NỬA VÀNH VÀ NỬA TRƯỜNG LŨY ĐẲNG
N ửa nhóm lũy đẳng
Nửa nhóm là một tập hợp rỗng có phép toán kết hợp, gọi là phép cộng cho nửa nhóm cộng và phép nhân cho nửa nhóm nhân Một nửa nhóm có phần tử trung hòa, được gọi là phần tử 0 trong nửa nhóm cộng và phần tử 1 trong nửa nhóm nhân, được xem là một vị nhóm.
1.1.2 Nửa nhóm lũy đẳng Định nghĩa 1.1 Nửa nhóm lũy đẳng là một nửa nhóm cộng S với phép cộng có tính chất kết hợp kớ hiệu là Å sao cho x Å =x x với mọi x ẻS Nếu nửa nhúm này là một vị nhóm thì phần tử trung hòa của nó được kí hiệu là 0 hay 0 S
Một nửa nhóm lũy đẳng là tập hợp các phần tử được sắp xếp theo một quan hệ thứ tự cụ thể Theo định nghĩa, trên nửa nhóm lũy đẳng S, ta có quan hệ thứ tự £, trong đó x £ y nếu x Å = y y với x, y thuộc S.
Quan hệ thứ tự £ trên là quan hệ thứ tự bộ phận
Trong bài viết này, chúng ta giả định rằng các nửa nhóm lũy đẳng và các nửa vành lũy đẳng được sắp xếp theo thứ tự đã nêu Các quan hệ thứ tự như ³, được định nghĩa tương tự, trong đó quan hệ x < y được hiểu là x thuộc y và x nhỏ hơn y.
Có thể kiểm tra rằng Định nghĩa 1.2 là hợp lí và xác định một quan hệ thứ tự
Từ định nghĩa, ta có 0 ∈ Ê x với mọi x ∈ S nếu S là một tập hợp Gọi I hay I S là phần tử của S thỏa mãn x ∈ I với mọi x ∈ S (nếu phần tử đó tồn tại), và phần tử này là duy nhất Rõ ràng, 0 = inf S = sup S và I = sup S = inf S, trong đó ∅ là tập con rỗng của S.
Một nửa nhóm lũy đẳng là một Ú - nửa dàn hay nửa dàn trên theo nghĩa với , x y ẻS bất kỡ thỡ tập { x y , } t ồn tại sup { x y , } = Ú x y D ễ thấy,
Do đó lớp tất cả các nửa nhóm lũy đẳng trùng với lớp tất cả các Ú - nửa dàn
Cho nửa nhúm lũy đẳng S là một dàn cú thứ tự Với x y, ẻS, kớ hiệu
Ta gọi S là một nửa nhóm dànhay đơn giản là một dàn Định nghĩa 1.3 Nửa nhóm lũy đẳng S o được gọi là đối ngẫu với nửa nhóm lũy đẳng
S nếu S o có tập con gồm tất cả các phần tử của S được trang bị với phép cộng lũy đẳng x y, x Ùy
Chú ý rằng các phép toán Ú = Å và Ù có tính chất kết hợp và giao hoán với các tập toán hạng bất kì
1.1.4 Nửa nhóm lũy đẳng a - đầy đủ ( b -đầy đủ)
Cho S là tập được sắp thứ tự bộ phận S được gọi là đầy đủ nếu mọi tập con
Tập S được coi là đầy đủ bị chặn nếu mọi tập con không rỗng của S bị chặn trên (hoặc bị chặn dưới) đều có cận trên nhỏ nhất (hoặc cận dưới lớn nhất) Tất cả các phần tử X của S (bao gồm cả ặ) đều có cận trên (supX) và cận dưới (infX).
Nếu mọi tập con S1 bị chặn trên của S có supremum supS1, thì mọi tập con S2 bị chặn dưới của S đều có infimum infS2 Ngược lại, nếu mọi tập con X1 bị chặn dưới của S có infimum infX1 thuộc S, thì mọi tập con X2 bị chặn trên của S đều có supremum supX2 thuộc S.
Lưu ý rằng lát cắt của S là một tập con dạng
Trong bài viết này, chúng ta xem xét một hệ thống ký hiệu trong đó X là bất kỳ giá trị nào Kí hiệu S đại diện cho tập hợp tất cả các lát cắt có quan hệ thứ tự, được gọi là mở rộng (completion) của tập hợp sắp thứ tự S Ánh xạ i x : I ( { } x ) là phép nhúng S vào S, với các tính chất nhất định.
1 Phép nhúng i S: S bảo toàn các cận trên đúng và cận dưới đúng tồn tại trong S Nhờ đó ta có thể đồng nhất S với tập con của S
2 Lát cắt I X ( ) trùng v ới sup ( i X ( ) ) v ới mọi X Ì S , nghĩa là mọi phần tử của
S đều là cận trên đúng của tập con X nào đó của S
3 Nếu S đầy đủ thì S = S và S = S
4 Nếu { } X a aẻ A là họ cỏc tập con của S thỡ sup a I X ( ) a = I ( ) a X a trong S với chú ý rằng I ( È a X a ) = Ç I X ( ) a
5 S có cấu trúc của nửa nhóm lũy đẳng ( x Å = y sup , { } x y ) Nếu S là nửa nhóm lũy đẳng thì phép nhúng S S là một đồng cấu nửa nhóm Trong trường hợp này, ta nói S là a - mở rộng của S
S b gồm tất cả các lát cắt dạng I X ( ), trong đó X chạy trong tập tất cả các tập con bị chặn trên của S, là tập đầy đủ bị chặn
S b là nửa nhóm con của S
Nếu S là nửa nhóm lũy đẳng thì
S b được gọi là b- mở rộng của S
S b gồm tất cả các phần tử của S làm trội từ các phần tử của S Lát cắt
I ặ ẻS là phần tử 0 của
Nửa nhóm lũy đẳng S được định nghĩa là a-đầy đủ khi S được sắp thứ tự và đầy đủ Đồng thời, S được gọi là b-đầy đủ nếu S được sắp thứ tự, đầy đủ bị chặn và có đơn vị 0.
Có thể thấy S = S b È I{ } S với I = S supS có thể thuộc S Nếu S là một nửa nhóm lũy đẳng b-đầy đủ thì
Trong nửa nhóm lũy đẳng S, ký hiệu ÅX và ÙX lần lượt là sup(X) và inf(X) với X thuộc S nếu các cận này tồn tại trong S Khi đó, trong nửa nhóm lũy đẳng a-đầy đủ, tổng được định nghĩa cho bất kỳ tập con nào; trong khi đó, trong nửa nhóm lũy đẳng b-đầy đủ, tổng chỉ được định nghĩa cho các tập con bị chặn trên, bao gồm cả tập rỗng.
