Giao an Giai tich 12 ki 1 3 cot

Giảng bài mới: Hoạt động của Giáo viên Hoạt động của Học sinh Nội dung Hoạt động 1: Tìm hiểu cách biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thị.. Gv: Lê Quang Hải.[r]

Trang 1

Lớp 12A2, Ngày dạy: ………., Tiết TKB: ……, Sỹ số: ………, Vắng: ………

Chương I: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

 Biết vận dụng qui tắc xét tính đơn điệu của một hàm số và dấu đạo hàm của nó

3 Thái độ - Tư duy:

 Rèn luyện tính cẩn thận, chính xác Tư duy các vấn đề toán học một cách lôgic và hệthống

II CHUẨN BỊ CỦA GIÁO VIÊN VÀ HỌC SINH :

1 Giáo viên: Tài liệu tham khảo Hình vẽ minh hoạ.

2 Học sinh: Chuẩn bị bài ở nhà

III TIẾN TRÌNH GIẢNG DẠY:

1 Ổn định tổ chức: Kiểm tra sĩ số lớp.

2 Kiểm tra bài cũ: (5')

H Tính đạo hàm của các hàm số: a)

22

' 

3 Giảng bài mới:

Hoạt động của Giáo viên Hoạt động của Học sinh Nội dung

Hoạt động 1: Nhắc lại các kiến thức liên quan tới tính đơn điệu của hàm số

 Dựa vào KTBC, cho HS

nhận xét dựa vào đồ thị của

Đ1

22

Trang 2

 Đồ thị của hàm số nghịchbiến trên K là một đường đixuống từ trái sang phải.

Hoạt động 2: Tìm hiểu mối liên hệ giữa tính đơn điệu của hàm số và dấu của đạo hàm

 Dựa vào nhận xét trên, GV

nêu định lí và giải thích 2 Tính đơn điệu và dấu của đạo hàm:

Chú ý: Nếu f (x) = 0,

x K

 

thì f(x) không đổi trên K

Hoạt động 3: Áp dụng xét tính đơn điệu của hàm số

 Hướng dẫn HS thực hiện

H1 Tính y và xét dấu y ?

 HS thực hiện theo sựhướng dẫn của GV

y

Trang 3

b) y = 2x – 2

b) y x 2 2x

Hoạt động 4: Củng cố - Dặn dò

Nhấn mạnh:

– Mối liên quan giữa đạo

hàm và tính đơn điệu của

-=oOo= -Lớp 12A2, Ngày dạy: ………., Tiết TKB: ……, Sỹ số: ………, Vắng: ………

 Biết vận dụng qui tắc xét tính đơn điệu của một hàm số và dấu đạo hàm của nó

H Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y2x41?

Đ Hàm số đồng biến trong khoảng (0; +∞), nghịch biến trong khoảng (–∞; 0).

Trang 4

Hoạt động 1: Tìm hiểu thêm về mối liên hệ giữa đạo hàm và tính đơn điệu của hàm số

 GV nêu định lí mở rộng và

giải thích thông qua VD

I Tính đơn điệu của hàm số

2 Tính đơn điệu và dấu của đạo hàm

Chú ý:

Giả sử y = f(x) có đạo hàmtrên K Nếu f (x)  0 (f(x)

 0), x  K và f(x) = 0chỉ tại một số hữu hạn điểmthì hàm số đồng biến (nghịchbiến) trên K

3) Săpx xếp các điểm xi theothứ tự tăng dần và lập bảngbiến thiên

4) Nêu kết luận về cáckhoảng đồng biến, nghịchbiến của hàm số

Hoạt động 3: Áp dụng xét tính đơn điệu của hàm số

 Chia nhóm thực hiện và

gọi HS lên bảng

 GV hướng dẫn xét hàm số:

 Các nhóm thực hiện yêucầu

a) đồng biến (–; –1), (2;

+)nghịch biến (–1; 2)b) đồng biến (–; –1), (–1;

x y x







Trang 5

– Mối liên quan giữa đạo

hàm và tính đơn điệu của

Tiết 3:

