tt xxt Hai nghiệm đều thoả mãn điều kiện... Suy ra phơng trình fx = 0 có nghiệm duy nhất trong khoảng − 1 ; +∞ Vậy hệ phơng trình đã cho có nghiệm duy nhất.
Trang 1x x
x
x
2 log
6 2
log
4 log
1 8
log 4
log
2
log
2 2
2 2
+
2 1
log log
1
6 log
1
1 log
1
2 2
2 2
=
⇔
=
⇔ +
= +
+
x x
Vậy phơng trình đã cho có nghiệm : x = 2
2 1
1)
3)(
1()1(log)3(log)
).
1 (log
2 2x+ 4 x+ 2 = ( Đề Thi Dự Bị 2 – Khối D – 2006)
Giải:
Điều kiện: x > 0
0 2 ) 1 (log log 0 4
1 log log
2 2 log
1 log 0
2
2
x
x x
x x
= +
1 0
0 2
0 3
9 3
3 1 3 9
1 0
9
10
2
2 2
0 2
2
2
x hay x
x hay x
x x
x x t
t t
t
x x
x x
Vậy phơng trình đã cho có nghiệm: x = 0; x = -1; x = 1; x = -2
Câu 5: Giải phơng trình: log (3 1).log (3 1 3) 6 ( )1
⇔
= +
⇔
3
2 0
6 6
)1 (
t
t t
t t
* Với t = 2 ⇒ log3(3x−1)=2⇔3x −1=9⇔ x=log310
log 27
1 1 3 3 1 3
Trang 2Vậy phơng trình đã cho có nghiệm: ; log 10
log
2 02 32
1 )(0 43 2
1 2
1 3)1 2(1 3log
x xx
xx
2
1 4 log
1 )
1 (
1 2
+
x x
x
( Đề Thi Dự Bị 2 – Khối A – 2007) Giải:
Điều kiện: x > 1
( )
2
1 ) 2 ( log ) 1 2 ( log ) 1 (
log
2
12
)12)(
2
1 2
1
2
= +
0 5
3x+ x+ − m− = ( m là tham số)1) Giải phơng trình (1) khi m = 2
2) Tìm m để phơng trình (1) có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn [1 ; 3 3]
( Đề Thi Đại Học – Khối A – 2002) Giải:
1) Với m = 2 ta có: log log 2 1 5 0
3 2
⇔
=
− +
−
2
3 0
6 0
5 1
2
1 2
2
t
loai t
t t t
t
3 3
Trang 3Cách 1: Hàm số f(t) là hàm tăng trên đoạn [ ]1 ; 2 Ta có: f(1) = 2 và f(2) = 6.
Phơng trình t2 +t = 2m+ 2 ⇔ f(t) = 2m+ 2 có nghiệm ∈[ ]1 ; 2
20 622
2
1+t =− <
t
nên không tồn tại m
Tr
ờng hợp 2: Phơng trình (3) có hai nghiệm t1, t2 thoả mãn 1 ≤t1≤t2 ≤ 2 Hoặc
20
0)24(22
2 4 3
2 3
2 3
) 2 3 ( 1 0
2 4
3t3 + t2 −t− = ⇔ t+ 2 t− = ⇔t = (Vì t > 0)Với
4 2 ( 0 ) 1 2 (
4 )
Vậy phơng trình đã cho có 2 nghiệm: x = 0, x = 1
Câu 11: Giải phơng trình: 2x2 −x −22 +x−x2 =3 ( Đề Thi Đại Học – Khối D – 2003)
) 4 )(
1 ( 0 4 3 3
2 4
x
x x
Câu 12: Giải phơng trình: log ( 2 1 ) log ( 2 1 ) 2 4
1
2 1
2x− x +x− + x+ x− =
( Đề Thi Tuyển Sinh Đại Học, Cao Đẳng Năm 2008 - Khối A) Giải:
Trang 44 ) 1 2 ( log 2 ) 1 (
t
t t
t t
) 1 2 ( 2 ) 1 (
1 2 0
2 2
1
x
x t
t t
t
Vậy phơng trình đã cho có 2 nghiệm: x = 1 và x = -1
32.4
1log2)272.154(
−+
+
3 2 5
2 2 0 6 2.
