Vành phân bậc
Định nghĩa 1.1.1 i) Một vành phân bậcR là một vành giao hoán, có đơn vị thỏa mãn các tính chất
Rn là tổng trực tiếp các nhóm con Abel Rn đối với phép cộng;
2) RnRm ⊆ Rm+n, với mọi m, n ≥ 0. ii) Cho R = M n≥0
Rn là vành phân bậc Một R−môđunM được gọi là môđun phân bậc nếu thỏa mãn các điều kiện sau
Mn là tổng trực tiếp của các nhóm con Abel Mn đối với phép cộng;
Ví dụ 1.1.2. i) Cho R là một vành Khi đó R là vành phân bậc với phân bậc tầm thường
Tương tự, cho M là R−môđun Khi đó M là R−môđun phân bậc với cấu trúc phân bậc tầm thường
Mn, M 0 = M, M 1 = 0 với mọi n ≥ 1 ii) Cho A = R[x1, , xk] là vành đa thức k biến, có hệ số trong vành R. Khi đó A là vành phân bậc với phân bậc chuẩn tắc như sau A ∞
An, trong đó A0 = R, với mọi n≥ 1,
An = {f(x1, , xk) ∈ A | f(x) là đa thức thuần nhất bậc n}.
Đa thức thuần nhất bậc d có dạng f(x) = P kαk=d aαx α Nếu M là môđun phân bậc trên vành phân bậc R, thì phần tử x của Ri (hoặc Mi) được gọi là phần tử thuần nhất bậc i, ký hiệu deg(x) = i Một lý thuyết quan trọng là một lý thuyết Iđêan I ⊂ K[x 0 , , xn] được coi là thuần nhất nếu nó có tập sinh là các đa thức thuần nhất.
Ví dụ 1.1.5 Cho trường K và vành đa thức R = K[x, y, z] với phân bậc chuẩn tắc Khi đó i) I1 = hx n +y n −z n i là iđêan thuần nhất của R. ii) I2 = hx+y 2 i không là iđêan thuần nhất của R.
Tập lồi
Trong phần này, chúng tôi sẽ trình bày các khái niệm và tính chất cơ bản liên quan đến tập lồi Định nghĩa 1.2.1 nêu rõ rằng với các số thực a0, a1, , an và a = (a0, , an) khác không, ta có thể xác định siêu phẳng affine H = {x ∈ R n : a0 + a1x1 + + anxn = 0}.
R n \H có hai phần rời nhau
Các phần rời nhau này được gọi là nửa không gian affine mở xác định bởi
H, và được kí hiệu lần lượt là H ◦ + và H ◦ − tương ứng với dấu dương và âm. Nửa không gian dương (đóng) là
H + = {x ∈ R n : a0 + a1x1 + + anxn ≥ 0} Một tập hợp P ⊆ R n được gọi là đa diện nếu nó là giao của một số hữu hạn các nửa không gian affine đóng Tập lồi S trong R n là tập hợp trong R n sao cho với mọi x1, x2 ∈ S và λ ∈ [0,1], ta có λx1 + (1−λ)x2 ∈ S.
Ví dụ 1.2.4. i) Trong R 2 , các hình đa giác, hình tròn, hình Elip là các tập lồi Trong
R 3 thì hình đa diện, hình cầu là các tập lồi. ii) Hình cầu B = {x ∈ R n : kxk ≤ 1} là tập lồi Thật vậy, với mọi x, y ∈ B và λ ∈ [0,1], ta có k(1−λ)x+λyk ≤ k(1−λ)xk+kλyk
Do đó (1−λ)x+ λy ∈ B. iii) Hình cầu B(a, r) = {x ∈ R n : kx− ak ≤ r} là một tập lồi (ở đây a ∈ R n và r ≥ 0) Thật vậy, với mọi x, y ∈ B(a, r), ∀λ ∈ [0,1] ta có kλx+ (1−λ)y −ak = kλ(x−a) + (1−λ)(y −a)k
Do đó (1−λ)x+ λy ∈ B(a, r). Định nghĩa 1.2.5 Với một tập hữu hạn X = {u 1 , ,u s } ⊆ R n , ta gọi conv(X) = { s
X i=1 ri = 1} là bao lồi của X.
