Các đường cong giải tích trên trường không acsimet trong phần bù các ước của siêu diện

HỒ CHÍ MINH Nguyễn Hữu Khởi CÁC ĐƯỜNG CONG GIẢI TÍCH TRÊN TRƯỜNG KHÔNG ACSIMET TRONG PHẦN BÙ CÁC ƯỚC CỦA SIÊU DIỆN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2016... HỒ CHÍ MIN

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Hữu Khởi

CÁC ĐƯỜNG CONG GIẢI TÍCH TRÊN TRƯỜNG KHÔNG ACSIMET

TRONG PHẦN BÙ CÁC ƯỚC CỦA SIÊU DIỆN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2016

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Hữu Khởi

CÁC ĐƯỜNG CONG GIẢI TÍCH TRÊN TRƯỜNG KHÔNG ACSIMET

TRONG PHẦN BÙ CÁC ƯỚC CỦA SIÊU DIỆN

Chuyên ngành : Hình học và tô pô

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan luận văn Thạc sĩ Toán học với đề tài “Các đường cong giải tích

trên trường không Acsimet trong phần bù các ước của siêu diện” do tôi thực hiện dưới

sự hướng dẫn của TS Nguyễn Trọng Hoà, không sao chép của bất cứ ai Nội dung của

luận văn có tham khảo và sử dụng một số thông tin, tài liệu từ các nguồn sách, tạp chí

được liệt kê trong danh mục tài liệu tham khảo Tôi xin hoàn toàn chịu mọi trách

nhiệm về luận văn của mình

Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 09 năm 2016

Học viên thực hiện

Nguyễn Hữu Khởi

LỜI CẢM ƠN

Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của TS Nguyễn

Trọng Hoà, Thầy đã tận tình hướng dẫn, tạo mọi điều kiện tốt nhất để tôi hoàn thành

bài luận này Tôi xin được gửi lời cảm ơn chân thành nhất tới Thầy

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới các Thầy trong khoa Toán - Tin Trường Đại học

Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã tận tình giảng dạy, giúp đỡ tôi nâng cao trình độ

