Giải tích hàm lũy đẳng

M Ở ĐẦU Giải tích hàm thông thường nghiên cứu các không gian vectơ tôpô trên trường số thực hoặc số phức với các phép toán tự nhiên và các ánh xạ tuyến tính liên tục giữa chúng.. Trong G

B Ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HỒ CHÍ MINH

Lê Đại Dương

GI ẢI TÍCH HÀM LŨY ĐẲNG

Thành ph ố Hồ Chí Minh – 2015

B Ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HỒ CHÍ MINH

Lê Đại Dương

PGS TS NGUYỄN BÍCH HUY

Thành ph ố Hồ Chí Minh – 2015

L ỜI CẢM ƠN

uận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS TS Nguyễn Bích Huy Tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy - người đã cung cấp tài liệu, từng bước hướng dẫn phương pháp nghiên cứu khoa học cùng

những kinh nghiệm thực hiện đề tài và truyền đạt những kiến thức quý báu trong suốt quá trình thực hiện luận văn

Xin chân thành cảm ơn quý thầy cô trong tổ Giải tích, khoa Toán – Tin trường Đại học Sư Phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã tận tình giảng dạy, giúp tôi nâng cao trình độ chuyên môn và phương pháp làm việc hiệu quả trong suốt khóa học cao học

Chân thành cảm ơn quý thầy cô phòng sau đại học trường Đại học Sư Phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi thực hiện luận văn này

L

MỤC LỤC

M Ở ĐẦU 1

Chương 1 NỬA VÀNH VÀ NỬA TRƯỜNG LŨY ĐẲNG 3

1.1 Nửa nhóm lũy đẳng 3

1.1.1 Nửa nhóm 3

1.1.2 Nửa nhóm lũy đẳng 3

1.1.3 Nửa nhóm dàn 4

1.1.4 Nửa nhóm lũy đẳng a -đầy đủ (b -đầy đủ) 4

1.1.5 a -đồng cấu và b -đồng cấu 6

1.1.6 Ánh xạ a - chính quy và b -chính quy 8

1.1.7 Tính nửa liên tục 10

1.1.8 Các ví dụ 13

1.2 Nửa vành và nửa trường lũy đẳng Ví dụ 17

1.2.1 Nửa vành lũy đẳng 17

1.2.2 Nửa trường lũy đẳng 18

1.2.3 Các ví dụ 18

1.3 Nửa vành đầy đủ 19

1.3.1 Nửa vành a -đầy đủ và b -đầy đủ 19

1.3.2 Dàn b -đầy đủ 19

1.3.3 Dàn có thứ tự 20

1.4 Làm đầy nửa vành 21

1.4.1 Tựa trường 21

1.4.2 Nửa vành a -chính quy và b -chính quy 21

Chương 2 NỬA MÔĐUN LŨY ĐẲNG, KHÔNG GIAN LŨY ĐẲNG 25

2.1 Các khái niệm cơ bản Không gian lũy đẳng 25

2.1.1 Các khái niệm cơ bản 25

2.1.2 Nửa môđun đầy đủ và nửa môđun chuẩn tắc 26

2.1.3 Không gian lũy đẳng 27

2.2 Ánh xạ và phiếm hàm tuyến tính 28

2.3 Nửa môđun và không gian lũy đẳng liên kết với dàn vectơ 30

Chương 3 CÁC ĐỊNH LÍ CƠ BẢN 34

3.1 Định lí cơ bản về phiếm hàm 34

3.2 Định lí Hahn – Banach 38

3.3 Định lí Banach – Steinhaus và định lí đồ thị đóng 39

3.4 Tích vô hướng, định lí Riesz - Fischer 40

K ẾT LUẬN 45

TÀI LI ỆU THAM KHẢO 46

M Ở ĐẦU

Giải tích hàm thông thường nghiên cứu các không gian vectơ tôpô trên trường

số thực hoặc số phức với các phép toán tự nhiên và các ánh xạ tuyến tính liên tục giữa chúng Từ những năm 1980, xuất phát từ việc nghiên cứu các phương trình Vật lí – Toán, nhà toán học Xô viết V.Maslov và các học trò của ông đã xây dựng Lí thuyết

Giải tích lũy đẳng Trong Giải tích lũy đẳng các hàm số, độ đo, metric nhận giá trị trong các nửa vành lũy đẳng, tức là các nửa vành với phép cộng Å có tính chất

a Å =a a Ví dụ đơn giản nhất và cũng thường dùng nhất về nửa vành lũy đẳng là

tập { È +¥{ } với phép cộng Å và phép nhân  được định nghĩa như sau

{ }

a Å =b a b , a b = +a b ( )1 Tương tự như không gian vectơ với phép cộng giữa hai phần tử và phép nhân

phần tử với số thuộc { hoặc  có thể xây dựng các nửa môđun với phép cộng lũy đẳng giữa các phận tử và nhân phần tử với các số thuộc nửa vành lũy đẳng, từ đó xây

dựng được Giải tích hàm lũy đẳng với các hướng nghiên cứu tương tự Giải tích hàm thông thường

