Bất phương trình mũ và bất phương trình lôgarit - ôn tập THPT Quốc gia 2020 Môn Toán - Sách Toán - Học toán

• Dùng ẩn phụ chuyển bất phương trình thành một hệ bất phương trình với hai ẩn phụ. Bằng việc sử dụng hai ẩn phụ, ta đưa bất phương trình đã cho về một hệ gồm có:.. +) Bất phương trình c[r]

a) Xét bất phương trình dạng ax > b (dạng ax ≥ b giải tương tự)

• Nếu b ≤ 0, tập nghiệm của bất phương trình là R

• Nếu b > 0, khi đó

Với a > 1, ta có ax > b ⇔ x > logab

Với 0 < a < 1, ta có ax > b ⇔ x < logab

b) Xét bất phương trình dạng ax ≤ b (dạng ax < b giải tương tự)

• Nếu b ≤ 0, bất phương trình vô nghiệm

• Nếu b > 0, khi đó

Với a > 1, ta có ax ≤ b ⇔ x ≤ logab

Với 0 < a < 1, ta có ax ≤ b ⇔ x ≥ logab

2 BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

a) Bất phương trình logarit cơ bản

Định nghĩa Bất phương trình logarit cơ bản có dạng logax > b (hoặc logax ≥ b, logax < b,loga≤ b) với a > 0, a 6= 1

Xét bất phương trình logax > b (1)

• Trường hợp a > 1: (1) ⇔ x > ab

• Trường hợp 0 < a < 1: (1) ⇔ 0 < x < ab

b) Một số bất phương trình logarit đơn giản

Một số cách giải bất phương trình logarit đơn giản

• Đưa về bất phương trình logarit cơ bản

a) Xét bất phương trình dạng ax > b (dạng ax≥ b giải tương tự)

• Nếu b ≤ 0, tập nghiệm của bất phương trình là R

• Nếu b > 0, khi đó

Với a > 1, ta có ax > b ⇔ x > logab.

Với 0 < a < 1, ta có ax > b ⇔ x < logab

b) Xét bất phương trình dạng ax ≤ b (dạng ax < b giải tương tự)

• Nếu b ≤ 0, bất phương trình vô nghiệm

a) 3x ≥ 9 ⇔ x ≥ log39 ⇔ x ≥ 2 Vậy tập nghiệm là S = [2; +∞)

b) Tập nghiệm của bất phương trình là S = R

c) Å 1

2

ãx

≤ 4 ⇔ x ≥ log1 4 ⇔ x ≥ −2 Vậy tập nghiệm là S = [−2; +∞)

d) Bất phương trình vô nghiệm, tập nghiệm là S = ∅

e) 2x < 3 ⇔ x < log23 Vậy tập nghiệm là S = (−∞; log23)

x > 1

Tập nghiệm S =

Å

−∞;12

a) 2x ≥ 8 ⇔ x ≥ log28 ⇔ x ≥ 3 Vậy tập nghiệm là S = [3; +∞)

b) Tập nghiệm của bất phương trình là S = R

e) 4x < 3 ⇔ x < log43 Vậy tập nghiệm là S = (−∞; log43).

x > −12

ã

ãx+3

Lời giải

a) e2x> e1−x ⇔ 2x > 1 − x ⇔ x > 1

3.Tập nghiệm S =Å 1

3; +∞

ã

b) Å 2

3

ã2x 2 +4x

≤Å 32

ãx+3

⇔Å 23

ã2x 2 +4x

≤Å 23

ò

∪ [−1; +∞)



Ví dụ 3 Giải các bất phương trình sau

a) Å 2

3

ãx 2 +3x−4

>Å 94

ã1−x.b) Ä√2 + 1äx+1 ≥Ä√2 − 1ä

x x−1

ã1−x

⇔Å 23

ãx 2 +3x−4

>Å 23

⇔Ä√2 + 1äx+1 ≥Ä√2 + 1ä−

x x−1

2 ≤ x ≤ −1 +

√5

2 hoặc x > 1.