Bao lồi của hai điểm x1 và x2 là đoạn thẳng, trong khi bao lồi của ba điểm x1, x2, x3 không thẳng hàng tạo thành hình tam giác Một tập con không rỗng P của R n được gọi là đa diện lồi nếu tồn tại một tập con hữu hạn X ⊂R n sao cho conv(X) =P Nón đa diện trong R n được định nghĩa là bao dương của tập con hữu hạn X = {v1, ,v s } trong R n.
Nón đa diện còn được biểu diễn là một tập có dạng
C(X) = {x∈ R n : Ax ≤ 0}, trong đó A là ma trận có kích thước d×n Định nghĩa 1.2.9 cho biết một quạt đa diện là tập hợp hữu hạn tất cả các nón đa diện, với giao của hai nón đa diện bất kỳ là một mặt của hai đa diện.
Hình 1.2: Không là quạt đa diện Định nghĩa 1.2.10 Cố định một đa diệnP ⊆R n Cho một véc tơw ∈ R n Đặt facew(P) ={x ∈ P | xãw ≤ yãw, với mọi y ∈ P}.
Tập facew(P) được gọi là một mặt của P.
Bổ đề 1.2.11 Với mỗi tập hợp X = {u 1 , ,u s } ⊆ R n và w ∈ R n , đặt λ = min{w ãu i | 1≤ i ≤ s},
Khi đó facew(P) = conv(X w ), trong đó P = conv(X).
Chứng minh Đầu tiờn, ta chỉ ra λ = min{wãu | u ∈ P} Khi đú ta cú u s
Lấy tích vô hướng hai vế của biểu thức trên với véc tơ w thì w ãu s
Do đúmin{wãu |u ∈ P} ≥ λ Mặt khỏc, ta cú λ = min{wãui | 1 ≤ i ≤s}.
Do đú tồn tại u j ∈ X sao cho λ = wãu j Do X ⊂ P nờn λ ≥ min{w ãu | u ∈ P} Vậy λ = min{w ãu | u ∈ P}.
Bằng cách thay đổi các chỉ số nếu cần thiết, ta có thể giả sử rằng X w {u1, ,u r } Cho u ∈ conv(X w ) Khi đó, u r
Lấy tích vô hướng hai vế của biểu thức trên với véc tơ w thì wãu r
Mặt khác, u ∈ conv(X w ) ⊂ conv(X) nên u ∈ conv(X) = P Do đó u ∈ P và w ãu = λ = min{w ãv | v ∈ P} Vỡ vậy w ãu ≤ w ãv với mọi v ∈ P. Khi đó u ∈ facew(P) Do đó ta có conv(X w ) ⊆ facew(P).
Ngược lại, cho u ∈ face w (P) Khi đú ta cú w ãu = λ Do u ∈ P, ta cú u s
Lấy tích vô hướng hai vế của biểu thức trên với véc tơ w thì λ = wãu s
X i=1 ri(w ãu i ) =λ. nên P s i=r+1 ri(w ãu i ) = λ−λ = 0 Do đú P s i=r+1 riλ = 0 Vì thế P s i=r+1 ri = 0.
Do đó ri = 0 với mọi i = r+ 1, , s Do đó ta cóu r
Nhận xét 1.2.12 Từ Bổ đề 1.2.11, facew(P) là một đa diện Ngoài ra, face w (P) là một đa diện vì nó là giao của P với siêu phẳng xãw = min{xãw | x ∈ P}.
