Phuong trinh mu va logarit

Hệ phương trình mũ và logarit Khi giaûi heä phöông trình muõ vaø logarit, ta cuõng duøng caùc phöông phaùp giaûi heä phöông trình đã học như:  Phöông phaùp theá..  Phương pháp cộng đại[r]

Phương Trình mũ

1 Phương trình mũ cơ bản: Với a > 0, a  1:

0 log

x

a

b

a   b  x b





2 Một số phương pháp giải phương trình mũ

a) Đưa về cùng cơ số: Với a > 0, a  1: a f x( )a g x( ) f x( )g x( )

Chú ý: Trong trường hợp cơ số có chứa ẩn số thì: a M a N  (a 1)(M N ) 0

b) Logarit hoá: a f x( ) b g x( )  f x( )loga b g x ( )

c) Đặt ẩn phụ:

 Dạng 1: P a( f x( )) 0 

( ), 0 ( ) 0

f x

P t





 , trong đó P(t) là đa thức theo t.

 Dạng 2: a2 ( )f x ( )ab f x( )b2 ( )f x 0

Chia 2 vế cho b2 ( )f x , rồi đặt ẩn phụ

( )

f x

a t b

 

 

 

 Dạng 3: a f x( )b f x( )m, với ab 1 Đặt

( ) ( ) 1

t

d) Sử dụng tính đơn điệu của hàm số

Xét phương trình: f(x) = g(x) (1)

 Đoán nhận x0 là một nghiệm của (1)

 Dựa vào tính đồng biến, nghịch biến của f(x) và g(x) để kết luận x0 là nghiệm duy nhất:

( ) đồng biến và ( ) nghịch biến (hoặc đồng biến nhưng nghiêm ngặt) ( ) đơn điệu và ( ) hằng số





 Nếu f(x) đồng biến (hoặc nghịch biến) thì f u( )f v( ) u v

e) Đưa về phương trình các phương trình đặc biệt

 Phương trình tích A.B = 0 

0 0

A B

 

 

0

A

B

 

   





f) Phương pháp đối lập

Xét phương trình: f(x) = g(x) (1)

Nếu ta chứng minh được:

( ) ( )





( ) ( )

f x M

 





Bài 1 Giải các phương trình sau (đưa về cùng cơ số hoặc logarit hoá):

c) 4x23 2x 4x26 5x 42x23 7x 1

   d) 52x 7x 5 35 7 35 02x  x  e) 2x21 2x22 3x2 3x21

2 4

5x x  25

2 2

4 3

2

x

x





 



 

7 1 2

   



   

    i) 3 2x x172 k) 5x1 6 5 –3 5x x152

l)

16 0,125.8

x x

x







Bài 2 Giải các phương trình sau (đưa về cùng cơ số hoặc logarit hoá):

a)

x x

   



   

1

5 2 50

x

x x

3 2

3 2 6

x

x x

 d) 3 8 2 6

x

x x

 e) 4.9x1 3 22x1

 f) 2x22x.3x 1,5

g) 5 3x x2 1

 h) 23x 32x i) 3 2x x2 1

Bài 3 Giải các phương trình sau (đặt ẩn phụ dạng 1):

a)4x 2x1 8 0 b) 4x1 6.2x1 8 0

   c) 34 8x 4.32 5x 27 0

d) 16x 17.4x16 0 e) 49x7x1 8 0 f) 2x x2 22 x x2 3.

g) 7 4 3 x 2 3x 6 h)4cos2x 4cos2x 3 i) 32 5x  36.3x1 9 0 k) 32x22 1x  28.3x x2  9 0 l) 4x22 9.2x22 8 0 m) 3.52 1x  2.5x10,2

Bài 4 Giải các phương trình sau (đặt ẩn phụ dạng 1):

a) 25x 2(3 x).5x2x 7 0 b) 3.25x2(3x10).5x2 3 x 0 c) 3.4x(3x10).2x 3 x0 d) 9x2(x 2).3x2x 5 0

e) 4x2x.3 x 31 x 2.3 x x22x6 f) 3.25x2(3x10).5x2 3 x0 g) 4 +( –8)2 +12 –2x x x x0 h) (x4).9x  (x5).3x 1 0

i) 4x2 (x2 7).2x2 12 4 x2 0 k) 9x (x2).3x 2(x4) 0

Bài 5 Giải các phương trình sau (đặt ẩn phụ dạng 2):

a) 64.9x 84.12x27.16x 0 b) 3.16x 2.81x 5.36x

  c) 6.32x 13.6x 6.22x 0

d) 25x 10x 22 1x e) 27x+12x=2 8x f) 3.16x 2.81x 5.36x

g) 6 9

1

x −13 6

1

x+6 4

1

x=0 h)

4 x 6x 9 x i)

2.4x6x 9x

k) 7 5 2 x  2 5 3 2 2    x 3 1  2x 1 2 0.