Một số ánh xạ trên một không gian hàm với các phép toán thông thường về

cộng hàm và nhân hàm với số có thể không là ánh xạ tuyến tính, nhưng khi xét các phép toán ( )1 thì không gian hàm đó là nửa môđun với phép cộng lũy đẳng và ánh xạ

là tuyến tính Nhờ đó ta có thể nghiên cứu chúng nhờ Giải tích lũy đẳng Đây chính là

một trong các lí do mà Giải tích hàm lũy đẳng được các nhà Toán học từ nhiều nước quan tâm, nghiên cứu và tìm được những ứng dụng rộng rãi trong các lĩnh vực Tính toán khoa học, Vật lí – Toán, Toán kinh tế, Xác suất – Thống kê

Giải tích hàm lũy đẳng là một lĩnh vực tương đối mới của Toán học và chưa được phổ biến rộng rãi trong cộng đồng Toán học ở nước ta, các tài liệu tham khảo

tiếng Việt cũng chưa có Việc thực hiện luận văn Thạc sĩ với đề tài “Giải tích hàm lũy đẳng” giúp hình thành một tài liệu tham khảo về Giải tích hàm lũy đẳng

Mục tiêu của luận văn là trình bày chi tiết và hệ thống các khái niệm và kết quả

cơ bản của Giải tích hàm lũy đẳng như nửa nhóm, nửa vành, nửa trường lũy đẳng, nửa môđun lũy đẳng; không gian lũy đẳng; các ánh xạ và phiếm hàm tuyến tính; các định lí

cơ bản dạng định lí Hahn – Banach, Banach – Steinhaus, đồ thị đóng

Luận văn được viết dựa trên việc tìm hiểu các sách chuyên khảo và các bài báo khoa học có liên quan đến đề tài Phân tích tổng hợp các kiến thức thu được và trình bày chúng theo thể thống nhất, khoa học và chi tiế

Luận văn gồm 3 chương với các nội dung chính của từng chương như sau:

Chương 1 Nửa vành và nửa trường lũy đẳng Trong chương này trình bày các khái

niệm cơ bản của Giải tích lũy đẳng như nửa nhóm lũy đẳng, nửa vành lũy đẳng, tựa trường và nửa trường lũy đẳng cùng các ví dụ điền hình Khái niệm về nửa vành đầy

đủ và quá trình làm đầy nửa vành được trình bày ở cuối chương

Chương 2: Nửa môđun lũy đẳng, không gian lũy đẳng Chương 2 tiếp tục trình bày

các khái niệm nửa môđun lũy đẳng và không gian lũy đẳng Các kết quả về ánh xạ tuyến tính và các phiếm hàm tuyến tính trên các không gian lũy đẳng a -chính quy và

b -chính quy là nội dung quan trọng của chương này Ngoài ra, các nửa môđun và không gian lũy đẳng liên kết với dàn vectơ cũng được giới thiệu và nghiên cứu

Chương 3: Các định lí cơ bản Chương 3 cũng là chương cuối cùng của luận văn

Chương này phát biểu và chứng minh các định lí cơ bản của Giải tích hàm lũy đẳng như định lí cơ bản về phiếm hàm, định lí dạng Hahn – Banach, định lí Banach – Steinhaus và định lí đồ thị đóng, tích vô hướng, định lí Riesz – Fischer

Chương 1

N ỬA VÀNH VÀ NỬA TRƯỜNG LŨY ĐẲNG

1.1 N ửa nhóm lũy đẳng

1.1.1 N ửa nhóm

Nhắc lại rằng, nửa nhóm là một tập hợp khác rỗng được trang bị một phép toán

có tính chất kết hợp gọi là phép cộng (với nửa nhóm cộng) hay phép nhân (với nửa nhóm nhân) Một nửa nhóm có phần tử trung hòa hay đơn vị (ta gọi là phần tử 0 với

nửa nhóm cộng và phần tử 1với nửa nhóm nhân) là một vị nhóm

1.1.2 N ửa nhóm lũy đẳng

Định nghĩa 1.1 Nửa nhóm lũy đẳng là một nửa nhóm cộng S với phép cộng có tính

chất kết hợp kí hiệu là Å sao cho x Å = với mọi xx x Î Nếu nửa nhóm này là S

một vị nhóm thì phần tử trung hòa của nó được kí hiệu là 0 hay 0S

Một nửa nhóm lũy đẳng là một tập được sắp thứ tự bộ phận với quan hệ thứ tự trong định nghĩa sau:

Định nghĩa 1.2 Trên nửa nhóm lũy đẳng S ta xét quan hệ thứ tự £ sau

x £y nếu x Å = vy y ới x y, ÎS

Quan hệ thứ tự £ trên là quan hệ thứ tự bộ phận

Trong mục này và các mục tiếp theo, ta luôn giả thiết rằng các nửa nhóm lũy đẳng và các nửa vành lũy đẳng đều được sắp thứ tự với thứ tự xét ở trên Các quan hệ

thứ tự ³ < >, , được định nghĩa tương tự Chẳng hạn, quan hệ x < y được hiểu là

x £y và x ¹ y

Có thể kiểm tra rằng Định nghĩa 1.2 là hợp lí và xác định một quan hệ thứ tự

Từ định nghĩa suy ra 0£ vx ới mọi x Î nếu S là vị nhóm Gọi I hay S I là phS ần

tử của S thỏa mãn x £ I với mọi x Î (nếu phần tử đó tồn tại) Khi đó phần tử này S

là duy nhất Rõ ràng 0 = infS = supÆ và I = supS = infÆ trong đó Æ là tập con

Do đó lớp tất cả các nửa nhóm lũy đẳng trùng với lớp tất cả các Ú - nửa dàn

Cho nửa nhóm lũy đẳng S là một dàn có thứ tự Với x y, ÎS, kí hiệu

{ }

inf x y, = Ùx y

{ }

sup x y, = x Åy

Ta gọi S là một nửa nhóm dàn hay đơn giản là một dàn

Định nghĩa 1.3 Nửa nhóm lũy đẳng S o được gọi là đối ngẫu với nửa nhóm lũy đẳng

S nếu S o có tập con gồm tất cả các phần tử của S được trang bị với phép cộng lũy

đẳng ,x y  x Ùy

Chú ý rằng các phép toán Ú = Å và Ù có tính chất kết hợp và giao hoán với các tập toán hạng bất kì

1.1.4 N ửa nhóm lũy đẳng a -đầy đủ (b -đầy đủ)

Cho S là t ập được sắp thứ tự bộ phận S được gọi là đầy đủ nếu mọi tập con

X c ủa S (kể cả Æ) đều có inf X và sup X Tập S được gọi là đầy đủ bị chặn nếu

mỗi tập con khác rỗng của S bị chặn trên (tương ứng bị chặn dưới) thì có cận trên nhỏ

nhất (tương ứng có cận dưới lớn nhất)

B ổ đề 1.1 Nếu mọi tập con S b1 ị chặn trên của S có supS thì m1 ọi tập con S b2 ị

chặn dưới của S đều có inf S N2 ếu mọi tập con X b1 ị chặn dưới của S có

trong đó X ÌS bất kì Kí hiệu S là tập hợp tất cả các lát cắt được trang bị quan hệ

thứ tự I1 £I2 Û I1 É I2, S g ọi là mở rộng (completion) của tập được sắp thứ tự S

Ánh xạ i x:  I( { }x ) là phép nhúng S vào S có các tính chất sau:

1 Phép nhúng i S:  bS ảo toàn các cận trên đúng và cận dưới đúng tồn tại trong S Nh ờ đó ta có thể đồng nhất S với tập con của S

2 Lát cắt I X trùng v( ) ới sup i X v( ( ) ) ới mọi X Ì S, nghĩa là mọi phần tử của

S đều là cận trên đúng của tập con X nào đó của S

5 S có cấu trúc của nửa nhóm lũy đẳng (x Å =y sup ,{ }x y ) Nếu S là nửa

nhóm lũy đẳng thì phép nhúng S  là mS ột đồng cấu nửa nhóm Trong

trường hợp này, ta nói S là a - m ở rộng của S

Tập hợp S g b ồm tất cả các lát cắt dạng I X( ), trong đó X chạy trong tập tất

cả các tập con bị chặn trên của S , là tập đầy đủ bị chặn  S là n b ửa nhóm con của S

Nếu S là nửa nhóm lũy đẳng thì  S b được gọi là b - mở rộng của S

Dễ thấy S g b ồm tất cả các phần tử của S làm trội từ các phần tử của S Lát cắt

( ) b

I Æ ÎS là phần tử 0 của S b

Định nghĩa 1.4 Nửa nhóm lũy đẳng S được gọi là a - đầy đủ nếu S được sắp thứ tự

và S đầy đủ S được gọi là b -đầy đủ nếu S được sắp thứ tự, S đầy đủ bị chặn và có

ChoX là m ột tập con của nửa nhóm lũy đẳng S Ta kí hiệu

Với hai nửa nhóm lũy đẳng S và T , ta có định nghĩa sau:

Định nghĩa 1.5-a Giả sử các nửa nhóm S và T là a -đầy đủ Ta nói một đồng cấu :

g S T liên t ục đại số hay một a - đồng cấu nếu

g(ÅX) = Åg X( ) ( )1.1 Nghĩa là

với X là tập con bất kì của S

Điều kiện ( )1.2 còn được gọi là liên tục đơn điệu

Định nghĩa 1.5-b Cho S và T là các nửa nhóm lũy đẳng b -đầy đủ Một đồng cấu

:

g S T được gọi là liên tục đại số bị chặn hay b -đồng cấu nếu điều kiện ( )1.1hay ( )1.2 được thỏa mãn với X Ì S bị chặn trên