Tập nghiệm S =ñ −1 −√5

2 ;

−1 +√52

ô

∪ (1; +∞)

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

ã3x+2

⇔Å 12

ã2x 2 +1

≤Å 12

x−1

Lời giải

a) e3x+1< 1

e5x+8 ⇔ e3x+1< e−5x−8⇔ 3x + 1 < −5x − 8 ⇔ x < −9

8.Tập nghiệm S =

Å

−∞; −9

8ã

b) Điều kiện x 6= −1 Ta có Ä√5 − 2ä=Ä√5 + 2ä−1 Do đó

Ä√

5 + 2äx−1 ≥Ä√5 − 2ä

x−1 x+1

⇔Ä√5 + 2äx−1 ≥Ä√5 + 2ä−

x−1 x+1

2;

192

Bài 2 Giải bất phương trình log2x + log4x + log82x > 13

x < 3

Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm khi m < 9 

| Dạng 4 Giải bất phương trình logagit bằng cách đưa về cùng cơ số

Dùng biến đổi logarit để đưa về cùng cơ số

Å

−2

5;

12

(

x2 − 3x + 3 ≥ 2x − 32x − 3 > 0 ⇔

(

x2− 5x + 6 ≥ 02x − 3 > 0

Ålog1 5

Ä√

x2+ 1 − xä

ã

ã

⇔ log3

Å 1log5t

ã

> log3

Ålog1 5

1t

ã

⇔ 1log5t > log15

⇔

(log5t < 1log5t > 0

5 .Giải (2) ta được x > 0 Vậy tập hợp nghiệm S =

Å0;125

mx2+ 4x + m > 0 (2)

.Bất phương trình đã cho có nghiệm đúng với mọi x khi cả (1) và (2) đúng với mọi x

• Với m = 0 hoặc m = 5 Không thỏa mãn đề bài

• Dùng ẩn phụ chuyển bất phương trình thành một bất phương trình với một ẩn phụ

(Ở đây ta coi các bất phương trình có dạng f (x) ≥ 0, các trường hợp khác tiến hành tươngtự)

* Các phép đặt ẩn phụ với bất phương trình mũ thường gặp:

f (x)

ta được: A.t2+ B.t + C ≥ 0

+) Bất phương trình có dạng: Aaf (x)+ Bbg(x)+ C ≥ 0 trong đó, af (x)bg(x) = k

Đặt af (x) = t(t > 0) ⇒ bg(x)= k

Ta thu được bất phương trình mới: At +Bk

t + C ≥ 0.

* Các phép đặt ẩn phụ thường gặp với bất phương trình logarit:

+) Đặt t = logax(x > 0)

+) Khi bất phương trình xuất hiện alogbx, ta đặt t = logbx

• Dùng ẩn phụ chuyển bất phương trình thành một bất phương trình với một ẩn phụ và hệ

+) Bất phương trình có được từ bất phương trình đầu bài

+) Phương trình (hoặc bất phương trình) có được từ việc đánh giá mối quan hệ của hai

Đặt t = log(x − 1) ⇒ log2(x − 1)2 = 4t2; log(x − 1)3 = 3t

Khi đó, bất phương trình đã cho trở thành: t2+ 3t < 4 ⇔ −4 < t < 1

⇒ −4 < log(x − 1) < 1 ⇔ 10−4 < x − 1 < 10 ⇔ 1, 0001 < x < 11

Kết hợp điều kiện x > 1 ta có: 1, 0001 < x < 11

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là: S = (1, 0001; 11)

Ví dụ 2 Giải bất phương trình sau: plog2x3 − 2 ≥ log2x.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là: S = [2; 4] 

Ta có: f0(x) = 3x ln 3 − 2 ⇒ f ”(x) = 3x ln23 > 0∀x ∈ R

⇒ Phương trình f (x) = 0 có tối đa hai nghiệm trên R

Mà f (0) = 0; f (1) = 0 nên phương trình f (x) = 0 có đúng hai nghiệm x = 1; x = 0

Vậy phương trình (2) có đúng ba nghiệm x = 0; x = 1; x = 2

Lời giải.

Đặt t = 2x (t > 0) Khi đó bất phương trình đã cho có dạng

t3− 7t2+ 14t − 8 < 0 ⇔ (t − 4)(t − 2)(t − 1) < 0 (1)Bảng xét dấu của f (t) = (t − 4)(t − 2)(t − 1) trên (0; +∞)

t

f (t)

− 0 + 0 − 0 +

Tập nghiệm của bất phương trình (1) là (0; 1) ∪ (2; 4)

Do đó tập nghiệm của bất phương trình ban đầu là (−∞; 0) ∪ (1; 2) 

Bài 2 Giải bất phương trình sau: 32x+ 3−2x + 3x+ 3−x ≤ 0

Vì t ≥ 2 nên bất phương trình đã cho vô nghiệm 

ãx+ 9 ≥ 25Å 4

3

ãx(1)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là (−∞; −2] ∪ [0; +∞).

