He mu va logarith

Xét hàm số.. Khi đó hệ có dạng:.[r]

HỆ MŨ VÀ LOGARITH.

Bài 1:

3

3 4

x

x





2 2







Bài 3: 3  3 

x y

y x











  



Bài 5:

2 2

x y





 

2 2

 







Bài 7:

12 3

x y

x y











1

y

y







Bài 9:

2

4lg x 28

y

y





y







2

2 2x 3 log 3 4

2

    







Bài 12:

x

y

y







GIẢI:

Bài 1:

3

3 4

x

x







1 0

0

x

x

 







 



Từ phương trình (2) ta được:

3

3

1 log

3

x y

x

x



(3) Thế (3) vào (1) ta được:

x





 Vậy hệ phương trình có nghiệm (3;0)

2 2







x y

x y





Từ phương trình thứ nhất của hệ lấy lôgarit cơ số 2 hai vế ta được:

     

2 2

Thế vào phương trình thứ hai ta được:

2

Vậy ta được hệ mới:

2 2

3

2

x

x y

x y

x y

y







Vậy hệ phương trình có 1 nghiệm

Giải: Điều kiện:

0 0

x y

x y

x y









3







Bài 3: 3  3 

x y

y x









1

t

Khi đó (1) có dạng:

2

2

2 1

2 2

t













+ Với x=2y



 + Với y=2x (2) x2 4y2 3 vô nghiệm

Vậy hệ phương trình có 1 cặp nghiệm (2;1)

Bài 4:





  





(1) Xét hàm số: f t  log2t32 log3t

Miền xác định D 0;

Đạo hàm

 

 

0,

Vậy phương trình (1) được viết dưới dạng: f x f y  xy

Khi đó hệ (I) trở thàmh: log2 3 2 1 log 3 (2)







  3

log 2 log 4 1 log 4 log 4 2

(3) Xét hàm số g x  x1 log 4  3 3.x log 4 3

Miền xác định D 0;

hàm số luôn nghịch biến Vậy phương trình (3) nếu có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất

Nhận xét rằng nếu x=1 là nghiệm của phương trình bới khi đó:

1 log 4 1 log 4

Khi đó hệ (II) trở thành:

1 1

x









 Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất (1;1)

Bài 5:

2 2

x y







*) Giải (1) ta có nhận xét sau:

- Nếu xy log2xlog2 y, khi đó:

 

 

1 1

0 0

VT VP











- Nếu x y  log2 xlog2 y, khi đó:

 

 

1 1

0 0

VT VP











- Vậy x=y là nghiệm của (1)

Khi đó hệ có dạng:

1 1

2

x y

x







Vậy hệ có 1 cặp nghiệm

;

Bài 6:

 

2

2

 







0

0

1 0

1 0

x y

x y xy

xy

x y







 



    



Từ phương trình thứ nhất của hệ với viếc sử dụng ẩn phụ t=x+y>0, ta được: log2t t 1 Đặt ulog2t t2u khi đó phương trình có dạng:

2 2

Bernoulli

u







+ Với x+y=2 hệ có dạng: 4 



 Khi đó x; y là nghiệm của phương trình: t2 2t 3 0 vô nghiệm

Vậy hệ có 2 cặp nghiệm (0;1) và (1;0)

Bài 7:

12 3

x y

x y













 

 

lg x 12lg





 Nhận xét: lgx = 0  lgy = 0 nên (1; 1) là nghiệm

Giả sử lg x 0;lg y0, chia các phương trình theo vế, ta có:

4

4

2

x y y y







 Vậy nghiệm của hệ (1; 1); (4; 2)

Bài 8:

1

y

y







Giải 8:

1

2

2

y







Bài 9:

2

4lg x 28

y

y







Giải 9:

100 4lg x 28

y

y





Bài 10:

y







Giải 10:

 

1

1

2 2

1

x

x

y

k

y y

y



 











2

2 2x 3 log 3 4

2

    







Giải 11:

2 2x 3 3

(1) 2x  3 y

 Với y 1, ta có: (2) 4y – y + 1 +(y + 3)2  8  y29y 2 0 (vn)

 Với 0 y 1: 2   4y y  1 y32  8 y211y  0 11  y 0 y0

Mặt khác:

2 2x 3

Từ đó ta có hệ:

2

3

2 2x 3

1

3

y

x

x y y

y

 

 











 



 



Bài 12:

x

y

y







Xét hàm đặc trưng f t( ) 2 t 3t3 là hàm đồng biến trên R

Vậy (1) được viết dưới dạng: f(x) = f(y)  x = y



Giải (2): Đoán được nghiệm duy nhất x = 1 Khi đó hệ có nghiệm duy nhất x = y = 1