Với các nửa nhóm lũy đẳng S và T bất kì, đồng cấu g S: T là b -đồng

cấu nếu nó có thể mở rộng tới S b b ởi một b -đồng cấu g S: b Tb của các nửa

nhóm lũy đẳng b -đầy đủ tương ứng

Áp dụng ( )1.1 cho tập rỗng ta thấy rằng các a - đồng cấu và b -đồng cấu

biến 0 thành 0 nếu phần tử 0 tồn tại Trong trường hợp tổng quát, một a -đồng cấu

S T không nhất thiết biến I =S supS thành I =T supT cho dù cả hai đều tồn tại

M ệnh đề 1.1 Tích của các a - đồng cấu (tương ứng các b -đồng cấu) là một a

-đồng cấu (tương ứng một b đồng cấu)

Mệnh đề được suy ra trực tiếp từ các định nghĩa

Kí hiệu Hom(S S là t1, 2) ập gồm tất cả các đồng cấu từ nửa nhóm lũy đẳng S 1

vào nửa nhóm lũy đẳng S ; 2 Homa(S S ch1, 2) ỉ tập gồm tất cả các a -đồng cấu và

M ệnh đề 1.2 Các tập hợp Hom(S S , 1, 2) Homa(S S và 1, 2) Homb(S S là các 1, 2)

nửa nhóm lũy đẳng với các tổng tương ứng Nếu S là n2 ửa nhóm a -đầy đủ (tương

ứng b - đầy đủ) thì Homa(S S 1, 2) (tương ứng Homb(S S ) là n1, 2) ửa nhóm a -đầy

đủ (tương ứng b - đầy đủ)

Từ các định nghĩa trực tiếp suy ra mệnh đề trên

1.1.6 Ánh x ạ a - chính quy và b -chính quy

Định nghĩa 1.6 Cho S là một nửa nhóm lũy đẳng Đặt X£ = Low Up( ( )X ) với

X Ì S Ta gọi X£ là o - bao đóng của X

Chú ý rằng o -bao đóng của tập rỗng có thể không rỗng

Định nghĩa 1.7 Cho S và T là các nửa nhóm lũy đẳng Ánh xạ : f S  được gọi T

là a - chính quy nếu f X( )£ Ì f X( )£ với mọi X Ì S f được gọi là b -chính quy

nếu f X( )£ Ì f X( )£ với mọi tập bị chặn trên X Ì S

Dễ kiểm tra các ánh xạ b -chính quy và do đó các ánh xạ a -chính quy là các

đồng cấu nửa nhóm lũy đẳng Phát biểu mạnh hơn được trình bày trong Mệnh đề 1.3

Ví dụ Trên { trang bị cấu trúc nửa nhóm lũy đẳng với phép toán Å = max Ánh xạ :f {  { là đồng cấu nửa nhóm lũy đẳng từ { vào chính nó nếu f không

giảm Đồng cấu f là b -chính quy ( a -chính quy) khi và chỉ khi f nửa liên tục dưới

(khái niệm nửa liên tục dưới được trình bày cụ thể ở các phần tiếp theo)

Có thể kiểm tra các mệnh đề sau đây một cách dễ dàng:

Mệnh đề 1.3 Cho S và T là các nửa nhóm lũy đẳng Ánh xạ f S: T là a

-chính quy (tương ứng b chính quy) và biến 0 thành 0 khi và chỉ khi f là a -đồng

cấu (tương ứng b -đồng cấu)

M ệnh đề 1.4 Đồng cấu f từ nửa nhóm lũy đẳng S vào nửa nhóm lũy đẳng T là a đồng cấu khi và chỉ khi f là b -đồng cấu và Up(f X( ) )= Up(f S( ) ) với mọi

M ệnh đề 1.5 Cho ,S T và U là các nửa nhóm lũy đẳng Khi đó:

1 S T´ = ´ S T  trong đó   S T S T´ , , thứ tự là mở rộng của tích trực tiếp

S T ´ ,S ,T Nghĩa là tồn tại một phép đẳng cấu chính tắc đồng nhất các nửa nhóm này

2 Các đẳng thức sau đẳng thức sau đây là đúng:

Å(X Y´ ) (= ÅX) (´ ÅY ) ( )1.3 Low(X Y´ )= Low( )X ´Low( )Y

( )1.4

Up(X Y´ )= Up( )X ´Up( )Y

( )1.5

Với X ÌS Y, ÌT

3 Ánh xạ f S T: ´ U được gọi là a -đồng cấu tách (separate

homomorphism) (tương ứng b -đồng cấu tách) khi và chỉ khi f có thể mở

rộng duy nhất tới S (tương ứng tới  S ) b b ằng một a -đồng cấu rời rạc

:

f S T´ U

 (tương ứng b -đồng cấu rời rạc f S:  b´T b Ub )