Bài 6 Giải các phương trình sau (đặt ẩn phụ dạng 3):

a) 2 3x 2 3x 14 b)  2 3 x 2 3x 4

c) (2 3)x (7 4 3)(2  3)x 4(2 3) d) 5 21x 7 5 21x 2x 3

e) 5 24x5 24x 10 f)

g)  6 35  6 35 12

2 3



i) 3 5 16 3  5 2 3

x

k) 3 5 3 5  7.2 0

x

l) 7 4 3 x 3 2  3x  2 0 m) 33 8 x  33 8x 6

Bài 7 Giải các phương trình sau (sử dụng tính đơn điệu):

a)2 3x2 3x 4x b)  3 2x  3 2x  5x

c) 3 2 2 x3 2 2 x 6x d) 3 5x16 3  5x 2x3

e)

2

 

 

 

 

x

x

f)  2 3  2 3 2

x

g) 2x3x5x 10x h) 2x 3x 5x i) 2x1 2x x2 (x1)2 k) 3x  5 2x l) 2x  3 x m) 2x1 4x  x 1 n) 2 32 1

x

q) 3x+8x=4x+7x r) 6x+2x=5x+3x s) 9x+15x=10x+14x

Bài 8 Giải các phương trình sau (đưa về phương trình tích):

a) 8.3x3.2x 24 6 x b) 12.3x3.15x 5x120

c) 8 x.2x  23x x0  d) 2x+3x=1+6x

e) 4x2−3 x+2+4x2+6 x+5=42 x2+3 x+7

+1 f) 4x2+x

+21 − x2=2(x +1)2

+1 g) x2.3x3 (12 7 )x  x  x38x219x12 h) x2.3x1x(3x  2 ) 2(2x  x  3 )x1 i) 4sinx 21 sin xcos( ) 2xy  y 0 k) 22(x x2 ) 21x2 22(x x2 ) 1.2x2 1 0

Bài 9 Giải các phương trình sau (phương pháp đối lập):

a) 2x cos ,x4 với x  0 b)

3x  x x 6x 6

   c) 3sin x cosx

d)

3 2

2

  

  e) π|sin√x|=|cos x| f) 2

2 x − x2

=x2+1

x

g) 3x2=cos 2 x h) 5x2 cos3x

Bài 10. Tìm m để các phương trình sau có nghiệm:

a) 9x3x m0 b) 9xm3 1 0x  c) 4x  2x 1m

d) 32x2.3x  (m3).2x 0 e) 2x (m1).2x m0 f) 25x 2.5x m 2 0 g) 16x (m 1).22x m 1 0 h) 25xm.5x  1 2m0 i)

sin os

k) 34 2 x2 2.32x22m 3 0 l) 4 x 1 3    x 14.2 x 1 3    x 8 m

m) 9x 1 x2  8.3x 1x2  4 m n) 91 1 t2  (m2).31 1 t2 2m 1 0

Phương trình logarit

1 Phương trình logarit cơ bản

Với a > 0, a  1: loga x b  x a b

2 Một số phương pháp giải phương trình logarit

a) Đưa về cùng cơ số

Với a > 0, a  1:

( ) ( ) log ( ) log ( )

( ) 0 ( ( ) 0)

f x hoặc g x



b) Mũ hoá

Với a > 0, a  1: log ( )a f x  b alog ( )a f x a b

c) Đặt ẩn phụ

d) Sử dụng tính đơn điệu của hàm số

e) Đưa về phương trình đặc biệt

f) Phương pháp đối lập

Chú ý:

 Khi giải phương trình logarit cần chú ý điều kiện để biểu thức có nghĩa.