Bổ đề 1.2.13 Cho F = face w (P) là một mặt của đa diện lồi P và cho
F ′ = face v (F) là một mặt của đa diện lồi F Khi đó F ′ là một mặt của P. Hơn nữa, với một ǫ > 0 đủ nhỏ, ta có
Chứng minh Giả sử rằng một tập hữu hạn X thỏa mãn P = conv(X) Cho λ = min{w ã u | u ∈ X}, X w = {u ∈ X | u ã w = λ}, λ ′ = min{vã u | u ∈ X w } và X w , v = {u ∈ X w | vãu = λ ′ } Cho ǫ là một số thực thỏa món điều kiện
Theo Bổ đề 1.2.11, ta có F = face w (P) = conv(X w) và F ′ = face v (F) conv(X w, v) Đối với mọi u ∈ X w, v, ta có wãu + ǫvãu = λ + ǫλ ′ Do đó, với u ∈ X w, v và a ∈ X − X w, v, ta có wãu + ǫvãu < wãa + ǫvãa Trường hợp 1, nếu a ∈ X w, ta có
= 0 +ǫvã(u −a) < 0 Trường hợp 2 a ∤ inX w và vã(u−a) ≤ 0, ta cú
Trường hợp 3 a 6∈ X w và vã(u −a) < 0, ta cú
Do đú ta cú (w+ǫv)ã(u−a) < 0 với mọi u ∈ X w , v và a ∈ X −X w , v Do đó
Phức đa diện là một tập hữu hạn Σ của các đa diện, thỏa mãn hai điều kiện chính: Thứ nhất, nếu P thuộc Σ thì mọi mặt của P cũng phải nằm trong Σ Thứ hai, nếu P và Q đều thuộc Σ, thì giao của P và Q (P ∩ Q) phải là rỗng hoặc là một mặt chung của cả P và Q.
Hình 1.3: Phức đa diện Định nghĩa 1.2.15 Cho Γlà một nhóm con của(R,+) Mộtđa diện Γ-hữu tỷ là
P = {x ∈ R n : Ax≤ b} là một tập hợp trong đó A là ma trận kích thước d×n với các mục trong Q và b ∈ Γ d Một phức đa diện Σ được coi là Γ-hữu tỷ nếu mọi đa diện trong Σ đều là Γ-hữu tỷ Ở đây, Γ = Γval là nhóm giá trị của trường K Định nghĩa 1.2.16 chỉ ra rằng nếu f = X u ∈Z n c u x u ∈ K[x1, , xn], thì đa diện Newton của f được xác định là một đa diện.
Cơ sở Gr¨obner trong Hình học
Định giá
Định nghĩa 2.1.1 giới thiệu về một trường K, với K∗ là tập hợp các phần tử khác không của K Một định giá trên K được định nghĩa là hàm val: K → R∪ {∞} và thỏa mãn ba tiên đề: i) val(a) = ∞ nếu và chỉ nếu a = 0; ii) val(ab) = val(a) + val(b); iii) val(a+b) ≥ min{val(a), val(b)} cho mọi a, b thuộc K∗ Ảnh của ánh xạ hàm được ký hiệu là Γval, và thường giả sử rằng nhóm Γval chứa 1.
Xét tập tất cả trường các phần tử với định giá không âm:
Rval là vành địa phương với iđêan tối đại duy nhất m val = {c ∈ K | val(c) > 0} Theo định nghĩa, vành thương k = Rval/m val được xác định là một trường, được gọi là trường thặng dư của (K,val).
Trong trường hợp K = Q, định giá p-adic được xác định bởi ánh xạ val : Q → R, với val p (q) = k, trong đó q = p^k * a/b, với a, b ∈ Z và p không chia hết a và b Điều này chứng minh rằng val p là một định giá hợp lệ.
+ q = 0 nếu và chỉ nếu val p (q) = ∞.
+ Với mọi q1, q2 ∈ Q, ta có q1 = p k 1 a1/b1 với a1, b1 ∈ Z và p ∤a1 hoặc p∤ b1, q2 = p k 2 a2/b2 với a2, b2 ∈ Z và p ∤ a2 hoặc p∤ b2.
Vì p không chia hết a1 và a2, nên p cũng không chia hết tích a1a2; tương tự, p không chia hết b1 và b2, dẫn đến p không chia hết tích b1b2 Do đó, ta có q1q2 = pk1 + k2 (a1a2)/(b1b2) với a1, a2, b1, b2 thuộc Z, và p không chia hết a1a2 hoặc b1b2 Từ đó suy ra val p (q1q2) = k1 + k2 = val p (q1) + val p (q2) Với a1, a2, b1, b2 thuộc Z và p không chia hết a1a2 hoặc b1b2, ta có q1 + q2 = (pk1a1b2 + pk2a2b1)/(b1b2) Đặt ǫ = min{k1, k2}, ta có q1 + q2 = pǫ (pk1−ǫ a1b2 + pk2−ǫ a2b1)/(b1b2) Nếu p không chia hết b1b2 hoặc p không chia hết (pk1−ǫ a1b2 + pk2−ǫ a2b1), thì val p (q1 + q2) ≥ ǫ = min{k1, k2} = min{val p (q1), val p (q2)}.