chuyên môn trong suốt quá trình học cao học

Xin được gửi lời cảm ơn Ban Giám hiệu, Phòng Khoa học Công nghệ và Phòng

Sau đại học, Phòng Tổ chức - Hành chính, Phòng Kế hoạch - Tài chính Trường đại

học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá

trình học tập và làm luận văn

Và cũng cảm ơn các bạn Học viên K25 đã cùng chia sẻ với tôi rất nhiều về kinh

nghiệm học tập, rèn luyện và viết luận văn

Xin gửi lời chúc sức khỏe, hạnh phúc và thành công tới Quý thầy cô, anh chị và

MỤC LỤC

Trang phụ bìa

Lời cam đoan

Lời cảm ơn

Mục lục

Bảng ký hiệu

MỞ ĐẦU 1

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 3

1.1 Trường định chuẩn không Acsimet 3

1.2 Trường số p – adic 5

1.3 Trường số phức p – adic 6

1.4 Chuỗi lũy thừa 8

1.5 Hàm chỉnh hình và hàm phân hình trên trường không Acsimet 14

1.6 Hàm đặc trưng 19

1.7 Đường cong chỉnh hình 25

1.8 Siêu mặt xạ ảnh 32

Chương 2 ĐƯỜNG CONG ĐẠI SỐ 37

2.1 Tập hợp đại số Affin 37

2.1.1 Định nghĩa sơ bộ đại số 37

2.1.2 Không gian affine và tập hợp đại số 39

2.1.3 Idean của một tập hợp các điểm 41

2.1.4 Tập đại số con của mặt phẳng 43

2.2 Đa tạp Affin 46

2.2.1 Vành tọa độ 46

2.2.2 Ánh xạ đa thức 47

2.2.3 Hàm hữu tỷ và vành địa phương 47

2.2.4 Sự thuần nhất hóa 50

2.3 Tính chất địa phương của đường cong phẳng 51

2.3.1 Điểm bội và đường thẳng tiếp xúc 51

2.3.2 Số lần cắt nhau 53

Chương 3 CÁC ĐƯỜNG CONG GIẢI TÍCH TRÊN TRƯỜNG KHÔNG ACSIMET TRONG PHẦN BÙ CÁC ƯỚC CỦA SIÊU DIỆN 61

3.1 Các kết quả trong trường hợp tổng quát 61

3.2 Các kết quả trong không gian xạ ảnh 64

KẾT LUẬN 70

TÀI LIỆU THAM KHẢO 71

MỞ ĐẦU

Một đa tạp phức X được gọi là hyperbolic (theo nghĩa Brody) nếu mỗi ánh xạ

giải tích từ mặt phẳng phức vào X là ánh xạ hằng Khi nghiên cứu sự tương tự

giữa lý thuyết Nevanlinna và xấp xỉ Diophant, các nhà toán học, chẳng hạn C Osgood,

P Vojta, S Lang đã chỉ ra rằng, một đa tạp tựa xạ ảnh X xác định trên trường số k là hyperbolic trên mặt giải tích nếu tương ứng tới X chỉ có hữu hạn điểm k'- nguyên với

bất kỳ mở rộng hữu hạn 'k nào của k

Một trong những vấn đề đặt ra là khi nào các phần bù của siêu mặt trong P n là hyperbolic Hai nhà toán học Kobayashi và Zaidenberg phỏng đoán rằng, phần bù của các siêu diện tổng quát trong n

P với bậc thấp nhất 2n1 là hyperbolic Có nhiều kết quả liên quan đến giả thuyết này trên trường số phức Năm 1977, Green đã kiểm tra giả thuyết trên trong trường hợp 2n1 siêu phẳng ở vị trí tổng quát Tổng quát hơn, Babets, Eremenko, Sodin và Ru đã độc lập chứng minh rằng phần bù n\

P {2n1 siêu diện ở vị trí tổng quát} là hyperbolic Khi n2, giả thuyết là đúng trong trường hợp 4 đường cong của G Dethloff, G Schumacher, P-M Wong và Hyperbolicity Trong trường hợp 3 đường cong C C C , G Dethloff, G Schumacher và Wong đã chứng 1, 2, 3minh rằng

3 1

\

n i i



là hyperbolic nếu bậc C i 2,i1, 2,3 Khi một trong các đường

cong C là đường thẳng, họ đã chứng minh rằng ánh xạ chỉnh hình i

3 2 1

suy biến đại số nếu d11, d2 3 và d3 4 trong sự liệt kê tăng dần Nói cách khác,

có thể ước lượng được số chiều ảnh của một ánh xạ giải tích từ đến một đa tạp phức Ví dụ, dễ thấy rằng một ánh xạ giải tích f: P n\{n2 siêu diện ở vị trí tổng quát} là suy biến đại số

Câu hỏi tương tự được đặt ra khi trường cơ sở là trường không Acsimet Giả sử

K là một trường đóng đại số tùy ý, đầy đủ đối với giá trị tuyệt đối không Acsimet

Một đa tạp X trên K được gọi là K -hyperbolic nếu mọi ánh xạ giải tích từ K vào

X là ánh xạ hằng Khác với trường hợp phức, vấn đề sẽ dễ dàng khi nghiên cứu bài

toán hyperbolic trên trường không Acsimet Ví dụ, đường cong đại số xạ ảnh có giống

lớn hơn hoặc bằng 1 và các đa tạp Abel là K -hyperbolic Như một hệ quả của định lý

cơ bản thứ hai Nevanlinna, M Ru (2001) đã chỉ ra, P n \{n1 siêu diện ở vị trí tổng quát} là K-hyperbol Tương tự, sử dụng định lý cơ bản thứ hai Nevanlinna, T.T.H.An

(2007) đã chứng minh rằng X \{ n1 ước của siêu diện ở vị trí tổng quát} là K

-hyperbol, trong đó X là một đa tạp xạ ảnh trên n

K P và một ước của siêu diện là giao của một siêu diện trong P n với X Điều này dễ thấy rằng một ánh xạ giải tích

Yueh Wang, Pit-Mann Wong, công bố năm 2008

Trước tiên, tôi trình bày các kết quả về sự suy biến đại số của các ánh xạ giải tích trên trường không Acsimet bỏ qua các ước của siêu diện trong đa tạp xạ ảnh trơn Tiếp

theo chúng tôi sẽ nghiên cứu K -hyperbolic cho phần bù của siêu diện trong không

gian xạ ảnh Luận văn gồm có 3 chương như sau:

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

Chương 2 Đường cong đại số

Chương 3 Các đường cong giải tích trên trường không Acsimet trong phần bù các ước của siêu diện

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này chúng tôi sẽ trình bày các khái niệm và tính chất có liên quan đến đề tài đang nghiên cứu như: trường định chuẩn không Acsimet mà tiêu biểu

là trường số phức p-adic; hàm chỉnh hình, hàm phân hình, đường cong giải tích (chỉnh hình), siêu mặt xạ ảnh,…

Các nội dung của chương này có trong tài liệu tham khảo [2], [3]

1.1 Trường định chuẩn không Acsimet

Định nghĩa 1.1 Cho K là một trường, một chuẩn trên K là hàm

  :K    0, thỏa mãn:

Với một số thực dương r và một điểm xK, ta kí hiệu K x r ; yK d x y , r ; K x r ; yK d x y , r lần lượt là các quả

cầu mở ; đóng bán kính r tâm tại x Và kí hiệu mặt cầu tương ứng là :

3 Hai hình cầu mở (hình cầu đóng) hoặc rời nhau hoặc chứa nhau

Bổ đề 1.3 Một chuẩn trên trường K là chuẩn không Acsimet khi và chỉ khi nó được

kết hợp với hàm định giá v thỏa mãn các điều kiện sau :

Nếu . là chuẩn không Acsimet, tập hợp con  K K 0;1 xK x 1 là

một vành con của K và được gọi là vành định giá

Tập hợp con K 0;1 là một idean của K và được gọi là idean định giá

Hơn nữa, K 0;1 là một idean tối đại trong K, và mỗi phần tử của tập phần bù

0;1

K là nghịch đảo được trong K

Vành mà chứa duy nhất một idean tối đại và phần bù của nó với idean này gồm các phần tử nghịch đảo thì được gọi là vành địa phương Vì vậy K là một vành địa

Rõ ràng hàm v p trên thỏa mãn điều kiện trong Bổ đề 1.3 và được gọi là định

giá p – adic , nó có tính chất sau:

v

x p

Khi đó, . p là một chuẩn không Acsimet trên và được gọi là chuẩn p – adic

một trong hai chuẩn sau :



1 Chuẩn p – adic , với p là số nguyên tố ;



2 Giá trị tuyệt đối thông thường

Như vậy, việc làm đầy đủ của cảm sinh bởi p theo nghĩa giải tích ta được một trường và ta sẽ kí hiệu nó là p Chuẩn p trên mở rộng thành một chuẩn không Acsimet trên p và ta cũng kí hiệu là p Cụ thể ta xây dựng p như sau : Dãy  x là dãy Cauchy theo n . p nếu   0, tồn tại n0 sao cho m n, n0

thì x mx n  Hai dãy Cauchy  x , n  y n được gọi là tương đương nếu x ny n  0 Với  x là dãy Cauchy theo n

p ta kí hiệu  x là tập các dãy Cauchy tương đương n

với  x n Đặt p là tập tất cả các lớp tương đương theo p

Với    x n , y n  p, ta định nghĩa:

    x n  y n  x n y n và    x n y n  x y n n

Rõ ràng định nghĩa trên không phụ thuộc vào việc chọn phần tử đại diện của lớp tương đương Khi đó p là một trường và là trường định chuẩn không Acsimet với chuẩn . p

1.3 Trường số phức p – adic

Bây giờ ta sẽ giới thiệu một trường với chuẩn không Acsimet là trường mở rộng của p với hai tính chất khá tốt là : đóng đại số và đầy đủ hay còn gọi là trường số phức p – adic, kí hiệu : p

Định nghĩa 1.5 Cho K là một trường với chuẩn , V là một không gian vec-tơ trên

K Một hàm : V   được gọi là một chuẩn trên không gian vec-tơ V nếu thỏa mãn các điều kiện:

Định nghĩa 1.6 (Chuẩn của phần tử)

Cho K là một trường mở rộng hữu hạn của trường đặc số không  (kí hiệu:K )) Lấy K, khi đó  cảm sinh một ánh xạ - tuyến tính:

sở của không gian vec-tơ    trên )