Bài 5 Giải bất phương trình sau Älog1

2log9x2 ≥ 2

⇔ 1 1

3 +13log3x +

2log3x ≥ 2Đặt t = log3x Bất phương trình trên trở thành

⇔ (t − 2)(2t + 1)

t(t + 1) ≤ 0

Bảng xét dấu của hàm số f (t) = (t − 2)(2t + 1)

t(t + 1) .t

1 < x ≤ 9Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là Å 1

3;

1

√3ò

Bài 7 Giải bất phương trình plogx7x − log7x > 1.

t > 0 ⇔ t > 0 thì bất phương trình (1) tương đương

å Ç

t − 1 −

√52

å

> 0

Vì t > 0 nên bất phương trình trên có nghiệm t > 1 +

√5

2 .Khi đó ta có logx7 > 1 +

√5

2 ⇔ 0 < log7x < 2

1 +√

5 ⇔ 1 < x < 71+2√5.Vây tập nghiệm của bất phương trình là

Å

−∞;17

Đặt ex = t (t > 0) Khi đó bất phương trình đã cho có dạng t2+ (1 − 2x)t + x2− x ≥ 0

Xét tam thức bậc hai f (t, x) = t2+ (1 − 2x)t + x2− x với tham số x

Ta có ∆ = (1 − 2x)2− 4(x2− x) = 1

Do đó ta có thể phân tích f (t, x) = (t − x)(t + 1 − x) Vì vậy bất phương trình f (t, x) ≥ 0 tương đươngvới t ≥ 1 − x hoặc t ≤ x

Thay t = ex ta đưa về giải bất phương trình ex ≤ x hoặc ex> x − 1

Mặt khác ex ≥ x + 1 với mọi x ∈ R nên bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi x 

BÀI TẬP TỔNG HỢP

x2− 2x + m + 3plog4(x2− 2x + m) ≤ 4 đúng với mọi

với mọi x ∈ [0; 1]

Ta có f0(t) = atln a − 1.

TH1: Nếu 0 < a < 1 thì f0(t) < 0 với mọi t ∈ [−1; 1]

Do đó min

[−1;1]f (t) = f (1) = a − 1

Để bất phương trình (1) đúng thì a − 1 ≥ 1 ⇔ a ≥ 2 (trái với a < 1)

TH2: Nếu a = 1 thì f (t) = 1 − t không thỏa mãn f (t) ≥ 1 với mọi t ∈ [−1; 1]

a + 1

1

a + 1

a − 1

Để bất phương trình (1) đúng thì a − 1 ≥ 1 ⇔ a ≥ 2 (trái với a < e1e)

Vậy để bất phương trình ban đầu đúng với mọi x thì a ≥ e1e 

| Dạng 6 Phương pháp đặt ẩn phụ trong bất phương trình logarit

Tìm một logaf (x) chung, đặt làm ẩn phụ t để đưa bất phương trình về bất phương trình theo

ẩn t, giải bất phương trình này tìm t sau đó tìm x

Chú ý: Nếu đặt t = logax thì log1

Ví dụ 2 Giải bất phương trình: log20,2x − 5 log0,2x < −6.

Å 1

125;

125

4;

12

Do đó ta có:

"

log3x < 0log3x > 1 ⇔

"

0 < x < 1

x > 3 .Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = (0; 1) ∪ (3; +∞) 

Ví dụ 5 Giải bất phương trình: log22(2 + x − x2) + 3 log1(2 + x − x2) + 2 ≤ 0

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = [0; 1] 

Bài 3 Giải bất phương trình: log2x64 + logx213 ≥ 3

Ta có: log2x64 + logx216 ≥ 3 ⇔ log2x26+ logx224 ≥ 3 ⇔ 6 log2x2 + 1

2 · 4 logxx ≥ 3

⇔ 6

log22x+

2log2x ≥ 3 ⇔ 6

1 + log2x +

2log2x ≥ 3Đặt t = log2x, bất phương trình trở thành: 6

1 < x ≤ 4Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = ï 1

2;