13 ) 2 (
5 )3 2.
4 ( log ) 27 2.
x
x x
x x
x
x
Do 2x > 0 nên 2x =3⇔ x=log23
( Thoả mãn điều kiện)
Vậy phơng trình đã cho có nghiệm: x= log23
Câu 15: Giải phơng trình: log 2 ( 1 ) 6 log2 1 2 0
2 x+ − x+ + =
( Đề Thi Tuyển Sinh Cao Đẳng Năm 2008 - Khối A, B, D) Giải:
0 2 ) 1 ( log 3 ) 1 ( log 0 2 1 log
=+
=+
⇔
3
14
1
212
)1(
log
1)1(
x x
x
Vậy phơng trình đã cho có nghiệm: x = 1, x = 3
Câu 16: Giải phơng trình: 3 2x+ 1 − 9 3x + 6 = 0
( Đề thi TNTHPT – 2008 – CTPB) Giải:
Đặt t= 3x > 0 ta có phơng trình: 3t2 − 9t+ 6 = 0
Phơng trình trên có hai nghiệm t = 1 và t = 2 ( đều thoả mãn )
Trang 5Nếu t = 1 thì 3x = 1 ⇔ x= 0
Nếu t = 2 thì 3x = 2 ⇔ x= log32
Vậy phơng trình đã cho có hai nghiệm: x= 0 ,x= log32
Câu 17: Giải phơng trình: 7 + 4 3 cosx + 7 − 4 3 cosx = 4
( Đại Học Luật Hà Nội 1998) Giải:
cos 2 2
cos cos
3 2 0 1 4 4
t
t t
t t t
3 2 3
2 3 2 3
2 3 2 3
4
Z k k x
* Nếu t= 2 + 3thì 7 + 4 3 cosx = 2 + 3 ⇔(2 + 3)cosx = 2 + 3 ⇔(2 + 3)cosx = 2 + 3
Z k k x
6 5 log
3
1 3
1
2
( Đại Học BK Hà Nội 1998) Giải:
−
>
⇔
)3 (
log 2
1 )2 (
log 2
1 )6 5 (
log 2
1
3 1
3 3
)3 )(3
3 )(
2 )(
1 (
1 4
x x x x
x x
Giải phơng trình: (x+ 1 )(x+ 2 )(x+ 3 )(x+ 4 ) = 24 ( )*
Trang 6tt
xxt
Hai nghiệm đều thoả mãn điều kiện
Câu 20: Giải phơng trình: log ( 1 ) log ( 2 1 ) 6
3 2
2 2
3
2+ x + +x + − x + −x =
( Đại Học Y Thái Bình 1998) Giải:
3 2 3 2
1 3
2 2
2
1 1
1 1
1 1
+ +
=
− +
⇒
= + +
−
x x
x x
x x
− +
Trang 7Điều kiện: −1<x<0⇒0< x+1<1
2 1
1
logx+ − x > ⇔ x+ − x > = x+ x+ và -1 < x < 0
0 3
Vậy bất phơng trình có nghiệm: − 2 + 3 <x< 0
Câu 22: Giải bất phơng trình: (log 8 log 2)log2 2 0 ( )1
x
( Đề Thi Dự Bị 1 Khối A – 2007) Giải:
Điều kiện: x > 0, x≠ 1: ( ) log 2 0
2
1 log 2 log
) 1 (log log
2 2
2 2
x x
1 0 0 log
1 log 0
2
x
x x
x x
x
3
1 2 9
2 2
x
( Đề Thi Dự Bị 2 Khối D Năm 2005) Giải:
( )* 3 3
1
2
9
2 2
) 1 2 ( log 5 log 16 log ) 144
4
(
5 5
.