Ta chứng minh Mệnh đề 2.3 cho trường hợp S và T là a -đầy đủ và a

-chính quy Để ý rằng, trong nửa nhóm lũy đẳng a -đầy đủ ta có:

1.1.7 Tính n ửa liên tục

Kí hiệu { = {È -¥ +¥{ , } Trên { xét thứ tự thông thường £ và trang bị

cấu trúc tôpô thông thường trên { thì không gian tôpô đồng phôi với 1,1éë- ùû

Một hàm :f T  { xác định trên không gian tôpô T bất kì được gọi là nửa

liên t ục dưới nếu với mỗi số thực s thì tập T s = {t ÎT f t( )£s} đóng trong T

Điều kiện này tương đương với tập T s = {t ÎT f t( )>s} mở trong T Khái niệm

n ửa liên tục trên được định nghĩa hoàn toàn tương tự Hàm f nửa liên tục trên khi và

chỉ khi -f nửa liên tục dưới Rõ ràng, một hàm nhận giá trị thực liên tục khi và chỉ khi hàm này nửa liên tục trên và nửa liên tục dưới Ta gọi tập hợp

( ) { ( ) ( ) }

epi f = t s f t, £s Ì ´T {

là đồ thị trên của hàm f Một hàm f nhận giá trị hữu hạn nửa liên tục dưới khi và chỉ khi đồ thị trên của f đóng Do đó, một tập con của T là tập mở (tương ứng đóng) khi

và chỉ khi hàm đặc trưng của nó nửa liên tục dưới (tương ứng nửa liên tục trên)

Giả sử { }f a aÎ A là họ các hàm f a :T  { Khi đó bao dưới inf f a a (tương

ứng bao trên sup f a a ) là hàm xác định trên T và xác định infa(f t a( ) ) (tương ứng

( )

( )

supa f t a ) với mỗi t ÎT Ta có kết quả nổi tiếng sau đây: bao trên của họ { }f a

các hàm nửa liên tục dưới trên T thì nửa liên tục dưới Và ta có kết quả tương cho

trường hợp bao dưới của họ các hàm nửa liên tục trên

Khái niệm nửa liên tục có thể mở rộng cho các ánh xạ f T:  S trong đó T

là không gian tôpô và S là tập được sắp thứ tự bộ phận Ta nói f nửa liên tục dưới

nếu tập

T s = {t ÎT f t( )£s} ( )1.7

mở trong T với mọi s ÎS Ánh xạ f nửa liên tục trên nếu f nửa liên tục dưới với

thứ tự đối ngẫu trong S

Định nghĩa 1.9 Nửa nhóm lũy đẳng tôpô S là nửa nhóm lũy đẳng S được trang bị

với tôpô sao cho nửa nhóm con S b = {s ÎS s £b} của S là tập đóng với mọi

b ÎS

Mệnh đề 1.6a Giả sử T và S là các nửa nhóm lũy đẳng tôpô b đầy đủ, S là a

-đầy đủ, và với mỗi nửa nhóm con bị chặn, khác rỗng X ÌT ta có Å ÎX X trong đó

X là bao đóng của X trong T Khi đó đồng cấu f T:  S với f ( )0T = 0S là

a -đồng cấu khi và chỉ khi f nửa liên tục dưới

Chứng minh

( )Ü Giả sử f nửa liên tục dưới Với nửa nhóm bị chặn bất kì X ÌT, đặt

( )

s = Åf X Rõ ràng X ÌT s với T s được định nghĩa trong ( )1.7 Ta có T s đóng và

từ giả thiết có Å ÎX T s hay f(ÅX)£ = Ås f X( ) Vì f bảo toàn thứ tự nên

( ) ( )

f ÅX ³ Åf X dẫn tới f (ÅX)= Åf X( ) với X là nửa nhóm con bị chặn và

không rỗng trong T Với tập X bất kì và Æ ¹ X ÌT, ta kí hiệu XÅ là nửa nhóm con của T sinh bởi X , nói cách khác XÅ bao gồm tất cả các tổng hữu hạn của các

phần tử trong X Do f là đồng cấu nên f X( )Å = f X( )Å và với chú ý rằng

f = Chiều đảo của mệnh đề được chứng minh

( )Þ Giả sử f là a -đồng cấu Ta cần chứng minh T s đóng trong T với mọi s ÎS

tức là cần chỉ ra rằng mọi lưới các phần tử của T có gi s ới hạn trong T s

là b -đồng cấu khi và chỉ khi thu hẹp của f là nửa nhóm con T x = {t ÎT t £ x}

nửa liên tục dưới với mọi x ÎT

Do T x là nửa nhóm lũy đẳng a - đầy đủ và f T( )x thuộc nửa nhóm lũy đẳng

a -đầy đủ S f x( ) = {s ÎS s £ f x( ) } nên mệnh đề 1.6-b là hệ quả trực tiếp của

mệnh đề 1.6-a

Nhận xét 1.1 Giả sử nửa nhóm lũy đẳng tôpô T thỏa các điều kiện của mệnh đề 1.6-a