13

√2ò

Bài 4 Giải bất phương trình: 3 logx4 + 2 log4x4 + 3 log16x4 ≤ 0.

x 6= 116

Ta có: 3 logx4 + 2 log4x4 + 3 log16x4 ≤ 0 ⇔ 3

8 ≤ x < 1

41

2 ≤ x < 1Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: S =

Å0; 116

ã

∪ï 1

8;

14

+ log23x − 11 < 0 ⇔ 1

log3x − 1 +

log3xlog3x − 1+ log

• Sử dụng tính đơn điệu của hàm số

• Sử dụng các bất đẳng thức Cauchy, Bunyakovski, để đánh giá

> 1 Đặt f (x) =Å 3

5

ãx+Å 45

ãx, ta có

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là S = (0; 2) 

Ví dụ 3 Giải bất phương trình log2(x2+ 1) + 2 logx2 +1(2x2+ 1) + 4 log2x2 +12 ≥ 6

Do đó bất phương trình đã cho vô nghiệm Suy ra x2− 1 ≥ 0 hay |x| ≥ 1 Suy ra

(

3x2−1 ≥ 1

x2− 1
3x+1 ≥ 0 ⇒ 3

x 2 −1+ x2− 1
3x+1 ≥ 1, ∀|x| ≥ 1

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là S = (−∞; −1) ∪ (1; +∞) 

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

6

ãx+ 2Å 13

ãx+ 3Å 12

ãx+ 3Å 12

ãx Ta có f0(x) = Å 1

ãx

ln1

3 + 3

Å 12

ãx

ln1

2 < 0 vớimọi x ∈ R Do đó hàm số f (x) nghịch biến trên R Mặt khác f (2) = 1 nên phương trình đã cho tươngđương

f (x) < f (2) ⇔ x > 2

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là S = (2; +∞) 

Bài 2 Giải bất phương trình log7x < log3(√

√7

ã

≤ 1, suy ra Ä√7ätñÅ 3

√7

ãt

− 1

ô

≤ 0 Do đó (1) luôn đúngkhi t ≤ 0

• Nếu t > 0 thì f (t) = Ä√7ätñÅ 3

√7

ãt

− 1

ôcó

f0(t) =Ä√7ätln√

7ñÅ 3

√7

ãt

− 1

ô+Ä√7ätñÅ 3

√7

5 +√5

2 ≤ x ≤ 4

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là S =

ñ1;5 −

√52

ô

∪

ñ

5 +√5

√ 2x+4 > 13

Lời giải

Điều kiện của phương trình

(

x + 4 ≥ 02x + 4 ≥ 0 ⇔ x ≥ −2 Xét hàm số f (x) = 3

√ x+4+ 2

√ 2x+4, với x ≥ −2

Ta có

f0(x) = 3

√ x+4ln 3

2√

x + 4 +

2

√ 2x+4ln 2

√2x + 4 > 0, ∀x ≥ −2.

Do đó f (x) là hàm đồng biến trên (−2; +∞) Mà f (0) = 13, suy ra

3

√ x+4+ 2

√ 2x+4> 13 ⇔ f (x) > f (0) ⇔ x > 0

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là S = (0; +∞) 

Do đó f (x) là hàm số nghịch biến trên R và g(x) là hàm số đồng biến trên R Mà f (2) = 0 và gÅ 1

2

ã

= 0nên ta có

32−x+ 3 − 2x

4x− 2 ≥ 0 ⇔

f (x)g(x) ≥ 0 ⇔

f (x) ≤ 0g(x) < 0

a) Giải bất phương trình với m = 2

b) Tìm tất cả các giá trị của m để bất phương trình vô nghiệm

(

m2− 2 = 0

− 4m + 3 ≤ 0 ⇔ m =

√2

Đặt f (x) = x − 3 + log2x, với x > 0 Dễ thấy f (x) là hàm số đồng biến trên (0; +∞) và f (2) = 0 nên

x < m

x > 2

Kết hợp với điều kiện ta có

• Nếu m ≤ 0 thì bất phương trình có tập nghiệm là (0; 2)

• Nếu 0 < m < 2 thì bất phương trình đã cho có tập nghiệm là (m; 2)

• Nếu m = 2 thì bất phương trình đã cho vô nghiệm

• Nếu m > 2 bất phương trình có tập nghiệm là (2; m)

