GIÁ TRỊ LỚN NHẤT –GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT 1 Cách tìm GTLN-GTNN trên a,b + Lập bảng biến thiên của hàm số trên a,b + Nếu trên bảng biến thiên có một cực trị duy nhất là cực đại cực tiểu thì giá [r]
Trang 1Chương I: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ
VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ 1)Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số:
*Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số bậc ba
Các bước khảo sát:
+Tập xác định : D = R
+Tìm y' và xét dấu y'
+Tìm giới hạn của hàm số
0 )
lim
x
x
0 )
lim
x
x
+Lập bảng biến thiên : dấu của y’, chiều biến thiên, giới hạn và điểm cực trị ( nếu có ) của hàmsố
+Tìm y" và giải pt y" = 0 điểm uốn của đồ thị
+Đồ thị: Nhận điểm uốn làm tâm đối xứng
Điểm đặc biệt : điểm uốn , điểm cực đại , điểm cực tiểu ( nếu có ) Tìm thêm 2 hoặc 4 điểm để vẽ chính xác đồ thị
Lưu ý: Nên tìm giao của đồ thị với trục tung ( cho x = 0 tìm y) và giao của đồ thị với trục hoành ( số giao điểm
là số nghiệm của phương trình ax3 + bx2 + cx + d = 0 )
* Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số trùng phương
Các bước khảo sát:
+Tập xác định : D = R
+Tìm y' và giải phương trình y'= 0
+Tìm giới hạn của hàm số
0 )
lim
x
x
0 )
lim
x
x
+Lập bảng biến thiên : dấu của y’, chiều biến thiên, giới hạn và điểm cực trị ( nếu có ) của hàmsố
+Đồ thị: Nhận trục Oy làm trục đối xứng
Điểm đặc biệt : điểm uốn , điểm cực đại , điểm cực tiểu ( nếu có ) Tìm thêm 2 điểm để vẽ chính xác đồ thị
* Hàm số (C)
d cx
b ax y
Các bước khảo sát:
- TXĐ: D = R\
c d
'
d cx
bc ad y
+ y'0,xDhàm số nghịch biến trên TXĐ và không có cực trị
+ y'0,xDhàm số đồng biến trên TXĐ và không có cực trị
- Tiệm cận :
+ Tìm lim ( ); lim ( ) là tiệm cận đứng
d x c
+ lim ( ) là tiệm cận ngang
x
Trang 2- Lập bảng biến thiên : Chú ý: y’, y không xác định tại x d và giá trị của y khi
c
- Đồ thị:
+nhận giao điểm của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng
+giao điểm với hai trục toạ độ:
a
b x y
d
b
y
x0 ; 0
' '
2
b x a
c bx ax y
Các bước khảo sát:
Thực hiện phép chia tử cho mẫu
' '
k
y mx n
a x b
- TXĐ: D = R\
'
'
a b
2
' '
( ' ')
ka
a x b
a x b
- Giải phương trình y’= 0
- Tiệm cận :
lim ( ); lim ( )
' '
b x a
+ lim ( ) ( ) lim 0 là tiệm cận xiên
' '
k
a x b
- Lập bảng biến thiên :Chú ý: y’, y không xác định tại '
'
b x a
- Đồ thị:
Các dạng đồ thị hàm số:
Hàm số bậc 3: y = ax 3 + bx 2 + cx + d (a 0)
Phương trình y' = 0
có hai nghiệm phân biệt
Phương trình y' = 0
có nghiệm kép
Phương trình y' = 0
vô nghiệm
Lop12.net
Trang 3 Hàm số trùng phương: y = ax 4 + bx 2 + c (a 0)
d cx
b ax
Hàm số hữu tỷ (2/1) : (tử, mẫu không có nghiệm chung, )
2
y
a x b
CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ
I Tìm giao điểm của hai đường
Giả sử hàm số y f (x) có đồ thị là (C) và hàm số y g(x) có đồ thị là (C1 )
Để tìm hoành độ các giao điểm của (C) và (C1 ) ta giải phương trình: f (x) g(x) (1)
Số nghiệm của phương trình chính là số giao điểm của hai đồ thị (C) và (C1 )
Nếu x o , x1 , là các nghiệm của (1) thì các điểm M o (x o ; f (x o )), M1 (x1 ; f (x1 )) là các giao điểm của (C) và (C1 )
x
y
y
O
a < 0
a > 0
Dạng 2: hàm số có 1 cực trị ?
x
y
y
O
a < 0
a > 0
Dạng 1: hàm số có 3 cực trị ?