(tương ứng mệnh đề 1.6-b) thì nửa nhóm con bất kì X ÌT cũng thỏa mãn các điều

kiện này nếu X đóng với tôpô trên T và đóng với tổng bất kì các tập con (tương ứng

các các tập con bị chặn trên)

1.1.8 Các ví d ụ

Ví d ụ 1.1 { là nửa nhóm lũy đẳng với phép toán x Å =y max{ }x y, = sup ,{ }x y

và thứ tự thông thường £ Kí hiệu {max = { È -¥{ } là vị nhóm lũy đẳng có đơn

vị 0 = -¥ {max là b -mở rộng của nửa nhóm lũy đẳng { nên {max b -đầy đủ

Mở rộng {max = {max È +¥ ={ } {È +¥ È -¥{ } { } là một nửa nhóm lũy đẳng a -đầy đủ Trên nửa nhóm o -đối ngẫu với thứ tự đối ngẫu ³ và phép toán

{ }

min ,

x Å =y x y , tương tự ta có vị nhóm {min = { È +¥{ } và mở rộng

min = È +¥ È -¥{ } { }

{ { Rõ ràng {max @ {min và {max @ {min

Ví d ụ 1.2 {max @ ë ûé0,1ù với phép toán x Å =y max{ }x y,

Ví d ụ 1.3  là nửa nhóm lũy đẳng với phép toán x Å =y max{ }x y, Kí hiệu

{ }

max = È -¥

  là nửa nhóm lũy đẳng b -đầy đủ có đơn vị 0 = -¥ mà ta đã

bổ sung thêm Tiếp tục bổ sung thêm phần tử lớn nhất I = +¥ cho max ta được mở

rộng max Các nửa nhóm lũy đẳng này đều là các nửa nhóm con của { , {max,



max

{ Các nửa nhóm lũy đẳng min và min được định nghĩa hoàn toàn tương tự

Ví dụ 1.4 Cho X là tập hợp bất kì và S là nửa nhóm lũy đẳng Kí hiệu Map(X S, )

là tập gồm tất cả các ánh xạ f X: S Trên Map(X S , ) ta định nghĩa quan hệ thứ

tự như sau

f £ Ûg f x( )£g x( )," Îx X

( )1.8

( )

Map X S v, ới thự tự trên và phép toán f g,  f Åg là nửa nhóm lũy đẳng

Ví d ụ 1.5 Kí hiệu B X S là n( , ) ửa nhóm con của Map(X S g, ) ồm các hàm bị chặn thì B X S b -( , ) đầy đủ khi và chỉ khi S b -đầy đủ Trường hợp S º { ta viết

Khi đó C X( ) là nửa nhóm lũy đẳng

Ví d ụ 1.7 Kí hiệu USC X( ) (tương ứng (LSC X( ) )) là tập các hàm thực nửa liên

tục trên (tương ứng nửa liên tục dưới) trên không gian tôpô X Ta đã biết rằng hàm

với mọi x Î X với { }f v là họ các hàm nửa liên tục trên Tương tự, f x( ) nửa liên tục dưới nếu

( ) sup( v( ) )

v

f x = f x (1.10 ')

với mọi x Î X với { }f v là họ các hàm nửa liên tục dưới Khi đó USC X( ) và ( )

LSC X là các tập con của tập được sắp thứ tự bộ phận Map(X,{) Do vậy ( )

USC X và LSC X( ) được sắp thứ tự bộ phận với thứ tự cảm sinh sau

f £ g Û f x( )£ g x( ) (1.11)

với mọi x Î X Ta trang bị thêm phép toán

f Å =g sup{f g, }

(1.12)

cho USC X( ) và LSC X( ) thì USC X( ) và LSC X( ) trở thành các nửa nhóm lũy đẳng và đều là các nửa nhóm con của Map(X,{)

Nh ận xét 1.2 Một cách tổng quát, các cận trên đúng và cận dưới đúng của các tập vô

hạn trong Map(X,{) và trong các nửa nhóm con USC X( ), LSC X( ) không trùng nhau Chỉ có cận trên đúng rong LCS X( ) cũng là cận trên đúng trong Map(X,{)

và chỉ có cận dưới đúng trong USC X( ) cũng là cận dưới đúng trong Map(X,{)

Mọi tập bị chặn dưới trong USC X( ) đều có cận dưới đúng nên từ bổ đề 1.1 suy ra

nửa nhóm lũy đẳng USC X( ) là một dàn b -đầy đủ Lập luận tương tự ta có

( )

