phương trình mũ và logarit

một số công thức và bài tập có lời giải của phương trình mũ và logarit.

PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT

A.PHƯƠNG TRÌNH MŨ VẤN ĐỀ 1: Các phương pháp giải phương trình mũ I.Công thức lũy thừa và căn thức

.

m















II Các phương pháp giải phương trình mũ

1) Đưa về dạng cơ bản

( ) log

f x

a

b







2)Phương pháp đưa về cùng cơ số

Biến đổi phương trình về dạng :

  ( )

( ) ( )

g x

a



 



Nếu cơ số a không phụ thuộc x ( a=a(x))

 

( ( ) 1)( ( ) ( )) 0







3)Phương pháp dùng ẩn số phụ

Đặt t= f x( )

a chọn cơ số a thích hợp

Điều kiện t >0

Biến đổi phương trình mũ về phương trình bậc 2 , bậc3 theo t Giải phương trình này và chọn nghiệm t >0

Giải tiếp suy ra x

4)Phương phương pháp đưa về phương trình tích

-Nhóm các số hạng rồi đặt thừa số chung suy ra phương trình tích 5)Phương pháp lấy logarit thích hợp 2 về

Dạng ( ) ( ) 0 1

b

   

 



Lấy logarit cơ số a 2 vế

( ).log ( ) log

( ) ( ).log

a



PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT

6)Phương pháp dùng tính đơn điệu

Biến đổi phương trình về dạng f(x)=g(x)

Trong đó f(x) và g(x) là 2 hàm số đơn điệu

Đoán nhận 1 nghiệm x=x 0

Suy ra phương thình có nghiệm duy nhất x=x 0

III.Một số ví dụ

VD1:Giải phương trình

0,5

1

(0, 2)

5.(0, 04) 5

x

x







Giải:

1

2 1 2

1 1

2( 1)

2 2

2 3

25 5

3

x

x

x

 

    

 

    

 

VD2: Giải phương trình:

4

Giải:

Điều kiện 2

x     x hoặc x2

    2

4

x x

( 2)x x Điều kiện t>0

 2

4 5

2

2

t

t







   

 



2 4

3

( ai) 2

0 4

4 16 8 4

5 2

x x

x

x

x





       

 



 

   









 





PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT

ĐS: 5

2

x

VD3.Giải phương trình

8.3x3.2x24 6 x (1)

Giải:

(1) 8.(3 3) 2 (3 3) (3 3)(2 8) 0

x

x

x x

   

 

  



ĐS: x=1;x=3

VD4.Giải phương trình

3x 5 x (1)

Giải:

Lấy logarit cơ số 3 hai vế

2

3

( 4) log 3 2 log 5 4 2 log 5

2 log 5 4 0

2

2

log 5 log 5 4 log 5 log 5 4

x x







VD5.Giải phương trình

2

x

x

   

 

 

Giải:

Ta thấy x=1 là một nghiệmcủa phương trình

Đặt ( ) 3 7

x

 

  là hàm số giảm trên R

( ) 2x

g x  là hàm số tăng trên R

Mà f(1)=g(1)

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x=1

VD6 Giải phương trình:

1 1 1

2x 3x 5x 2x3x5x

Giải:

( ) 2x 3x 5x

f x     là hàm số tăng trên R

1 1

( ) 2 x 3 x 5 x

g x       là hàm số giảm trên R

f  g 

   

   nên phương trình có nghiệm x=

1 2

PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT

VD7 Giải phương trình:

3.25x (3x10).5x   3 x 0(1)

Giải :

Đặt t= 2

5x (t>0)

(1) 3t2(3x10)t  3 x 0(2)

1 3 3

t

 







 

 Với

2

5 5

2 log 3

x

x



     

  

Với

2

t  x   x

(3) có 1 nghiệm x=2

( ) 5x

f x   là hàm số tăng trên R

( ) 3

g x  xlà hàm số giảm trên R

Vậy (3) có nghiệm duy nhất x=2

Vậy (1) có nghiệm : x=2 ; x 2 log 35

IV.Một số bài tập:

Bài 1: Giải phương trình:4x12x42x216

Bài 2: Giải phương trình:  1

2

log 9x5.3x 4

Bài 3: Giải phương trình: 2 3  2 3 4

Bài 4: Giải phương trình:4x2x.3x3x12 3x2 x2x6

Bài 5: Giải phương trình:

1 1 1

9x 6x 4x 0

VẤN ĐỀ 2: Tìm m để phương trình mũ có nghiệm, có nghiệm duy nhất

I Tìm m để phương trình mũ:

F(x,m)=0 (1) có nghiệm xD

Cách giải:

-Đặt ẩn phụ: t:=q(t), tìm điều kiện cho ẩn phụ t

-Chuyển điều kiện xD thành điều kiện tT

-Biến đổi phương trình (1) thành phương trình bậc 2 theo t f(t,m)=0 (2)