Ví dụ, val 2 (120) = val 2 (12) +val 2 (10) = 3.
Vành địa phương Rval p là vành địa phương hóa của các số nguyên Z tại (p) nguyên tố, bao gồm các số hữu tỷ a/b với điều kiện p không chia hết cho b Iđêan tối đại m val p chứa các số hữu tỷ a/b mà trong đó p chia hết cho a nhưng không chia hết cho b Trường thặng dư k là trường hữu hạn với p phần tử, được ký hiệu là Z/Zp.
Ví dụ 2.1.5 Cho K là trường của chuỗi Puiseux với hệ số trong trường số phức C Các phần tử trong trường này là các chuỗi lũy thừa hình thức a(t) ∞
X i=1 ait q i, trong đó ai là các số phức khác không với mọi i, và q1 < q2 < q3 < là các số hữu tỷ có mẫu số chung Kí hiệu C{{t}} được sử dụng để chỉ trường của chuỗi Puiseux trên C.
X i=1 ait q i : ai ∈ C, q1 < q2 < ∈ Q,mẫu số chung}.
Val(a) được xác định là q1 và lc(a) là a1 Trường C{{t}} có định giá tự nhiên val : C{{t}} → R, được xác định bằng cách chọn một phần tử khác không a(t) ∈ C{{t}} ∗ với số mũ thấp nhất q1 trong chuỗi khai triển của a(t).
+ a1(t) = 0 nếu và chỉ nếu val(a1) = ∞.
X i=1 cit b i trong đó ci = P k=1,∞,j=1,∞ a1ka2j, a1k +a2j = bi ∈ Q, có mẫu số chung Do đó val(a 1 a 2 ) = b 1 = a 11 +a 21 = val(a 1 ) +val(a 2 ) + Với mọi a1(t), a2(t) ∈ C{{t}}, ta có a1(t) + a2(t) ∞
(a1k + a2j), a1k = a2j = bi ∈ Q, có mẫu số chung.
Do đó val(a1 + a2) =b1 = min{a11, a21} = min{val(a1),val(a2)}.
Mệnh đề 2.1.6 Nếu val(a) 6= val(b) thì val(a+ b) = min{val(a),val(b)}.
Chứng minh Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử rằng val(b) > val(a) Vì 1 2 = 1 nên val(1) = 0 và vì vậy (−1) 2 = 1 suy ra val(−1) = 0.
Theo định nghĩa, val(−b) = val(b) với mọi b thuộc K Từ tiên đề thứ ba, ta có val(a) ≥ min{val(a+b), val(−b)} = min{val(a+b), val(b)}, điều này dẫn đến val(a) ≥ val(a+b) Ngược lại, val(a+b) cũng lớn hơn hoặc bằng min{val(a), val(b)} = val(a), do đó ta kết luận rằng val(a+b) = val(a).
Cơ sở Gr¨obner
Định nghĩa 2.2.1 Cho K là một trường với một định giá val : K ∗ → R.
Cho f = P u ∈Z n c u x u ∈ K[x] = K[x 1 , , xn] là một đa thức Nhiệt đới hóa của đa thức f là hàm số giá trị thực trên R n sao cho
Trop(f)(w) = min u ∈Z n :c u 6=0(val(c u ) +uãw) với mọi w ∈ R n
Giả sử ánh xạ val : K ∗ → Γval được chẻ ra với φ : Γval → K ∗, ký hiệu φ(w) = t w Nếu val(a) ≥ 0, thì a thuộc về vành định giá Rval của K, và ký hiệu ¯a là ảnh của a trong trường thặng dư k Định nghĩa 2.2.2 cho biết dạng khởi đầu in w (f) được xác định bởi công thức in w (f) = t −Trop(f )( w ) f(t w 1 x1, , t w n xn).
Cho I là iđêan trong K[x] Khi đó inw(I) =< inw(f) | f ∈ I > được gọi là iđêan khởi đầu của I đối với w Iđêan khởi đầu của I là iđêan của k[x].