20
4 − + < ⇔ < < ⇔ < <
Vậy bất phơng trình đã cho có nghiệm là: 2 < x < 4
Câu 25: Giải bất phơng trình: ( )1
3
1 3
1 2
x
( Đại Học BK Hà Nội 1997) Giải:
( )2 1 2
3 3
x
x
Trang 82
x
x x
−
⇔ +
−
≥
−
⇔x x x x x , bất phơng trình này vô nghiệm kho x ≤0
Vậy bất phơng trình đã cho có nghiệm là: x ≥ 2
Câu 26: Giải bất phơng trình: log3x−x2(3−x)>1 ( )1
( Đại Học Dân Lập Phơng Đông) Giải:
xx x
xx x
3 3
1
3 1) 3(
log
x x x
1 3 0
2
53 3 1 2
53 2
53 034
013 33
13
:
2
2 2
x
x xx
xx xxx
xx
a
2 53
31 3 2 53 2 53 30
034 3 013
0 3 :
xx x xx xx b
Trang 9VËy tËp nghiÖm cña bÊt ph¬ng tr×nh lµ:
5 3
1 2
5 3
x x
C©u 2 7 : Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh: logx( 5x2 − 8x+ 3 ) > 2 ( )1
( §¹i Häc V¨n Lang 1997) Gi¶i:
a x x x
2 2
2
38 50
1 0
38 5
1 2)3
8
5(log
()
2 3 2
Trang 105
3 2 1
4
3 2
1
1 5 3 10
Xét hai trờng hợp:
a)
3
1 1
16 18 2 3 16
18
x
x x
x x x
1
3
0 <x < ⇔ < x< , khi đó:
2 2
( Đại Học Huế 1998) Giải:
Trang 11XÐt hai trêng hîp:
a) x > 1: Ta cã
2
1 0
2
1 0
4
1 4
1 2
4
1 log
2 2
0 4 1 4
1
0 4 1 4
1
2 4
x x
xx x
x
Do 0 < x < 1 nªn 1
4
1 <x< VËy nghiÖm cña bÊt ph¬ng tr×nh: 1
( §Ò Thi TS §¹i Häc, Cao §¼ng 2008 – Khèi D) Gi¶i:
x x
2
1 2
1 2
2
x x
4 log log
2 6 7 ,
+
x
x x
( §Ò Thi TS §¹i Häc, Cao §¼ng 2008 – Khèi B) Gi¶i:
4
8 3 0
4
24 5 6
4
1 4
+
− +
x x x
x x x
x x
Trang 12Tập nghiệm của bất phơng trình là: (− 4 ; − 3) (∪ 8 ; +∞)
Câu 32: Giải bất phơng trình: 2log (4 3) log (2 3) 2
3 1
3 4 log
8
3 0 18 42 16 ) 3 2 ( 9 3
0 72 9
1 ,0
93
Kết hợp với điều kiện (2) ta đợc nghiệm của bất phơng trình: log973 <x≤ 2
Câu 34: Giải bất phơng trình: log2x64+logx216≥3 ( )1
( Đại học Y Hà Nội 1997) Giải:
4log
1
63
log
2log2log
2log316log
64
log
2 2
2 2
4 2 2
6 2
+
⇔
≥+
⇔
≥+
x x
x x
2 5 3 )
1 (
3 3 ) 1 (
2 8 3
2
1
≥ +
+ +
−
⇔ +
+
≥ +
+
⇔
≥ +
t t t
t
t t t t
t t
−
0
1 0
1
; 2 3
1 0
2 5
32
t
t t t
t t
t
Xét dấu
t t
t t t
f
) 1 (
2 5 3 )
13
1log
13
1
Trang 131 2
1
3
x x
C©u 35: Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh: 4x2+x.2x2 + 1+3.2x2 >x2.2x2 +8x+12
( §¹i Häc Dîc Hµ Néi 1997) Gi¶i:
§Æt thõa sè chung, ta cã:
0)42(3)42(2
0 3
22
3 2
x x
C©u 36: Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh: 3 x 4 34 x 8 2 cos 2x
2
≤ + +
−
( §¹i Häc S Ph¹m Quy Nh¬n 1997) Gi¶i:
Trang 14Ta cã: 3 3 2 3 2 3 2; 2cos2 2
2 2 4