ChoX là một tập con của nửa nhóm lũy đẳng S Ta kí hiệu
1.1.5 a -đồng cấu và b-đồng cấu
Với hai nửa nhóm lũy đẳng S và T, nếu các nửa nhóm này là a-đầy đủ, ta định nghĩa một đồng cấu g từ S sang T là liên tục đại số hay a-đồng cấu nếu thỏa mãn điều kiện g(ÅX) = Åg(X).
Điều kiện 1.2 được gọi là liên tục đơn điệu, với X là tập con bất kỳ của S Định nghĩa 1.5-b cho thấy rằng, với S và T là các nửa nhóm lũy đẳng b-đầy đủ, một đồng cấu g S T được coi là liên tục đại số bị chặn hay b-đồng cấu nếu thỏa mãn điều kiện 1.1 hoặc 1.2 với X là tập con bị chặn trên của S.
Với các nửa nhóm lũy đẳng S và T bất kì, đồng cấu g S: T là b -đồng cấu nếu nó có thể mở rộng tới
S b bởi một b-đồng cấu g S, với b T b của các nửa nhóm lũy đẳng b-đầy đủ tương ứng Áp dụng ( ) 1.1 cho tập rỗng cho thấy rằng các a-đồng cấu và b-đồng cấu biến 0 thành 0 nếu phần tử 0 tồn tại Trong trường hợp tổng quát, một a-đồng cấu được xác định.
S T không nhất thiết biến I = S supS thành I = T supT cho dù cả hai đều tồn tại
Mệnh đề 1.1 Tích của các a -đồng cấu (tương ứng các b -đồng cấu) là một a - đồng cấu (tương ứng một b -đồng cấu)
Mệnh đề được suy ra trực tiếp từ các định nghĩa
Kí hiệu Hom (S S 1, 2) đại diện cho tập hợp tất cả các đồng cấu từ nửa nhóm lũy đẳng S 1 vào nửa nhóm lũy đẳng S 2 Hom a (S S 1, 2) chỉ ra tập hợp tất cả các a-đồng cấu.
Hom b S S, là tập gồm tất cả các b-đồng cấu từ nửa nhóm lũy đẳng b-đầy đủ
S 1 vào nửa nhóm lũy đẳng b -đầy đủ S 2
N ửa vành và nửa trường lũy đẳng Ví dụ
Nửa vành và nửa trường lũy đẳng là các đối tượng chính của toán học lũy đẳng
1.2.1 Nửa vành lũy đẳng Định nghĩa 1.10 Nửa vành lũy đẳng là một nửa nhóm lũy đẳng K với phép cộng Å và được trang bị thêm phép toán nhân có tính chất kết hợp sao cho với mọi phần tử x , y, z ẻ K
Chỳ ý rằng a x Êa y nếu x Êy với mọi x y a, , ẻK
Phần tử 1 ẻ K là đon vị của K nếu 1 là phần tử trung hũa với phộp nhõn, nghĩa là với mọi x ẻK x = x = x
Trong các phần tiếp theo, nếu không nói gì thêm, ta luôn giả thiết rằng tất cả các nửa vành lũy đẳng đều có đơn vị
Phần tử 0 ẻK là phần tử trung hũa với phộp cộng trong K , nghĩa là với mọi x ẻ K ta cú x Å =0 x và x 0 = 0x = 0 ( 1.16 )
Phần tử 0ẻ K cũn kớ hiệu là 0 K Nếu khụng núi gỡ thờm, ta giả thiết rằng 0 ạ1
Nếu một nửa vành chứa phần tử 0, thì phần tử này cũng là phần tử 0 của nửa nhóm cộng trong nửa vành Tuy nhiên, điều này không luôn đúng Ví dụ, nửa vành với các phép toán Å = max và = + có phần tử 1 là phần tử 0 của nửa nhóm cộng, nhưng không phải là phần tử 0 của nửa vành.
Nửa vành lũy đẳng K là giao hoán nếu phép nhân trên nửa vành K có tính giao hoán
1.2.2 Nửa trường lũy đẳng Đĩnh nghĩa 1.11 Nửa vành chia lũy đẳng là một nửa vành lũy đẳng có đơn vị mà mọi phần tử khác 0 đều khả nghịch Nửa trường lũy đẳng là một nửa vành chia lũy đẳng giao hoán
Các ví dụ trong mục 1.1.8, ngoại trừ Ví dụ 1.11, đều thể hiện cấu trúc của nửa vành lũy đẳng với các phép nhân thích hợp Đặc biệt, trong Ví dụ 1.11, khi định nghĩa phép nhân là = min, ta nhận được một nửa vành lũy đẳng không có đơn vị.
Trong Ví dụ 1.1, ta định nghĩa phép nhân là phép toán cộng thông thường Với
{ , ta có x (+¥ = Å +¥ = +¥ =) x ( ) sup{ max = I và đẳng thức ( 1.13 ) đỳng với mọi x ạ 0 Ngoài ra, 1= 0 Nửa vành lũy đẳng { với cỏc phộp toỏn trờn thường được kí hiệu là { ( max, + )
Map X S, là nửa vành lũy đẳng nếu S là nửa vành lũy đẳng Trường hợp này, ta định nghĩa
( f g x )( ) = f x ( ) g x ( ) ( 1.17 ) với mọi x ẻ X Phộp toỏn nhõn trong cỏc vớ dụ cũn lại ở 1.1 được định nghĩa tương tự với lưu ý phép nhân các hàm thực
Ví dụ 1.13 trình bày rằng S là nửa nhóm lũy đẳng và Hom(S, S) là nửa nhóm lũy đẳng của các tự đồng cấu từ S vào S Hom(S, S) được xác định là nửa vành lũy đẳng với phép hợp các ánh xạ.
N ửa vành đầy đủ
1.3.1 Nửa vành a - đầy đủ và b-đầy đủ Định nghĩa 1.12 Nửa vành lũy đẳng K được gọi là a -đầy đủ (đầy đủ đại số) nếu
K là nửa nhúm lũy đẳng a -đầy đủ và với mọi { } x a è K , y ẻ K ,
{ } { } sup x a y sup x a y a a ổ ửữ ỗ ữ ỗ ữ ỗố ứ , y sup { } x a sup { y x a } a a ổ ửữ ỗ ữ ỗ ữ ỗố ứ
Các phép vị tự x x y và x y x được xem là a-đồng cấu của nửa nhóm K Định nghĩa 1.13 cho biết nửa vành lũy đẳng K được gọi là b-đầy đủ khi K là nửa nhóm lũy đẳng b-đầy đủ và đẳng thức (1.19) đúng với mọi tập con bị chặn.