 Với a, b, c > 0 và a, b, c  1: alogb c clogb a

Bài 1 Giải các phương trình sau (đưa về cùng cơ số hoặc mũ hoá):

a) log2x x( 1) 1

b) log2xlog (2 x1) 1

c) log (2 x 2) 6.log 1/8 3x 5 2 d) log (2 x 3) log ( 2 x1) 3

e) log (4 x3) log ( 4 x1) 2 log 8  4 f) lg(x 2) lg( x 3) 1 lg5 

2 2log ( 2) log ( 3)

3

h) lg 5x 4 lg x  1 2 lg 0,18 i) log (3 x2 6) log ( 3 x 2) 1 k) log (2 x3) log ( 2 x1) 1/ log 2 5

l) log4xlog (104  x) 2 m) log (5 x1) log ( 1/5 x2) 0

n) log (2 x1) log ( 2 x3) log 10 1 2  o) log (9 x8) log ( 3 x26) 2 0 

Bài 2 Giải các phương trình sau (đưa về cùng cơ số hoặc mũ hoá):

a) log3xlog 3 xlog1/3x6

b) 1 lg( x2 2x1) lg( x21) 2 lg(1  x) c) log4xlog1/16xlog8x5 d) 2 lg(4 x2 4x1) lg( x219) 2 lg(1 2 )  x e) log2xlog4xlog8x11 f) log (1/2 x1) log ( 1/2 x1) 1 log  1/ 2(7 x) g) log log2 2xlog log3 3x h) log log2 3xlog log3 2x

i) log log2 3xlog log3 2xlog log3 3x k) log log log2 3 4xlog log log4 3 2x

Bài 3 Giải các phương trình sau (đưa về cùng cơ số hoặc mũ hoá):

c) log (6 7 ) 17 x x

e) log (9 2 ) 52 x log (3 )5 x

  f) log (3.22 x1) 2 x1 0 g) log (12 2 ) 52  x   x h) log (26 3 ) 25  x 

i) log (52 x 1 25 ) 2x

  k) log (3.24 x 1 5) x

  l)

1 1

6

log (5x 25 )x 2

m)

1 1 5

log (6x 36 )x 2

Bài 4 Giải các phương trình sau (đưa về cùng cơ số hoặc mũ hoá):

a) log5 x(x2 2x65) 2 b) logx 1 (x2 4x5) 1

c) log (5x x2 8x3) 2 d) log (2x1 x32x2 3x1) 3

g) log (2x x2 5x6) 2 h) logx3(x2 x) 1

i) log (2x x2 7x12) 2 k) log (2x x2 3x 4) 2 l) log (2x x2 5x6) 2 m) log (x x 2 2) 1

n) log3 5x (9x28x2) 2 o) log2 4x  (x21) 1

p)

15

1 2

x  x  q) log (3 2 ) 1x2  x 

r) logx2 3x(x 3) 1

   s) log (2x x2 5x4) 2

Bài 5 Giải các phương trình sau (đặt ẩn phụ):

a) log23x log23x 1 5 0

b) log22 x3log2xlog1/2x2

7

6

d)

2 2

2

log 4 log 8

8

x

e) log22 x3log2xlog1/2x0

f) log 16 log 64 3x2  2x 

1

5

x

h) 7

1

7

x

1

2 log 2 log

5

x

x  

k) 3 log2x  log 42 x0 l) 3 log3x log 33 x1 0 m) log23x3log2x 4 / 3

n) log23x 3log2x 2 / 3 o)

2

log x 2 log 0

x

p) log (222  x) 8log (2 1/4  x) 5 q) log25x4 log 525 x 5 0

r)

2 9 log 5 log 5 log 5

4

s) log 3 logx2  9x1

t)

4 lg x2 lg x  u)

5 lg x3 lg x  v) log2x x214 log16x x340 log4x x 0

Bài 6 Giải các phương trình sau (đặt ẩn phụ):

a) log32x(x12) log3x11 x0 b) 6.9log 2x 6.x2 13.xlog 6 2

c) x.log22x 2(x1).log2x 4 0 d) log2

2

x+(x − 1)log2x=6 −2 x

e)(x2)log (23 x1) 4( x1) log (3 x1) 16 0  f) log (2x2 x) log 2 x x 2



g) log (32 x1) ( x 5)log (3 x1) 2 x 6 0 h) 4 log3x 1 log 3 x 4

i) log (2 x23x2) log ( 2 x27x12) 3 log 3  2

Bài 7 Giải các phương trình sau (đặt ẩn phụ):

log 3 log e) 4log 7x 3 x

 f)log 12  x log3x g) xlog 9 2 x2.3log 2x  xlog 3 2

h) log3 7x (9 12 x4 ) logx2  2 3x (6x223x21) 4

log x x 1 log x x  1 log x x 1

Bài 8 Giải các phương trình sau (sử dụng tính đơn điệu):

a)x x log 32 xlog 52 (x0) b) x 2 3log 2x 5log 2x

e) log (2 x2 x 6)xlog (2 x2) 4 f) x 2.3log2x 3

g) 4(x 2) log ( 2 x 3) log ( 3 x 2) 15(x1)