Ta có thể định nghĩa chuẩn của  từ K, kí hiệu: K/    là một trong các

Mệnh đề 1.7 Giả sử K / p là mở rộng chuẩn tắc bậc n Khi đó tồn tại một chuẩn không Acsimet trên K mở rộng chuẩn p – adic của p và được xác định :

iii p là một trường đóng đại số nhưng không compact địa phương

1.4 Chuỗi lũy thừa

Cho K là trường đóng đại số có đặc số 0, đầy đủ theo chuẩn không Acsimet

Một hàm f : U K được gọi là liên tục tại z0U nếu   0, tồn tại  0

sao cho với mỗi zK z 0;  f z  f z 0 

Hàm f được gọi là khả vi tại z0U ( kí hiệu f' z0 ) nếu tồn tại giới hạn :

   0   0 0

Hàm f được gọi là khả vi trên U nếu nó khả vi tại mọi điểm trong U

Bổ đề 1.11 Dãy  x trong n K là dãy Cauchy khi và chỉ khi lim n 1 n 0

n x  x

Chứng minh :

Chiều đảo là hiển nhiên theo định nghĩa của dãy Cauchy

Ta chứng minh chiều thuận, với mọi n p,  , ta có:

   nên ta có điều phải chứng minh

Hệ quả 1.12 Một chuỗi vô hạn

0

n n a





 hội tụ   S n hội tụ  S n là dãy Cauchy

Mặt khác dãy S nS n1 a n là hội tụ theo Bổ đề 1.11

Ta ước lượng tổng

0

n n a

iv Nếu 0    và a n n  0 thì f z hội tụ khi và chỉ khi   z 

Tập các chuỗi lũy thừa  

Đặt A K r f z  r- là tập các hàm có bán kính hội tụ bé hơn hoặc bằng

r Trong trường hợp A K  A K , ta có định nghĩa : một phần tử thuộc vào A K  

được gọi là một hàm nguyên trên K và gọi A K  là tập các hàm nguyên trên K

Giả sử 0   và r với 0 r 

Bây giờ ta sẽ chứng minh r fg, r f,    r, g

Chọn I và J sao cho : a r i i r f,  , a r I I r f,  với iI,

Bổ đề 1.16 Cho f A K r  với r 0 nào đó và một đa thức    

0

k n n n

Đặc biệt, h không có không điểm trong K 0;r và f có  không điểm trong K 0;r

Bổ đề 1.18 Cho một dãy f n z  của chuỗi lũy thừa trong A K r  r 0, sao cho





 là một chuỗi lũy thừa trong A K r 

Nếu giả thiết trên đúng với mọi r0 thì f là một hàm nguyên trên K

Hệ quả 1.19 Cho dãy bất kỳ  z n n1 trong K thỏa mãn * z n   khi n  thì tích

đó f có thể được viết dưới dạng:  

1.5 Hàm chỉnh hình và hàm phân hình trên trường không Acsimet

Định nghĩa 1.24 Giả sử D là tập vô hạn trong K và R D là tập các hàm hữu tỉ  

không có cực điểm trong D Với mỗi hR D , ta đặt : D sup  

H D là sự đầy đủ hóa của R D theo tô pô sinh bởi chuẩn hội tụ đều trên D Mỗi  

phần tử của H D được gọi là phần tử giải tích (chỉnh hình) trên D  

Rõ ràng H D  là một không gian vec-tơ, và định nghĩa một hàm f H D  là giới hạn đều của dãy  h n n1 trong R D Nếu D là tập đóng và bị chặn, thì tích của 2  

hàm giải tích toàn phần trên D là một hàm giải tích toàn phần trên D Với 2 tập vô hạn

D và D' mà DD', thì hạn chế của phần tử thuộc H D trên D là phần tử thuộc  'vào H D 

Định lý 1.25 Với r , ta có H K  0;r  A K r 

n n

Vậy ta có điều phải chứng minh

được gọi là chỉnh hình địa phương nếu với mỗi aD , tồn tại r 0 và a nK sao cho

0

n n

Giả sử f là hàm chỉnh hình địa phương trong D Chọn z0D và r 0 sao cho

 0 ; 