Nếu không giải thích gì thêm, ta luôn giả thiết rằng các nửa vành lũy đẳng b - đầy đủ đều có phần tử 0
Rõ ràng, K a -đầy đủ thì K b-đầy đủ
1.3.2 Dàn b-đầy đủ Định nghĩa 1.14 Nửa vành K được gọi là dàn b-đầy đủ nếu K là nửa vành lũy đẳng b -đầy đủ cú phần tử 0 và với mọi ặ ạ{ } x a è K , y ẻK \I
Mọi tập con khác rỗng của K đều có cận dưới đúng, vì chúng bị chặn dưới bởi 0, và cận dưới này chính là cận trên đúng của tập các cận dưới của tập con đó, theo Bổ đề 1.1.
Mệnh đề 1.7 chỉ ra rằng nếu K là nửa vành chia lũy đẳng và K là nửa nhóm b-đầy đủ, thì K sẽ là dàn b-đầy đủ Điều này dẫn đến kết luận rằng nửa trường lũy đẳng b-đầy đủ cũng chính là dàn b-đầy đủ.
Chúng ta cần chứng minh các đẳng thức (1.19) và (1.20) Trường hợp y = 0 là trường hợp đặc biệt Nếu y ≠ 0, thì y khả nghịch, dẫn đến các phép vị tự x α εx y và x α εy x cũng khả nghịch và bảo toàn thứ tự Do đó, việc bảo toàn cận trên và cận dưới là đúng Kết quả là các đẳng thức (1.19) và (1.20) đã được chứng minh.
Mệnh đề được chứng minh
Cho S là nửa nhóm với phép nhân x y, xy S được gọi là dàn có thứ tự nếu các phép tịnh tiến x xy, x yx bảo toàn thứ tự Kí hiệu S 0 = S È { } 0, trong đó 0 là phần tử nhỏ nhất thỏa mãn x = x 0 0 0 với mọi x thuộc S Nếu 0 thuộc S thì S 0 = S.
{ } sup , x Å =y x y với x y, ẻS và x Å = Å =0 0 x x với mọi x ẻS 0
Mệnh đề 1.8 S 0 là nửa vành lũy đẳng với các phép toán cộng x Å = y sup { x y , } , phộp toỏn nhõn x y = xy và định nghĩa x Å = Å =0 0 x x với mọi x ẻS 0
Nếu G là một nhóm dàn có thứ tự đầy đủ bị chặn, thì G 0 là nửa vành chia lũy đẳng b-đầy đủ, có nghĩa là mọi phần tử khác không của G 0 đều khả nghịch.
Mọi nửa vành chia lũy đẳng b -đầy đủ đều có dạng G 0 với G là nhóm dàn có thứ tự đầy đủ bị chặn
Các mệnh đề trên suy ra trực tiếp từ các định nghĩa
Mệnh đề 1.10 Mọi nửa vành chia lũy đẳng b-đầy đủ đều giao hoán (đều là nửa trường lũy đẳng).
Làm đầy nửa vành
Cho K là nửa vành lũy đẳng
1.4.1 Tựa trường Định nghĩa 1.15 Phần tử x ẻK là tựa khả nghịch nếu tồn tại tập X gồm cỏc phần tử khả nghịch của K sao cho x = Å X
Nửa vành K được gọi là tựa vành chia khi mọi phần tử khác không của K đều tựa khả nghịch Theo định nghĩa 1.16, nửa vành K là đóng nguyên nếu x thuộc K và tập {x^n | n = 1, 2, } bị chặn trên với mọi x thuộc K Định nghĩa 1.17 chỉ ra rằng tựa vành chia lũy đẳng K là tựa trường nếu K là nửa vành đóng nguyên.
Mệnh đề sau suy ra từ định nghĩa
Mệnh đề 1.11 Nửa trường đóng nguyên là tựa trường
1.4.2 Nửa vành a - chính quy và b-chính quy
Cho K là nửa vành lũy đẳng, từ nửa nhóm lũy đẳng K, ta có thể xây dựng các a-mở rộng K và b-mở rộng K b Điều kiện để trang bị K (tương ứng ) là một yếu tố quan trọng cần xem xét.
K b ) trở thành nửa vành lủy đẳng a -đầy đủ (tương ứng b-đầy đủ) Ta định nghĩa
Nửa vành K được gọi là a-chính quy (hoặc b-chính quy) nếu tồn tại một mở rộng duy nhất m : K ´K K (hoặc m : K b ´K b K b) xác định cấu trúc nửa vành lũy đẳng a-đầy đủ (hoặc b-đầy đủ) trên K (hoặc trên ).
Từ tính a-chính quy (b-chính quy) của K cho thấy m là a-đồng cấu tách (b-đồng cấu tách) theo định nghĩa 1.8 Định nghĩa 1.19 chỉ ra rằng nếu K là nửa vành a-chính quy (b-chính quy), thì nửa vành K (tương ứng ) cũng được xác định.
K b ) được gọi là a -mở rộng (tương ứng b -mở rộng) của
Mệnh đề 1.12 Nửa vành K có phần tử 0 là a -chính quy (tương ứng b-chính quy) khi và chỉ khi các phép vị tự
( ) , y : x x y m × , m ( ) y , : × x y x ( 1.21 ) là cỏc a -đồng cấu (tương ứng b-đồng cấu) của nửa nhúm cộng K với mọi y ẻK
Nếu K là trường chính quy, thì các phép vị tự trong (1.21) cũng sẽ là chính quy Giả sử các phép vị tự (1.21) là a-đồng cấu (tương ứng với b-đồng cấu), theo Định nghĩa 1.5, có thể mở rộng các phép vị tự lên K (tương ứng với K b) Do đó, tích x y được định nghĩa tốt nếu x hoặc y là phần tử của mở rộng của K Trong trường hợp tổng quát, đặt x supx a.
Dựa trên mệnh đề 1.2 và 1.5, ta nhận thấy rằng tích (1.22) được định nghĩa một cách rõ ràng và chính xác Hơn nữa, tích này cũng được xác nhận là có tính kết hợp, đồng thời trang bị cho K (tương ứng với ).
Mệnh đề được chứng minh
Nhắc lại rằng, a -mở rộng của nửa vành K không phải là nửa trường (nếu
K ạ ) Mở rộng của nửa vành giao hoỏn thỡ giao hoỏn
Mệnh đề 1.13 Tựa trường K bất kì thì giao hoán và b-chính quy Do đó
K b là nửa trường lũy đẳng b-đầy đủ
Sử dụng Mệnh đề 1.12, ta xác định tựa trường K là b-chính quy Nếu phần tử y trong K khả nghịch, theo Mệnh đề 1.7, các phép vị tự (1.21) là b-đồng cấu Mệnh đề 1.2 cho thấy kết quả tương tự cho phần tử khả nghịch y trong K, với phép vị tự tương ứng là tổng hoặc cận trên của tập các b-đồng cấu Do mọi phần tử khác không trong K đều khả nghịch, ta kết luận rằng K là nửa vành lũy đẳng b-chính quy và K b là nửa vành lũy đẳng b-đầy đủ.