*Cách 1

-Biến đổi (2) tương đương với f(t)=m (2’) với tT

-Tính f’(t), lập bảng biến thiên

-Để (1) có nghiệm xD khi và chỉ khi (2’) có nghiệm tT điều này cũng tương đương với đường thẳng y=m có điểm chung với đồ thị y=f(t)

-Dựa vào bảng biến thiên để tìm điều kiện của m

PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT

*Cách 2

-Ta có (1) f(t,m)=0 (2) (bậc 2 theo t)

-Để (1) có nghiệm xD khi và chỉ khi (2) có nghiệm tT

Tức là (2) có 1 trong 2 nghiệm thuộc T hoặc cả hai nghiệm đều thuộc T

II Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất

*Cách 1

Điều kiện cần

-Giả sử phương trình có nghiệm x0 Dựa vào tính đối xứng, hàm số chẵn, giá trị tuyệt đối … phương trình có nghiệm x1

-Từ đó phương trình có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi x0=x1

-Thay vào phương trình để tìm giá trị m

Điều kiện đủ

-Thay giá trị m vừa tìm được vào phương trình

-Giải phương trình và chọn m sao cho thỏa mãn điều kiện phương trình có nghiệm duy nhất

Từ đó đưa ra kết luận các giá trị m thỏa mãn

*Cách 2

-Bằng cách đặt ẩn phụ t=q(x) để đưa phương trình đã cho về dạng f(t)=m

-Đặt y=f(t) với tT

-Tính f’(t), lập bảng biến thiên trên T

-Từ đó phương trình (2) có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi đường thẳng y=m chỉ

có duy nhất một điểm chung với đồ thị y=f(t)

-Dựa vào bảng biến thiên để có được giá trị m cần tìm

III.Một số ví dụ :

VD1: Định m để phương trình:

m1 4 x2m3 2 x  m 3 0 1  có nghiệm

Giải:

Đặt: t=2x

(t>0)

     

  

2

2

2

6 3

2 1

      

     

     

 

 

0

2 1

 

 

 

 

2

2 2

2

2 1

1

3

f t

t

t

  

 

 

 



         



PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT

Bảng biến thiên:

Để (1) có nghiệm x R  2 có nghiệm t>0Đường thẳng y=m cớ điểm chung với đồ thị y f x 

Dựa vào bảng biến thiên, ta có: 3 3

2

m

  

2

m

  

Ví dụ 2: Cho phương trình: x3 16 x2m1 4 x  m 1 0 1 

Tìm m để phương trình có 2 nghiệm trái dấu

Giải:

Đặt: t4xt0phương trình (1) trở thành     2    

f t  m t  m t  m

Phương trình (1) có 2 nghiệm trái dấu

1 0 2 4x 4 4x 1 1 2

x  x      t t

(2) có nghiệm t1, t2 thõa 0 < t1 < 1 < t2

 

 

  

  

3 3

1

1

a f

a f

m

m m

m





 







 

  



   



       





  



Vậy phương trình có 2 nghiệm trái dấu khi: 1 3

4

m

   

Ví dụ 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất: 1  

1

3 2 1

2x  m

Giải:

Phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi:

PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT

 

 

1

2 2

2

2

3

1 log 3 2

1 log 3 2

x

x



   



 



Phương trình có nghiệm duy nhất

 

2

       

IV.Một số bài tập:

Bài 1: Tìm m để phương trìnhm4 9 x2m2 3 x  m 1 0 có nghiệm Bài 2: Tìm m để phương trình 2m x2x 5 0 có 1 nghiệm duy nhất Bài 3: Định m để phương trình: 3 2 2  tgx 3 2 2tgx m

Có đúng 2 nghiệm trong ,

2 2

 

 

Bài 4:Tìm k để phương trình     1

1 4x 3 2 2x 3 1 0

có 2 nghiệm trái dấu

Bài 5:Giải và biện luận phương trình 3m xm.3x 8

B.PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT VẤN ĐỀ 1: Các phương pháp giải phương trình logarit

I.Dạng cơ bản:

log

N a

x x

a

    

Công thức đổi cơ số:

log

log

a

a

x

b

1

log

log

x

a

a

x

 ; logb c logb a

3

1

3

a a

a a













II.Các phương pháp giải phương trình logarit

1.Phương pháp đưa về cùng cơ số

-Biến đồi phương trình về dạng:

PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT

    

 

 

   

0

0

f x

g x

 





 



2.Phương pháp đặt ẩn phụ:

-Chọn ẩn số phụ thích hợp, biến đối phương trình đã cho thành một phương trình đại số 3.Phương pháp đưa về dạng phương trình tích:

-Nhóm các số hạng, đặt thừa số chung suy ra phương trình tích

4.Phương pháp dùng tính đơn điệu

-Suy đoán 1 nghiệm đặc biệt và chứng minh nghiệm đó duy nhất

5.Dạng: log   log   0 1

m

a

b

 

