Giải tích lũy đẳng

Giải tích lũy đẳng được hình thành từ những năm cuối thập niên 80 của thế kỉ 20 trong các công trình của nhà toán học Xô viết V.. Giải tích lũy đẳng nghiên cứu các hàm số, độ đo, … nhận

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Lê Thùy Trang

Thành ph ố Hồ Chí Minh – 2015

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Lê Thùy Trang

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên, tôi xin chân thành gửi lời cảm ơn đến Thầy PGS TS Nguyễn Bích Huy đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ, chỉ bảo và cho những góp ý quý báu trong

suốt thời gian qua để tôi hoàn thành bài luận văn Thạc sĩ

Tôi cũng xin chân thành cảm ơn Quý Thầy Cô thuộc khoa Toán và Phòng Sau đại học của trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã tận tình giảng dạy và hướng dẫn tôi trong suốt hai năm học qua

Tôi xin chân thành cảm ơn các bạn học viên Cao học Toán Giải tích khóa 24

và gia đình đã luôn động viên, khuyến khích và giúp đỡ trong thời gian tôi học tập và

thực hiện luận văn này

Tp H ồ Chí Minh, ngày 30 tháng 9 năm 2015

Học viên Cao học khóa 24

Lê Thùy Trang

MỤC LỤC

L ỜI CẢM ƠN 1

M ỤC LỤC 2

M ỘT SỐ KÝ HIỆU 2

M Ở ĐẦU 1

Chương 1 GIẢI TÍCH LŨY ĐẲNG 3

1.1 Nửa nhóm lũy đẳng và nửa vành lũy đẳng 3

1.2 Định lý cơ bản của Giải tích lũy đẳng 9

1.3 Độ đo và tích phân lũy đẳng 5 21

Chương 2 ÁNH XẠ TRONG CÁC NỬA 32

MÔ ĐUN LŨY ĐẲNG 32

2.1 Ánh xạ trên không gian hàm liên tục có giá trị trong nửa mô đun 32

2.2 Ánh xạ khả nghịch và ánh xạ compact 37

K ẾT LUẬN – KIẾN NGHỊ 44

TÀI LI ỆU THAM KHẢO 45

MỘT SỐ KÝ HIỆU

Những ký hiệu sau đây được sử dụng trong luận văn:

i

x ∈+ i= n

 max S : giá trị lớn nhất của tập S thường gọi là giá trị cực đại (maximum)

 min S : giá trị nhỏ nhất của tập S thường gọi là giá trị cực tiểu (minimum)

 sup S: cận trên đúng hay cận trên nhỏ nhất của tập S.

 inf S: cận dưới đúng hay cận dưới lớn nhất của tập S.

 exp(x): hàm nghịch đảo của hàm ln x( )

 Quan hệ thứ tự Perato ngược: a=(a1, ,a n)≤ =b (b1, ,b n)⇔a i≥b i ∀ =i 1,n

 Metric Hausdorff: H ( , ) max sup inf ( ), , sup inf ( ),

MỞ ĐẦU

Trong Giải tích thông thường, các hàm số, độ đo, metric,… nhận giá trị trong các trường số với các phép cộng, nhân tự nhiên Giải tích lũy đẳng được hình thành từ

những năm cuối thập niên 80 của thế kỉ 20 trong các công trình của nhà toán học Xô

viết V Maslov và các học trò của ông Giải tích lũy đẳng nghiên cứu các hàm số, độ