2(m+1)x+4+ ln [(m + 1)x + 4] > 2m2−m−2+ ln m2− m − 2
(1)Đặt f (x) = 2t+ ln t Dễ thấy f (t) là hàm số đồng biến trên (0; +∞) Do đó

(1) ⇔(m + 1)x + 4 > m2 − m − 2

⇔g(x) = (m + 1)x − m2+ m + 6 > 0 (2)Bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi x ∈ [0, 1] khi và chỉ khi bất phương trình (2) nghiệmđúng với mọi x ∈ [0; 1] hay

(

m2− m − 2 > 0g(x) > 0, ∀x ∈ [0; 1]

m < −1g(1) > 0

Bài 10 Tìm tất cả các giá trị của m để bất phương trình

2sin2x+ 3cos2x ≥ m · 3sin 2 x

có nghiệm

Lời giải

Bất phương trình đã cho tương đương

Å 23

ãsin 2 x+ 3cos2x−sin2x ≥ m

⇔Å 23

ãsin2x+ 31−2 sin2x ≥ m

⇔Å 23

ãsin 2 x+ 3Å 19

ãt

≥ m

Dễ thấy f (t) là hàm số nghịch biến trên [0; 1] nên max

[0;1] f (t) = f (0) = 4 Do đó bất phương trình đãcho có nghiệm khi và chỉ khi m ≤ max

BÀI TẬP TỔNG HỢP

m · 9x− 3x+ 1 ≥ 0nghiệm đúng với mọi x

Từ đây ta thấy bất phương trình (1) nghiệm đúng với mọi t >) khi và chỉ khi m ≥ 1

4.Vậy m ≥ 1

Å 34

3

4.Bảng biến thiên của f (x)

34

−2

Å 34

ãlog43

0

Å 34

ã−x+3.

ã C S = (−3; +∞) D S =Å 1

3; +∞

ã

ã

2; 3

ã D (0; +∞)

Lời giải

Ta có log2(3x − 2) > log2(6 − 5x) ⇔

(

6 − 5x > 03x − 2 > 6 − 5x

Câu 15 Xét phương trình: ax > b (1) Mệnh đề nào sau đây là sai?

A Nếu 0 < a < 1, b > 0 thì tập nghiệm của bất phương trình (1) là S = (−∞; logba)

B Nếu a > 1, b 6 0 thì tập nghiệm của bất phương trình (1) là S = R

C Nếu 0 < a < 1, b6 0 thì tập nghiệm của bất phương trình (1) là S = R

D Nếu a > 1, b > 0 thì tập nghiệm của bất phương trình (1) là S = (logab; +∞)

Phương trình đã cho tương đương với x < 1

Kết hợp điều kiện ta có nghiệm 0 < x < 1

Câu 17 Tập nghiệm bất phương trình (0, 5)3 <Å 1

2

ã3xlà

Câu 18 Giải bất phương trình Ä√10 − 3äx >√

10 + 3 ta được kết quả nào sau đây?

A S = (3; 4) B S =

Å3;92

ã C S = (3; 4] D S =

ï4;92

ã

Lời giải

log1 2

(x − 3) ≥ log1

2(9 − 2x) ⇔

A S = (−∞; 1) B S = (1; +∞) C S =Å 1

3; 1

ã D S = (−1; 3)

Câu 23 Bất phương trình 3x < 9 có nghiệm là

ò

Å

−∞;12

ã

Lời giải

Điều kiện xác định: 2x + 1 > 0 ⇔ x > −1

2.Bất phương trình đã cho tương đương với 2x + 1 ≤ 2 ⇔ x ≤ 1

ò

ã2−xlà

Lời giải.