y
I
x
y
O
Dạng 2: hsố nghịch biến Dạng 1: hsố đồng biến
x O
I
x
y
O
I
x
y
O
I
Dạng 2: hàm số không có cực trị
x
y
O
I
x y
O
I
Dạng 1: hàm số có cực trị
Trang 4III Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng (a;b)
a) Hàm số f(x) đồng biến trên (a;b) f (x) 0 với x (a; b)
b) Hàm số f(x) nghịch biến trên (a;b) f (x) 0 với x (a; b)
IV.Cực đại và cực tiểu
Cho hàm số y = f(x) , xo thuộc tập xác định của hàm số Nếu khi x đi qua xo đạo hàm đổi dấu thì xo là một điểm cực trị của hàm số
o Nếu đổi dấu từ + sang – thì xo là điểm cực đại của hàm số
o Nếu đổi dấu từ - sang + thì xo là điểm cực tiểu của hàm số
Để tìm các điểm cực trị của hàm số ta có hai quy tắc:
o Tìm các điểm tới hạn sau đó xét dấu của đạo hàm f (x)
o Giải phương trình f (x) = 0 Gọi xi là các nghiệm Xét dấu của f (x) f”(xi) > 0 xi là điểm cực tiểu
f”(xi) < 0 xi là điểm cực đại
Bài toán : Tìm m để hàm số y = f(x) có cực trị và các điểm cực trị thỏa mãn điều kiện nào đó.
- Tìm điều kiện m để cho đạo hàm của hàm số có đổi dấu (số lần đổi dấu bằng số cực trị)
- Tìm tọa độ của các điểm cực trị rồi đặt tiếp điều kiện của m để thỏa mãn điều kiện mà bài toán yêu
cầu
II Viết phương trình tiếp tuyến
Bài toán 1: Viết phương trình tiếp tuyến của (C): y = f(x) tại M0(x0;y0) (C)
Bước 1: Nêu dạng pttt : y – y0 = f’(x0)x x 0 hay y – y0 = k(x – x0) (*)
Bước 2: Tìm các thành phần chưa có x0, y0, f’(x0) thay vào (*)
Rút gọn ta có kết quả
Bài toán 2: Viết pttt của (C): y = f(x) biết tiếp tuyến đi qua hay xuất phát từ A(xA;yA)
Bước 1: Viết pt đường thẳng (d) đi qua A và có hệ số góc k:
y – yA = k(x – xA) (1)
Bước 2: (d) là tiếp tuyến của (C) khi hệ sau có nghiệm:
'( )
Bước 3: Giải tìm k và thay vào (1) Ta có kết quả
Bài toán 3: Viết pttt của (C): y = f(x) biết hệ số góc k của tiếp tuyến
(hay: biết tiếp tuyến song song, vuông góc với 1 đường thẳng (D) )
C1: Bước 1: Lập phương trình f’(x) = k x = x0 ( hoành độ tiếp điểm)
Bước 2: Tìm y0 và thay vào dạng y = k(x – x0) + y0 ta có kết quả
C2: Bước 1: Viết pt đường thẳng (d): y = kx + m (**)
(trong đó m là tham số chưa biết)
Bước 2: Lập và giải hệ pt: ( ) k = ? thay vào (**)
'( )
Ta có kết quả
Chú ý: Hai đồ thị hàm số y f (x) và y g(x) tiếp xúc với nhau nếu và chỉ nếu hệ
phương trình sau đây có nghiệm: ( ) ( )
'( ) '( )
Lop12.net
Trang 5GIÁ TRỊ LỚN NHẤT –GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
1) Cách tìm GTLN-GTNN trên (a,b)
+ Lập bảng biến thiên của hàm số trên (a,b) + Nếu trên bảng biến thiên có một cực trị duy nhất là cực đại( cực tiểu) thì giá trị cực đại (cực tiểu) là GTLN(GTNN) của hàm số trên (a,b)
2) Cách tìm GTLN-GTNN trên [a,b]
+ Tìm các điểm tới hạn x1,x2, , xn của f(x) trên [a,b]
+ Tính f(a), f(x1), f(x2), , f(xn), f(b)
+ Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên
[ , ] [ , ]
max ( ) ; min ( )
a b
a b
BÀI TẬP LUYỆN TẬP
1 Tìm GTLN của hàm số : y 4 x 3 3 x 4
2 Tìm GTNN của hàm số : với x > 0
x x
y 2 2
3 Tìm GTLN và GTNN của hàm số : y x 2 4 x
4 Tìm GTLN và GTNN của hàm số : y sin 2x - x trên 2 ; 2
5 Tìm GTLN và GTNN của hàm số : trên
cosx 2
sinx
6 Tìm GTLN và GTNN của hàm số : y x 2 x 2
7 Tìm GTLN và GTNN của hàm số :
2
1 2 cos
y
2
1 ) 4 cos 2 sin 1 (
9 Tìm GTLN và GTNN của hàm số: y x 4 3 x 3 2 x 2 9 x với x [ 2 ; 2]
10 Tìm GTLN và GTNN của hàm số : y sin 2 x x trên 2 ; 2
11 Tìm GTLN và GTNN của hàm số : y x 2 . e x trên [ 3 ; 2]
12 Tìm GTLN và GTNN của hàm số : y 5cosx cos5x trên [ 4 4 ; ]
13 Tìm GTLN và GTNN của hàm số:
2
2
x x
x y
14 Tìm GTLN và GTNN của hàm số: y x 12 3 x 2
15 Tìm GTLN và GTNN của hàm số: y ( x 2 ) 4 x 2