đo, … nhận giá trị trong nửa vành lũy đẳng tức là các nửa vành với phép cộng ⊕ có tính chất a⊕ =a a Ví dụ đơn giản nhất và thường dùng nhất về nửa vành lũy đẳng là

tập ∪ +∞{ } với phép cộng ⊕ và phép nhân  định bởi:

a⊕ =b max a b ab= +a b

Một số ánh xạ trên một không gian hàm với các phép toán thông thường về cộng hàm và nhân hàm với số, có thể không là ánh xạ tuyến tính nhưng khi trong không gian hàm đó ta xét các phép toán (1) thì chúng trở thành tuyến tính Nhờ vậy, chúng có

thể dễ nghiên cứu hơn Đây chính là một trong các lý do mà Giải tích lũy đẳng thu hút được sự quan tâm nghiên cứu của đông đảo các nhà Toán học trong những năm gần đây Giải tích lũy đẳng tìm được ứng dụng rộng rãi và sâu sắc trong các lĩnh vực như: Tính toán khoa học, Phương trình vi phân, Xây dựng nghiệm tiệm cận của các phương trình Vật lý – Toán, Toán kinh tế, Xác suất thống kê,…

Giải tích lũy đẳng là một lĩnh vực mới của Toán học, chưa được phổ biến rộng rãi trong cộng đồng Toán học ở nước ta Các tài liệu tham khảo về đề tài này bằng tiếng

việt cũng chưa có nhiều Do đó, việc tìm hiểu về Giải tích lũy đẳng là đề tài có ý nghĩa khoa học và thực tiễn đối với các học viên Cao học

Mục tiêu của luận văn là trình bày chi tiết và hệ thống các khái niệm, kết quả cơ

bản về nửa nhóm và nửa vành lũy đẳng, Không gian metric có giá trị trong nửa vành lũy đẳng, Độ đo lũy đẳng và tích phân theo độ đo lũy đẳng, Ánh xạ compact giữa các không gian lũy đẳng,…

Luận văn được viết dựa trên việc tìm hiểu các sách chuyên khảo và các bài báo khoa học có liên quan đến đề tài Phân tích, tổng hợp các kiến thức thu được và trình bày chúng theo thể thống nhất, khoa học và chi tiết Sử dụng các kiến thức và phương pháp suy luận của các bộ môn Giải tích hàm, Giải tích thực, Tô pô đại cương, Đại số đại cương

Luận văn chia thành 2 chương, gồm:

Chương 1: Giải tích lũy đẳng: trình bày các khái niệm cơ bản về nửa nhóm lũy đẳng, nửa vành lũy đẳng Tiếp theo phát biểu định lý cơ bản của Giải tích lũy đẳng cùng các

hệ quả và tính tương tự trong giải tích hàm thông thường Cuối cùng, xây dựng độ đo

và tích phân lũy đẳng

1.1 Nửa nhóm và nửa vành lũy đẳng

1.2 Định lý cơ bản của Giải tích lũy đẳng

1.3 Độ đo và tích phân lũy đẳng

Chương 2: Ánh xạ trong các nửa mô đun lũy đẳng: trình bày các lớp ánh xạ quan trọng trong Giải tích lũy đẳng gồm ánh xạ khả nghịch và ánh xạ compact

2.1 Ánh xạ trên không gian hàm liên tục có giá trị trong nửa mô đun

2.2 Ánh xạ khả nghịch và ánh xạ compact

Chương 1 GIẢI TÍCH LŨY ĐẲNG

Giải tích lũy đẳng được xây dựng trên khái niệm của nửa vành lũy đẳng

1.1 N ửa nhóm lũy đẳng và nửa vành lũy đẳng

1.1.1 Định nghĩa 5

- N ửa nhóm lũy đẳng là một tập hợp khác rỗng M được trang bị một phép toán ⊕

giao hoán, kết hợp (phép cộng thông thường) thỏa mãn:

i Phần tử trung lập 0 thỏa 0⊕ =a a với mỗi a∈M ;

ii Điều kiện lũy đẳng: a⊕ =a a với mọi a∈M

- 3 Quan h ệ thứ tự bộ phận trên một nửa nhóm lũy đẳng được định nghĩa bởi:

Ghi chú: Nếu mọi cặp điểm trong tập hợp sắp thứ tự bộ phận M đều có inf thì ta có

thể định nghĩa phép toán lũy đẳng a⊕ =b inf{ }a b,

(1.1)

