Mối quan hệ của số khuyết với đường cong giải tích xạ ảnh trên trường không acsimet

M ỐI QUAN HỆ CỦA SỐ KHUYẾT VỚI ĐƯỜNG CONG GIẢI TÍCH X Ạ ẢNH TRÊN TRƯỜNG KHÔNG ACSIMET .... Mối quan hệ của số khuyết với đường cong giải tích xạ ảnh trên trường không Acsimet..... Năm 19

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Đỗ Thị Thanh Huyền

TRƯỜNG KHÔNG ACSIMET

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2015

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

TRƯỜNG KHÔNG ACSIMET

Chuyên ngành: Hình học và tôpô

Mã số: 60 46 01 05

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS NGUYỄN TRỌNG HÒA

Thành phố Hồ Chí Minh – 2015

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi trên cơ sở các công trình của các tác giả Tạ Thị Hoài An công bố năm 2008 và tác giả Min Ru công bố năm

2001 Các số liệu, kết quả trong luận văn là trung thực và chính xác

Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 11 năm 2015

Đỗ Thị Thanh Huyền

LỜI CÁM ƠN

Trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn này, tôi đã nhận được sự hướng

dẫn, giúp đỡ quý báu của các thầy cô, các anh chị và các bạn Với lòng kính trọng và biết

ơn sâu sắc tôi xin bày tỏ lời biết ơn chân thành tới:

Ban giám hiệu, phòng sau đại học, khoa Toán-Tin trường Đại học Sư phạm Thành

phố Hồ Chí Minh đã tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và

thực hiện bảo vệ luận văn

Ti ến sĩ NGUYỄN TRỌNG HÒA, người thầy đã hướng dẫn tận tình, chu đáo và

hết lòng giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và làm luận văn Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất của mình đối với thầy

Tôi cũng xin chân thành cảm ơn quý thầy cô trong khoa Toán- Tin đã trực tiếp giảng

dạy, trang bị cho tôi những kiến thức cơ bản làm nền tảng cần thiết để tôi có thể hoàn thành luận văn

Tôi xin gửi lời cảm ơn đế các bạn đồng môn lớp cao học khóa 24 đã giúp đỡ tôi tận tình và đồng hành cùng tôi trong suốt hai năm học tập tại trường

Và cuối cùng, tôi cám ơn gia đình, người thân, bạn bè đã luôn động viên, chia sẻ và

tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình tôi thực hiện đề tài này

Một lần nữa tôi xin chân thành cảm ơn!