Ví dụ 2.2.3. i) Cho f = (t+t 2 )x0 +t 2 x1 + 2t 4 x2 ∈ C{{t}}[x 0 , x1, x2] Khi đó
Nếu w = (0,0,0) thì Trop(f, w) = min{1,2,4} = 1 Vì vậy inw(f) (1 +t)x0 = x0.
Nếu w = (4,2,0) thì Trop(f, w) = min{5,4,4} = 4 Vì vậy in w (f) x1 + 2x2.
Nếu w = (2,1,0) thì Trop(f, w) = min{3,3,4} = 3 Vì vậy in w (f) x 0 +x 1 ii) Cho K = Q với định giá 2-adic, vì vậy k = Z/2Z Cho f = 3x0 + 4x1 + 24x2 ∈ Q[x0, x1, x2] Khi đó
Trop(f, w) = min{val 2 (3) +w 0 ,val 2 (4) +w 1 ,val 2 (24) +w 2 }
Nếu w = (0,0,0)thì Trop(f, w) = min{0,2,3} = 0 Vì vậy inw(f) = ¯3x0 x0 ∈ Z/2Z[x0, x1, x2].
Nếu w = (2,0,0) thì Trop(f, w) = min{2,2,3} = 2 Vì vậy inw(f) ¯3x 0 +x1 = x0 +x1 ∈ Z/2Z[x0, x1, x2].
Nếu w = (3,1,0) thì Trop(f, w) = min{3,3,3} = 3 Vì vậy in w (f) ¯3x 0 +x1 + 24.2 −3 x2 = x0 +x1 +x2 ∈ Z/2Z[x0, x1, x2].
Nếu w = (3,1,0) + α(1,1,1), thì Trop(f, w) = min{3 + α, 3 + α, 3 + α} = 3 + α Do đó, in w(f) = ¯3x0 + x1 + 24.2 - 3x2 = x0 + x1 + x2 ∈ Z/2Z[x0, x1, x2] Xét K = Q với định giá 2-adic, do đó k = Z/2Z Cho f = ax0 + bx1 + cx2 ∈ Q[x0, x1, x2], ta có Trop(f)(w) = min{val(a) + w0, val(b) + w1, val(c) + w2} Các trường hợp cụ thể sẽ được phân tích dưới đây.
+ in w (f) = at −val(a) x0 khi w ∈ S0 = {w | val(a) + w0 < val(b) + w1;val(a) +w0 < val(c) +w2}.
+ inw(f) = bt −val(b) x 1 khi w ∈ S 1 = {w | val(b) + w 1 < val(a) + w0;val(b) +w1 < val(c) +w2}.
+ inw(f) = ct −val(a) x2 khi w ∈ S2 = {w | val(c) + w2 < val(b) + w 1 ;val(c) +w 2 < val(a) +w 0 }.
+ in w (f) = at −val(a) x0 + bt −val(b) x1 khi w ∈ S3 = {w | val(a) + w0 val(b) +w1;val(a) +w0 < val(c) +w2}.
+ inw(f) = at −val(a) x 0 + ct −val(c) x 2 khi w ∈ S 4 = {w | val(a) + w 0 < val(b) +w1;val(a) +w0 = val(c) +w2}.
+ inw(f) = bt −val(b) x1 + ct −val(c) x2 khi w ∈ S5 = {w | val(b) +w1 < val(a) +w 0 ;val(b) +w 1 = val(c) +w 2 }. Định nghĩa 2.2.4 Tập hợpG = {g 1 , , gs} ⊆ I là một cơ sở Gr¨obner của
I đối với w nếu iđêan khởi đầu inw(I) = (inw(g1), ,inw(gs)).
Mệnh đề 2.2.5 Cho f = P i∈A gi ∈ K[x0, , xn] sao cho {số hạng của f} S i∈A
{số hạng của gi} Khi đó
Chứng minh Ta sử dụng minA = min{minB,minC}nếuA = B∪C vàA hữu hạn (2.1)
Ta có min{Trop(gi) | i ∈ A} = min{min(val(c u i ) + u i ãw)}.