Quan hệ thứ tự ngược lại, liên quan đến phép toán nửa nhóm, cho bởi công thức:

a⊕ =b sup{ }a b,

- Một nửa nhóm lũy đẳng M được gọi là nửa vành lũy đẳng nếu M trang bị thêm

một phép toán  kết hợp (phép nhân thông thường) thỏa mãn:

i Phần tử đơn vị 1 thỏa 1 a a= với mỗi a∈M ;

ii  phân phối với ⊕, nghĩa là:

a b⊕ =c ab ⊕ ac , (b⊕c)a=(ba) (⊕ ca);

iii 0a= ∀0, a .

Tính phân phối ii kéo theo tính chất thứ tự bộ phận: ∀a b c, , a≤ ⇔b ac≤bc.

- Một nửa vành lũy đẳng M được gọi là giao hoán (abel) nếu phép toán  giao hoán

- Một nửa nhóm (nửa vành) lũy đẳng M được gọi là nửa nhóm (nửa vành) lũy đẳng metric nếu có một metric ρ: M×M →  thỏa mãn các tính chất sau:

i Phép toán ⊕ (tương ứng phép toán ) liên tục đều trên tập sắp thứ tự bị chặn trong không gian tô pô sinh bởi metric ρ ,

ii ρ(a⊕b c, ⊕d)≤max(ρ( ) ( )a c, ,ρ b d, ) (tiên đề minimax), (1.2)

≤ ⇒ = (tiên đề đơn điệu) (1.3)

Tiên đề minimax kéo theo tính liên tục đều của ⊕ và bất đẳng thức minimax:

a b a b với πlà các hoán vị của tập {1, ,n}

Do metric ρ đơn điệu nên mọi tập sắp thứ tự bị chặn là bị chặn theo metric

- Cho tập hợp X , M =(M, ,⊕ ρ) nửa nhóm lũy đẳng metric

Tập B X M( , ) các ánh xạ bị chặn (có miền giá trị sắp thứ tự bị chặn) từ X vào M là

nửa nhóm lũy đẳng metric với phép toán ⊕ theo từng điểm (ϕ ψ⊕ )( )x =ϕ( )x ⊕ψ( )x ,

- Cho tập hợp X , A=(A, , ,⊕  ρ) nửa vành lũy đẳng metric

 Tập B X A( , ) mang cấu trúc của nửa mô đun – A; phép nhân  các phần tử thuộc A xác định trên B X A( , ) như sau:

(aϕ)( )x =aϕ( )x ∈B X A( , ) với x∈A

(Nửa mô đun – A là không gian các hàm có giá trị trên A (bị chặn) trên X.)

 Nếu X là không gian tô pô thì ký hiệu C X A( , ) là nửa mô đun con của các hàm liên tục trong B X A( , )

 Nếu X hữu hạn, X ={x1, ,x n},n∈ , thì C X A( , ) và B X A( , ) trùng nhau và có

thể đồng nhất với nửa mô đun A n ={ (a1 , ,a n):a j∈A}

Mọi vectơ a∈A n biểu diễn duy nhất dưới dạng tổ hợp tuyến tính ( )

1

=

=⊕n j j j

a a e với

{e j, j= 1, ,n}, j ( ; ; ; ; ; )

j

e = 0 0 1 0 là hệ cơ sở chuẩn của n

A Tương tự như trong đại

số tuyến tính, ta chứng minh được mọi phép đồng cấu m A: n →A (hay gọi là các hàm tuyến tính trên n

m a m a , m i∈A Do đó, nửa mô đun của các hàm tuyến tính trên n

A là đẳng cấu với A Tương tự, mọi phép tự đồng cấu

Ha h a , xác định bởi ma

Tích vô hướng (1.4) là một dạng song tuyến tính trên n

A đối với phép toán ⊕ và ,

và hệ cơ sở chuẩn của n

Đây là ví dụ đơn giản nhất và quan trọng nhất về nửa vành lũy đẳng metric

Ví d ụ 1.1’. A= ∪ −∞ { } với phép toán ⊕ =min , = + Khi đó, nửa vành lũy đẳng này đẳng cấu với nửa vành lũy đẳng metric trong ví dụ 1.1