MỤC LỤC

Trang

L ỜI CAM ĐOAN

L ỜI CÁM ƠN

M ỤC LỤC

Nh ững ký hiệu dùng trong luận văn

M Ở ĐẦU

Chương 1 KI ẾN THỨC CHUẨN BỊ 5

1.1 Trường định chuẩn không Acsimet, trường số phức p−adic 5

1.1.1 Trường định chuẩn không Acsimet 5

1.1.2 Không gian p−adic 7

1.1.3 Trường các số p−adic 9

1.1.4 Trường các số phức p−adic 11

1.2 Hàm chỉnh hình và hàm phân hình trên trường không Acsimet 13

1.2.1 Hàm chỉnh hình và hàm phân hình 13

1.2.2 Các hàm đặc trưng Nevanlinna của hàm chỉnh hình 20

1.2.3 Các hàm đặc trưng Nevanlinna của hàm phân hình 22

Chương 2 LÝ THUY ẾT PHÂN PHỐI GIÁ TRỊ NEVANLINNA 26

2.1 Lý thuyết Nevanlinna cho hàm phân hình 26

2.2 Quan hệ số khuyết với hàm phân hình 33

2.3 Lý thuyết Nevanlinna cho đường cong chỉnh hình 35

2.3.1 Đường cong chỉnh hình 35

2.3.2 Lý thuyết Nevanlinna cho đường cong chỉnh hình 38

Chương 3 M ỐI QUAN HỆ CỦA SỐ KHUYẾT VỚI ĐƯỜNG CONG GIẢI TÍCH X Ạ ẢNH TRÊN TRƯỜNG KHÔNG ACSIMET 43

3.1 Định nghĩa và kí hiệu 43

3.2 Mối quan hệ của số khuyết với đường cong giải tích xạ ảnh trên trường không Acsimet 45

3.3 Mở rộng 51

K ẾT LUẬN 54

TÀI LI ỆU THAM KHẢO 56

Những ký hiệu dùng trong luận văn

• K: là một trường,

• K( )x r; ={y∈K d x y( , )<r}: hình cầu mở trong K,

• K[ ]x r; ={y∈Kd x y( , )≤r}: hình cầu đóng trong K,

• K x r; ={y∈K d x y( , )=r}: đường tròn trong K,

• log :p hàm logarit thực cơ số p,

• ln=log :e logarit Napier (log Nê-pe),

• υp( )x : định giá liên kết với chuẩn ,

• :p chuẩn p−adic trên ,

• R D( ) : tập tất cả các hàm hữu tỉ h z( )∈K( )z không có cực điểm trong D,

• H D( ) : đầy đủ hóa của R D( ) với tôpô sinh bởi chuẩn hội tụ đều trên D,

• ( )D : tập các hàm giải tích trên D,

• K(a;r đĩa giải tích tối đại trên ): D,

• ( )D :trường các hàm phân thức của ( )D ,

f f f

f f f

=

• m r f( , )=log+m( , )r f =max 0, log{ m(r f, ) }: hàm xấp xỉ của f trêm K 0;[ ]r ,

• T r f( , )=m r f( , )+N r f( , ): hàm đặc trưng của f trên K 0;[ ]r ,

= × × không gian vectơ phức m−chiều,

• :N( )K :không gian xạ ảnh phức N−chiều

của đường cong chỉnh hình ,f

• Q:đa thức thuần nhất N+1 biến với hệ số thuộc K và bậc d,

• n f (r Q s, ): ố không điểm, tính cả bội, của Q f thuộc B[ ]r ,

MỞ ĐẦU

1 Lí do ch ọn đề tài

Lý thuyết phân bố giá trị do Nevanlinna xây dựng là thành tựu toán học đẹp của thế

kỷ XX, được gọi là Lý thuyết phân bố giá trị trên mặt phẳng phức hay là Lý thuyết

Nevanlinna Nội dung chính là hai định lý cơ bản Định lý cơ bản thứ nhất là mở rộng của Định lý cơ bản của đại số, mô tả sự phân bố đều giá trị của hàm phân hình khác hằng trên

mặt phẳng phức Định lý cơ bản thứ hai là mở rộng của Định lý Picard, mô tả ảnh hưởng

của đạo hàm đến sự phân bố giá trị của hàm phân hình Lý thuyết Nevanlinna p−adic

một chiều được xây dựng bởi Hà Huy Khoái, Mỵ Vinh Quang và được phát triển bởi W Cherry, A Boutabaa, P Hu, C.C Yang,… Nhu cầu xây dựng lý thuyết Nevanlinna nhiều chiều xuất phát từ sự xem xét các định lý Nevanlinna trong trường hợp nhiều biến Năm

1991, Hà Huy Khoái đã xây dựng các khái niệm độ cao và điểm tới hạn của hàm chỉnh hình p-adic nhiều biến trên cơ sở liên hệ lý thuyết hàm không Acsimet với hình học tổ

hợp, bằng các ý tưởng hình học nhưng chưa được chứng minh chi tiết Ý tưởng chính là dùng khái niệm điểm tới hạn để nghiên cứu không điểm của hàm chỉnh hình p-adic nhiều

biến và nhát cắt được xác định bởi họ các siêu phẳng để chuyển việc nghiên cứu hàm

chỉnh hình p-adic nhiểu biến về nghiên cứu họ các hàm chỉnh hình p-adic một biến tương ứng cảm sinh từ hàm đã cho Năm 1995, Hà Huy Khoái đưa ra một phiên bản p-adic của công thức Poisson-Jensen cho các hàm nhiều biến Năm 1997, Cherry và Ye xét một hàm phân hình nhiều biến và hạn chế trên một đường thẳng chung qua gốc tọa độ, và chứng minh rằng hàm đếm cho hàm một biến này không phụ thuộc vào việc chọn đường thẳng qua gốc tọa độ Đây là chìa khóa để Cherry-Ye xây dựng Định lý cơ bản và Quan hệ số khuyết của ánh xạ chỉnh hình p-adic đối với họ các siêu phẳng ở vị trí tổng quát trong không gian xạ ảnh n( )

p

 : Họ dùng nhận xét này để định nghĩa các hàm đếm như trong định lý đối với hàm một biến, và rồi dẫn đến một công thức Poisson-Jensen cho các hàm nhiều biến Công thức của họ đưa ra mối quan hệ giữa modun của một hàm trên biên của

một hình cầu và không tậptrong hình cầu, liên quan đến không tập trên biên của một hình

hộp Đó là các kết quả quan trọng trong lý thuyết phân phối giá trị p-adic nhiều biến Min

