GIẢI TÍCH LŨY ĐẲNG
Độ đo và tích phân lũy đẳng 5
Chương 2: Ánh xạ trong các nửa mô đun lũy đẳng: trình bày các lớp ánh xạ quan trọng trong Giải tích lũy đẳng gồm ánh xạ khả nghịch và ánh xạ compact
2.1 Ánh xạ trên không gian hàm liên tục có giá trị trong nửa mô đun
2.2 Ánh xạ khả nghịch và ánh xạ compact
Chương 1 GIẢI TÍCH LŨY ĐẲNG
Giải tích lũy đẳng được xây dựng trên khái niệm của nửa vành lũy đẳng
1.1 Nửa nhóm lũy đẳng và nửa vành lũy đẳng
Nửa nhóm lũy đẳng là một tập hợp rỗng M với phép toán ⊕ giao hoán, thỏa mãn hai điều kiện chính: đầu tiên, phần tử trung lập 0 có tính chất 0 ⊕ a = a cho mọi a ∈ M; thứ hai, điều kiện lũy đẳng yêu cầu a ⊕ a = a với mọi a ∈ M.
- 3 Quan hệ thứ tự bộ phận trên một nửa nhóm lũy đẳng được định nghĩa bởi: a≤ ⇔ ⊕ =b a b a
: tính phản đối xứng của ≤
Phần tử trung lập 0 là phần tử lớn nhất ( a≤ ∀ ∈0, a M ).
Ghi chú: Nếu mọi cặp điểm trong tập hợp sắp thứ tự bộ phận M đều có inf thì ta có thể định nghĩa phép toán lũy đẳng a ⊕ = b inf { } a b , (1.1)
Quan hệ thứ tự ngược lại, liên quan đến phép toán nửa nhóm, cho bởi công thức: a⊕ =b sup{ } a b,
Nửa vành lũy đẳng của nhóm lũy đẳng M được xác định bằng cách bổ sung một phép toán kết hợp , trong đó phần tử đơn vị 1 thỏa mãn điều kiện 1a = a cho mọi a ∈ M Hơn nữa, phép toán phải phân phối với phép toán ⊕, đảm bảo tính nhất quán trong cấu trúc toán học của nửa vành lũy đẳng.
Tính phân phối ii kéo theo tính chất thứ tự bộ phận: ∀ a b c , , a ≤ ⇔ b a c ≤ b c
- Một nửa vành lũy đẳng M được gọi là giao hoán (abel) nếu phép toán giao hoán
Một nửa nhóm (nửa vành) lũy đẳng M được gọi là nửa nhóm (nửa vành) lũy đẳng metric nếu tồn tại một metric ρ : M × M → thỏa mãn các điều kiện sau: i Phép toán ⊕ (tương ứng với phép toán ) liên tục đều trên tập sắp thứ tự bị chặn trong không gian tô pô sinh bởi metric ρ; ii Định nghĩa ρ ( a ⊕ b c , ⊕ d ) ≤ max ( ρ ( ) ( ) a c , , ρ b d , ) (tiên đề minimax); iii ( ).
Tiên đề minimax kéo theo tính liên tục đều của ⊕ và bất đẳng thức minimax:
⊕ ⊕ n i n j i i i i j a b a b với π là các hoán vị của tập { 1, , n }
Do metric ρ đơn điệu nên mọi tập sắp thứ tự bị chặn là bị chặn theo metric
- Cho tập hợp X , M = ( M , , ⊕ ρ ) nửa nhóm lũy đẳng metric
Tập B X M ( , ) các ánh xạ bị chặn (có miền giá trị sắp thứ tự bị chặn) từ X vào M là nửa nhóm lũy đẳng metric với phép toán ⊕ theo từng điểm (ϕ ψ⊕ )( ) x =ϕ( ) x ⊕ψ( ) x ,
∀ ∈ , x∈X , quan hệ thứ tự bộ phận tương ứng, metric đều
- Cho tập hợp X , A = ( A , , , ⊕ ρ ) nửa vành lũy đẳng metric
Tập B X A ( , ) mang cấu trúc của nửa mô đun – A; phép nhân các phần tử thuộc A xác định trên B X A ( , ) như sau:
(Nửa mô đun – A là không gian các hàm có giá trị trên A (bị chặn) trên X )
Nếu X là không gian tô pô thì ký hiệu C X A ( , ) là nửa mô đun con của các hàm liên tục trong B X A ( , )
Nếu X hữu hạn, X ={ x 1, ,x n },n∈, thì C X A ( , ) và B X A ( , ) trùng nhau và có thể đồng nhất với nửa mô đun A n = { ( a 1 , , a n ) : a j ∈ A }
Mọi vectơ a ∈ A n biểu diễn duy nhất dưới dạng tổ hợp tuyến tính ( )
Hệ cơ sở chuẩn của A^n được biểu diễn bởi { e_j, j = 1, , n }, trong đó e_j = (0, 0, , 1, , 0) Tương tự như trong đại số tuyến tính, chúng ta có thể chứng minh rằng mọi phép đồng cấu m_A: n → A, hay còn gọi là các hàm tuyến tính trên A^n, đều có dạng nhất định.