4 8
4 4
2 2
≤
≥
=
≥ + + + + +
x x
x
π π
π π
0 2
3 3 2 2
2
2
8 4 4
2
x
x VP VT
x x
π
π π
x x x
− +
+
= +
1 3 2 2
12
12
( §Ò Thi Dù BÞ 1 Khèi A – N¨m 2007) Gi¶i:
1 3
2
2
1 3
= + +
u
v
v v
u
u II
3 1
3
1 :
2 2
XÐt hµm sè: f(x) =x+ x2 + 1
0 1 1
1 1
= + +
=
x
x x x
x x
Trang 15− +
=
⇒
− +
1 3
1 3
ln 3 ) ( ' 1
3
)
(
2 2
2
u
u u
u u
g u u
u
u u
1
1 3 ln 1 3
)
(
'
2 2
Vậy g(u) đồng biến nghiêm ngặt trên R
Ta có: g(0) = 1 Vậy u = 0 là nghiệm duy nhất của (1)
−
−
= +
−
+
2 0
20 12
1 )
1 ln(
) 1
( Đề Thi Dự Bị 2 – Khối D – 2006) Giải:
Điều kiện: x > -1, y > -1
y x
y x y
x
y
4 10
3 2 0 )
) ( '
; 0 1
(
)
( < ⇒
⇒ f x f y không có nghiệm thoả mãn (6)
* Hiển nhiên x = y = 0 là nghiệm của hệ
Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất x = y = 0
Câu 39: Giải hệ bất phơng trình:
2 4
cos 1 16 cos
1
16 sin
1 log
π
x x
x
x x
x
( Học viện Quân Y 1997) Giải:
Điều kiện: x > 0; ( ) ( x x) x t2 t 2t
6
4 2
Trang 16Từ đó: log 3
log
)1(loglog
.6log)1(log
6
6 6
2 6
t
t t
t
Nếu 0 < t < 1: Vế trái âm, vế phải dơng, phơng trình không thoả mãn
Nếu t > 0: Xét f(t) = logt(t+ 1 ) − log23
1 , 0 ln
) 1 (
) 1 ln(
) 1 ( ln
−
t t
t
t t
t
t
t
f do t lnt là hàm số tăng Suy ra f(t) là hàm số giảm trong (1 ; +∞)
Ta có: f(2) = 0 nên t = 2 là nghiệm duy nhất của f(t) Suy ra 4 x = 2 ⇔ x= 16
Thế x = 16 vào (2), ta có: 1 cos 1 2
cos
1 sin + < − π ⇔ − <
π
π
bất phơng trình (2) thoả mãn khi x = 16
Vậy hệ phơng trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 16
+
= + + +
+
−
−+
−+
2 ) 2 1(
log ) 2 1(
log
4 ) 2 1(
log ) 2 1(
log
11
21
21
x y
x x y
y
y x
y x
( Đại học Kinh Tế TPHCM 1997) Giải:
;01
; 1
0 11
y
y y
y x
x x
Ta có: log ( 1 2 ) log ( 1 2 2 ) 4 log1 ( 1 ) log1 ( 1 ) 2
1 2
)1(log
)1(log)1(log)1(log)
−
+
+ +
−
x y
x y
x
x x
y x
1
2 )
1(
log );
1 1
1 1 ) 1 ( log ) 1
2 0,
Vậy hệ phơng trình đã cho có nghiệm:
y x
Trang 17Câu 41: Tìm tất cả các cặp số dơng ( x; y) thoả mãn hệ phơng trình:
1 3
3
5 4
y x
y x
x y x y
3
154
y y
2 5154
3
3 3 3
5154 13
3
5 4
3 3
y
x yx
xxx
x yx
xx yx
x y xy
Vậy hệ phơng trình đã cho có hai nghiệm:
2
y
x y x
2 2
4 4
1
y x
y
x y
( Đề Thi Đại Học - 2004, Khối A) Giải:
Điều kiện: y > x và y > 0
4
3 1
log 1
1 log ) ( log 1
1 log
x y y
x y x
x
Trang 18So sánh với điều kiện, ta đợc y = 4, suy ra x = 3 ( Thoả mãn y > x).
