Vậy điều kiện cần và đủ để một số biểu diễn dưới dạng hiệu bình phương của hai số nguyên là: Số đó là số lẻ hoặc chia hết cho 4.[r]
Trang 1ĐÁP ÁN MÔN TOÁN CHUYÊN TIN
Câu 1
a
(1 điểm)
Điều kiện: 0 4 *
9
x x x
0,25
2 2 9 3 3 2 2 3 1
P
1 2 1
b
(1 điểm) Với điều kiện (*) 1 4
3
P
x
Với x , để P thì x 3 1; 2; 4 0,25
4; 2; 5; 1; 7
x
1;4; 16; 25;49
x
Câu 2
a
(1 điểm)
' m 1 m 3 m 3 m 4
=
2
b
(1 điểm)
Ta có 1 2
1 2
3
x x x x x m m m m 0,25 =
2
5 15 15
m
Vậy x12 x22đạt giá trị nhỏ nhất là 15
4 khi
5 4
Câu 3
a
(1,5 điểm)
Phương trình đã cho tương đương với
Vì x nên 2x 1 0 do đó
0,25
Do x y , nên 1
2x 1 là số nguyên, do đó 2x 1 1 hoặc 0,5
Trang 2A
M A'
B' C'
2x 1 1
Từ đó tìm được 2 nghiệm 1;0 , 0; 2 0,5
b
(1,5 điểm) Ta thấy 2012 1 30 64 28 0,5
Người A đi trước sẽ thắng cuộc bằng cách 0,5 Lần đầu bốc 28 viên sỏi Những lần sau bốc số viên sỏi cộng với số
viên sỏi người B vừa bốc bằng 31 viên
0,5
Câu 4
(1 điểm) + Ta có 2 2
x y x y x y Đây là tích của hai số nguyên có cùng tính chẵn, lẻ Suy ra x2 y2 hoặc là số lẻ hoặc khi là số chẵn thì sẽ chia hết cho 4
0,5
+ Ngược lại
- Nếu n lẻ thì 2 2
n k k k
- Nếu n chia hết cho 4 thì 2 2
n k k k Vậy điều kiện cần và đủ để một số biểu diễn dưới dạng hiệu bình phương của hai số nguyên là: Số đó là số lẻ hoặc chia hết cho 4
0,5
+ Trong các số tự nhiên từ 1 đến 2013 có 1007 số lẻ và 503 số chia hết cho 4 Vậy tổng số có 1510 số
0,5
Câu 5
a
(1 điểm)
Gọi
0,25
1
AA ' ' '
b
AA ' ' AA '
;
0,5
Do đó
6
f
0,25
Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi S1 S2 S3 M là trọng tâm của tam giác ABC
0,25
Chú ý: Nếu thí sinh làm theo cách khác so với đáp án mà vẫn đúng thì vẫn cho điểm
tối đa