=⊕ n i i i m a m a , m i ∈A Do đó, nửa mô đun của các hàm tuyến tính trên A n là đẳng cấu với A Tương tự, mọi phép tự đồng cấu
H A →A (ánh xạ tuyến tính trên A n ) có dạng( )
Ha h a , xác định bởi ma trận cấp n n × có giá trị trên A
Nếu A n là không gian Euclide, ta xác định tích vô hướng trên A n có dạng:
Tích vô hướng (1.4) là một dạng song tuyến tính trên A n đối với phép toán ⊕ và , và hệ cơ sở chuẩn của A n là trực chuẩn , 1
Ví dụ 1.1 trình bày một cấu trúc nửa vành lũy đẳng metric với A = ∪ +∞ { } và phép toán ⊕ được định nghĩa là max, trong đó = +, phần tử trung lập là 0 = +∞ và phần tử đơn vị là 1 = 0 Metric ρ(a, b) được xác định bởi công thức e^(-a) - e^(-b) Đây là một ví dụ đơn giản nhưng quan trọng về nửa vành lũy đẳng metric.
Ví d ụ 1.1’ A = ∪ −∞ { } với phép toán ⊕ = min , = + Khi đó, nửa vành lũy đẳng này đẳng cấu với nửa vành lũy đẳng metric trong ví dụ 1.1
Ví dụ 1.2 cho thấy rằng nửa vành lũy đẳng A = + với phép toán ⊕ = min và = × là đẳng cấu với nửa vành lũy đẳng metric trong ví dụ 1.1 Phép đẳng cấu được xác định bởi ánh xạ x exp x ( ).
Ví d ụ 1.3 A= ∪ ±∞ { } với phép toán ⊕ = min , =max, phần tử trung lập 0 = +∞, phần tử đơn vị 1 = −∞và metric ρ( ) a b, = arctana−arctanb
Trong ví dụ 1.4, chúng ta xem xét thứ tự Pareto ngược, trong đó n + đại diện cho nửa vành lũy đẳng với phép cộng ⊕ tương ứng với thứ tự này Phép nhân được xác định theo cách cụ thể trong (1.1).
Tập con của một tập hợp cho trước có dạng nửa vành lũy đẳng với phép toán ⊕ là phép hợp tập hợp và là phép giao tập hợp Các nửa vành này có nhiều dạng metric khác nhau Chẳng hạn, nếu các tập con là compact trong một không gian metric, thì metric sẽ là metric Hausdorff Ngoài ra, nếu các tập con là đo được trong một không gian độ đo hữu hạn, thì metric có thể được xác định như độ đo của sai phân đối xứng.
Ví d ụ 1.6 Nửa vành của tự đồng cấu các nửa nhóm lũy đẳng.
