De thi Dap an mon Toan vao 10 Ha Noi 2012 2013

[r]

Giải đề thi Toán vào 10 – Hà Nội – 2012 – 2013

Bài I

1/ Với x = 36 thì √x=6 thì A=

6+4 6+2=

10

8 =

5 4

2/

B=( √ √x x+4+

4

√x−4):x+16

√x+2

B= x−4√x+4√x+16

√x+2

x+16 B= x+16

x−16 .

√x+2 x+16 B=√x+2

x−16

3/ B ( A−1)=√x+2

x−16( √ √x+4 x+2−1)=√x+2

x−16.

2

√x+2=

2

x−16

Để B(A – 1)  Z thì

2

x−16∈Z ⇒ x−16∈U (2)={−2;−1 ;1;2}

Ta có bảng

Vậy x  {14;15;17;18} thoả mãn bài toán

Bài 2

Gọi x là thời gian người thứ nhất làm một mình xong công việc

y là thời gian người thứ hai làm một mình xong công việc

(x,y > 0; x,y giờ)

Trong 1 giờ

Người thứ nhất làm được

1

x công việc Người thứ hai làm được

1

y công việc

Hai người làm được

1

x+

1

y=

5

12 (1) Theo bài ra, nếu làm một mình người thứ nhất hoàn thành công việc ít hơn người thứ hai 2 giờ

Vậy x + 2 = y (2)

Thế (1) vào (2), ta có

1

x +

1

x+2=

5

12

12 x+12 x+24=5 x2+10 x

5 x2−14 x−24=0

Δ'=49+120=169>0

x1=7+13

5 =4

x2=7−13

5 =−1,2<0

=> x = 4, y = 6

Vậy thời gian để người thứ nhất làm xong công việc một mình là 4 giờ, người thứ hai là 6 giờ

Bài 3

1/

1

Vậy x = 2, y = 1 là nghiệm của hệ phương trình

2/ Phương trình x2 – (4m – 1)x + 3m2 – 2m = 0 (1)

Xét = (4m – 1)2 – 4(3m2 – 2m) = 4m2 + 1 > 0 với mọi m  = (4m – 1)2 – 4(3m2 – 2m) = 4m2 + 1 > 0 với mọi m

 Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1; x2 với mọi m

Theo Vi – ét ta có

{ x 1 + x 2 =4m−1 ¿¿¿¿

Theo bài ra

x12+ x22 = 7

 (x1 + x2)2 – 2x1.x2 = 7

 10m2 – 4m – 6 = 0

 ’ = 64

 m1 = 1; m2 = -0,6

Vậy với m  {-0,6; 1} thoả mãn bài toán

Bài 4

1/ Vì AB là đường kính => ^ACB=900

Xét tứ giác CBKH có ^ACB=^ HKB=900

 Tứ giác CBKH nội tiếp đường tròn đường kính BH 2/ Vì tứ giác CBKH nội tiếp

 ^ACK = ^MBA ( chắn cung HK của đường tròn

đường kính BH)

Mà ^MBA = ^ACM =

1

2 sđAMˇ Vậy ^ACK = ^ACM

3/ Vì CO  AB tại O

 AC = BC

Xét hai tam giác AMC và BEC, có

AM = BE (gt)

^

MAC

= ^MBC =

1

2sđ CM

AC = BC (cmt)

Vậy AMC = BEC (c.g.c)

 MC = ME (3)

 ^MCA = ^BCE

Mà ^BCE+ ^ACE = 900

 ^MCA + ^ACE = 900

 ^MCE = 900 (4)

Từ (3) và (4) suy ra tam giác  MCE vuông cân tại C 4/ theo bài ra, ta có AP.MB = MA.R

 AP.MB=MA.OB



AP

AM=

OB MB

Xét tam giác APM và BOM có

AP

AM=

OB

MB ; ^MAP = ^MBO =

1

2sđ AM

 APM ~ BOM

Mà BOM cân tại O => APM cân tại P

 AP = PM

Kéo dài BM cắt d tại D

Xét tam giác vuông AMD có PM = PA (cmt)

 P là trung điểm của AD

Mà HK// AP ( cùng vuông góc với AB)

Vậy BP đi qua trung điểm của HK

Bài 5

Theo bài ra x ≥ 2y, x, y dương =>

x

y≥2

Ta có M=

x2+y2

xy =

x

y+

y x

Đặt t =

x

y => t ≥ 2

Ta có M=t+

1

t=

t

4+

1

t +

3

4t

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương

t

4 và

1

t có

t

4+

1

t ≥2√t

4 .

1

t =1

Dấu “=” xẩy ra khi t = 2

Mà t ≥ 2

=> M≥1+3

4 2=

5 2 Vậy Mmin =

5

2 khi x = 2y