Ví d ụ 1.2 A= + với phép toán ⊕ =min , = × Khi đó, nửa vành lũy đẳng này đẳng cấu với nửa vành lũy đẳng metric trong ví dụ 1.1 Phép đẳng cấu xác định bởi ánh xạ xexp x( )

Ví d ụ 1.3 A= ∪ ±∞ { } với phép toán ⊕ =min , =max, phần tử trung lập 0= +∞,

phần tử đơn vị 1= −∞và metric ρ( )a b, = arctana−arctanb

Ví d ụ 1.4 n

+

 với thứ tự Pareto ngược Khi đó, n

+

 là nửa vành lũy đẳng với phép

cộng ⊕tương ứng thứ tự Pareto ngược trong (1.1) và phép nhân  xác định như sau (ab)i= +a i b i

Ví d ụ 1.5 Tập con của một tập hợp cho trước có dạng nửa vành lũy đẳng với phép

toán ⊕ là phép hợp tập hợp,  là phép giao tập hợp Có nhiều dạng metric trên các

nửa vành này Ví dụ, nếu các tập con là compact của một không gian metric thì metric

là metric Hausdorff; nếu các tập con là đo được của một không gian độ đo hữu hạn thì metric có thể xác định như độ đo của sai phân đối xứng

Ví d ụ 1.6 Nửa vành của tự đồng cấu các nửa nhóm lũy đẳng

Cho M =(M, ,⊕ ρ) là nửa nhóm lũy đẳng metric; E=End M( )

Trên E xác định phép cộng ⊕ theo từng điểm (h⊕g)( ) ( )a =h a ⊕g a( ); phép nhân

 là phép hợp các ánh xạ (hg)( )a =h g a( ( ) ) Phần tử trung lập là tự đồng cấu hấp

thụ 0E với 0E( )a = ∀ ∈0 a M và phần tử đơn vị là tự đồng cấu đồng nhất 1E với ( )

E a = ∀ ∈a a M

1 Khi đó (E, ,⊕ ) là nửa vành lũy đẳng Ví dụ như:

 Cho M = ∪ +∞ { } là nửa nhóm lũy đẳng metric với phép toán ⊕ =min và metric ( )a b, e a e b

ρ = − − − Khi đó E=End M( ) là tập các ánh xạ đơn điệu liên tục của M

 Cho M thỏa điều kiện cộng tính mà mọi quả cầu B R ={a∈M:ρ( )a, 0 ≤R} là

compact Trên E=End M( ) xác định metric ( ) ( ( ) )

1

,1

,

2

n n n n

h g

h g

h g

ρρ

Ví d ụ 1.7 Nửa vành của tự đồng cấu các hàm nửa chuẩn (ánh xạ tuyến tính)

Một ánh xạ tuyến tính trên B X A( , )(hoặc trên C X A( , )⊂B X A( , )) là một ánh xạ liên

tục H B X A: ( , )→B X A( , ) (hoặc H C X A: ( , )→C X A( , )) thỏa mãn:

H ah⊕bg =aH h ⊕bH g với mọi hàm h g, ; với mọi hằng số a b,

Tập các ánh xạ như trên là nửa vành lũy đẳng metric với phép cộng ⊕ theo từng điểm;

phép nhân  là phép hợp các ánh xạ và metric là khoảng cách giữa hai ánh xạ xác

định bởi công thức:

(H H1 , 2) sup{ (H1( )f ,H2( )f ): f x( ) [ ], x}.