Cho M =( M , ,⊕ ρ) là nửa nhóm lũy đẳng metric; E = End M ( )
Trên E xác định phép cộng ⊕ theo từng điểm ( h ⊕ g )( ) ( ) a = h a ⊕ g a ( ); phép nhân
là phép hợp các ánh xạ ( h g )( ) a = h g a ( ( ) ) Phần tử trung lập là tự đồng cấu hấp thụ 0 E với 0 E ( ) a = ∀ ∈0 a M và phần tử đơn vị là tự đồng cấu đồng nhất 1 E với
1 Khi đó ( E , , ⊕ ) là nửa vành lũy đẳng Ví dụ như:
Cho M = ∪ +∞ { } là nửa nhóm lũy đẳng metric với phép toán ⊕ = min và metric
( ) a b , e a e b ρ = − − − Khi đó E = End M ( ) là tập các ánh xạ đơn điệu liên tục của M
Cho M thỏa điều kiện cộng tính mà mọi quả cầu B R = { a ∈ M :ρ( ) a , 0 ≤ R } là compact Trên E = End M ( ) xác định metric ( ) ( )
( , ) { ( ( ) ( ) , ) : } n h g sup h a g a a B n ρ = ρ ∈ Các tiên đề minimax (1.2) và tiên đề đơn điệu (1.3) thỏa mãn (kiểm tra trực tiếp) Nên ( E , , , ⊕ ρ ) là nửa vành lũy đẳng metric
Ví d ụ 1.7 Nửa vành của tự đồng cấu các hàm nửa chuẩn (ánh xạ tuyến tính)
Một ánh xạ tuyến tính trên B X A ( , ) (hoặc trên C X A ( , ) ⊂ B X A ( , ) ) là một ánh xạ liên tục H B X A : ( , ) → B X A ( , ) (hoặc H C X A : ( , ) → C X A ( , ) ) thỏa mãn:
H ah⊕bg =aH h ⊕bH g với mọi hàm h g , ; với mọi hằng số a b ,
Các ánh xạ nêu trên tạo thành nửa vành lũy đẳng metric với phép cộng ⊕ theo từng điểm Phép nhân được định nghĩa là phép hợp các ánh xạ, trong khi metric là khoảng cách giữa hai ánh xạ, được xác định theo một công thức cụ thể.
Phép nhân các phần tử của A chuyển nửa vành các ánh xạ thành nửa đại số, lũy đẳng của đại số von Neumann
Với tập hợp hữu hạn X = {x1, , xn}, BXA(,) tương đương với An, và ánh xạ nửa đại số là đẳng cấu với nửa đại số của các ma trận n × n có giá trị trên A.
Với các ma trận này, sự hội tụ theo metric tương đương với sự hội tụ mạnh, điều này được chứng minh trực tiếp Metric trên A thỏa mãn tiên đề minimax và tính liên tục đều.
⊕ , ) Từ đó, sự hội tụ mạnh tương đương với sự hội tụ tọa độ từng điểm Do đó, với mọi ma trận B B k , có:
Ví d ụ 1.8 Nửa vành tích chập
Cho X là một nhóm tô pô và A là nửa vành lũy đẳng trong đó mọi tập con bị chặn đều có inf Trên B X A ( , ) xác định lũy đẳng của tích chập bởi:
(1.5) Phép toán trên chuyển B X A ( , ) thành nửa vành lũy đẳng, được gọi là nửa vành tích chập
1.2 Định lý cơ bản của Giải tích lũy đẳng a 1 Đầu tiên, nhắc lại một số định nghĩa, định lý về các tập sắp thứ tự
M là một tập hợp thứ tự bộ phận không nghiêm ngặt, trong đó quan hệ ≤ thỏa mãn tính phản xạ, tính bắc cầu và tính phản đối xứng Tập M được gọi là tập có hướng tăng (hoặc giảm) nếu
Trong lý thuyết tập hợp, c được xem là cận trên (hoặc cận dưới) của tập con Π ⊂ M nếu c lớn hơn hoặc bằng tất cả các phần tử p trong Π (hoặc c nhỏ hơn hoặc bằng tất cả các phần tử p trong Π) Hơn nữa, c được coi là cận trên nhỏ nhất (hoặc cận dưới lớn nhất) của Π nếu c là một cận trên (hoặc cận dưới) và nhỏ hơn hoặc bằng mọi cận trên khác (hoặc lớn hơn hoặc bằng mọi cận dưới khác).
- Tập E ⊂ M bị chặn trên (bị chặn dưới) nếu E có cận trên (cận dưới)
ÁNH XẠ TRONG CÁC NỬA
Ánh x ạ khả nghịch và ánh xạ compact
Chương 1 GIẢI TÍCH LŨY ĐẲNG
Giải tích lũy đẳng được xây dựng trên khái niệm của nửa vành lũy đẳng
1.1 Nửa nhóm lũy đẳng và nửa vành lũy đẳng
Nửa nhóm lũy đẳng là một tập hợp M không rỗng, được trang bị phép toán giao hoán ⊕ và thỏa mãn hai điều kiện chính: Thứ nhất, phần tử trung lập 0 có tính chất 0 ⊕ a = a cho mọi a thuộc M; Thứ hai, điều kiện lũy đẳng yêu cầu a ⊕ a = a cho mọi a thuộc M.