Å 23

ã4x

≤Å 32

ã2−x

⇔Å 32

ã−4x

≤Å 32

ã2x+6là

x−1

≤π2

A S = (2; +∞) B S =Å 5

3; 3

ã C S = (−∞; 3) D S =Å 3

5; 3

ã

Lời giải

Điều kiện 3x − 5 > 0 ⇔ x > 5

3 Khi đólog1

5

(3x − 5) > log1

5(x + 1) ⇔ 3x − 5 < x + 1 ⇔ x < 3

Kết hợp với điều kiện ta có tập nghiệm của bất phương trình là S = Å 5

3; 3

ã

ò

Ålog2 3

9

2; +∞

ã

Lời giải

Bất phương trình đã cho tương đương với

Å 23

Å

−∞; log2

92

ã

Å0;13

ã

Å0;12

ã

Lời giải

Điều kiện: 0 < x < 1

3.Bất phương trình đã cho tương đương với 1 − log1

2

x < 0 ⇔ 0 < x < 1

2.Kết hợp điều kiện, suy ra bất phương trình có nghiệm 0 < x < 1

ãx+1

3; +∞

ã

Ta có log1 x > −2 ⇔ − log2x > −2 ⇔ log2x < 2 ⇔ x < 4

Kết hợp điều kiện ta có tập nghiệm S = (0; 4)

Lời giải

Ta có: log0,3(3x − 2) ≥ 0 ⇔

(3x − 2 > 03x − 2 ≤ 1

A S = (2; +∞) B S = (−1; 2) C S = (−∞; 2) D S =Å 1

2; 2

ã

Lời giải

Điều kiện xác định

(

x + 1 > 02x − 1 > 0

⇔ x > 1

2 Ta có

log1 2

(x + 1) < log1

2(2x − 1) ⇔ x + 1 > 2x − 1 ⇔ x < 2

Kết hợp với điều kiện xác định, ta có tập nghiệm của bất phương trình là S =Å 1

2; 2

ã

ã−x 2 +3x

< 14

⇔ Å 12

ã−x 2 +3x

<Å 12

ã

Lời giải

Tập nghiệm của bất phương trình là S = (3; 7].

Từ đó suy ra bất phương trình có 4 nghiệm nguyên

Câu 80 Giải bất phương trình log2(3x − 2) > log2(6 − 5x) được tập nghiệm là (a; b) Hãy tính tổng

Kết hợp với điều kiện, tập nghiệm của bất phương trình là S =

Å1;65

ã, khi đó S = a + b = 11

Å

−∞;32

ã C S =

Å

−∞;32

ò D S =

Å0;32

ò

Lời giải

Ta có

16 − 22x+1 ≥ 0 ⇔ 22x+1≤ 16

⇔ 2x + 1 ≤ log216 ⇔ 2x + 1 ≤ 4

⇔ x ≤ 3

2.Vậy S =

Å

−∞;3

2

ò

ãx+3là

A S = (0; 3) B S = (−∞; 3) C S = (−∞; −1) D S = (3; +∞)

Lời giải

Å 15

ã2x

>Å 15





x > 32

ã

2; +∞

ã

Lời giải

Điều kiện xác định của bất phương trình là

(2x − 1 > 0

Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như hình bên

Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để phương

trình f (x) = log2m có ba nghiệm phân biệt

A 28 B 29 C 31 D 30

x

y0y

Å

−∞;32

ã C S =

Å

−∞;32

ò D S =

Å0;32

ò

−∞;13

ã D S = (−∞; 1]

2 < x ≤ 4.

2(x − 1) > −3 là

Vậy bất phương trình có tập nghiệm là S = (1; 9), suy ra có 7 nghiệm nguyên

3(x − 1) + log3(11 − 2x) ≥ 0 là

A (−∞; 4) B (1; 4] C (1; 4) D

ï4;112

ã

Lời giải

Điều kiện: 1 < x < 11

2 .Bất phương trình tương đương − log3(x − 1) + log3(11 − 2x) ≥ 0

ã

Å4;132

ã

Å4;132

ã

x < 1 −

√52

⇒ S =

Ç

−1;1 −

√52

å

∪

Ç

1 +√5

2 ; 2å

a + b + c + d = −1 + 1 −

√5

2 +

1 +√5

ã2−xlàA

ï

−2

3; +∞

ã B ï 2

ò

Å

−∞;23

ò

Lời giải

Ta có

Å 23

ã4x

6Å 32

ã2−x

⇔Å 32

ã−4x

6Å 32

ãx 2 −2x

≥ 18

⇔ Å 1

2

ãx 2 −2x

≥Å 12

Câu 13 Tập nghiệm S của bất phương trình log1

2(x2− 3x + 2) ≥ −1 là

log1 2

Tập nghiệm của bất phương trình là S = [0; 1] ∪ (2; 3]

Chú ý: Học sinh cần chú ý Điều kiện xác định của hàm logarit

2x là khoảng (a; b) Giá trị a + b là