Do (2.1) và giả thiết { số hạng của f} = S i∈A
{ số hạng của gi} nên min{Trop(gi) | i ∈ A} = min{val(c u ) +u ãw} = Trop(f)
Mệnh đề 2.2.6 Cho f = P i∈A gi ∈ K[x 0 , , xn] sao cho Trop(f) = min{Trop(gi) | i ∈ A},
{hạng tử của gi} ∩ {hạng tử của gj}= ∅,∀i 6= j.
Khi đó in w (f) = X i:Trop(g i )( w )=Trop(f )( w ) in w (gi).
Chứng minh Ta có in w (f) = P u :val(c u )+ u ã w =Trop(f )( w ) c u t −val(c u ) x u Đặt B {i : Trop(gi) =Trop(f)} Do{hạng tử của gi}∩{hạng tử của gj} = ∅,∀i 6 j nên
Bổ đề 2.2.7 nêu rõ rằng, cho I ⊆ K[x₀, , xₙ là một iđêan thuần nhất và cố định w ∈ Rⁿ, thì in₍ₕ₎(I) cũng là một iđêan thuần nhất Điều này cho phép chúng ta chọn một cơ sở Gr¨obner thuần nhất cho I Hơn nữa, nếu g thuộc in₍ₕ₎(I)d, thì tồn tại một phần tử f trong Id sao cho g = in₍ₕ₎(f).
Chứng minh Trước hết, inw(I) thuần nhất Thật vậy, xét f = P i
I ⊆ K[x0, , xn] với mỗi fi thuần nhất bậc i Khi đó inw(fi) thuần nhất.
Như vậy, {số hạng của f} = S i
Theo Mệnh đề 2.2.6, số hạng của fi trong dạng khởi đầu in w (I) là tổng các dạng khởi đầu của các fi với Trop(f)(w) và Trop(fi)(w) Mỗi thành phần fi thuần nhất tồn tại trong I, dẫn đến ý tưởng khởi đầu in w (I) được tạo ra từ các phần tử in w (f) với f là thuần nhất Do đó, in w (f) cũng là thuần nhất, và kết luận rằng in w (I) cũng thuần nhất.
Ta thấy inw(I) được sinh bởi một số hữu hạn các inw(f), vì vậy f tương ứng tạo thành một cơ sở Gr¨obner thuần nhất đối với I.
Nếu g thuộc in w (I)d, thì g bằng in w (f) với một số f thuộc Id Cụ thể, g có thể được biểu diễn dưới dạng P u a u x u inw(f u ), với f u thuộc I cho mọi u Đặt f u = P v c uv x v, từ đó suy ra x α f u = P v c uv x α+ v cho mọi α Do đó, in w (f u ) được tính bằng X v :val(c uv )+ v ã w = Trop(f )( w ) c uv t −val(c uv ) x v.
Suy ra x α inw(f u ) = X v :val(c uv )+ v ã w =Trop(f )( w ) c uv t −val(c uv ) x α+ v
Ta có in w (x α f u ) = X α+ v :val(c uv )+(α+ v )ã w =Trop( x α f )( w ) c uv t −val(c uv ) x α+ v
Trop(x α f)(w) = min α+ v ∈Z n ,c uv 6=0(val(c uv ) + (α +v)ãw)
= min α+ v ∈Z n ,c uv 6=0(val(c uv ) +α ãw +vãw)
Mà Trop(x α f)(w) = val(c uv) + (α + v)ãw nờn val(c uv) + (α + v)ãw αãw + Trop(f)(w) Suy ra val(c uv) + vãw = Trop(f)(w) Do đó, α in w (f u) inw(x α f u) Từ g = P u a u inw(f u) suy ra g = P u a u inw(x u f u) Với mỗi a u, chọn c u ∈ R với val(c u) = 0 và c¯ u = a u, đặt W u = Trop(f u)(w) + w ã u Cho f = P u c u t − W u x u f u Khi đó, Trop(f)(w) = 0 Thật vậy, theo Mệnh đề 2.2.5 ta có.