- 3 Quan hệ thứ tự bộ phận trên một nửa nhóm lũy đẳng được định nghĩa bởi: a≤ ⇔ ⊕ =b a b a
: tính phản đối xứng của ≤
Phần tử trung lập 0 là phần tử lớn nhất ( a≤ ∀ ∈0, a M ).
Ghi chú: Nếu mọi cặp điểm trong tập hợp sắp thứ tự bộ phận M đều có inf thì ta có thể định nghĩa phép toán lũy đẳng a ⊕ = b inf { } a b , (1.1)
Quan hệ thứ tự ngược lại, liên quan đến phép toán nửa nhóm, cho bởi công thức: a⊕ =b sup{ } a b,
Nửa nhóm lũy đẳng M được gọi là nửa vành lũy đẳng khi M được trang bị thêm một phép toán kết hợp, trong đó phần tử đơn vị 1 thỏa mãn điều kiện 1a = a cho mọi a ∈ M Hơn nữa, phép toán phải phân phối với phép toán ⊕.
Tính phân phối ii kéo theo tính chất thứ tự bộ phận: ∀ a b c , , a ≤ ⇔ b a c ≤ b c
- Một nửa vành lũy đẳng M được gọi là giao hoán (abel) nếu phép toán giao hoán
Nửa nhóm lũy đẳng M được gọi là nửa nhóm lũy đẳng metric nếu tồn tại một metric ρ : M × M → thỏa mãn các điều kiện: đầu tiên, phép toán ⊕ (tương ứng với phép toán ) phải liên tục đều trên tập sắp thứ tự bị chặn trong không gian tô pô sinh bởi metric ρ Thứ hai, metric ρ phải thỏa mãn tiên đề minimax, tức là ρ(a ⊕ b, c) ≤ max(ρ(a, c), ρ(b, d)).
Tiên đề minimax kéo theo tính liên tục đều của ⊕ và bất đẳng thức minimax:
⊕ ⊕ n i n j i i i i j a b a b với π là các hoán vị của tập { 1, , n }
Do metric ρ đơn điệu nên mọi tập sắp thứ tự bị chặn là bị chặn theo metric
- Cho tập hợp X , M = ( M , , ⊕ ρ ) nửa nhóm lũy đẳng metric
Tập B X M ( , ) các ánh xạ bị chặn (có miền giá trị sắp thứ tự bị chặn) từ X vào M là nửa nhóm lũy đẳng metric với phép toán ⊕ theo từng điểm (ϕ ψ⊕ )( ) x =ϕ( ) x ⊕ψ( ) x ,
∀ ∈ , x∈X , quan hệ thứ tự bộ phận tương ứng, metric đều
- Cho tập hợp X , A = ( A , , , ⊕ ρ ) nửa vành lũy đẳng metric
Tập B X A ( , ) mang cấu trúc của nửa mô đun – A; phép nhân các phần tử thuộc A xác định trên B X A ( , ) như sau:
(Nửa mô đun – A là không gian các hàm có giá trị trên A (bị chặn) trên X )
Nếu X là không gian tô pô thì ký hiệu C X A ( , ) là nửa mô đun con của các hàm liên tục trong B X A ( , )
Nếu X hữu hạn, X ={ x 1, ,x n },n∈, thì C X A ( , ) và B X A ( , ) trùng nhau và có thể đồng nhất với nửa mô đun A n = { ( a 1 , , a n ) : a j ∈ A }
Mọi vectơ a ∈ A n biểu diễn duy nhất dưới dạng tổ hợp tuyến tính ( )
Hệ cơ sở chuẩn của A n được ký hiệu là { e j , j = 1, , n }, với e = 0 0 1 0 Tương tự như trong đại số tuyến tính, chúng ta có thể chứng minh rằng mọi phép đồng cấu m A : n → A, hay còn gọi là các hàm tuyến tính trên A n, đều có dạng nhất định.
