1Gọi D là điểm đối xứng với điểm M qua O .Chứng minh rằng ba điểm N, P, D thẳng hàng 2Đường tròn đường kính MP cắt MD tại Q khác M.Chứng minh rằng P là tâm đường tròn nội tiếp tam giác A[r]
Trang 1ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN HỆ THPT CHUYÊN NĂM 2012
MÔN THI: TOÁN (cho tất cả các thí sinh) Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian phát đề)
Câu I 1) Giải phương trình
√x+9+2012√x +6=2012+√( x +9) ( x +6)
2) Giải hệ phương trình
¿
x2
+y2 +2 y=4
2 x+ y +xy=4
¿{
¿
Câu II 1) Tìm tất cả các cặp số nguyên ( x ; y ) thỏa mãn đẳng thức:
(x+ y+1)(xy+x + y) =5+2 (x + y)
2) Giả sử x, y là các số thực dương thỏa mãn điều kiện ( √x+1) ( √y +1)≥ 4
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
P= x
2
y +
y2 x
Câu III Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn tâm O Gọi M là một điểm
trên cung nhỏ BC ( M khác B,C và AM không đi qua O).Giả sử P là một điểm thuộc đoạn thẳng AM sao cho đường tròn đường kính MP cắt cung nhỏ BC tại điểm N khác M.
1)Gọi D là điểm đối xứng với điểm M qua O Chứng minh rằng ba điểm N,
P, D thẳng hàng
2)Đường tròn đường kính MP cắt MD tại Q khác M.Chứng minh rằng P là tâm đường tròn nội tiếp tam giác AQN.
Câu IV Giả sử a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a ≤ b ≤3 ≤ c ; c ≥ b+1 ;a+b ≥ c Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Q= 2 ab+a+b+c (ab − 1)
(a+1)(b+1)(c +1)
Trang 2HƯỚNG DẪN GIẢI:
Câu 1
a) ĐK : x ≥ -6
√x+9+2012√x +6=2012+√( x +9) ( x +6)
√x+9(1−√x +6)+2012(√( x +6) −1)=0
(−√x +9+2012)(√( x+6 )− 1)=0
Vậy PT có hai nghiệm x = -5 ; x= 4048135
b)
¿
x2+y2+2 y=4(1)
2 x+ y +xy=4(2)
¿ {
¿
2 2 2 4
x y y
x y xy
Cộng vế với vế của hai PT được:
x y2 4 4x y 2 0
x y 2 x y 6 0
2 *
6 **
x y
x y
Từ (*) có x 2 y thay vào PT (2) và giải PT được y1 0;y2 1từ đó tìm được x1 2;x2 1
Từ (**) có x y 6thay vào PT (2) được PT vô nghệm
Vậy HPT đã cho có hai nghiệm x y ; 1;1 ; 2;0
Bài 2:
phần 1: ( x+ y+ 1)( xy+ x + y )=5+2 (x + y )
(x+ y+1)(xy+x + y) =2 (x + y +1) +3 (x+ y+1)(xy+x + y −2) =3
(I)
¿
x + y +1=− 3
x+ y+xy − 2=− 1
¿ {
¿
hoặc (II)
¿
x+ y +1=−1 x+ y+xy − 2=− 3
¿ {
¿
Hoặc (III)
¿
x+ y +1=1 x+ y+xy − 2=3
¿ {
¿
hoặc (IV)
¿
x + y +1=3 x+ y+xy − 2=1
¿ {
¿
Giải các hệ pt trên ta thấy hệ (II) có nghiệm (x;y) =(-1;-1)
các hpt I; III; IV không thỏa mãn (x;y) nguyên
Trang 3Vậy có duy nhất cặp số (x;y) =(-1;-1) thỏa mãn đề bài
Phần 2:
Ta có ( √x+1) ( √y +1) =¿ √ xy +√x+√y +1 ≥3√3√ xy√x√y+1=3√3xy +1
3√3xy+1≥ 4 ⇔3
√xy ≥1 ⇒√xy ≥1
P= x y2+ y2
x ≥ 2√x2y2
xy =2√xy ≥ 2
Vậy GTNN của P=2 x = y = 1
Câu 3
C
D A
B
N
M
P
Q O
a) Có DNM PNM 900=> D; P; N thẳng hàng (đpcm)
b) Có tứ giác MNPQ nội tiếp => NPM NQM
Tứ giác MNAD nội tiếp =>NAM=NDM
Mà NPM NAM PNA
NQM NDM QND
PNA QND NP là phân giác QNA (1)
Có PAD PQD 900 Tứ giác PQDA nội tiếp
QAP PQD
Mà QPD MAN (cùng chắn cung MN của (O) )
Trang 4
ANP PAQ
PA là phõn giỏc QAN (2)
Từ (1);(2) => P là tõm đường trũn nội tiếp tam giỏc AQN
Bài4:
Không mất tính tổng quát ta có thể đặt
¿
a=1+β>0
b=2+β>0
c=3+ β>0
⇒
¿ { {
¿
Q= 2 ab+a+b+c (ab − 1)
(a+1)(b+1)(c +1) = β3+8 β2 +18 β+10
β3 +9 β 2 +26 β+24
và kết hợp với điều kiện đầu bài a ≤ b ≤3 ≤ c ; c ≥ b+1 ;a+b ≥ c ⇒0 ≤ β ≤ 1
Do đó ta có bài toán mới sau :
Cho 0 ≤ β ≤1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Q = β3+8 β2+18 β+10
β3+9 β2+26 β+24 Thật vậy ta có
Với mọi β ∈[0;1] thì 7 β2+51 β +86>0
Mà theo giả thiết có β ≥ 0 ⇒ β(7 β2
+51 β+86)≥ 0
⇔7 β3 +51 β 2 +86 β ≥0⇔(12 β3−5 β3 ) + (96 β2− 45 β2 ) + (216 β −130 β ) ≥0
⇔12 β3
+96 β2+216 β ≥5 β3+45 β2+130 β
⇔12 β3
+96 β2+216 β +120 ≥5 β3+45 β2+130 β+120
⇔12(β3
+8 β2 +18 β +10 )≥5(β3 +9 β 2
+26 β+24)
⇔ β
3
+8 β2+18 β +10
β3+9 β2+26 β +24≥
5
12 ⇒Q ≥ 5
12 vì β3
+9 β2+26 β +24>0 với mọi β ∈[0; 1]
.Vậy giá trị nhỏ nhất của Q là 125
khi a = 1 ; b = 2 ; c = 3
Bài giải trờn của em cú thể chưa chuẩn xỏc, mong nhận được
sự gúp ý của thầy cụ giỏo và cỏc bạn.
Thầy cụ nào đó cú đề và đỏp ỏn vũng 2 mụn toỏn của trường
Sư Phạm và KHTN thỡ gửi lờn cho em với.
Em xin cỏm ơn!!!!!