Trop(f)(w) = min{Trop(c u t −W u x u f u )(w) | ∀u ∈ Z n } Đặt f u = P v b v x v ,∀v ∈ Z n Ta có
= min v ∈Z n (val(c u ) +val(t −W u ) +val(b v ) +uãw +vãw)
Do đó, Trop(f)(w) = 0 Theo Mệnh đề 2.2.6 thì in w (f) = X u :Trop(g u )( w )=Trop(f )( w ) in w (gu) trong đó g u = c u t −W u x u f u = P v c u t −W u x u b v x v = P v c u t −W u b v x u + v Ta có inw(gu) = X v :val(c u t − Wu b v )+( u + v )ã w =Trop(g u )( w ) c u t −W u b v t −val(c u t − Wu b v ) x u + v
Do đó inw(f) = X u :Trop(g u )( w )=Trop(f)( w ) c u x u inw(f u )
Bổ đề 2.2.8 Cố định f ∈ K[x0, , xn], w ∈ Γ n+1 val và v ∈ Q n+1 Khi đó tồn tại ǫ≥ 0 sao cho với mọi ǫ ′ ∈ Γ với 0 < ǫ ′ < ǫ, ta có in v (in w (f)) = in w +ǫ ′ v(f).
Chứng minh rằng f = P u ∈Z n c u x u ∈ K[x] là một đa thức, với in w (f) = X u :val(c u ) + u ã w = W c u ãt − val(c u ) ãx u ∈ k[x] Trong đó, W = Trop(f)(w) Đặt W ′ = Trop(in w (f))(v) = min{u ãv : u : val(c u ) + u ãw = W} Do đó, ta có inv(in w (f)) = X u :val(c u ) + u ã w = W và u ã v = W ′ c u ãt − val(c u ) ãx u ∈ k[x].
Cho X = {(val(c u ),u) | x u là một hạng tử của f}, P = conv(X), F face (1, w )(P) và F ′ = face (0, v )(F) Từ Bổ đề 1.2.13, với mọi ǫ > 0 đủ nhỏ, ta có
Mặt khác, với mọi ǫ > 0 đủ nhỏ, ta có
Trop(f)(w+ǫv) = min{val(c u ) +uãw+ ǫuãv : c u 6= 0} = W +ǫW ′
{u : val(c u )+uãw = W,uãv = W ′ }= {u : val(c u )+uã(w+ǫv) = W+ǫW ′ }. Khi đó in v (in w (f)) = X u :val(c u )+ u ã w =W và u ã v =W ′ c u ãt −val(c u ) ãx u
= X u :val(c u )+ u ã( w +ǫ v )=Trop(f )( w +ǫ v ) c u ãt −val(c u ) ãx u
Bổ đề 2.2.9 Cho I là iđêan thuần nhất trong K[x0, , xn] và cố định w ∈ Γ n+1 val Khi đó với mọi v ∈ Q n+1 , tồn tại ǫ > 0 sao cho với mọi ǫ ′ < ǫ ta có in v (in w (I)) ⊆ in w +ǫ ′ v(I).
Chứng minh rằng cho in v (in w (I)) =< gi | i = 1, , s >, theo Bổ đề 2.2.7, tồn tại f i ′ ∈ inv(I) với gi = inv(f i ′ ) Tiếp tục áp dụng Bổ đề 2.2.7, ta có fi ∈ I sao cho f i ′ = in w (fi) Do đó, gi = in v (in w (fi)) Theo Bổ đề 2.2.8, tồn tại ǫi sao cho gi = inv(inw(fi)) = inw + ǫ v(fi) với mọi ǫ < ǫi Chọn ǫ = min{ǫi | i = 0, , n} và lấy x ∈ inv(inw(I)).
Do đó x ∈ inw +ǫ ′ v(I) Khi đó ta có inv(inw(I)) ⊆ inw +ǫ ′ v(I) với mọi ǫ ′ < ǫ.
Bổ đề 2.2.10 Cho I ⊂ SK = K[x] là một iđêan thuần nhất và cho w ∈ Γ n+1 val Cho M d w là không gian véc tơ sinh bởi các đơn thức trong in w (I)d. Khi đó dimkM d w ≤ dimKId.
