (2) suy ra CH = 2 KH CK = KH K là trung điểm của CH 0.25 4) Xác định vị trí của C để chu vi ACB đạt giá trị lớn nhất? Tìm giá trị lớn nhất đó
Chu vi tam giác ACB là PACB ABACCB 2RACCB
Ta lại có
(Pitago)
2
Đẳng thức xảy ra khi AC = CB M là điểm chính giữa cung AB
Suy ra PACB 2R2R 2 2R 1 2
, dấu "=" xảy ra khi M là điểm chính giữa cung AB Vậy max PACB 2R 1 2
đạt được khi M là điểm chính giữa cung AB
0.5
0.75 0.25 0.25 0.25
Bài 5 (1,5 điểm)
a) Chứng minh giá trị của M là một số nguyên (1 điểm)
Biến đổi M5 2 6 10045 2 6 1004
Đặt a 5 2 6 ; b 5 2 6 a b 10 và a.b 1
Đặt Un an bn với n N Khi đó M = U1004
Ta có n 2 n 2 n 1 n 1 n 1 n 1
n 2
n 1 n 1 n n
n 1 n
(vì ab = 1)
Ta thấy U0 = 2 Z ; U1 = a + b = 10 Z
2
Theo công thức (*) thì U3 10U2 U1 mà U1, U2 Z suy ra U3Z
Lại theo (*) U4 10U3 U2 cũng có giá trị nguyên
Quá trình trên lặp đi lặp lại vô hạn suy ra Un có giá trị nguyên với mọi n N*
Suy ra M = U1004 có giá trị là một số nguyên
0.25
0.25
0.25 0.25
a)Tìm chữ số tận cùng của M (0.5 điểm)
Từ (*) suy ra Un 2 Un 10Un 1 10
có chữ số tận cùng giống nhau
1004 = 4.251 suy ra U1004 và U0 có chữ số tận cùng giống nhau
Mà U0 có chữ số tận cùng là 2 (theo c/m câu a) nên M có chữ số tận cùng bằng 2
0.25 0.25
Chú ý: 1 Nếu thí sinh làm bài bằng cách khác đúng thì vẫn cho điểm tương đương.
2 Điểm toàn bài không được làm tròn.