K b là nửa trường b -đầy đủ
Mọi nửa trường b-đầy đủ đều đóng nguyên và là tựa trường, điều này cho thấy sự quan trọng của chúng trong lý thuyết tựa trường Hơn nữa, bất kỳ tựa trường K nào cũng có thể được nhúng vào nửa trường b-đầy đủ, làm nổi bật tính linh hoạt và ứng dụng của các nửa trường này trong toán học.
Nhận xột 1.4 Nếu K là nửa trường b-đầy đủ và K ạ { } 0,1 thỡ K = K ẩ I { } (v ới supK
I = ) là nửa vành lũy đẳng giao hoán trong đó 0I = 0 và x I = I với mọi 0 ạ x ẻ K Vậy nờn tựa trường b-chớnh quy thỡ a -chớnh quy
Ví dụ 1.14 Nửa vành { max và { min là các nửa trường b -đầy đủ, nửa vành lũy đẳng { là nửa trường và tựa trường
Ví dụ 1.15 Nửa vành con của { max gồm tất cả các số nguyên và phần tử 0 là nửa trường b-đầy đủ
Ví dụ 1.16 Nửa vành K = {È ±¥ { } cùng các phép toán Å = max, = min với 0 = -¥, 1 = +¥ lập thành một dàn b -đầy đủ
Ví dụ 1.17 Nửa vành Map ( X , { max ) là a -đầy đủ nhưng không là dàn b-đầy đủ
Ví dụ 1.18 Từ mệnh đề 1.9 suy ra dàn vectơ đầy đủ bị chặn trên { là nửa trường lũy đẳng b -đầy đủ Chẳng hạn, L p ( x , m ) 0 = L p ( x , m ) { } È 0 là nửa trường b -đầy đủ
Dàn vectơ bất kỳ được coi là nửa trường, ví dụ như C X ( ) là một nửa trường và tựa trường với các phép toán được định nghĩa trong Ví dụ 1.7 và Ví dụ 1.12.
NỬA MÔĐUN LŨY ĐẲNG, KHÔNG GIAN LŨY ĐẲNG
Các khái ni ệm cơ bản Không gian lũy đẳng
2.1.1 Các khái niệm cơ bản Định nghĩa 2.1 Cho V là nửa nhóm lũy đẳng và K là nửa vành lũy đẳng Ta định nghĩa phép toán nhân k x, k x thỏa các tính chất sau
Nửa môđun lũy đẳng trên nửa vành K được định nghĩa cho mọi x, y, k1, k2 thuộc V, với nửa nhúm V được gọi là nửa môđun Đối với V là nửa môđun lũy đẳng trên K, phần tử 0 thuộc V được xem là phần tử khuyết của V nếu k thuộc 0 V = 0 V và 0 V Å = x x với mọi k thuộc K và x thuộc V.
Nếu phần tử không của nửa môđun V tồn tại, ta kí hiệu là 0
Thông thường, nửa môđun con của nửa môđun V là nửa nhóm con của V bất biến qua phép nhân với các hệ tử trong K
Ký hiệu L_k là phép vị tự trong không gian V hay L_k: x α ε_k x với k thuộc K, x thuộc V Rõ ràng, ánh xạ k α L_k là một đồng cấu từ K vào Hom(V, V), trong đó Hom(V, V) là nửa vành chứa tất cả các tự đồng cấu của nửa mô-đun V.
2.1.2 Nửa môđun đầy đủ và nửa môđun chuẩn tắc Định nghĩa 2.3 Nửa môđun V trên nửa vành lũy đẳng K là a -đầy đủ nếu V là nửa nhóm lũy đẳng a -đầy đủ, tất cả các phép vị tự L k là a -đồng cấu, đồng cấu k L k được mở rộng duy nhất tới đồng cấu nửa nhóm K Hom ( V V , ) xác định phép toán nhân K V´ V đồng thời các đẳng thức sau đúng
( 2.5 ' ) với mọi x ẻV , Q èK Khỏi niệm nửa mụđun b-đầy đủ trờn K được định nghĩa tương tự (với lưu ý rằng lúc này
Nhận xột 1.1 Nếu Q = ặ thỡ ( ) 4.5 tr ở thành
Nửa môđun V trên nửa vành lũy đẳng dàn b-đầy đủ K được định nghĩa là chuẩn tắc nếu V là b-đầy đủ (đặc biệt là a-đầy đủ) Đối với mọi x thuộc V, x có giá trị là supV Ngoài ra, với mọi phần tử trong K, ta có các đẳng thức tương ứng.
Lưu ý rằng Q bị chặn dưới bởi nửa vành b-đầy đủ K có phần tử 0 Nửa môđun V trên nửa vành lũy đẳng K được gọi là a-chính quy (hoặc b-chính quy) nếu tồn tại đồng cấu tách m: K V´ V, tương ứng với các nửa nhóm lũy đẳng.
Sử dụng Mệnh đề 1.5 và mục 1.4 ta có khẳng định sau
Mệnh đề 2.1 nêu rõ rằng, cho V là nửa môđun a-chính quy trên nửa vành b-chính quy K, và m: K V´ V là tích tương ứng Khi đó, tồn tại một mở rộng duy nhất m: K V ´ V, xác định trên V, tương ứng với cấu trúc nửa môđun a-đầy đủ trên K.
K Nếu nửa vành K là a -chính quy, tức K là nửa vành, thì V cũng là nửa môđun a -đầy đủ trên K
Ta ký hiệu m ( ) k x , = k x Nếu V là nửa môđun a-chính quy trên nửa vành b-chính quy K, thì nửa môđun V trên K b được gọi là a-mở rộng của nửa môđun V.
Ta nhấn mạnh rằng, quá trình làm đầy nửa môđun V cần thay thế nửa vành K bởi mở rộng K b
2.1.3 Không gian lũy đẳng Để thu được những kết quả quan trọng về các nửa môđun cũng như các ánh xạ và các phiếm hàm xác định trên nửa môđun, ta cần xét trường hợp nửa vành K là tựa trường hay nửa trường Định nghĩa 2.7 Ta gọi nửa môđun V trên tựa trường hay nửa trường K là một không gian lũy đẳng
Nửa môđun V trên tựa trường K được định nghĩa là a-không gian lũy đẳng (hoặc b-không gian lũy đẳng) nếu V là a-chính quy (hoặc b-chính quy) và V (hoặc ) Khái niệm này tương tự như không gian vectơ tuyến tính trên một trường.