Bài 2: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

I MỤC TIÊU:

1 Kiến thức:

 Mô tả được các khái niệm điểm cực đại, điểm cực tiểu, điểm cực trị của hàm số

 Mô tả được các điều kiện đủ để hàm số có điểm cực trị

2 Kĩ năng:

 Sử dụng thành thạo các điều kiện đủ để tìm cực trị

Trang 6

H Xét tính đơn điệu của hàm số:

2( 3)3

 

Hoạt động 1: Tìm hiểu khái niệm cực trị của hàm số

 Dựa vào KTBC, GV giới

thiệu khái niệm CĐ, CT của

hàm số

 Nhấn mạnh: khái niệm cực

trị mang tính chất "địa

phương"

H1 Xét tính đơn điệu của

hàm số trên các khoảng bên

trái, bên phải điểm CĐ?

Đ1

Bên trái: hàm số ĐB f(x) 0

Bên phái: h.số NB  f(x) 0

I KHÁI NIỆM CỰC ĐẠI, CỰC TIỂU

b) f(x) đạt CT tại x0  h >

0, f(x) > f(x0), x  S(x0, h)\{x0}

Chú ý:

a) Điểm cực trị của hàm số;Giá trị cực trị của hàm số;Điểm cực trị của đồ thị hàmsố

b) Nếu y = f(x) có đạo hàm trên (a; b) và đạt cực trị tại

b) có CĐ, CT

II ĐIỀU KIỆN ĐỦ ĐỂ HÀM SỐ CÓ CỰC TRỊ Định lí 1: Giả sử hàm số y =

f(x) liên tục trên khoảng K =

(x  h x; h) và có đạo hàmtrên K hoặc K \ {x0} (h > 0).a) f(x) > 0 trên (x0 h x; )0 ,f(x) < 0 trên ( ;x x0 0h) thì

Trang 7

 GV hướng dẫn thông qua

việc xét hàm số yx

x0 là một điểm CĐ của f(x).b) f(x) < 0 trên (x0 h x; )0 ,f(x) > 0 trên ( ;x x0 0h) thì

b) D = Ry = 3x2 2x1;

y = 0 

113

3 1( )

Trang 8

Tiết 4:

CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ (Tiếp)

I MỤC TIÊU:

2 Kĩ năng:

H Tìm điểm cực trị của hàm số: y x 3 3x1?

Đ Điểm CĐ: (–1; 3); Điểm CT: (1; –1).

Hoạt động 1: Tìm hiểu Qui tắc tìm cực trị của hàm số

 Dựa vào KTBC, GV cho

HS nhận xét, nêu lên qui tắc

tìm cực trị của hàm số

 HS nêu qui tắc III QUI TẮC TÌM CỰC

TRỊ Qui tắc 1:

1) Tìm tập xác định

2) Tính f(x) Tìm các điểmtại đó f(x) = 0 hoặc f(x)không xác định

3) Lập bảng biến thiên

4) Từ bảng biến thiên suy racác điểm cực trị

Hoạt động 2: Áp dụng qui tắc 1 tìm cực trị của hàm số

 Cho các nhóm thực hiện  Các nhóm thảo luận và

Trang 9

b) y x 4 3x22

c)

11







x y x

> 0)

a) Nếu f(x0) = 0, f(x0) > 0 thì x0 là điểm cực tiểu

b) Nếu f(x0) = 0, f(x0) < 0 thì x0 là điểm cực đại

Qui tắc 2:

1) Tìm tập xác định

2) Tính f(x) Giải phươngtrình f(x) = 0 và kí hiệu xi lànghiệm

3) Tìm f(x) và tính f(xi).4) Dựa vào dấu của f(xi)suy ra tính chất cực trị của xi