16 Tìm GTLN và GTNN của hàm số: y ( 3 x ) x 2 1 với x [ 0 ; 2 ]
17 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số :
2
Trang 618 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 2sin 4 sin trên đoạn 0; 3
3
19 Tìm GTNN của hàm số : y 3 2 x 2 x 3 trên đoạn
3 ; 2 1
20 Tìm GTLN và GTNN của hàm số : f ( x ) cos 2 2 x 2 (sin x cos x ) 2 3 sin 2 x
21 Tìm giá trị lớn nhất và bé nhất của hàm số sau : y 4cos x 3 3sinx 7sin x 2 2
22 Tìm GTLN và GTNN của hàm số :
1 sin 2
sin
1
sin
x x
x y
23 Tìm GTLN và GTNN của hàm số: 2(1 sin2 cos4 ) 1 (cos4 cos8 )
2
24 Tìm GTLN và GTNN của hàm số: y 2(sin 3 x cos ) 8sin cos 3 x x x
25 Chứng minh các bất đẳng thức sau : ( 1 sin ) 4 sin 4 17
8
Bài 1: Cho hàm số y x 33mx23(2m1)x1
a) Khảo sát hàm số khi m=1
b) Xác định m để hàm số đồng biến trên tập xác định
2
mx y
x m
a) Khảo sát và vẽ đồ thị khi m=2
b) Xác định m để đồ thi hàm số khơng cắt đường thẳng x=-1
c) Chứng minh rằng với mỗi giá trị m hàm số luơn đồng biến trên khoảng xác định của nĩ
Bài 3: Chứng minh rằng
a) x > sinx x (-π/2,π/2)
b) e x 1 x 2 x R
c) x>1
ln
x
e
Bài 4) Cho hàm số
x
m x ) m ( x
1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1
2) Với giá trị nào của k thì (C) và đường thẳng (D): y = k cĩ 2 giao điểm phân biệt A và B
Bài 5) Cho hàm số
2
5 4 2
x
m mx x
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1
2) Tìm tất cả giá trị của tham số m để trên đồ thị (Cm) của hàm số cĩ hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua O
Bài 6 :Cho hàm số gọi (C) là đồ thị hàm số đã cho
1
3
x
x y
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
b) Tìm các điểm trên (C ) cĩ tọa độ là những số nguyên
c) Chứng minh rằng đường thẳng D:y=2x+m luơn cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt MN ;xác định m để đoạn MN cĩ độ dài nhỏ nhất
Lop12.net
Trang 7d) Tìm những điểm trên trục hoành từ đó vẽ đúng hai tiếp tuyến với (C) trường hợp vẽ được hai tiếp tuyến có tiếp điểm là P;Q viết phương trình đường thẳng PQ
e) Tìm tọa độ hai điểm thuộc hai nhánh của đồ thị (C) sao cho khoảng cách giửa chúng bé nhất f) Tiếp tuyến tại một điểm S bất kỳ của (C) cắt hai đường tiệm cận tại hai điểm I;J chứng minh rằng S là trung điểm của IJ
g) Với giá trị m nào thì đường thẳng y=-x+m là tiếp tuyến của đường cong (C)
Bài 7:
Cho hàm sốy(x1)2(4x)
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số
b) Chứng tỏ rằng đồ thị có tâm đối xứng
c) Viết phương trình tiếp tuyến (C) đi qua điểm A(3;5)
d) Tìm m để đường thẳng y=3/4.x +m cắt (C) theo hai đoạn bằng nhau
e) Tìm m để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt
x x x m
Bài 8:
Cho hàm số y2x3 3(m1)x2 6mx2m
a)Khảo sát và vẽ đồ thị (C) khi m=1 chứng tỏ rằng trục hoành là tiếp tuyến của (C)
b) Xác định m để hàm số có cực trị tính tọa độ hai điểm cực trị ,viết phương trình đường thẳng qua điểm cực trị đó
Bài 9 :
3
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số
b) Dùng đồ thị biện luận theo m số nghiệm của phương trình 3x3-6x2-5x+m=0
c) Tiếp tuyến với (C) tại gốc tọa độ O cắt đồ thị (C) ở điểm M tìm tọa độ M
d) Biện luận theo k vị trí tương đối của (C) và đường thẳng d có phương trình y=kx
e) Chứng minh rằng đồ thị có tâm đối xứng
Chương I: HÀM SỐ MŨ, HÀM SỐ LŨY THỪA VÀ HÀM SỐ LÔGARIT
Trang 10* ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ MŨ VÀ LễGARIT
(ax)’ = ax lna ; (au)’ = u’ au lna , u = u(x)
(ex)’ = ex ;(eu)’ = u’ eu , u = u(x)
log ' ; log ' , ( )
ln ' ; ln ' , ( )
u
u
BÀI TẬP
I Tớnh giỏ trị biểu thức, rỳt gọn biểu thức, chứng minh đẳng thức … đối với lũy thừa.