Ru cũng thu được các kết quả tương tự, nhưng trong trường hợp các đường cong chỉnh hình Việc ước lượng các số khuyết cho các lớp hàm giải tích là vấn đề hiện nay đang được nhiều nhà Toán học quan tâm Tuy nhiên, một sự tương tự như định lý cơ bản thứ hai phần lớn vẫn còn là phỏng đoán khi mục tiêu là một không gian xạ ảnh khác hoặc một

đa tạp nửa-Abel

Trong [13], Ru phát hiện có sự tương phản với trường hợp phức, trên trường cơ sở không-Acsimet, sự ước lượng các số hạng nhánh của định lý cơ bản thứ hai, có thể suy ra được từ định lý cơ bản thứ nhất Sử dụng nhận xét này, Ru đưa ra một chứng minh đơn

giản cho bất đẳng thức của định lý cơ bản thứ hai không có rẽ nhánh cho siêu mặt phi tuyến tính ở vị trí tổng quát trong đa tạp xạ ảnh, nhưng các kết quả của Ru phát biểu trên trường cụ thể p, trường các số phức p−adic

Vì lý do đó, chúng tôi chọn vấn đề Mối quan hệ của số khuyết với đường cong giải

tích x ạ ảnh trên trường không Acsimet làm đề tài luận văn thạc sĩ của mình Nội dung

chính của luận văn là trình bày nội dung của hai bài báo A defect relation for

non-Archimedean analytic curves in arbitrary projective varieties của tác giả Tạ Thị Hoài An công bố năm 2008 và A note on p−adic Nevanlinna theory của tác giả Min Ru công bố năm 2001 Kết quả chính ở đây là mở rộng kết quả của Ru đến đa tạp con tùy ý của không gian xạ ảnh và chứng minh trên trường đại số đóng đầy đủ với chuẩn tuyệt đối không Acsimet

2 M ục đích của đề tài

Nghiên cứu các Mối quan hệ của số khuyết với đường cong giải tích xạ ảnh trên

trường không Acsimet.

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Trường định chuẩn không Acsimet, trường số phức p−adic Hàm chỉnh hình và hàm phân hình trên trường không Acsimet

- Lý thuyết phân phối giá trị Nevanlinna p−adic trên các đường cong chỉnh hình

- M ối quan hệ của số khuyết với đường cong giải tích xạ ảnh trên trường không Acsimet

4 Phương pháp nghiên cứu

Sử dụng phương pháp Nevanlinna p−adic, tổng hợp và hoàn thiện những kết quả

đã có từ những bài báo, tài liệu khoa học có liên quan đế vấn đề cần nghiên cứu

5 C ấu trúc của luận văn

Luận văn gồm phần mở đầu, ba chương, phần kết luận và các tài liệu tham khảo

Ph ần mở đầu Nêu một số vấn đề lịch sử và phạm vi nghiên cứu

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Trường định chuẩn không Acsimet, trường số phức p−adic

1.2 Hàm chỉnh hình và hàm phân hình trên trường không Acsimet

1.2.1 Hàm chỉnh hình và hàm phân hình

1.2.2 Các hàm đặc trưng Nevanlinna cho hàm chỉnh hình

1.2.3 Các hàm đặc trưng Nevanlinna cho hàm phân hình

Chương 2 LÝ THUYẾT PHÂN PHỐI GIÁ TRỊ NEVANLINNA

2.1 Lý thuyết Nevanlinna cho hàm phân hình

2.2 Quan hệ số khuyết với hàm phân hình

2.3 Lý thuyết Nevanlinna cho đường cong chỉnh hình

2.3.1 Đường cong chỉnh hình

2.3.2 Lý thuyết Nevanlinna cho đường cong chỉnh hình

Chương 3 MỐI QUAN HỆ CỦA SỐ KHUYẾT VỚI ĐƯỜNG CONG GIẢI TÍCH

3.1 Định nghĩa và ký hiệu

3.2 Mối quan hệ của số khuyết với đường cong giải tích xạ ảnh trên trường không Acsimet

3.3 Mở rộng

1.1 Trường định chuẩn không Acsimet, trường số phức p−adic

Ta trình bày về trường định chuẩn không Acsimet, xây dựng trường các số p−adic

và trường các số phức p−adic

1.1.1 Trường định chuẩn không Acsimet

Đầu tiên ta nhắc lại ký hiệu trường các số phức, số thực và số hữu tỉ lần lượt là , ,

   và  là vành số nguyên Cho K là một tập con của , ta ký hiệu

Nếu thỏa mãn thêm điều kiện:

4) x+ ≤y max{x y, } với mọi , K;x y∈

thì được gọi là chuẩn không Acsimet

Một trường với chuẩn không Acsimet được gọi là trường định chuẩn không Acsimet

Một chuẩn trên K cảm sinh một hàm khoảng cách d được định nghĩa bởi

( , )

d x y = −x y

với bất kì hai phần tử , K,x y∈ và do đó cảm sinh một tôpô trên K

Nếu là chuẩn không Acsimet thì metric d tương ứng thỏa mãn

( ), max{ ( ) ( ), , , }

d x y ≤ d x z d z y với mọi , ,x y z∈K,

và được gọi là siêu mêtric

Hai chuẩn trên một trường K được gọi là tương đương nếu chúng cảm sinh cùng một

x < khi và ch ỉ khi x2 <1 v ới bất kỳ x∈K;

3) T ồn tại một số thực dương α sao cho với mỗi x∈K, ta có

Khi đó là chuẩn không Acsimet trên K và metric cảm sinh d

là một siêu metric và được gọi là metric tầm thường

Với mỗi số thực dương r và một điểm x∈K, ta ký hiệu hình cầu mở và đóng bán kính r tâm tại x, tương ứng như sau

2) Hình c ầu K( )x r; v ừa là tập mở vừa là tập đóng;

3) Hai hình c ầu mở (đóng) hoặc rời nhau hoặc chứa nhau

1.1.2 Không gian p−adic

Một trường hợp riêng của chuẩn không Acsimet là chuẩn p−adic được xác định như sau:

Định nghĩa 1.1.2.1

Cho p là số nguyên tố bất kỳ Với số nguyên a khác không, đặt ord a p là bậc lũy

thừa cao nhất của p mà a chia hết, tức là số m lớn nhất sao cho a≡0 mod( p m) (ký hiệu (mod )

a≡b c nghĩa là (a−b) chia hết cho c)

Với một hằng số thực p>1, hàm υ : K → ∪ +∞  { } được xác định bởi

( ) log : K*

: 0,

p p

M ột chuẩn trên trường K là không Acsimet khi và ch ỉ khi định giá liên kết υ với nó

th ỏa mãn các điều kiện dưới đây:

1) υ( )x = +∞ khi và ch ỉ khi x=0;

2) υ( )xy =υ( )x +υ( )y v ới mọi x y, K;∈

3) υ(x+ y)≥min{υ( ) ( )x ,υ y } v ới mọi x y, K.∈

Cho p∈, p là số nguyên tố Khi đó mọi số nguyên a đều được biểu diễn dưới

a= p aυ , trong đó p không là ước của ' '

, \ {0}

a a ∈ Với mỗi p và a số nguyên

υ được xác định duy nhất cho nên ta có hàm

1.1.3 Trường các số p−adic

Xét

p là chuẩn p−adic trên  Ký hiệu S là tập tất cả các dãy Cauchy trong 

theo chuẩn .p Trên S xét quan hệ tương đương  cho như sau:

n n

iii) p là compact địa phương

iv) p không liên thông nhưng là không gian tôpô Hausdorff

i) Có tối đa một chuẩn trên  là mở rộng của chuẩn p p trên p

ii) Giả sử là chuẩn trên  là mở rộng của chuẩn p p trên p Nếu '

Khi đó, là một chuẩn không Acsimet trên  và ta cũng sẽ gọi chuẩn này là chuẩn p

p−adic và cũng kí hiệu là .p Tuy nhiên, trường  đóng đại số nhưng nó không đầy p

đủ theo chuẩn

p vừa xây dựng

Ký hiệu S={ { }x n ⊂ p { }x n là dãy Cauchy theo p}

Trên S xét quan hệ tương đương  cho như sau:

  là tập tất cả các lớp tương đương theo quan hệ trên

Ta sẽ trang bị hai phép toán cộng và nhân cho p như sau:

Phép cộng: ∀ =x { }x n ,y={ }y n ∈p, x+ =y {x n + y n}

Phép nhân: ∀ =x { }x n ,y={ }y n ∈p, .x y ={x y n n}

Với hai phép toán cho như trên p là một trường và được gọi là trường các số phức p−

adic và chuẩn

p trên  được mở rộng thành một chuẩn không Acsimet trên p p mà ta

vẫn kí hiệu chuẩn này là

p Trường p có một số tính chất sau:

i) p đầy đủ (mọi dãy Cauchy theo p đều hội tụ trong p)

ii) p đóng đại số (mọi đa thức f x( )∈p[ ]x đều phân rã được trong p[ ]x ) iii)  không compact địa phương

iv) p là không gian vô hạn chiều trên p.