V b ) là nửa môđun chuẩn tắc trên nửa trường b-đầy đủ
K b , do đó đẳng thức ( ) 2.7 trong Định nghĩa 2.4 đỳng với mọi x ạ I = supV
Tựa trường và nửa trường là ví dụ về không gian lũy đẳng “một chiều” trên chính nó
Các phát biểu dưới đây là hệ quả trực tiếp của Mệnh đề 3.7 và 3.13, Định nghĩa và Nhận xét 1.4
Mệnh đề 2.2 Nếu K là tựa trường thì
K b là b-không gian lũy đẳng trên K và
Nửa vành K cũng là nửa môđun và là a -không gian lũy đẳng trên K và
K b đồng thời là nửa môđun a -đầy đủ trên K.
Ánh x ạ và phiếm hàm tuyến tính
Giả sử V và W là các nửa môđun lũy đẳng trên nửa vành lũy đẳng K và ánh xạ :
P V W Định nghĩa 2.9 Ánh xạ p V: W được gọi là cộng tính nếu
( ) ( ) ( ) p x Åy = p x Å p y ( ) 2.8 với mọi x y, ẻV Ánh xạ p V: W được gọi là thuần nhất nếu
Ánh xạ p V: W được xác định bởi p k x = k p x với mọi x thuộc V và k thuộc V Để p là tuyến tính, nó cần phải có tính cộng tính và thuần nhất Nếu V và W là các nửa môđun lũy đẳng a-chính quy (hoặc b-chính quy) trên nửa vành lũy đẳng K, thì ánh xạ tuyến tính p V: W được gọi là a-tuyến tính (hoặc b-tuyến tính) nếu p là a-đồng cấu (hoặc b-đồng cấu).
Khái niệm ánh xạ a-tuyến tính (cùng với b-tuyến tính) cung cấp một mô hình đại số cho ánh xạ tuyến tính liên tục và nửa liên tục.
Mệnh đề 2.3 nêu rằng, cho hai nửa môđun V và W là a-chính quy và b-chính quy tương ứng trên nửa vành lũy đẳng b-chính quy K, nếu ánh xạ p V: W là a-tuyến tính (hoặc b-tuyến tính), thì p có thể được mở rộng duy nhất thành một ánh xạ.
(tương ứng p V: b W b ) là a -tuyến tính (tương ứng b-tuyến tính) trên K b
Ta chứng minh bằng các tính toán trực tiếp Từ định nghĩa của a - đồng cấu
(tương ứng b -đồng cấu) các nửa nhóm lũy đẳng thì mở rộng p xác định duy nhất và cộng tính Nếu k ẻ K b thỡ k = ÅQ với Q è K Rừ ràng,
nếu x ẻ V Nếu x ẻV thỡ x = Å X với X è V , lập luận một cỏch tương tự ta được p k ( x ) = k p x ( )
Mệnh đề được chứng minh Định nghĩa 2.11: Phiếm hàm trên nửa môđun V trên nửa vánh lũy đẳng K là một ánh xạ từ V sang K hoặc từ V sang K Phiếm hàm được coi là tuyến tính nếu ánh xạ này là tuyến tính Một phiếm hàm tuyến tính được gọi là a-tuyến tính (hoặc b-tuyến tính) nếu phiếm hàm này là a-đồng cấu (hoặc b-đồng cấu).
Ta giả thiết rằng phiếm hàm a -tuyến tính (tương ứng b -tuyến tính) nhận giá trị trong K (tương ứng
K b ) nếu mở rộng này có cấu trúc tự nhiên của nửa môđun trên
K Điều này luôn đúng nếu K là tựa trường (do mệnh đề 1.13 và nhận xét 1.4)
Nhận xét 2.2 Theo mệnh đề 1.4, phiếm hàm b-tuyến tính f trên V là a -tuyến tính khi và chỉ khi Up ( f X ( ) ) = Up ( f V ( ) ) với mọi tập con không bị chặn trên
X Ì V Theo định nghĩa, f có mở rộng f V: b K b Nếu V có phần tử
I = supV thì f xác định trên V và a -tuyến tính Ngược lại, f có thể mở rộng lên
V =V È I Mà I = supX với mọi tập không bị chặn trên X Ì V nên
( ) supf X không phụ thuộc cách chọn X Do vậy, ta có thể đặt
Chẳng hạn, xét B X ( , { ) gồm tất cả các hàm xác định tập X bất kì có nhiều hơn một phần tử B X ( , { ) là b -không gian lũy đẳng trên nửa trường { ( max, + )
Phiếm hàm tuyến tính d a : j j ( ) a là b -tuyến tính nhưng không a -tuyến tính Tuy nhiên phiếm hàm b-tuyến tính trên B X ( , { ) luôn có một mở rộng a -tuyến tính xác định trên B X ( ) , {
N ửa môđun và không gian lũy đẳng liên kết với dàn vectơ
Các nửa môđun và không gian lũy đẳng là những khái niệm quan trọng trong Giải tích lũy đẳng, đặc biệt là các nửa môđun con của các dàn vectơ tôpô Những nửa môđun con này có thể được xem xét dưới góc độ đối ngẫu, với các phiếm hàm tuyến tính và phiếm hàm a-tuyến tính thỏa mãn các điều kiện cụ thể.
Một không gian vectơ V trên trường số thực được sắp thứ tự nếu có thứ tự bộ phận sao cho tất cả các phép tịnh tiến và phép vị tự bảo toàn thứ tự Cụ thể, V được gọi là một dàn vectơ khi nhóm cộng của nó có thứ tự Hơn nữa, một dàn vectơ tôpô là không gian vectơ tôpô Hausdorff mà trong đó các phép toán liên tục và các phần tử dương là chuẩn tắc Đặc biệt, dàn định chuẩn tương ứng với dàn Banach là không gian định chuẩn có cấu trúc dàn vectơ, trong đó các phép toán liên tục.