Hoạt động 4: Áp dụng qui tắc 2 để tìm cực trị của hàm số

 Cho các nhóm thực hiện  Các nhóm thảo luận và

trình bày

a) CĐ: (0; 6) CT: (–2; 2), (2; 2)b) CĐ: 4

Câu hỏi: Đối với các hàm số

sau hãy chọn phương án

 Đối với các hàm đa thứcbậc cao, hàm lượng giác, …nên dùng qui tắc 2

 Đối với các hàm không cóđạo hàm không thể sử dụng

Trang 10

d) Không có CĐ và CT

qui tắc 2

Tiết 5:

CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ ( Tiếp )

I MỤC TIÊU:

2 Kĩ năng:

2 Kiểm tra bài cũ: (Lồng vào quá trình luyện tập)

Hoạt động 1: Sử dụng qui tắc 1 để tìm cực trị của hàm số

 Cho các nhóm thực hiện

H1 Nêu các bước tìm điểm

cực trị của hàm số theo qui

tắc 1?

 Các nhóm thảo luận vàtrình bày

Đ1

a) CĐ: (–3; 71); CT: (2; –54)b) CT: (0; –3)

1 Tìm các điểm cực trị của

hàm số:

a) y2x33x2  36x10

b) y x 42x2 3

Trang 11

c) CĐ: (–1; –2); CT: (1; 2)d) CT:

H1 Nêu các bước tìm điểm

cực trị của hàm số theo qui

tắc 2?

 Các nhóm thảo luận vàtrình bày

Đ1

a) CĐ: (0; 1); CT: (1; 0)b) CĐ: 6

Trang 12

Tiết 6:

GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

I MỤC TIÊU:

 Biết các khái niệm GTLN, GTNN của hàm số trên một tập hợp số

 Nắm được qui tắc tìm GTLN, GTNN của hàm số

2 Kĩ năng:

 Biết cách tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một đoạn, một khoảng

 Phân biệt việc tìm GTLN, GTNN với tìm cực trị của hàm số

H Cho hàm số y x 3 x2 x1 Hãy tìm cực trị của hàm số So sánh giá trị cực trịvới y( ), ( )2 y1 ?

Hoạt động 1: Tìm hiểu khái niệm GTLN, GTNN của hàm số

 Từ KTBC, GV dẫn dắt đến

khái niệm GTLN, GTNN I ĐỊNH NGHĨACho hàm số y = f(x) xác định

Trang 13

 0 f x 3 f 1( ;min ( )) ( )



 

f(x) không có GTLN trên(0;+∞)

liên tục trên một khoảng

H1 Lập bảng biến thiên của

 minR y y ( )1 6

không có GTLN

II CÁCH TÍNH GTLN, GTNN CỦA HÀM SỐ LIÊN TỤC TRÊN MỘT KHOẢNG

Dựa vào bảng biến thiên đểxác định GTLN, GTNN củahàm số liên tục trên mộtkhoảng

Trang 14

H2 Nêu yêu cầu bài toán ?

Đ3.



3

0 2

227

a

a max V x

Tiết 7:

GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ (Tiếp)

I MỤC TIÊU:

 Biết các khái niệm GTLN, GTNN của hàm số trên một tập hợp số

 Nắm được qui tắc tìm GTLN, GTNN của hàm số

2 Kĩ năng:

 Biết cách tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một đoạn, một khoảng

 Phân biệt việc tìm GTLN, GTNN với tìm cực trị của hàm số

Trang 15

Hoạt động 1: Tìm hiểu cách tìm GTLN, GTNN của hàm số liên tục trên một đoạn

x y

a) 1 3 y y1 1

;min  ( )

1 Định lí

Mọi hàm số liên tục trên mộtđoạn đều có GTLN vàGTNN trên đoạn đó

2 Qui tắc tìm GTLN, GTNN của hàm số liên tục trên đoạn [a; b]

 Tìm các điểm x1, x2, …, xn

trên khoảng (a; b), tại đóf(x) bằng 0 hoặc không xácđịnh

 Tính f(a), f(x1), …, f(xn),f(b)

 Tìm số lớn nhất M và sốnhỏ nhất m trong các số trên

c) [0; 2] d) [2; 3]

Trang 17

 Phân biệt việc tìm GTLN, GTNN với tìm cực trị của hàm số.