=⊕ n i i i m a m a , m i ∈A Do đó, nửa mô đun của các hàm tuyến tính trên A n là đẳng cấu với A Tương tự, mọi phép tự đồng cấu
H A →A (ánh xạ tuyến tính trên A n ) có dạng( )
Ha h a , xác định bởi ma trận cấp n n × có giá trị trên A
Nếu A n là không gian Euclide, ta xác định tích vô hướng trên A n có dạng:
Tích vô hướng (1.4) là một dạng song tuyến tính trên A n đối với phép toán ⊕ và , và hệ cơ sở chuẩn của A n là trực chuẩn , 1
Ví dụ 1.1 trình bày cấu trúc nửa vành lũy đẳng metric với A = ∪ +∞ { } và phép toán ⊕ = max, trong đó ε = +, phần tử trung lập là 0 = +∞, phần tử đơn vị là 1 = 0, và metric ρ(a, b) = e^(-a) - e^(-b) Đây là một trong những ví dụ đơn giản và quan trọng nhất về nửa vành lũy đẳng metric.
Ví d ụ 1.1’ A = ∪ −∞ { } với phép toán ⊕ = min , = + Khi đó, nửa vành lũy đẳng này đẳng cấu với nửa vành lũy đẳng metric trong ví dụ 1.1
Ví dụ 1.2 cho thấy rằng A = + với phép toán ⊕ = min và = × Nửa vành lũy đẳng này đẳng cấu với nửa vành lũy đẳng metric trong ví dụ 1.1 Phép đẳng cấu được xác định bởi ánh xạ x exp x ( ).
Ví d ụ 1.3 A= ∪ ±∞ { } với phép toán ⊕ = min , =max, phần tử trung lập 0 = +∞, phần tử đơn vị 1 = −∞và metric ρ( ) a b, = arctana−arctanb
Ví dụ 1.4 trình bày về thứ tự Pareto ngược, trong đó nửa vành lũy đẳng của phép cộng ⊕ tương ứng với thứ tự này được xác định trong (1.1) cùng với phép nhân ε.
Tập con của một tập hợp cho trước có dạng nửa vành lũy đẳng với phép toán hợp và giao có nhiều dạng metric khác nhau Chẳng hạn, nếu các tập con là compact trong một không gian metric, thì metric sẽ là metric Hausdorff Ngược lại, nếu các tập con là đo được trong một không gian độ đo hữu hạn, thì metric có thể được xác định như độ đo của sai phân đối xứng.
Ví d ụ 1.6 Nửa vành của tự đồng cấu các nửa nhóm lũy đẳng.
Cho M =( M , ,⊕ ρ) là nửa nhóm lũy đẳng metric; E = End M ( )
Trên E xác định phép cộng ⊕ theo từng điểm ( h ⊕ g )( ) ( ) a = h a ⊕ g a ( ); phép nhân
là phép hợp các ánh xạ ( h g )( ) a = h g a ( ( ) ) Phần tử trung lập là tự đồng cấu hấp thụ 0 E với 0 E ( ) a = ∀ ∈0 a M và phần tử đơn vị là tự đồng cấu đồng nhất 1 E với
1 Khi đó ( E , , ⊕ ) là nửa vành lũy đẳng Ví dụ như:
Cho M = ∪ +∞ { } là nửa nhóm lũy đẳng metric với phép toán ⊕ = min và metric
( ) a b , e a e b ρ = − − − Khi đó E = End M ( ) là tập các ánh xạ đơn điệu liên tục của M
Cho M thỏa điều kiện cộng tính mà mọi quả cầu B R = { a ∈ M :ρ( ) a , 0 ≤ R } là compact Trên E = End M ( ) xác định metric ( ) ( )
( , ) { ( ( ) ( ) , ) : } n h g sup h a g a a B n ρ = ρ ∈ Các tiên đề minimax (1.2) và tiên đề đơn điệu (1.3) thỏa mãn (kiểm tra trực tiếp) Nên ( E , , , ⊕ ρ ) là nửa vành lũy đẳng metric
Ví d ụ 1.7 Nửa vành của tự đồng cấu các hàm nửa chuẩn (ánh xạ tuyến tính)
Một ánh xạ tuyến tính trên B X A ( , ) (hoặc trên C X A ( , ) ⊂ B X A ( , ) ) là một ánh xạ liên tục H B X A : ( , ) → B X A ( , ) (hoặc H C X A : ( , ) → C X A ( , ) ) thỏa mãn:
H ah⊕bg =aH h ⊕bH g với mọi hàm h g , ; với mọi hằng số a b ,
Tập các ánh xạ nêu trên tạo thành nửa vành lũy đẳng metric với phép cộng ⊕ tại từng điểm Phép nhân được định nghĩa là phép hợp các ánh xạ, trong khi metric được xác định là khoảng cách giữa hai ánh xạ theo công thức cụ thể.