Cho V là dàn vectơ tôpô trên {, K là nửa nhóm con của nhóm cộng trong V với tổng thông thường và M là tập con của V bất biến qua các phép tịnh tiến x x + k trong đú k ẻ K Giả sử thờm rằng K và M là cỏc nửa nhúm con lũy đẳng trong V với phép toán Ú = Å, các phép nhúng K V và M V là các b - đồng cấu
Rõ ràng, V là nửa trường với các phép toán lũy đẳng Å = Ú = sup, = + và K là nửa trường con của V Ở đây, tích K´M M được định nghĩa bởi
1 Các nửa trường V và K là đóng nguyên (do đó là các tựa trường) với các phép toán lũy đẳng Å = sup và = +, trường hợp này 1 = 0
2 M là b -không gian lũy đẳng trên tựa trường K , tích K ´M M được định nghĩa bởi ( k x , ) k x = + k x Đặc biệt dàn V là b -không gian lũy đẳng và M là b-không gian con lũy đẳng của V (cho dùM không cần phải là không gian con của V theo nghĩa thông thường)
3 Tích K´M M là hạn chế của tích trong nửa trường b-đầy đủ
Ta sẽ chứng minh khẳng định đầu tiên Các khẳng định còn lại có thể kiểm tra trực tiếp nhờ tính toán
Bõy giờ, ta chứng minh nửa trường K đúng nguyờn Với x ẻ K thỡ x cú phần tử nghịch đảo x - 1 = -x Cho x b, ẻ K và x n = nx Êb với n = 1,2, 3, Ta cú
. x b b n n ổ ửữ Åỗỗỗố ữữữứ= Do tớnh liờn tục của tớch thụng thường và tổng lũy đẳng nên
¥ ¥ ổ ửữ ổ ổ ửửữữ ỗ ỗ ỗ Å = Å = Å1 0 ỗỗố ữữữứ= ỗỗố Åỗỗố ữữữữữữứứ= =0 1, suy ra x Å = 1 1 hay x £1 Từ đó K đóng nguyên Chứng minh tương tự ta được
Mệnh đề được chứng minh Định nghĩa 2.12 Ta gọi b -không gian lũy đẳng M trong mệnh đề 2.4 là một không gian dạng ( V K , )
Vớ dụ 2.1 Giả sử K là nửa trường b-đầy đủ cú phần tử khụng và K ạ { } 0,1
Nửa nhóm Map ( X K ,) là nửa môđun lũy đẳng trên K (với phép nhân hàm với phần tử của K ) nhưng không là môđun chuẩn tắc nếu X ³2
Các nửa môđun lũy đẳng USC X ( , { max ) và LSC X ( , { max ) không chuẩn tắc nếu
X ³ nhưng đều là các nửa môđun a - đầy đủ
Các nửa nhóm USC X, LSC X, Lp X và Conv(X, {}) là các a-không gian lũy đẳng trên nửa trường K = {(max, +)} với phép nhân các hàm với các phần tử của K Mở rộng chuẩn tắc của các nửa nhóm lũy đẳng này dẫn đến các a-không gian lũy đẳng a-đầy đủ trên nửa trường b-đầy đủ {max} và các nửa môđun a-đầy đủ trên nửa vành.
{max là a -không gian lũy đẳng trên nửa trường { max Tương tự, Map ( X , { ) là a -không gian lũy đẳng trên { max Một cách rất tự nhiên, ta nói
MapX,{ là không gian n chiều nếu X có n phần tử
Ví dụ 2.4 Các không gian dạng ( V K , )
2.4.1 C X ( ) là không gian dạng ( V K , ) v ới K là nhóm con của { và
2.4.2 Với V = C X ( ) , K là nhóm con của và M là nhóm con các hàm có giá trị nguyên thì M là không gian dạng ( V K , )
2.4.3 M là không gian dạng ( V K , ) v ới
CÁC ĐỊNH LÍ CƠ BẢN
Định lí cơ bản về phiếm hàm
Giả sử V là b -không gian lũy đẳng trên tựa trường K Định nghĩa 3.1 Cho x ẻV Kớ hiệu x * là phiếm hàm định bởi
Ta gọi x * là x -phiếm hàm trên V
Nếu trong không gian V tồn tại phần tử lớn nhất, ta ký hiệu phần tử này là I V, với I = V supV = inf Tương tự, I cũng được ký hiệu là K supK Lưu ý rằng I V * ( ) y º 0 K với mọi y V (ngoại trừ trường hợp y = I V); 0 V * ( ) y = I K với y ạ 0 V và 0 V * ( ) 0 V = 0 K Định lý 3.1 cho biết, cho V là b-không gian lũy đẳng trên tựa trường K, với mọi x thuộc V, ta có x -phiếm hàm x * : y x y * ( ) là phiếm hàm a-tuyến tính trên V.
Thay K và V bởi các b -mở rộng tương ứng và sử dụng Định nghĩa 2.8 và
Mệnh đề 2.1 ta có thể giả sử V là b-đầy đủ và K là nửa trường b -đầy đủ Thế thì
Để kiểm tra phát biểu của định lý một cách trực tiếp, ta sử dụng x = I V và xét trường hợp x < I V Theo Định nghĩa 2.4 và Định nghĩa 2.8, V được coi là chuẩn tắc, do đó y phải nhỏ hơn hoặc bằng x, tức là y ≤ x.
Gọi Y là tập con bất kì của nửa môđun V Từ định nghĩa của ánh xạ
( ) y x y * dễ thấy x * bảo toàn thứ tự Do đó
( ) K x * ÅY = I , Åx Y * ( )= sup { x y y * ( ) ẻY }= I K với I = K supK = supK Vậy nên trong trường hợp này x * ( Å Y ) = Å x Y * ( ) M ặt khác
( Å x Y * ( ) ) x ³ x y * ( ) x ³ y với mọi y ẻY nờn ( Å x Y * ( ) ) x ³ Å Y d ẫn đến Å x Y * ( ) ³ x * ( Å Y ) Ta đó chứng minh được Å x Y * ( ) £ x * ( Å Y ) nên
( ) ( ) x * ÅY = Åx Y * ( ) 3.2 hay phiếm hàm y x y * ( ) là a - đồng cấu
Bây giờ ta sẽ chứng minh phiếm hàm này thuần nhất, nghĩa là
Trong không gian toán học, với mọi k thuộc tập K và y thuộc tập V, ta có công thức k x y * = x k * y Giả sử p là phần tử khả nghịch của K và y là phần tử bất kỳ của V Do phép nhân với p hay phép vị tự là một tự đồng cấu của K, nên điều này khẳng định tính chất đồng cấu trong các phép toán liên quan.
Do đú K p ( y ) = ặ n ếu K y ( ) = ặ d ẫn tới x y * ( ) = x * ( py )= I K và
Từ đó tính thuần nhất ( ) 3.3 được chứng minh với mọi phần tử khả nghịch p = ẻk K Trường hợp k = 0 thỡ 0 x y * ( ) = = 0 x * ( ) 0 = x * ( 0 y ) V ậy phiếm hàm x * thuần nhất Định lí được chứng minh
Mệnh đề 3.1 Cho V là nửa môđun chuẩn tắc trên nửa vành b-đầy đủ K (chẳng hạn
V là b-không gian b -đầy đủ) Gọi f là phiếm hàm a -tuyến tính trên V sao cho f có giá trị 1 và f ( )I V > 1 với I = V supV Khi đó tồn tại duy nhất x -phiếm hàm
( ) y x y * sao cho x y * ( ) ³ f y ( ) v ới mọi y V ẻ và x y * ( ) = f y ( ) n ếu f y ( ) kh ả nghịch trong K trong đú x = Å { y ẻ V f y ( ) Ê 1 }
Chứng minh Đặt x = Å { y ẻ V f y ( ) Ê 1 } thỡ rừ ràng f x ( ) = 1 Do f ( )I V 1 Chứng minh rằng x thuộc V b và f(x) = 1.
