E là điểm nằm trên cung BC không chứa điểm A sao cho cung EB bằng cung EC.. Nối AE cắt cạnh BC tại D... Do đó bất đẳng thức 2 đúng.
Trang 1SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
NĂM HỌC 2009 – 2010
Đề chính thức Môn thi: TOÁN (chuyên)
Ngày thi: 19/06/2009 Thời gian: 150 phút Bài 1 (1,5 điểm)
Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác Chứng minh rằng:
b c c a a b
< + + <
Bài 2 (2 điểm)
Cho 3 số phân biệt m, n, p Chứng minh rằng phương trình 1 1 1 0
x m x n x p− + − + − = có hai nghiệm phân biệt
Bài 3 (2 điểm)
Với số tự nhiên n, n ≥ 3 Đặt Sn =
3 1+ 2 +5 2+ 3 +⋯+ 2n 1+ n+ n 1+ Chứng minh rằng Sn < 1
2
Bài 4 (3 điểm)
Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O có độ dài các cạnh BC = a, AC = b, AB =
c
E là điểm nằm trên cung BC không chứa điểm A sao cho cung EB bằng cung EC Nối AE cắt cạnh BC tại D
a Chứng minh: AD2 = AB.AC – DB.DC
b Tính độ dài đoạn AD theo a, b, c
Bài 5 (1,5 điểm)
Chứng minh rằng:
2
2
n − ≥n 3+ 2 với mọi số nguyên dương m, n
Trang 2GIẢI ĐỀ THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN BÌNH ĐNNH MÔN TOÁN CHUYÊN NĂM HỌC 2009 – 2010 Ngày thi: 19/06/2009 – Thời gian: 150 phút Bài 1 (1,5 điểm)
b c c a a b
< + + <
+ + + (với a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác)
Ta có: m m k
+
<
+ , (với 0 < m < n, ∀ k > 0) (1)
Thật vậy, (1) ⇔ 0 < m(n + k) < n(m + k) ⇔ 0 < mk < nk ⇔ 0 < m < n (0 < m, n, k)
Áp dụng: 0 < a < b + c ⇒ a 2a
b c a b c+ < + +
0 < b < c + a ⇒ b 2b
c a a b c+ < + +
0 < c < a + b ⇒ c 2c
a b a b c+ < + + Cộng vế theo vế các bất đẳng thức trên : a b c 2(a b c) 2
b c c a a b a b c
+ +
Ta chứng minh bất đẳng thức phụ: (x y z) 1 1 1 9
x y z
+ + + + ≥
(x, y, z > 0)
Ta có: (x y z) 1 1 1
x y z
+ + + + + +
Thay x = a + b, y = b + c, z = c + a vào (2):
a b b c c a
a b b c c a 2
b c c a a b 2+ + + + + ≥ − =2> (3)
Từ (2), (3) suy ra: 1 a b c 2
b c c a a b
< + + <
Bài 2.(2 điểm)
x m x n x p− + − + − = (1)
có hai nghiệm phân biệt (∀ m ≠n ≠ p)
Điều kiện xác định của phương trình: x ≠ m, n, p
Biến đổi phương trình tương đương:
(1) ⇔ (x n x p− )( − ) (+ x m x p− )( − ) (+ x m x n− )( − )=0
⇔ 3x2 – 2x(m + n + p) + mn + np + mp = 0
∆’ = (m + n + p)2 – 3(mn + np + mp) = m2 + n2 + p2 – mn – np – mp =
2 − + − + − > 0 (vì m ≠ n ≠ p)
Vậy phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt
Trang 3Bài 3.(2 điểm)
Chứng minh S n =
3 1+ 2 +5 2+ 3 +⋯+ 2n 1+ n+ n 1+ , ∀ n ∈ N, n ≥ 3
Ta có bất đẳng thức: 2n 1 2 n(n 1)+ > +
⇔ (2n + 1)2 > 4n(n + 1) ⇔ 4n2 + 4n + 1 > 4n2 + 4n: BĐT đúng
Do đó:
2n 1+ n+ n 1+ <2 n+ n 1 n(n 1+ +
=
1
2 n 1 n n(n 1)
=
−
+
(1)
Cho n lần lượt lấy các giá trị từ 1 đến n, thay vào (1), rồi cộng vế theo vế các bất đẳng thức tương ứng, ta được:
Sn =
3 1+ 2 +5 2+ 3 +⋯+ 2n 1+ n+ n 1+ <
− <
Vậy S n < 1
2, ∀ n ∈ N, n ≥ 3
Bài 4 (3 điểm)
a) Chứng minh: AD 2 = AB.AC – DB.DC
Xét hai tam giác ABD và AEC, ta có:
1 2
A =A (AD là phân giác góc A)
ABD AEC= (góc nội tiếp cùng chắn cung AC)
Do đó ∆ABD ∆AEC (g.g)
Suy ra AD AB
AC AE= ⇔ AD.AE = AB.AC
Mặt khác, ∆ABD ∆CED (g.g),
nên BD DA
DE DC= ⇒ BD.DC = DA.DE
Từ đó: AB.AC – BD.DC = AD.AE – DA.DE = AD(AE – DE) = AD2
Vậy AD 2 = AB.AC – DB.DC (1)
b) Tính AD theo a, b, c
Theo tính chất đường phân giác của tam giác, ta có:
+
Suy ra:
2
+
⇒ DB.DC =
2
a bc
b c
+
Thay (2) vào (1), ta có:
AD2 = bc -
2
a bc
b c
+
b c a b c a
A
E D
a
1 2
O
Trang 4Vậy AD = bc b c a b c a( )( )
b c
Bài 5.(1,5 điểm)
Chứng minh:
2
2
n − ≥ n 3+ 2
, ∀ m, n ∈ N *
Trước hết, ta cần chứng minh
2
n− ≥ n 3+ 2
, ∀ n ∈ N* (1)
Vì n ∈ N* nên bất đẳng thức (1) tương đương với:
(1) ⇔ 2 1 3 2 2
−
− ≥ (2) Đặt t = 1
n (0 < t ≤ 1), ta có:
(2) ⇔ ( 3− 2 t) 2+ −t 2 0≤ (∀ t: 0 < t ≤ 1) (3)
Biến đổi tương đương:
(3) ⇔ ( 3− 2 t) 2−( 3− 2 t) (+ 3− 2 t t) + − 2 ≤ 0
⇔ ( 3− 2 t (t 1)) − +( 3− 2 1 t+ ) − 2 ≤ 0
⇔ ( 3− 2 t (t 1)) − +( 3− 2 1 t+ ) (− 3− 2 1+ )+ 3 2 2 1− + ≤ 0
⇔ ( 3− 2 t (t 1)) − +( 3− 2 1 (t 1)+ ) − + 3 2 2 1− + ≤ 0
⇔ 3 2 2 1− + ≤ 0 ( vì 0 < t ≤ 1 nên t(t – 1) ≤ 0)
⇔ 3 1 2 2+ ≤ ⇔ 4 2 3+ ≤ 8 ⇔ 2 3 ≤ 4 ⇔ 3 < 2 ⇔ 3 < 4: bất đẳng thức đúng
Do đó bất đẳng thức (2) đúng
n − ≥ n− , ∀ m ∈ N
*, nên
2
n − ≥ n 3+ 2 ,∀ m, n ∈ N
*
Vậy
2
2
n − ≥ n 3+ 2 , ∀ m, n ∈ N
*
Nhận xét: Dấu “=” trong bất đẳng thức không xảy ra