K z r D Theo Định lý 1.25 ta có :    

0

n n

Nếu f z 0  0 và ta không đồng nhất nó với không điểm trong K z r , thì tồn  0; 

tại duy nhất một số nguyên q sao cho a n 0 với nq và a q 0 Số q được gọi là

bội số của z0 hoặc z là nghiệm bội q của 0 f và ta có thể biểu diễn

   0  q ,   0

f z  zz g z g z  , trong đó g là một chuỗi lũy thừa với bán kính hội tụ

bé hơn hoặc bằng r Để ý rằng g là liên tục trên K z r , và do  0;  g z 0 nên z0 là một không điểm cô lập của f Ta có kết quả sau :

hàm mọi cấp trên D Nếu z0 là nghiệm bội q của f thì ta có f n  z0 0,  n q và

 q  0 0

f z 

1 0

n n

Mà j n 1 j n 1

1 2

Vì s0 nên f không là hàm hằng, do đó ii có nghĩa rằng  a1 0

Như vậy f x  f y  với mọi x y hay f là đơn ánh trong K 0;r Hơn nữa khi cho yx, ta được f ' x  a1 0 với mọi xK 0;r

●iiii

Do f là đơn ánh trong K 0;r nên f z a0 có duy nhất một không điểm là z0

Theo định lý Weierstrass, ta suy ra rằng r f, 1 hay điều kiện i được thỏa mãn 

Vì vậy nếu một trong các điều kiện của Định lý 1.28 được thỏa mãn, khi đó tồn

f K r Ta có định lý hàm ngược như sau:

Định lý 1.29 Cho D là tập mở trong K với 0D Cho f Hol D  thỏa f ' 0  0 Khi đó tồn tại một số thực r0 sao cho f là ánh xạ 1-1 trên K 0;r và thỏa mãn

Định nghĩa 1.31 Giả sử tập DK không có điểm cô lập Một hàm f :

Theo định nghĩa trên, nếu aq 0 với q0 thì ta nói rằng f có một cực điểm

bội q tại a Rõ ràng tất cả các cực điểm của f đều là điểm cô lập

Định nghĩa 1.32 Giả sử tập DK là tập mở Một hàm f : DK được gọi là chỉnh hình tại một điểm aD nếu tồn tại     và a nK thỏa mãn:

Đĩa K a ; trong Định nghĩa 1.32 được gọi là đĩa chỉnh hình lớn nhất của f tại

a Ta có bao hàm sau: H D  H(D)Hol D 

Ta kí hiệu trường các phân số của H(D) là M(D) và gọi mỗi phần tử f của tập

M(D) là một hàm phân hình trên D Nếu f không có cực điểm trong D thì f cũng được xem là chỉnh hình

Ta kí hiệu : M K  MK0;  và M K  MK0;   M K là các

hàm phân hình trên K Ta cũng kí hiệu M là các hàm phân hình trên  

Với f  M K 0    , khi đó có g h, A K r  với f g

 sao cho f và 0 f1 không có nhân tử chung trong A K Với r  a  K   ta

cũng định nghĩa hàm đếm số không điểm (kể cả bội) của f a, kí hiệu:n r, 1

Ví dụ 1.35 : Cho một đa thức  

0

k j j j

0

1

k j k

 trong đó f0, f1A K r  Khi đó f f0, f1 :

  2

0;

K  K được gọi là sự đại diện của f Nếu f và 0 f không có nhân tử chung 1

thì f được gọi là sự đại diện tối giản của f Ta viết :

  max k ,  , max  , k

f z  f z  r f   r f Chú ý rằng :  z f, k f k z với k 0,1 Khi đó ta có :  z f,  f z  Giả sử rằng f là sự đại diện tối giản của f Ta có :

 ,  ln  , ln  0,   0, 

T r f   r f    f m  f Suy ra được: T r f , ln f z  ln  0,f0

0

k j j j

 deg R lnrO 1 (trong đó deg R max k q, )