[ : ]=2, : p p= ∞

1.2 Hàm ch ỉnh hình và hàm phân hình trên trường không Acsimet

Ta sẽ trình bày các khái niệm, tính chất về chuỗi và dãy, từ đó xây dựng khái niệm, tính chất của hàm chỉnh hình và hàm phân hình trên một trường tổng quát K có đặc số không, đóng đại số và đầy đủ với chuẩn không Acsimet không tầm thường

r

→∞

= là bán kính h ội tụ của chuỗi lũy thừa f z( ) Khi đó ta có:

i) Nếu r=0 thì f z( ) chỉ hội tụ tại z= 0

ii) Nếu r = +∞ thì f z( ) hội tụ tại mọi z∈ K

iii) Nếu 0< < +∞r thì f z( ) hội tụ nếu z <r và phân kì nếu z >r

Nếu r = ∞ thì f z( ) được gọi là hàm nguyên trên K

Ta có tập các chuỗi lũy thừa ( )

Định nghĩa 1.2.1.6

Cho U ⊂ là một tập mở Một hàm K f U: →K được gọi là liên tục tại z0∈ nU ếu

với mọi ε > tồn tại một số 0 δ > sao cho với mọi 0 z∈ K(z0 ,δ), ta có f z( ) − f z( 0) <ε.

Hàm f được gọi là khả vi tại z0 nếu tồn tại giới hạn

( )'

0 0

Điểm z 0 được gọi là không điểm của hàm f khi và chỉ khi f z( )0 =0.

Điểm z 0 được gọi là cực điểm của hàm f khi và chỉ khi ( )

N ếu cố định r>0 thì f là hàm nguyên trên K.

N ếu f là chu ỗi lũy thừa xác định hàm nguyên trên K và f không là đa thức Khi

đó f có th ể được viết dưới dạng tích hữu hạn

N ếu f là hàm nguyên khác đa thức trên K, thì f có vô s ố không điểm

N ếu f là hàm nguyên trên K không có không điểm thì f là hàm h ằng

T ồn tại ước chung lớn nhất của một họ hữu hạn các hàm nguyên trên (K)

Định nghĩa 1.2.1.15

Cho D là tập vô hạn trong K, đặt R D( ) là tập tất cả các hàm hữu tỉ h z( )∈K( )z

không có cực điểm trong D Khi đó với mọi h∈R D( ), đặt

Ký hiệu H D( ) là đầy đủ hóa của R D( ) với tôpô sinh bởi chuẩn hội tụ đều trên D

Mỗi phần tử của H D( ) được gọi là một hàm giải tích trên D hay hàm gi ải tích toàn cục

Giả sử D⊂ K là tập mở Một hàm f D: →K được gọi là giải tích tại một điểm

a∈D nếu tồn tại r∈+∪ ∞{ } và a n∈ sao cho K K(a;r)⊂D nhưng '

n

=

Nếu f giải tích tại mọi điểm thuộc D thì f được gọi là giải tích trên D Ký hiệu ( )D

là tập các hàm giải tích trên D Đĩa K(a;r ) nói trên được gọi là đĩa giải tích tối đại trên

D Hàm f còn được gọi là có tính chất giải tích tối đại trên D

Định nghĩa 1.2.1.18

Ký hiệu ( )D trường các phân thức của ( )D

Mỗi phần tử f trong tập ( )D được gọi là một hàm phân hình trên D

Nếu f không có cực điểm trong D thì f còn được gọi là hàm chỉnh hình

  là hàm đếm của f tại a , đếm số không điểm (kể cả

bội) của f −a với giá trị tuyệt đối không vượt quá r Nói riêng

Với một số thực r0 mà 0≤r0 ≤r, ta có các định nghĩa sau:

Hàm giá tr ị của f tại a xác định bởi

0

0

1,1

Điều này có nghĩa

1.2.3 Các hàm đặc trưng Nevanlinna của hàm phân hình

Cố định 0<r0 < < ≤ ∞r r , ta xét f ∈(r(K) Khi đó tồn tại f0,f1∈(r( )K không

có nhân tử chung trong vành (r( )K sao cho 1

0

f f f

= Lấy bất kỳ a∈ ∪ ∞K { }, ta định nghĩa các hàm sau:

,

1, :

1, :

,

1, :

,

1, :

Hàm đặc trưng của hàm f trên K 0; r[ ]

z

f z f

z

→

Khi đó ta có các công thức sau:

Mênh đề 1.2.3.3 (Công thức Jensen)