Hoạt động 1: Luyện tập tìm GTLN, GTNN của hàm số liên tục trên một đoạn

20

trên các đoạn [0; 3], [2; 5]

c)

21

x y

Hoạt động 2: Luyện tập tìm GTLN, GTNN của hàm số liên tục trên một khoảng

b) max R y 1

; không cóGTNN

c) min R y 0

; không cóGTLN

( ;min)

 

;không cóGTLN

2 Tìm GTLN, GTNN của

các hàm số sau:

41

Trang 18

 Tìm được đường tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

 Củng cố cách tìm giới hạn, giới hạn một bên của hàm số

Trang 19

H Cho hàm số

21

x y

Hoạt động 1: Tìm hiểu khái niệm đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

x y

 GV giới thiệu khái niệm

đường tiệm cận ngang

Đ1 d(M, ) = y 1

Đ2 dần tới 0 khi x  +∞.

I ĐƯỜNG TIỆM CẬN NGANG

1 Định nghĩa

Cho hàm số y = f(x) xác địnhtrên một khoảng vô hạn.Đường thẳng y = y0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

y = f(x) nếu ít nhất một trongcác điều kiện sau được thoảmãn:

Đ1.

a) TCN: y = 2b) TCN: y = 0c) TCN: y = 1d) TCN: y = 0

xlim ( )f x y

  



thì đườngthẳng y = y0 là TCN của đồthị hàm số y = f(x)

VD1: Tìm tiệm cận ngang

cuẩ đồ thị hàm số:

a)

2 11

x y x







Trang 20

H2 Tìm tiệm cận ngang ? Đ2

a) TCN: y = 0b) TCN: y =

12

c) TCN: y = 1d) TCN: y = 1

11

x y x

y x

x y

 Tìm được đường tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

 Củng cố cách tìm giới hạn, giới hạn một bên của hàm số

Trang 21

Hoạt động 1: Tìm hiểu khái niệm đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

x y

y = f(x) nếu ít nhất một trongcác điều kiện sau được thoảmãn:

2 Cách tìm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số







,hoặc x xlim ( )0 f x





 

thì đường thẳng x = x0 là

Trang 22

a) TCĐ: x = 1; x = 2 TCN: y = 0

b) TCĐ: x = 1; x = –2 TCN: y = 0

c) TCĐ: x =

12

TCN: y =

12

d) TCĐ: không có TCN: y = 1

TCĐ của đồ thị hàm số y =f(x)

x y

y x

x y

32

x x y

Tiết 11:

Trang 23

KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

I MỤC TIÊU:

 Biết sơ đồ tổng quát để khảo sát hàm số

 Biết các dạng đồ thị của các hàm số bậc ba, bậc bốn trùng phương, hàm phân thức

ax b y

 Biết cách khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số trong chương trình

 Biết cách tìm giao điểm của hai đồ thị

 Biết cách dùng đồ thị của hàm số để biện luận số nghiệm của một phương trình

H Nhắc lại định lí về tính đơn điệu, cực trị của hàm số?

Đ

Hoạt động 1: Tìm hiểu sơ đồ khảo sát hàm số

H4 Nêu cách tìm giao điểm

của đồ thị với các trục toạ độ

Trang 24

– Tìm giao điểm với trụchoành:

 Giải pt: y = 0, tìm x

(nếu có) của hàm số

– Dựa vào bảng biến thiên vàcác yếu tố xác định ở trên đểvẽ

+ D = R+ y = a

+ a > 0: hs đồng biến+ a < 0: hs nghịchbiến

+ a = 0: hs không đổi

VD1: Khảo sát sự biến thiên

và vẽ đồ thị hàm số

y ax b 

Hoạt động 3: Áp dụng khảo sát và vẽ đồ thị hàm số bậc hai

 Cho HS nhắc lại các điều

+ D = R+ y = 2ax + b

- Đọc tiếp bài "Khảo sát sự

biến thiên và vẽ đồ thị của

Trang 25

hàm số".

Tiết 12:

KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

I MỤC TIÊU:

ax b y

H Nhắc lại sơ đồ khảo sát hàm số?