Trong chứng minh của Mệnh đề 3.1, ta đã chỉ ra rằng x * ³ f và
( ) ( ) x y * = f y nếu f y ( ) ẻ K \ { } 0 Do đú để chứng minh x * = f ta cần chỉ ra
( ) x y * = 0 khi f y ( ) = 0 Thật vậy, nếu f y ( ) = 0 thì f k ( y ) = < 0 1 v ới k ạ 0 Nhưng điều này dẫn tới k y Êx nếu k ạ 0 Do đú k x ³y nếu k ạ 0 Suy ra x y * ( ) £ Ù ( K \ { } 0 ) = £ 0 x y * ( ) Ta có điều phải chứng minh Định lí được chứng minh.
Định lí Hahn – Banach
Cho V là nửa môđun trên nửa vành lũy đẳng K Nửa môđun conW của nửa môđun của V là nửa nhóm con W của V đóng với phép nhân với các hệ tử trong K Lưu ý rằng bản thân W cũng là một nửa môđun trên K Định nghĩa 3.2 Cho V là a -không gian lũy đẳng (tương ứng b -không gian lũy đẳng) trên tựa trường K Nửa môđun con W của V được gọi là a -không gian con (tương ứng b-không gian con) của V nếu phép nhúng i W: V có mở rộng a - tuyến tính (tương ứng b-tuyến tính) duy nhất W V (tương ứng b b
W V ) tới mở rộng của các nửa môđun xác định trên
Mệnh đề sau được suy ra trực tiếp từ các định nghĩa
Mệnh đề 3.2 khẳng định rằng, với V là a-không gian lũy đẳng trên trường K và W là a-không gian con của V, thì W và W (tương ứng W b) cũng là các a-không gian lũy đẳng Định lý 3.3 chỉ ra rằng, nếu V là b-không gian lũy đẳng và W là b-không gian con của V, thì mọi phiếm hàm a-tuyến tính trên W đều có thể mở rộng a-tuyến tính lên V, đây là hệ quả trực tiếp từ Định lý 3.2 và Mệnh đề 3.2 Cuối cùng, Định lý 3.4 cho biết, trong b-không gian lũy đẳng V, nếu x, y thuộc V và x ạ y, thì tồn tại phiếm hàm a-tuyến tính f trên V sao cho f(x) ạ f(y).
Nếu x > y, thì y x * ( ) > 1 và y y * ( ) ≤ 1, do đó f = y * là phiếm hàm cần tìm Ngược lại, khi x < y, ta không có x y * ( ) ≤ 1, nhưng ( ) x x * ≤ 1, suy ra f = x * là phiếm hàm thỏa mãn định lý Định lý đã được chứng minh.
Nhận xét 3.1 Từ định nghĩa của không gian dạng ( V K , ) ta có m ỗi b -không gian con là một không gian dạng ( V K , ) trên chính nó
Nửa môđun con C X ( ) của USC X ( ) không phải là b-không gian con do phép nhúng tương ứng không phải là b-đồng cấu Dù vậy, C X ( ) vẫn được xem là b-không gian lũy đẳng, đồng thời cũng là a-không gian lũy đẳng trên { (max, +) } Các phiếm hàm a-tuyến tính trên C X ( ) có khả năng mở rộng a-tuyến tính tới USC X ( ).
Ta có thể mở rộng định lí 3.3 cho trường hợp này.
Định lí Banach – Steinhaus và định lí đồ thị đóng
Các phát biểu sau đây có thể được suy ra từ các định nghĩa liên quan, tương tự như định lý Banach – Steinhaus và định lý đồ thị đóng trong Giải tích hàm thông thường Chúng tôi giả định rằng mọi a-không gian đều a-đầy đủ trong phần này.
Các kết quả này có thể mở rộng cho trường hợp các không gian không đầy đủ nhờ quá trình làm đầy
Mệnh đề 3.3 Giả sử P = { } p a là họ các ánh xạ a -tuyến tính từ a -không gian
V vào a -không gian W và ánh xạ p V: W là tổng của các p a , nghĩa là
( ) sup { ( ) } p x = p a x p a ẻP Khi đú p là ỏnh xạ a -tuyến tớnh
với mọi x ẻ V nờn p thuần nhất Nếu X è V thỡ
{ } ( ) sup sup sup , sup sup sup p X p X p P p X p P p x x X p P p x x X p P p x x X p X a a a a a a a a Å = Å ẻ = Å ẻ
Từ đó p là ánh xạ a -tuyến tính
Mệnh đề được chứng minh
Hệ quả Tổng của một họ các phiếm hàm a -tuyến tính là phiếm hàm a -tuyến tính
Mệnh đề 3.4 nêu rõ rằng, với các a-không gian V và W, ánh xạ tuyến tính p từ V đến W được coi là a-tuyến tính nếu và chỉ nếu đồ thị T của p là một tập hợp đóng trong không gian V W' với tổng các tập con bất kỳ.
Từ giả thiết, chúng ta suy ra rằng phép nhúng i T: V W´ là a-tuyến tính Cần lưu ý rằng p là hợp của ba ánh xạ a-tuyến tính, bao gồm phép đồng cấu x (x p x, ( )) ẻ T, phép nhúng i và phép chiếu V W´ W Do đó, điều này cần được chứng minh.
Mệnh đề được chứng minh.
Tích vô hướng, định lí Riesz - Fischer
Bài viết này xem xét một lớp không gian lũy đẳng với cấu trúc tự nhiên của tích vô hướng Định nghĩa một b-không gian lũy đẳng A trên tựa trường K là b-nửa đại số lũy đẳng nếu A là nửa vành lũy đẳng với tích K × A tương đương A và có tính chất kết hợp Nếu tích A × A tương đương A là a-đồng cấu tách (hoặc b-đồng cấu tách), thì b-nửa đại số A được gọi là a-chính quy (hoặc b-chính quy).