LSC X cũng là một dàn b -đầy đủ

Ví d ụ 1.8 Nhắc lại rằng, hàm f X : { được gọi là lồi nếu đồ thị trên epi f( ) của

f là tập con lồi của X ´ { và f được gọi là lõm nếu -f là hàm lồi Tập

Conv X,{ các hàm thực lồi xác định trên tập con lồi X của một không gian vectơ nào đó là một nửa nhóm lũy đẳng (và là một dàn b -đầy đủ) với phép toán (1.12)

Conv X,{ là nửa nhóm con của Map(X,{) và phép nhúng là một a -đồng cấu

Ví d ụ 1.9 Tập Conc(X,{) các hàm thực lõm xác định trên tập con lồi X của một

không gian vectơ nào đó có cấu trúc của một nửa nhóm lũy đẳng với thứ tự cảm sinh (1.11) Conc(X,{) là một dàn nhưng không là nửa nhóm con của Map(X,{)

Ví d ụ 1.10 Cho (X,m) là không gian độ đo và L X1( ,m) là không gian Banach các hàm m -kh ả tích (khả tích theo độ đo m ) trên X Ta có L X1( ,m) là một nửa nhóm lũy đẳng hoàn toàn bị chặn được trang bị phép toán (1.12) và thứ tự (1.11), nghĩa là ( ) ( )

f x £ g x hầu khắp nơi Kết luận trên còn đúng cho không gian Banach

L X m là đầy đủ nhưng không b -đầy đủ hay a -đầy đủ Nếu bổ sung thêm phần

tử 0 cho các nửa nhóm này ta được các nửa nhóm b -đầy đủ

1.2 N ửa vành và nửa trường lũy đẳng Ví dụ

Nửa vành và nửa trường lũy đẳng là các đối tượng chính của toán học lũy đẳng

1.2.1 N ửa vành lũy đẳng

Định nghĩa 1.10 Nửa vành lũy đẳng là một nửa nhóm lũy đẳng K với phép cộng Å

và được trang bị thêm phép toán nhân  có tính chất kết hợp sao cho với mọi phần tử

x , y , z Î K

x  y Åz = x y Å x z (1.14) (y Åz)x =(y x) (Å z x) (1.14 ') Chú ý rằng a x £a y nếu x £y với mọi x y a, , ÎK

Phần tử 1Î K là đon vị của K nếu 1 là phần tử trung hòa với phép nhân,

nghĩa là với mọi x ÎK

Phần tử 0Î K còn kí hiệu là 0 Nếu không nói gì thêm, ta giả thiết rằng ¹K 0 1

Nếu một nửa vành có phần tử 0 thì đó cũng là phần tử 0 của nửa nhóm cộng trong

nửa vành Tuy nhiên, điều ngược lại có thể không đúng Chẳng hạn,  là nửa vành

với các phép toán Å = max,  = + Phần tử 1 chính là phần tử 0 của nửa nhóm

cộng nhưng không phải là phần tử 0 của nửa vành

Nửa vành lũy đẳng K là giao hoán nếu phép nhân trên nửa vành K có tính

giao hoán

1.2.2 N ửa trường lũy đẳng

Đĩnh nghĩa 1.11 Nửa vành chia lũy đẳng là một nửa vành lũy đẳng có đơn vị mà mọi

phần tử khác 0 đều khả nghịch Nửa trường lũy đẳng là một nửa vành chia lũy đẳng

giao hoán

1.2.3 Các ví d ụ

Ví d ụ 1.12 Các ví dụ trong mục 1.1.8 ở trên, ngoại trừ Ví dụ 1.11, đều có cấu trúc của

nửa vành lũy đẳng với các phép nhân thích hợp Trong ví dụ 11, nếu ta định nghĩa phép nhân  = min, ta được một nửa vành lũy đẳng không có đơn vị

Trong Ví dụ 1.1, ta định nghĩa phép nhân là phép toán cộng thông thường Với

với mọi x Î X Phép toán nhân trong các ví dụ còn lại ở 1.1 được định nghĩa tương tự

với lưu ý phép nhân các hàm thực

(f g x)( ) = f x( )+g x( ) (1.18)

với mọi x Î X

Ví dụ 1.13 Cho S là nửa nhóm lũy đẳng và Hom(S S, ) là nửa nhóm lũy đẳng các tự

đồng cấu từ S vào S Hom(S S, ) là nửa vành lũy đẳng với phép hợp các ánh xạ

1.3 N ửa vành đầy đủ

1.3.1 N ửa vành a -đầy đủ và b -đầy đủ

Định nghĩa 1.12 Nửa vành lũy đẳng K được gọi là a -đầy đủ (đầy đủ đại số) nếu

K là nửa nhóm lũy đẳng a -đầy đủ và với mọi { }x a Ì K, y ÎK,

Định nghĩa 1.13 Nửa vành lũy đẳng K được gọi là b -đầy đủ nếu K là nửa nhóm

lũy đẳng b -đầy đủ và đẳng thức (1.19) đúng với mọi tập con bị chặn trên{ }x a ÌK và với mọi y Î K