Bài 9 Giải các phương trình sau (đưa về phương trình tích):

a) log2x2.log7x 2 log log2x 7x b) log log2x 3x 3 3.log3xlog2x

c) 2 log 9x2 log log3x 3 2x 1 1  

Bài 10. Giải các phương trình sau (phương pháp đối lập):

a) ln(sin ) 1 sin2x   3x0 b)  2  2

2

c)

2 1 3 2

2 3

8

log (4 4 4)

   

 

Bài 11. Tìm m để các phương trình sau có nghiệm duy nhất:

a)

2

log x 2(m 1)x log (2x m 2) 0

c) log 5 2x2 mx m 1 log 5 2x 0

d)

lg

2

lg 1

mx

x 

e) log (3 x24 ) log (2mx  3 x 2m1)

Bài 12. Tìm m để các phương trình sau:

a) log 42 x m  x 1 có 2 nghiệm phân biệt

b) log23x (m2).log3x3m1 0 có 2 nghiệm x1, x2 thoả x1.x2 = 27.

c) 2log (24 x2 x2m 4m2) log ( 2 x2mx 2m2) có 2 nghiệm x1, x2 thoả x12x22 1.

d) log32x log23x 1 2m1 0

có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn 1;3 3 e)

4 log x log x m 0

có nghiệm thuộc khoảng (0; 1)

Hệ phương trình mũ và logarit

Khi giải hệ phương trình mũ và logarit, ta cũng dùng các phương pháp giải hệ phương trình đã học như:

 Phương pháp thế

 Phương pháp cộng đại số

 Phương pháp đặt ẩn phụ

 ……

Bài 1 Giải các hệ phương trình sau:

a)

4 3 144

x y





2 3 17 3.2 2.3 6







 



2 2 2 2 1

2.3 3.2 8







e)

1





2

2 3.4 2 4







Bài 2 Giải các hệ phương trình sau:

a)

x

x



x

y x



  



2 2

3

x xy y



1 1











x y

y x

Bài 3 Giải các hệ phương trình sau:

6 logx y x log y 3

  

6 y

x y



 



c)

2 2

log 4



2 2

3 logx y x y log x y 1





e)

32

logxy y x 4

 

2

3 log

9

y

x







g)

¿ 2(logy x +log x y )=5

xy=8

¿{

¿

3log (9 ) log 3







i)

2

3 2

1 log log 0

2







3 12

log 1 3

y

x







Bài 4 Giải các hệ phương trình sau:

a)

log 3 2 2

log 2x y 3 2

x y

x y





log (6 4 ) 2 log (6y x 4 ) 2

x y

y x





c)

log 1 2 log

y

  





2 2

logy log 1







e)

2

x y









g)

¿

xlog 3y+2 ylog 3x=27

log3y − log3x=1

¿{

¿

h)

2





i)

log 2x y 2 2

x y

y x





  

  2 2

xy x y



 





 



 



l)

2

lg lg lg ( )

lg ( ) lg lg 0



5 log log

2 log ( ) 1

x y









n)

lg lg 4 1

lg lg3

x

y









2 2

x y







log 2

logx x 23 3

y

y







2 2

x

y x









Bài 5 Giải các hệ phương trình sau:

a) lg

lg lg 4

1000

y

x





2

6

36

x y

x







5 ( )3

27 3log ( )

y x

x y

x y x y







lg lg lg4 lg3

(4 ) (3 )







e)

2

1 2

2 log 2 log 5 0

32

x y

xy



Bài 6 Giải các hệ phương trình sau:

a)

2

2

x

y







2

1 3

3

x y







c)

log log

4



1 3

3 2 18

x y

x y





e)

¿

( √3)x − y=(13)x− 2 y

log2(x + y )+log2(x − y)=4

¿{

¿

x y

y x