Đ

Hoạt động 1: Tìm hiểu khảo sát hàm số bậc ba

 Cho HS thực hiện lần lượt

các bước theo sơ đồ

 Các nhóm thực hiện vàtrình bày

+ D = R+ y = 3x26x

II KHẢO SÁT MỘT SỐ HÁM ĐA THỨC VÀ HÀM PHÂN THỨC

1 Hàm số

y ax 3bx2cx d (a 

Trang 26

y = 0 

20

x x

các bước theo sơ đồ  Các nhóm thực hiện vàtrình bày

+ D = R+ y = 3(x1)21 < 0, x+ xlim y

Trang 27

a) a > 0,  > 0 b) a > 0,  <

0c) a < 0,  < 0 d) a < 0,  >

0

-=oOo= -Lớp 12A2, Ngày dạy: ………., Tiết TKB: ……, Sỹ số: ………, Vắng: ………Lớp 12A3, Ngày dạy: ………., Tiết TKB: ……, Sỹ số: ………, Vắng: ………Lớp 12A4, Ngày dạy: ………., Tiết TKB: ……, Sỹ số: ………, Vắng: ………Lớp 12A5, Ngày dạy: ………., Tiết TKB: ……, Sỹ số: ………, Vắng: ………

Tiết 13:

KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ (tt)

Trang 28

I MỤC TIÊU:

ax b y

Hoạt động 1: Tìm hiểu khảo sát hàm số bậc ba

+ D = R+ y = 4x x( 21)

y = 0 

110

x x x

Trang 29

y = 0 

33

x x

+ D = R+ y = 2x x( 21)

y = 0  x = 0+ xlim y

y = 0  x =  1

Đồ thị nhận trục tung làmtrục đối xứng

Trang 30

Đọc tiếp bài "Khảo sát sự

hàm số"

 Các nhóm thảo luận và trảlời

Tiết 14:

I MỤC TIÊU:

ax b y

Trang 31

Đ

Hoạt động 1: Tìm hiểu khảo sát hàm số nhất biến

+ D = R \ {–1}

+ y = 2

31

x



 < 0, x  –1

+ TCĐ: x = –1 TCN: y = –1+ BBT

+ Đồ thị

x = 0  y = 2

y = 0  x = 2 Giao điểm của hai tiệmcận là tâm đối xứng của đồthị

II KHẢO SÁT MỘT SỐ HÁM ĐA THỨC VÀ HÀM PHÂN THỨC

3 Hàm số

ax b y

x y x

 





+ D = R \

12



+ TCĐ: x =

12



TCN: y =

12

và vẽ đồ thị hàm số:

2

x y x







Trang 32





- BTVN: Bài 3 SGK

hàm số"

 Các nhóm thảo luận và trảlời

-=oOo= -Lớp 12A2, Ngày dạy: ………., Tiết TKB: ……, Sỹ số: ………, Vắng: ………Lớp 12A3, Ngày dạy: ………., Tiết TKB: ……, Sỹ số: ………, Vắng: ………Lớp 12A4, Ngày dạy: ………., Tiết TKB: ……, Sỹ số: ………, Vắng: ………Lớp 12A5, Ngày dạy: ………., Tiết TKB: ……, Sỹ số: ………, Vắng: ………

< 0 xy

Trang 33

I MỤC TIÊU:

ax b y

H Tìm toạ độ giao điểm của đồ thị hai hàm số: y x 22x 3,yx2 x2 ?

Hoạt động 1: Tìm hiểu cách xét sự tương giao của các đồ thị

Cho hai hàm số:

y = f(x) (C1) và y = g(x) (C2)

Để tìm hoành độ giao điểmcủa (C1) và (C2), ta giảiphương trình: f(x) = g(x)(1)

Trang 34

H3 Nêu điều kiện để đồ thị

cắt trục hoành tại 3 điểm

phân biệt

Đ1

a)x3 3x2 5 2x32x2 3

 3x3 5x2 8 0  x = –1b)

x x

x y x

– Số giao điểm của hai đồ thị

bằng số nghiệm của phương

trình hoành độ giao điểm

 BTVN:

 Bài 5, 6, 7, 8, 9SGK

Trang 35

hàm số"

Tiết 16:

I MỤC TIÊU:

ax b y

H Tìm toạ độ giao điểm của đồ thị hai hàm số: y x 3x2 7x y, 2x5 ?