 

-Suy đoán nghiệm x0 và chứng minh nghiệm duy nhất

-Nghiệm duy nhất x0 thõa:  

 

0 0

m

n









6.Dùng phương pháp đối lập









  

  

 



7.Dạng: loga x  f x loga x g x 

 

 

 

   

0 1 0

a x

a x

f x











 







III.Một số ví dụ:

Ví dụ 1: Giải phương trình: 2  4  

Giải:

1

x

x





 



    

2

1 1

4 2

PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT

 Nếu 0< x <1 :

 Nếu x>1

ĐS: x3;x  3 2 3

Ví dụ 2: Giải phương trình:

 

1 1

4 lgx2 lgx

Giải:

0 0

100

x x

x

x



 







   

   

 Đặt: tlgx t    4 t 2

 

    

2 2

1

2

t

t

 

      

     

   





  



 t 1 lgx  1 x 10

t  x  x 

ĐS: x=10; x=100

Ví dụ 3: Giải phương trình:

   

log xlog 1 x 1

PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT

Giải: Điều kiện: x0

Đặt: tlog2x x 3t

 

 

2

1 2

t

t t

t t

t

  

 

 

      

Nhận xét: t=2 là nghiệm của (2)

Vế trái là hàm số giảm

Vế phải là hàm số hằng

Nên phương trình có 1 nghiệm duy nhất là 2

3

t  x  x  ĐS: x=9

IV.Một số bài tập:

Bài 1: Giải phương trình

log x   x 1 log x   x 1 log x x  1 log x x 1

Bài 2: Giải phương trình:

4

2 1

2

x

x x



 



Bài 3: Giải phương trình:  2   2 

log x 2x 9x 9 log x 4x 12x  9 4 0

Bài 4: Giải phương trình:   9

2

Bài 5: Giải phương trình: 2  2 

3

1

logx 2



VẤN ĐỀ 2: Định m để phương trình logarit có nghiệm, có nghiệm duy nhất: I.Tìm m để phương trình: F x m ,   0 1 có nghiệm xD

-Đặt ẩn số phụ: tloga x thích hợp

-Chuyển điều kiện x  D t T

-Biến đổi (1) thành phương trình bậc 2 theo t Biến đổi phương trình này về dạng:

   2

-Tính f t t, T Lập bảng biến thiên

-Để (1) có nghiệm trên D (2) có nghiệm trên T

-Dựa vào bảng biến thiên điều kiên của m

II Định m để phương trình logarit có nghiệm duy nhất:

Cho phương trình ( chứa logarit )

 ,   0 1

-Đặt: t p x 

-Tìm điều kiện của tT

-Biến đổi phương trình (1) về dạng:

   2

f t m

PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT

-Tính f t với tT

-Lập bảng biến thiên trên T

-Phương trình (1) có nghiệm duy nhất

(2) có nghiệm duy nhất trên T

-Dựa vào bảng biến thiên  Đk của m

 Cách khác:

Phương trình (1) (2) là phương trình bậc hai với x

Để (1) có nghiệm duy nhất  2 có 1 nghiệm kép

1 2

2

b

    hoặc có 2 nghiệm x1  x2

0

2

b







 

 





hoặc af  0

III.Một số ví dụ:

Ví dụ 1: Tìm m để phương trình:

 2     

lg x 2mx lg x 1 0 1 có nghiệm

Giải:

1 lg x 2mx lg x1

 

2

2

1 0

1

1 2 2

x

x

m x

 



 









    



1 2

x

  

  2 22 2

0 4

x

x

 

   vì x>1

Bảng biến thiên:

PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT

(1) có nghiệm khi và chỉ khi (2) có nghiệm x>1 1

2

m

  

Ví dụ 2: Tìm m để phương trình:

  2        

m x  m x   m

Có 2 nghiệm x1, x2 thõa mãn: 4 < x1 < x2 < 6

Giải:

2

Điều kiện:

 

     

      2    

1  f t  m1 t  2m1 t  m 2 0 2

(1) có 2 nghiệm thõa mãn :4 x1 x2 6

 2

 có 2 nghiệm t t thõa 1, 2   1 t1 t2

1

1

1 2

1

1 4

m







    





      

    



   



2

m   m

IV.Một số bài tập

Bài 1: Tìm m để phương trình  2

2

4 log x log x m 0

có nghiệm thuộc khoảng  0,1

Bài 2: Giải và biện luận phương trình theo m

 

2log xlog x 1 log m0

Bài 3: Tìm m để phương trình  2   

lg x mx lg x 3 0 có nghiệm Bài 4: Cho phương trình:  3 2     

log mx 5mx  6x log m 3 x1 1

Tìm các giá trị của x nghiệm đúng phương trình (1) với mọi m0

Bài 5: Với giá trị nào của a thì phương trình:   2

log

log

a

x

a

  

Có nghiệm duy nhất