Bài 1 Viết dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ cỏc biểu thức sau :
a/ 5 3 b/ ; a > 0 c/ ; (x > 0) d/ ; (ab > 0)
2 2 2
11 6 :
b b
Bài 2 Đơn giản cỏc biểu thức sau :
a/ (a5)4 b/ 81a b4 2 ; (b0) c/ 4 x x8( 1) ; (4 x 1)
2 2 2
1 ( )
a a b P
2
2
h/ 3 5 13 48
Bài 3 Đưa nhõn tử ở ngoài vào dấu căn: a/ (4 ) ;( 4) b/
4
x
x
1
25
a
Bài 4 Trục căn ở mẫu số của cỏc biểu thức sau :
1
; a 0;b 0
3 2
5
1
5 2
Bài 5 Tớnh giỏ trị của biểu thức :
1
3 5 : 2 : 16 : (5 2 3
2
3 3
3 3
2 2 2
a a b b
6 5
5
b
3 2
C a b ab ( ) (a )
2 2
a
3
1 2
b
Bài 6 Chứng minh đẳng thức sau :
2
0
a
c/ 3 2 2 3 2 2 2 d/ 35 2 7 35 2 7 2
Bài 7 Rỳt gọn biểu thức :
.( )
a
a
b 3:b( 3 1) 2 x 4 x x2: 4 (a325)35
Bài 8 Viết biểu thức sau dưới dạng luỹ thừa với số mũ hữu tỉ: A 3 a a a a a3 : 125
Bài 9 Khi nào các đẳng thức sau luôn đúng?
a) 9x y4 2 3x y2 b) (5 2 ) a2 5 2a c) 327a b6 9 3a b2 3
Bài 10 Có thể viết: ( 27) 1/ 3 3 27 3 được không?
Lop12.net
Trang 11II Tính giá trị biểu thức, rút gọn biểu thức, chứng minh đẳng thức … đối với mũ và lơgarit.
Bài 1 Tính giá trị các biểu thức sau :
1/ A 3 log 4 3 , 2/ B = 16 log 43 , 3/ C = 27 log 92
4 / D = log 55 , 5 / E = log 416 , 6 / F = log 279
Bài 2 Tính giá trị các biểu thức sau :
1
3
2 log 5
4
2
log
1+log 2+log
1 / A = 4 2 / B = 3 , 3 / D = 3
1 2
2
5 / F = 5 , 6 / G = log
Bài 3 TÝnh gi¸ trÞ cđa biĨu thøc sau:
8
1 2
27 6log
9 log 8 9 log 2
log 2 2
C = log 56 1 log 25 log 369 D =
4
2 2
log log 2
2
2 log 3
3
4 log 4 16 2log 27 3
3
Bài 4 Rĩt gän biĨu thøc: A = 6 8 B = C =
log 2 log 3
1 log 5 log 7 2
25 49
1
39 5log 3
6 6
13 2
2 9
1 27
log log
3 6 3 9
81log 27log 3 log 3 27 2 22
1
27 1
4
log log log log
1
33 4log 3
6 6
16 2 25
1 125
log log
4 1
4 9 3 5
3 11
9log 121log
1
3
1 1
16
log
1 5
5
0 1
log
log ,
Bài 6 Biết: log5 = a Tính: log125000; log0,00625;
5
1 1000 log
Bài 7. a) Biết: log214 a , tính log5632 b) Biết: log35 a , Tính log7545
6
5 log
Bài 8 a) Tính log308 biết log303 a ; log305 b b) Tính log54168 biết log712 a , log1224 b
5
27 25
e) Tính log21x biết log3x a , log7x b
Trang 12Bài 9 a) Biết logaba 4 , Tớnh ab 3a b) Biết Tớnh
b
a a b 1
5 3 2 3
a b
a b ab log
Bài 10 Biến đổi các biểu thức sau về dạng luỹ thừa có số a, biết:
a, A = 7 5 33 3 3 3 và a = 3 b, B = 35 và a =
4
2
III So sỏnh
Bài 1 So sỏnh: a/ 3600 và 5400 b/ và c/ và
5 7 1 ( ) 2
14
Bài 2 So sánh a, b biết: a) a b b) 5 2 a 5 2 b
Bài 3 Các bất đẳng thức sau đúng hay sai, tại sao?