Nếu không giải thích gì thêm, ta luôn giả thiết rằng các nửa vành lũy đẳng b

-đầy đủ đều có phần tử 0

Rõ ràng, K a -đầy đủ thì K b -đầy đủ

1.3.2 Dàn b -đầy đủ

Định nghĩa 1.14 Nửa vành K được gọi là dàn b -đầy đủ nếu K là nửa vành lũy

đẳng b -đầy đủ có phần tử 0 và với mọi Æ ¹{ }x a Ì K, y ÎK \I

Chú ý rằng mọi tập con khác rỗng của K đều bị chặn dưới bởi 0 nên có cận

dưới đúng (chính là cận trên đúng của tập các cận dưới của tập con đó, theo Bổ đề 1.1)

Mệnh đề 1.7 Cho K là nửa vành chia lũy đẳng và K là nửa nhóm b -đầy đủ Khi

đó K là dàn b -đầy đủ Suy ra nửa trường lũy đẳng b -đầy đủ là dàn b -đầy đủ

Chứng minh

Ta cần chứng minh các đẳng thức (1.19) và (1.20) Trường hợp y = 0 là tầm thường Nếu y ¹ 0 thì y kh ả nghịch nên các phép vị tự x   và x x y   y x

khả nghịch và bảo toàn thứ tự, do đó bảo toàn cận trên đúng và cận dưới đúng Các đẳng thức (1.19) và (1.20) được chứng minh

Mệnh đề được chứng minh

1.3.3 Dàn có th ứ tự

Cho S là nửa nhóm (có thể không lũy đẳng) với phép nhân ,x y xy S được

gọi là dàn có thứ tự nếu S là một dàn và các phép tịnh tiến x  xy, x  yx bảo toàn thứ tự Kí hiệu S0 = S È{ }0 trong đó 0 là phần tử nhỏ nhất thỏa mãn

x = x =

0 0 0 với mọi x ÎS Nếu 0ÎS thì S0 =S Ta định nghĩa

{ }

sup ,

x Å =y x y với ,x y Î và S x Å = Å =0 0 x x với mọi x ÎS0

M ệnh đề 1.8 S là n0 ửa vành lũy đẳng với các phép toán cộng x Å =y sup{x y, }, phép toán nhân x y = xy và định nghĩa x Å = Å =0 0 x x với mọi x ÎS0

Mệnh đề 1.9 Nếu G là một nhóm dàn có thứ tự đầy đủ bị chặn thì G là n0 ửa vành

chia lũy đẳng b -đầy đủ, nghĩa là mọi phần tử khác không của G 0 đều khả nghịch

Mọi nửa vành chia lũy đẳng b -đầy đủ đều có dạng G v0 ới G là nhóm dàn có thứ tự

đầy đủ bị chặn

Các mệnh đề trên suy ra trực tiếp từ các định nghĩa

Mệnh đề 1.10 Mọi nửa vành chia lũy đẳng b -đầy đủ đều giao hoán (đều là nửa

trường lũy đẳng)

1.4 Làm đầy nửa vành

Cho K là nửa vành lũy đẳng

1.4.1 T ựa trường

Định nghĩa 1.15 Phần tử x ÎK là t ựa khả nghịch nếu tồn tại tập X gồm các phần

tử khả nghịch của K sao cho x = ÅX

Ta gọi nửa vành K là tựa vành chia nếu mọi phần tử khác không của K đều

tựa khả nghịch

Định nghĩa 1.16 Nửa vành K là đóng nguyên nếu x £ 1 và tập {x n n = 1,2, } bị

chặn trên với mọi x ÎK

Định nghĩa 1.17 Tựa vành chia lũy đẳng K là tựa trường nếu K đóng nguyên

Mệnh đề sau suy ra từ định nghĩa

M ệnh đề 1.11 Nửa trường đóng nguyên là tựa trường

1.4.2 N ửa vành a -chính quy và b -chính quy

Cho K là n ửa vành lũy đẳng Với nửa nhóm lũy đẳng K ta có thể xây dựng

các a -mở rộng K và b -mở rộng K Bây gi b ờ, ta xem xét điều kiện để trang bị K

(tương ứng K ) tr b ở thành nửa vành lủy đẳng a -đầy đủ (tương ứng b -đầy đủ) Ta

định nghĩa

( )

: ,

 

Định nghĩa 1.18 Nửa vành K được gọi là a -chính quy (tương ứng b -chính quy)

nếu m có mở rộng duy nhất m : K ´K  K (tương ứng m : Kb´Kb  Kb) xác

định cấu trúc nửa vành lũy đẳng a -đầy đủ (tương ứng b -dầy đủ) trên  K (tương ứng trên K ) b