Phép nhân các phần tử của A chuyển nửa vành các ánh xạ thành nửa đại số, lũy đẳng

của đại số von Neumann

Như đã trình bày ở trên, với X hữu hạn, X ={x1, ,x n}, B X A( , ) đồng nhất với n

A và ánh xạ nửa đại số là đẳng cấu với nửa đại số của các ma trận n n× có giá trị trên A

Với các ma trận này, sự hội tụ theo metric tương đương với sự hội tụ mạnh (bằng

chứng minh trực tiếp, metric trên A thỏa mãn tiên đề minimax và tính liên tục đều của

Cho X là một nhóm tô pô và A là nửa vành lũy đẳng trong đó mọi tập con bị chặn

đều có inf Trên B X A( , ) xác định  lũy đẳng của tích chập bởi:

ch ập

1.2 Định lý cơ bản của Giải tích lũy đẳng

a 1 Đầu tiên, nhắc lại một số định nghĩa, định lý về các tập sắp thứ tự

- M là t ập sắp thứ tự bộ phận (không nghiêm ngặt) nếu trong M có quan hệ ≤ thỏa mãn tính phản xạ, bắc cầu và phản đối xứng M là t ập có hướng tăng (giảm) nếu

a b M c M a c b c a b M c M a c b c

- c∈M là c ận trên (cận dưới) của tập con Π ⊂M nếu c≥ p ∀ ∈Πp (c≤ p ∀ ∈Πp );

c là c ận trên nhỏ nhất (cận dưới lớn nhất) của Π nếu c là một cận trên (cận dưới)

của Π và c≤c' với mọi cận trên c' khác (c≥c' với mọi cận dưới c' khác)

- Tập E⊂M b ị chặn trên (bị chặn dưới) nếu E có cận trên (cận dưới)

- Tập sắp thứ tự bộ phận M là dàn đủ nếu mọi tập con của M bị chặn trên (bị chặn dưới) có cận trên nhỏ nhất sup (cận dưới lớn nhất inf )

b 1 Tiếp theo, nhắc lại một số định nghĩa, định lý về lưới

- Một lưới { }xα α ∈I trong tập tùy ý S là một ánh xạ từ tập chỉ số I vào S Dãy là trường hợp đặc biệt của lưới khi I = 

- Cho S là không gian tô pô x∈S là gi ới hạn (giới hạn từng điểm) của lưới

{ }xα α ∈I trong S nếu ∀ ∈V x, ∃ ∈ ∀ ≥ ⇒α I: β α xβ ∈V (với mỗi α∈I,

3) Với T và S là không gian tô pô, ánh xạ f T: →S liên tục ⇔ (xα →x trong T ⇒

- K là không gian compact nếu và chỉ nếu mọi lưới trong K có lưới con hội tụ

- Trong không gian thỏa tiên đề đếm được thứ nhất (ví dụ, không gian metric), tô pô xác định duy nhất qua sự hội tụ của các dãy

c 1 Tô pô sinh bởi thứ tự: Cho tập sắp thứ tự bộ phận M là một dàn đủ, ta định nghĩa:

- Lưới { }xα α ∈I trong M bị chặn, thì các giới hạn trên và giới hạn dưới xác định bởi:

lim xα inf sup xβ

2) Lưới { }xα α ∈I không giảm (không tăng) bị chặn trên (bị chặn dưới) có

limxα =supxα (lim xα =inf xα)

Tô pô sinh một quan hệ thứ tự nghiêm ngặt < trong Mbởi công thức:

{ }

int :

a< ⇔ ∈b b c c≥a

d 4 Nửa nhóm lũy đẳng metric

Dàn đủ M với quan hệ thứ tự ≤ tương ứng với ⊕và metric ρ gọi là nửa nhóm lũy đẳng metric nếu ρ thỏa:

M1 Lưới { }xα α ∈I ⊂M , xα →c trong tô pô cảm sinh bởi quan hệ thứ tự bộ phận tương đương ρ(xα,c)→0