0,75 0,5
3 / 4 0,7
(1,1) (1,1) 0,1 0,1
Bài 4 Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a) 5501 707 2 b) 3791 4 0,007 9 0,01 .
Bài 5 Có nhận xét gì về số a nếu: a) b) c) (Cho a > 0).
2 1
3 4
13 15
a a
Bài 6 Tìm tất cả các giá trị của x thoả mãn các bất đẳng thức sau:
81
4
x
x x
2
x
4 1
2 4
x
0,5
8
x
IV Đồ thị hàm số mũ và lụgarit
Bài 1 Vẽ đồ thị cỏc hàm số: a, y = 2x b, y = x
2
Bài 2 Căn cứ vào đồ thị: y 2x vẽ đồ thị các hàm số sau:
a) y 2x 2 b) y 2| |x c) y 8.2x d) y 2x 1
Bài 3 Vẽ đồ thị hàm số: y = 3x Từ đó suy ra cách vẽ đồ thị các hàm số sau:
a) y 3x 2 b) y 3.3x
Bài 4 Trên cùng một hệ trục toạ độ, vẽ đồ thị các hàm số: y 2 , x y 3x
Hãy cho biết, khi nào thì 2x 3x?
Bài 5 Vẽ đồ thị cỏc hàm số: a, y = 1 b, y =
2
x
Bài 6 Vẽ đồ thị các hàm số sau: a) y log3x b) y log | |3 x c) 2 log x3 d) 2
3 log
Bài 7 Vẽ đồ thị các hàm số: a, y = ex b, y = -e2x c, y = 2x 1
Bài 8 Vẽ các đồ thị sau: a) y2 log1/ 2x b) 2
1/ 2 log
Bài 9 Vẽ các đồ thị sau: a) ylog (3 x2) b) y |log (3 x2)|
Bài 10 Vẽ đồ thị hàm số: 1 Từ đó hãy suy ra cách vẽ đồ thị các hàm số sau:
4
x
y
Lop12.net
Trang 13a) y 4x b) y 4x c) y 4| |x ) d) 1 1.
4
x
y
Bài 11 Cho hàm số: y 2x 1
a) Vẽ đồ thị hàm số ấy và so sánh với đồ thị hàm số y 2x
b) Với giá trị nào của x thì hàm số y 2x 1 có giá trị lần lượt bằng 4, 8, 32?
c) Với giá trị nào của x thì hàm số y 2x 1 có giá trị lớn hơn 2?
d) Với giá trị nào của x thì hàm số y 2x 1 có giá trị lớn hơn 1 nhưng bé hơn 2?
3
1 2
8 log (2 9 10)
2 2
5 log ( 2 3)
y
V Đạo hàm của hàm số lũy thừa, mũ và lụgarit
Bài 1 Tính đạo hàm của các hàm số sau:
1
x x 3
4 y = 2 ex. cosx 5 y 2 3x 6 y = cosx
cotx
e
1
3 x x 4
10 y = 4 ex. cosx 11 y = 23x 12 y =
x x
2
x
2x e
Bài 2.Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
1 y = ln2x2 x 3 2 y = log cos2 x 3 y = 2x 1 ln3x2x
1 2
2x 1
ln
x
e ln cosx
7 y = lnx23x 1 8 y = log cos3 x 9 y = 2x21ln3x 2
1 2
3x x
x 1
ln
2x
e ln cosx
Bài 3.Chứng minh rằng:
1 Hàm số y = 1 thỏa mãn hệ thức: xy’ = y(ylnx - 1)
1 x lnx
2 Hàm số y = x2 1x x2 1 x x2 1 thỏa mãn hệ thức:
2y = xy’ + lny’
3 Hàm số y = x21 e x 2008 thỏa mãn hệ thức:
2
2xy