Vậy hệ phơng trình đã cho có nghiệm là:
−
<
−
0 9 5
3 3
* 0 log log
2 3
2 2
2 2
x x x
x x
( Đại Học Đà Nẵng 1997) Giải:
−
= + +
−
=
5
1 0
'
;5 6 ' ,9 5
3 3
22
3
x
x y
x x y x x
x y
=
+
2 1 1
3
)1 ( 2.
3 2 2
2
3 2
1 3
x xy x
x y y
x yxx
x xxyx
x xxyx
x
13 0
1 0)13(
1 03
1 113
01
2 2
11
8 log 11
8 2 2 2 4
1 2 3 2 3 2 2 ) 1
Trang 192 2
x
Đặt t = 2y−2 ta đợc phơng trình: +1= 6
t t
83016)4
t
t t
t t
8 3
log 3
1 3 1
2
2
y x
+
3 log
) 9(
log 3
1 2
1
3 3
2
y x
( Đề Thi Tuyển Sinh Đại Học, Cao Đẳng Năm 2005 Khối B) Giải:
( ) ( )
2
1
33
− +
−
⇔
=
− +
−
2
1 0
) 2 )(
1 ( 1 ) 2 )(
1 ( 2 2 1 1
2 1
x
x x
x x
x x x
x x
Vậy hệ phơng trình có hai nghiệm ( x; y) = (1; 1) và ( x; y) = (2; 2)
Câu 46: Chứng minh rằng với mọi a > 0, hệ phơng trình sau có nghiệm duy nhất:
e
ex y ln( 1 ) ln( 1 )
( Đề Thi Tuyển Sinh Đại Học, Cao Đẳng Năm 2006 Khối D)
Giải:
Trang 20= + +
− + +
−
+
2
1 0 ) 1
ln(
) 1
ln(
a x y
x a x
)(
1 ( ) 1 ( 1
1 1
1 )
(
+ + + +
−
= + +
− + +
−
x a x
a e
e x a x
e e x
)
(x
f
⇒ đồng biến trong khoảng (− 1 ; +∞)
Suy ra phơng trình f(x) = 0 có nghiệm duy nhất trong khoảng (− 1 ; +∞)
Vậy hệ phơng trình đã cho có nghiệm duy nhất
Câu 47: Cho hệ phơng trình:
log
5 4 9
3
2 2
=
−
y x y
x
y x
− +
5 log ) 2 3(
log
2 3
5 2
3
1
3
y x y
x
y x y
− +
log ) 2
3(
log
2 3
5 2
3
3
y x
y x y
− + +
=
−
15 log ) 2 3(
log ) 2 3(
log
2 3
5 2
3
3 3
y x y x
Trang 215 23 15log )3log
yx
yx yx
12 3
yx yx
=
−
⇔
1 ) 2 3(
log ) 2 3(
log
2 3
5 2
3 1
y x
y x
y x
m
Đặt t = 3x + 2y ( Điều kiện: 0 <t≤ 5 ) khi đó hệ phơng trình trở thành:
() * 3log1
15log log
50 15log)3 log1(log
Trang 221 3log
1 log 1