Đ ( ; ),1 7  5 5 2 5;   , 5 5 2 5;  

Hoạt động 1: Tìm hiểu cách biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thị

Trang 36

Xét ph.trình: F(x, m)=0(1)

– Biến đổi (1) về dạng:

f(x) = g(m)(2)

– Khi đó (2) có thể xem là pthoành độ giao điểm của 2 đồthị: (C): y = f(x)

(d): y = g(m)(trong đó y = f(x) thường làhàm số đã được khảo sát và

vẽ đồ thị, (d) là đường thẳngcùng phương với trụchoành)

– Dựa vào đồ thị (C), từ sốgiao điểm của (C) và (d) tasuy ra số nghiệm của (2),cũng là số nghiệm của (1)

Hoạt động 2: Áp dụng biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thị

m m

  

 

 : (1) có 1 nghiệm

22

m m

 

 

 : (1) có 2 nghiệm–2 < m < 2: (1) có 3 nghiệm

và vẽ đồ thị hàm số:

3 3 2 2

y x  x  (C)Dựa vào đồ thị, biện luậntheo m số nghiệm củaphương trình:

trình tiếp tuyến của (C): y =f(x) tại điểm M x f x0 0; ( )0 

 (C)

 y y 0 f x'( ).( 0 x x 0 )

Trang 37

x x

y = –9(x – 2)

(y0 =f(x0))

Bài toán 2: Viết phương

trình tiếp tuyến của (C): y =f(x), biết tiếp tuyến có hệ sốgóc k

 Gọi (x0; y0) là toạ độ củatiếp điểm

 f(x0) = k

(*)Giải pt (*), tìm được x0

Từ đó viết pttt

Bài toán 3: Viết phương

trình tiếp tuyến của (C): y =f(x), biết tiếp tuyến đi quađiểm A(x1; y1)

VD2: Viết phương trình tiếp

tuyến của đồ thị (C) của hàm

số sau tại các giao điểm của(C) với trục hoành:

Trang 38

 Biết cách khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số trong chương trình.

 Biết viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

H

Đ

Hoạt động 1: Luyện tập khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số bậc ba

H1 Nhắc lại các bước khảo

sát và vẽ đồ thị hàm số bậc

ba?

Đ1.

2 Khảo sát sự biến thiên

và vẽ đồ thị hàm số:

a) y x 4 2x22

Trang 39

x y

-1 1 2 3

x y

Hoạt động 3: Luyện tập khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số nhất biến

H1 Nhắc lại các bước khảo

sát và vẽ đồ thị hàm số nhất

biến?

x y

O

-3 -2 -1 1 2 3

x y

Tiết 18:

Trang 40

 Biết cách khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số trong chương trình.

 Biết viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

H

Đ

Hoạt động 1: Luyện tập xét sự tương giao giữa các đồ thị H1 Nêu đk để đồ thị hàm số

cắt trục hoành tại 3 điểm

phân biệt ?

H2 Nêu đk để đồ thị các

hàm số cắt nhau tại 2 điểm

phân biệt ?

Đ1 Pt hoành độ giao điểm

có 3 nghiệm phân biệt:



00

m m

  

 



Đ2 Pt hoành độ giao điểm

có 2 nghiệm phân biệt:

2

21

Tiêu đề	Giáo án Giải tích 12 cơ bản
Người hướng dẫn	GV. Lê Quang Hải
Trường học	Trường THPT Xín Mần
Chuyên ngành	Giải tích
Thể loại	Giáo án
Năm xuất bản	2012 – 2013
Thành phố	Xín Mần

Định dạng
Số trang	86
Dung lượng	3,29 MB