M2 Tính bị chặn địa phương: Mọi quả cầu B R( )a ={y∈M :ρ( )y a, ≤R} bị chặn dưới

M3 Tính đơn điệu của metric: ( )

M4 Tính minimax của metric: ρ(a⊕b c, ⊕d)≤max(ρ( ) ( )a c, ,ρ b d, )

Điều kiện M4 kéo theo tính liên tục đều của phép cộng ⊕ trong M Tất cả ví dụ về

nửa nhóm trong 1.1.2 đều thỏa điều kiện M1 – M4

Bổ đề 1.1 Nếu mọi quả cầu B R( )x là compact trong không gian tô pô sinh b ởi metric

ρ , thì:

a) M4 → M2;

b) N ếu có M4 và M3, thì lưới hội tụ theo thứ tự thì hội tụ theo metric;

c) Gi ả sử có M4 và M5: ρ(sup a b sup c d( ), , ( ), )≤max(ρ( ) ( )a c, ,ρ b d, ) thì s ự hội tụ theo metric kéo theo s ự hội tụ theo thứ tự

Chứng minh

a) Giả sử M4 thỏa mãn và B R( )a compact

Xét tập Igồm các bộ hữu hạn α ={a1, ,a n}⊂Msắp thứ tự bởi quan hệ bao hàm

Thật vậy, { }xα bị chặn nên xα chứa trong quả cầu compact

Lấy một lưới con { }yβ β ∈J hội tụ của { }xα α ∈I Từ a) có c= limyβ ≤xα ∀ ∈α I

Do đó c≤inf x{ }α Mà ρ(yβ,c)→0 nên c=inf x{ }α

Vì metric ρ là đơn điệu nên ρ(xα,c)→0 Vậy c=inf x{ }α =limxα

Tương tự, chứng minh lưới { }xα α ∈I không tăng, bị chặn trên thì x ρ sup{ }x .

c) Cho { }xα α ∈I là một lưới hội tụ theo metric trong M: ρ(xα,c)→0 với c∈M Nên { }xα bị chặn suy ra xα chứa trong tập compact

Như chứng minh a) và M4, M5 thì nếu xα∈B R( )a , α α≥ ' thì với α α≥ ' các phần tử

β α ≥ hội tụ về c=limxα theo ρ

Do tính liên tục của ⊕ nên inf supxβ c supinf xβ , '

Nên lim xα ≤ ≤c lim xα ⇒lim xα =lim xα =c º

Bổ đề 1.2 a) Mỗi quả cầu B R( )a đều có cận dưới lớn nhất, i.e inf y{ ∈B R( )a }∈B R( )a ; b) N ếu a≠inf y U{ ∈ },U là lân c ận của a thì ∃ ∈c U c: <a ;

c) a< ≤ ⇒ <b c a c

Chứng minh

a) Với quả cầu B R( )a , xét lưới xα = ⊕ ⊕a1 a n =inf a( 1, ,a n) (α∈I)

Suy ra xα∈B R( )a (do tính chất minimax của metric ρ )

Lưới { }xα không tăng nên hội tụ về inf x{ }α , mà xα∈B R( )a nên inf x{ }α ∈B R( )a

b) Suy ra từ a)

c) Cho quả cầu B R( )b thỏa mãn a≤ y ,y∈B R( )b

Suy ra inf b z{ }, ∈B R( )b ,z∈B R( )c (do tính chất minimax của metric ρ )

Do đó, tương tự a) có a≤inf b B{ , R( )c } º

Một nửa nhóm lũy đẳng metric gọi là liên thông nếu mọi đoạn [ ]a b, ⊂M đều là tập liên thông

Bổ đề 1.3 Cho c là n ửa nhóm lũy đẳng metric liên thông Khi đó, mỗi đoạn

[ ]a b, ⊂M liên thông đường, nghĩa là tồn tại một ánh xạ liên tục f : 0,1[ ] [ ]→ a b, v ới