Phép nhân các phần tử của A chuyển nửa vành các ánh xạ thành nửa đại số, lũy đẳng của đại số von Neumann
Với tập hợp hữu hạn X = {x1, , xn}, B_X(A) đồng nhất với A^n, và ánh xạ nửa đại số tương ứng với nửa đại số của các ma trận n×n có giá trị trên A.
Với các ma trận này, sự hội tụ theo metric tương đương với sự hội tụ mạnh, điều này được chứng minh trực tiếp Metric trên A thỏa mãn tiên đề minimax và tính liên tục đều.
⊕ , ) Từ đó, sự hội tụ mạnh tương đương với sự hội tụ tọa độ từng điểm Do đó, với mọi ma trận B B k , có:
Ví d ụ 1.8 Nửa vành tích chập
Cho X là một nhóm tô pô và A là nửa vành lũy đẳng trong đó mọi tập con bị chặn đều có inf Trên B X A ( , ) xác định lũy đẳng của tích chập bởi:
(1.5) Phép toán trên chuyển B X A ( , ) thành nửa vành lũy đẳng, được gọi là nửa vành tích chập
1.2 Định lý cơ bản của Giải tích lũy đẳng a 1 Đầu tiên, nhắc lại một số định nghĩa, định lý về các tập sắp thứ tự
M là tập hợp các phần tử được sắp xếp theo một thứ tự không nghiêm ngặt, trong đó quan hệ ≤ phải thỏa mãn các tính chất phản xạ, bắc cầu và phản đối xứng Nếu M có tính chất tăng (hoặc giảm), thì nó sẽ được coi là tập hợp có hướng tăng (giảm).
Trong lý thuyết tập hợp, c được coi là cận trên (hoặc cận dưới) của tập con Π ⊂ M nếu c lớn hơn hoặc bằng mọi phần tử p trong Π (hoặc c nhỏ hơn hoặc bằng mọi phần tử p trong Π) Hơn nữa, c được xem là cận trên nhỏ nhất (hoặc cận dưới lớn nhất) của Π nếu nó là một cận trên (hoặc cận dưới) của Π và không có cận trên nào khác nhỏ hơn c (hoặc không có cận dưới nào lớn hơn c).
- Tập E ⊂ M bị chặn trên (bị chặn dưới) nếu E có cận trên (cận dưới)
Tập sắp thứ tự bộ phận M được coi là dàn đủ khi mọi tập con của M bị chặn trên có cận trên nhỏ nhất (sup) và mọi tập con bị chặn dưới có cận dưới lớn nhất (inf) Bài viết này cũng sẽ nhắc lại một số định nghĩa và định lý liên quan đến lưới trong toán học.
- Một lưới { } x α α ∈ I trong tập tùy ý S là một ánh xạ từ tập chỉ số I vào S Dãy là trường hợp đặc biệt của lưới khi I =
- Cho S là không gian tô pô x∈S là giới hạn (giới hạn từng điểm) của lưới
- Sự hội tụ của lưới trong S xác định duy nhất tô pô trong S Hơn nữa, các phát biểu sau đều đúng:
1) S là không gian Hausdorff ⇔mỗi lưới trong S có không quá một giới hạn
3) Với T và S là không gian tô pô, ánh xạ f T : → S liên tục ⇔(x α →x trong T ⇒
- Một mệnh đề về lưới { } x α α ∈ I đúng nếu ∃ ∈α' I sao cho mệnh đề đúng với
- { } x α α ∈ I là lưới con của lưới { } y β β ∈ J nếu tồn tại hàm F I : → J có tính chất:
- K là không gian compact nếu và chỉ nếu mọi lưới trong K có lưới con hội tụ