Lí thuyết dàn vectơ là nguồn ví dụ quan trọng về các b-nửa đại số lũy đẳng
Mệnh đề 3.5 Cho A là b-nửa đại số, với mọi phần tử khả nghịch x ẻA và với mọi y ẻ A ta luụn cú
Nhờ quá trình làm đầy nên ta có thể giả sử K là nửa trường b-đầy đủ Khi đó ta có
Để ý rằng inf { k k 1 A ³y x - 1 }= 1 A * ( y x - 1 ) ta có điều phải chứng minh
Mệnh đề được chứng minh Định nghĩa 3.4 Giả sử A là một b-nửa đại số giao hoán trên tựa trường K Ánh xạ
được gọi là tích vô hướng trên A
Mệnh đề 3.6.Tích vô hướng x y, trên b-nửa đại số a -chính quy (tương ứng b - chính quy) giao hoán trên tựa trường K có các tính chất sau
1 Ánh xạ ( x y , ) x y , là a -đồng cấu tách (tương ứng b -đồng cấu tách)
2 Với mọi k ẻ K , x y, ẻ A và mọi tậpX è A (tương ứng tập bị chặn trờn
Mệnh đề 3.6 suy ra từ các định nghĩa và đẳng thức ( 3.7 ) suy ra từ tính chất 1
Kết quả tương tự định lý Riesz – Fischer được trình bày trong Định lý 3.5 Theo đó, cho tựa trường A là b-nửa đại số giao hoán trên tựa trường K, mọi phiếm hàm a-tuyến tính f trên A đều có dạng nhất định.
( ) , f y = x y ( 3.8 ) với x ẻA b , x ạ 0 và ì ì, là tớch vụ hướng trờn
A b Định lí được suy ra từ Nhận xét 2.1, Định lí 3.2 và Mệnh đề 5.5
Tích vô hướng có thể được định nghĩa cho b-nửa đại số A không giao hoán, và định lý 3.5 có thể được mở rộng cho trường hợp này Định nghĩa 3.5 nêu rõ rằng V là b-không gian lũy đẳng trên nửa trường b-đầy đủ K, liên quan đến ánh xạ .
được gọi là tích vô hướng lệch trên V
Các mệnh đề sau được suy ra từ các định nghĩa:
Mệnh đề 3.7.Tích vô hướng lệch có các tính chất sau
Mệnh đề 3.8 Nếu tích vô hướng ( x y , ) x y , xác định trên b -nửa đại số V thì các đẳng thức sau đúng
, , x y éy - x - ù é ù = ê ú ở ỷ ở ỷ ( 3.14 ) với mọi phần tử khả nghịch x y, ẻV
Giả sử V và W là các a -không gian a -đầy đủ trên nửa trường b-đầy đủ
K ạ 0 1 và W là a -khụng gian con của V
Kí hiệu V* là tập hợp tất cả các phiếm hàm a-tuyến tính trên V, và V* có cấu trúc nửa môđun với các phép toán theo từng điểm Theo Định lý 3.2, các tập hợp phần tử của V và V* tương ứng với cấu trúc nửa môđun khác nhau trên K.
Các kết quả được trình bày dưới đây dựa trên các định nghĩa và mệnh đề đã nêu Định lý 3.6 chỉ ra rằng phiếm hàm y α f(y) trên a-không gian a-đầy đủ V là a-tuyến tính khi và chỉ khi f có dạng f(y) = ộ ở x y, với x thuộc V Hơn nữa, nửa mụđun lũy đẳng V* trên K cũng là a-không gian a-đầy đủ.
0 , I = V * sup V = 0 V * và thứ tự trên V * ngược với thứ tự trên V Định nghĩa ánh xạ p V: W từ không gian V vào không gian con W của
Mệnh đề 3.9 Ánh xạ p là phép chiếu a -tuyến tính
Mệnh đề được chứng minh tương tự Định lí 3.1
Mệnh đề 3.10 Không gian con W là tập gồm tất cả các nghiệm của hệ phương trình
Mệnh đề là hệ quả của Định lí 3.4 Định lí 3.7 Ánh xạ ( )
là đẳng cấu các a -không gian Định lí trên suy ra từ Định lí 3.6 với lưu ý x ** ( ) y * = y x * ( )
Ví dụ Nửa trường B X ( ) các hàm thực bị chặn trên tập X là b -nửa đại số trên nửa vành K = { ( max, + ) Ta có
1 ( 3.16 ) và tích vô hướng xác định như sau
Bài viết đã giới thiệu về Giải tích hàm lũy đẳng, trình bày một cách chi tiết và có hệ thống các khái niệm cũng như các kết quả cơ bản trong từng chương.
Chương 1 Nửa vành và nửa trường lũy đẳng Trong chương này trình bày các khái niệm cơ bản của Giải tích lũy đẳng:
Nửa nhóm lũy đẳng a - đầy đủ và b - đầy đủ là cơ sở nghiên cứu các đồng cấu a - b và các ánh xạ chính quy a - b.
Mệnh đề 1.6-a và 1.6-b đã chỉ ra liên hệ giữa a - đồng cấu và b - đồng cấu của các nửa nhóm lũy đẳng tôpô b - đầy đủ với tính nửa liên tục
• Các khái niệm nửa vành và nửa trường lũy đẳng được nghiên cùng với quá trình làm đầy nửa vành
Chương 2: Nửa môđun lũy đẳng, không gian lũy đẳng Chương 2 tiếp tục trình bày các khái niệm nửa môđun lũy đẳng và không gian lũy đẳng Các kết quả về ánh xạ tuyến tính và các phiếm hàm tuyến tính trên các không gian lũy đẳng a -chính quy và b -chính quy là nội dung quan trọng của chương này Ngoài ra, các nửa môđun và không gian lũy đẳng liên kết với dàn vectơ cũng được giới thiệu và nghiên cứu
Chương 3: Các định lí cơ bản Chương 3 cũng là chương cuối cùng của luận văn Chương này phát biểu và chứng minh các định lí cơ bản của Giải tích hàm lũy đẳng như định lí cơ bản về phiếm hàm, định lí dạng Hahn – Banach, định lí Banach – Steinhaus và định lí đồ thị đóng, tích vô hướng, định lí Riesz – Fischer
Luận văn phân tích sự tương đồng và khác biệt giữa Giải tích hàm lũy đẳng và Giải tích hàm thông thường, giúp học viên nắm vững kiến thức về Giải tích hàm, Giải tích thực, Tôpô đại cương và Đại số đại cương Qua đó, sinh viên có thể nhận ra mối liên hệ chặt chẽ giữa các lĩnh vực này, áp dụng kiến thức vào việc học tập các vấn đề mới và làm quen với nghiên cứu khoa học Luận văn cũng sẽ trở thành tài liệu tham khảo hữu ích cho sinh viên Đại học và học viên Cao học chuyên ngành Giải tích.