Ngược lại, nếu một hàm phân hình f trên K thỏa mãn

Nghĩa là f chỉ có hữu hạn các không điểm và cực điểm Vì vậy f là một hàm hữu tỉ

1.7 Đường cong chỉnh hình

Cho K là trường đóng đại số có đặc số 0, đầy đủ theo chuẩn không Acsimet

V là một không gian vec-tơ đã được chuẩn hóa có số chiều n1 trên K và kí hiệu

là một chuẩn được định nghĩa trên cơ sở ee e0, , ,1 e n của V

Một đường cong chỉnh hình f : K  P V  có nghĩa là một lớp gồm n1thành phần các hàm nguyên :

Cho f  f e0 0 f e1 1  f e n n : KV được gọi là sự đại diện tối giản của hàm f Để chứng minh i i, đầu tiên ta giả sử T r f , O lnr nghĩa là có một hằng

số B sao cho T r f , Blnr với r đủ lớn Theo định nghĩa và công thức Jensen, ta

  với k0,1, ,n nên f là hàm hữu tỉ

Bây giờ ta giả sử rằng f là hàm hữu tỉ với mỗi f là một đa thức Theo Ví dụ k

Nói chung, với một ánh xạ hh e0 0h e1 1 h e n n : KV trong đó

h h0, 1, ,h n là n 1 hàm phân hình thành phần thỏa mãn h là không đồng thời j

bằng 0 Theo Hệ quả 1.23, tồn tại ước chung lớn nhất h của h h0, 1, ,h thỏa mãn n

    ; N r h , N r h , Cho f : K P V  là một đường cong chỉnh hình và

ánh xạ s1- tuyến tính trên K như sau :

0 1

: V  V  V s WLấy một đường cong chỉnh hình không Acsimet f j : K P V j với j 0,1, ,s và gọi f j : K V j là đại diện tối giản của f j

Định nghĩa 1.39 s 1 hàm thành phần f0, , ,f1 f s được gọi là tự do với nếu hàm f0 f1 f s  0

Giả sử rằng f0 , f1 , , f s là tự do với Ta định nghĩa:

Định nghĩa 1.40 Cặp  f g được gọi là tự do nếu nó tự do với ,  , nghĩa là :

r

N r g g

r

N r g g

N r a a

T r f





Trong trường hợp này cặp f a,  là tự do khi và chỉ khi f K E a 

Định nghĩa 1.41 Một đường cong chỉnh hình f : K P V  được gọi là tuyến tính không suy biến nếu f K E a  với mọi  *

aP V

Bổ đề 1.42 Một đường cong chỉnh hình f : K  P V  là tuyến tính suy biến khi và chỉ khi định thức Wronski We f,  bằng 0, (trong đó f là đại diện tối giản của f

tương ứng với cơ sở e )

Định lý 1.43 Cho f : K P V  là đường cong chỉnh hình tuyến tính không suy

biến và Aa a0, , ,1 a q là một họ điểm ở vị trí tổng quát,  *

Ta có thể hiểu f  a f a,

Khi đó Hệ quả 1.44 có thể được suy ra như sau:

Hệ quả 1.45 Cho f : K P V  là đường cong chỉnh hình tuyến tính không suy biến

Định lý 1.46 Cho f : K P V  là đường cong chỉnh hình tuyến tính không suy

biến và Aa a0, , ,1 a q là một họ điểm ở vị trí tổng quát,  *

Ta giả sử ngược lại rằng qn Theo các kí hiệu được sử dụng trong phần chứng

minh Định lý 1.43 , với mọi J n q, ta thu được một đường cong chỉnh hình tuyến tính

không suy biến f : K P V  với một đại diện tối giản :

N r F

N r a a

với j 0,1, , n Hiển nhiên rằng với r đủ lớn ta có lnr F,  j T r f , .

(điều này là vô lý)

Thật vậy, nếu Aa a0, , ,1 a q là một họ điểm ở vị trí tổng quát,  *

thu được công thức :       

chỉnh hình không suy biến f : K  P V 

Hệ quả 1.47 Cho f : K P V  là đường cong chỉnh hình tuyến tính không suy biến

 x1 , ,x n1 K Hai điểm  x và  y là cùng thuộc một đường thẳng khi và

chỉ khi tồn tại một số  0,K sao cho y i x i với i 1, 2, ,n1 Trong trường hợp này ta nói hai điểm  x và  y là tương đương Khi đó P n được đồng nhất với tập các lớp tương đương của các điểm trong 1    

\ 0,0, ,0

n