Tính minimax của metric M4 quan trọng và không hề tầm thường: M4 có thể không

thỏa với metric thông thường trên các không gian sắp thứ tự Nếu tính chất M4 bị vi

phạm thì bổ đề 1.1 và 1.2 không còn đúng

 Tính chất M4 không đúng với metric Euclide trên n

+

 với quan hệ thứ tự bộ phận Pareto, nhưng đúng với metric thông thường ρ( )x y, =max i=1, ,n x i−y i , { }i

x= x , { }i

y= y trên nửa nhóm lũy đẳng Hơn nữa, tính chất này không còn đúng nữa với

tập con của các tập sắp thứ tự Trong 2

Q⊂ +, với quan hệ thứ tự bộ phận Pareto, xét tập hợp các đường chéo C⊂Q với metric, quan hệ thứ tự như Q và phép toán

⊕ tương ứng (Hình 1.1) Dãy z k =(x k,y k) với 1

1 / 2

k k

và M1 cũng không thỏa dù các quả cầu đều là tập compact

 M4 không thỏa với tập con đã gạch trong Hình 1.2 kéo theo tính chất c) trong bổ

đề 1.2 không thỏa với các điểm a, b, c

Bây giờ, ta nghiên cứu ánh xạ từ không gian tô pôX vào nửa nhóm lũy đẳng metricM

Bổ đề 1.4 a) ρ(infx h x( ), infx g x( ) )≤supxρ(h x( ) ( ),g x ) v ới h g X, : →M b ị chặn; b) N ếu lưới {fα:X →M}α∈I các ánh x ạ liên tục là đơn điệu tăng (giảm) và hội tụ

t ừng điểm về f liên t ục, thì lưới sẽ hội tụ đều về f trên m ỗi tập compact

Dựa vào quan hệ thứ tự, ta có thể đưa ra hai định nghĩa về ánh xạ nửa liên tục

:

f X →M; tương tự định nghĩa cho hàm có giá trị thực

Định nghĩa 1.1 2

(ánh xạ nửa liên tục dưới, ánh xạ nửa liên tục trên)

Định nghĩa 1 Ánh xạ f :X →M được gọi là nửa liên tục dưới (trên) tại x∈X nếu

{ }xα α ∈I X

∀ ⊂ nếu lim xα α =x thì lim f x( )α ≥ f x( )(lim f x( )α ≤ f x( ))

Định nghĩa 2 Ánh xạ f :X →M được gọi là nửa liên tục dưới (trên) tại x∈X nếu( )

f x >a thì tồn tại lân cận U xcủa x sao cho f y( )>a f x( ( )< ⇒a f y( )<a) với

Với { }xα α ∈I ⊂X, lim xα α =x ⇒ lim f x( )α ≥ f x( ) (định nghĩa 1)

Mà f x( )>a nên lim f x( )α >a (bổ đề 1.2 c)) (vô lý)

2) Định nghĩa 2⇒Định nghĩa 1 Giả sử trái lại, định nghĩa 2 không đúng

Lấy { }xα α ∈I ⊂ X, lim xα α =x mà lim f x( )α ≥ f x( ) không đúng

Theo bổ đề 1.2 b), ∃c c: < f x( ) mà lim f x( )α ≥c không đúng

Với c< f x( ) thì c< f x( )α (định nghĩa 2) (vô lý).º

Định nghĩa 1.2 4 Ở những phần về sau, ta giả sử M là nửa nhóm lũy đẳng metric liên thông

Ta đặt C0∞(X M, ) là không gian các ánh xạ f :X →M trên không gian compact địa phương X mà f → 0 tại vô cực; tính hội tụ trên C0∞(X M, ) được xác định bởi metric đều dạngρ( )f g, = supX ρ(f x( ) ( ),g x )

Đặt C0 (X M, )⊂C0∞(X M, ) là không gian con các ánh xạ liên tục f :X →M có giá compact supp f0 ={x f x: ( )≠0} ; một lưới tùy ý hội tụ trong C0(X M, ) nếu lưới hội tụ trong metric đều ρ (nghĩa là hội tụ trong C0∞(X M, )) Và tồn tại tập compact K sao cho giá của chúng thuộc K từ lúc nào đó

Không gian C0(X M, ), cũng như C0∞(X M, ), là nửa nhóm lũy đẳng với phép cộng ⊕

lũy đẳng từng điểm, phép cộng này liên tục trên C0(X M, ) Không gian C0 (X M, )

không là một dàn đủ

Ta đặt L up là tập các ánh xạ f :X →M có thể được biểu diễn như giới hạn từng điểm

của các lưới đơn điệu tăng trong C0 (X M, ) có cùng một giá compact Các ánh xạ trong L up là nửa liên tục dưới Hàm đặc trưng của các điểm xác định bởi công thức:

a x

Đoạn a,0 liên thông trong Mnên với mỗi (U V, )∈I tồn tại h(U V, )∈C0(X M, ) sao cho h y( )∈   a,0 với y bất kỳ, supp h V0 ∈ và

Định lý 1.1 4 Cho M là n ửa nhóm lũy đẳng metric liên thông, m C: 0(X M, )→M là

m ột phép đồng cấu Khi đó có thể mở rộng ánh xạ m b ởi tính đơn điệu và liên tục thành ánh x ạ L up →M và ánh x ạ f M: ×X →M , ( ), ( )a

Vậy lim ( ) lim ( )'

I m hα J m h β

Ánh xạ ( ), ( )a

x

f a x =m g là nửa liên tục dưới (dùng định nghĩa 2)

Thật vậy, giả sử f a x( ), >c, theo bổ đề 2, b) ∃ <d a, U là lân cận của x, ánh xạ

Rõ ràng f thỏa mãn tính cộng đối với biến thứ nhất f a( ⊕b x, ) ( ) ( )= f a x, ⊕ f b x,

Tiếp theo ta chứng minh công thức (1.6)

Ta có infx f h x( ( ),x)=c ∀ ∈h C0 (X M, ).

Mặt khác m h( )≤ f h x( ( ),x) với mọi x nên m h( )≤c

Ta cần chứng minh m h( )≥c

Theo bổ đề 1.2 c) ta có phép kéo theo sau d< ⇒c m h( )≥d

Theo bổ đề 1.2 b), với x∈supp h0 , ∃ ∈h x C0(X M, ): h x( ) ( )y ≥h y ∀y, h x( ) ( )x =h x và

h =h ⊕ ⊕h (x1, ,x k∈I ) hội tụ về h và đơn điệu giảm

Do đó, hội tụ là đều Nên ( 1, , )

k

m h h ≥d suy ra m h( )≥d º

Định lý 1.2 4 M ỗi ánh xạ liên tục cộng tính B C: 0(X M, )→C0(X M, ) có th ể được

bi ểu diễn dưới dạng ( )( )Bh y = infx b x y h x( , , ( ) ). (1.7)

v ới b X: × ×X M →M mà b x y( , , ⋅) là m ột tự đồng cấu của nửa nhóm M v ới x y, ∈X

cho trước

Chứng minh được suy ra từ định lý 1.1

Giả sử M là nửa nhóm lũy đẳng metric được trang bị phép toán hai ngôi  giao hoán,

kết hợp, có phần tử đơn vị 1 Hơn nữa, giả sử  phân phối với ⊕, thỏa a0 = 0

Gi ả sử A= ∪ +∞ { } là n ửa vành được nhắc đến trong ví dụ 1.1, End là

n ửa vành các tự đồng cấu của nửa nhóm A và X là t ập compact Có một phép đẳng

c ấu giữa nửa vành của các ánh xạ cộng tính trên C X A( , )(nghĩa là ánh xạ