Chứng minh rằng với mỗi đơn thức \( x_u \in M_{d,w} \), ta chọn \( f_u \in Id \) sao cho \( inw(f_u) = x_u \) theo Bổ đề 2.2.7 Lưu ý rằng tập hợp \( \{f_u : x_u \in M_{d,w}\} \) là độc lập tuyến tính trong \( Id \), do đó \( \dim_k M_{d,w} \leq \dim_K Id \) Giả sử ngược lại, tồn tại \( a_u \in K \) khác không sao cho \( P_{x_u} \in M_{d,w} \) và \( a_u f_u = 0 \) Ta có thể viết \( f_u = P_{x_v} \in (S_K)_{d,c_{uv}} x_v = x_u + P_{x_u} \neq x_v \in (S_K)_{d,c_{uv}} x_v \).
Do đóa u + P x v 6= x u ∈M d w a v c uv = 0 Chọnu ′ = min{val(a u )+wãu | x u ∈ M d w }.
Trong bài viết này, chúng ta phân tích biểu thức toán học với điều kiện val(a u′ + P x u′ 6= x v ∈M d w a v c vu′) = ∞ Giả sử rằng val(a u′) không bằng val(P x u′ 6= x v ∈M d w a v c vu′), theo Mệnh đề 2.1.6, chúng ta có val(a u′ + P x u′ 6= x v ∈M d w a v c vu′) = min{val(a u′), val(P x u′ 6= x v ∈M d w a v c vu′)} < ∞, điều này dẫn đến mâu thuẫn Do đó, kết luận rằng val(a u′) phải bằng val(P x u′ 6= x v ∈M d w a v c vu′), từ đó suy ra tồn tại u′ khác u0 sao cho x u0 thuộc tập hợp đã cho.
M d w để val(a u 0c u 0 u ′) = val(a u 0) + val(c u 0 u ′) ≤ val(a u ′ ) Nhưng val(a u 0) + val(c u 0 u ′) + w.u ′ ≤ val(a u ′ ) + w.u ′ ≤ val(a u 0) + w.u0, mâu thuẫn với in w (f u 0) = x u 0 Do đó dim k M d w ≤ dimKId.
Bổ đề 2.2.11 khẳng định rằng, với một iđêan thuần nhất I ⊆ SK = K[x] và một giá trị w ∈ Γ n+1, không gian véc tơ in w (I)d được sinh bởi các đơn thức trong I Các đơn thức x^u bậc d không thuộc in w (I)d sẽ tạo thành một K-cơ sở cho (SK/I)d Hơn nữa, kích thước của không gian véc tơ in w (I)d bằng kích thước của iđêan I trong K.
Chứng minh rằng tập hợp Bd gồm các đơn thức bậc d không chứa trong in w (I)d có ảnh độc lập tuyến tính trong (SK/I)d Điều này dẫn đến việc dim k inw(I)d lớn hơn hoặc bằng dim K Id.
(SK/I)d là không gian phụ thuộc tuyến tính với f = P x u ∈ B d, trong đó c u khác 0 Khi đó, in w(f) thuộc in w(I)d, và in w(I)d được sinh ra bởi các đơn thức của nó, dẫn đến mọi hạng tử của in w(f) đều nằm trong in w(I)d Điều này mâu thuẫn với mọi hạng tử của f trong B d Do đó, ảnh của B d trong (SK/I)d là độc lập tuyến tính trong K, và dim K in w(I)d = dim K(Sd)d - dim B d.
Mặt khác, inw(I)d sinh bởi các đơn thức của nó và từ Bổ đề 2.2.10 nên ta có dim k inw(I)d ≤dim K Id Vậy dim k inw(I)d = dim K Id.
Bổ đề 2.2.12 khẳng định rằng, cho w ∈ Q n+1 với in w (I) là một iđêan sinh bởi các đơn thức, nếu v ∈ Q n+1 thì với mọi ǫ đủ nhỏ, ta có in w (I) = M ǫ, trong đó M ǫ là iđêan sinh bởi các đơn thức trong in w +ǫ v(I).
Chứng minh rằng cho in w (I) =< x u i với i = 1, , s, theo Bổ đề 2.2.7, tồn tại fi ∈ I sao cho x u i = inw(fi) Do đó, ta có inv(x u i ) = inv(inw(fi)) Theo Bổ đề 2.2.8, tồn tại ǫi sao cho in v (x u i ) = in v (in w (fi)) = in w +ǫ v (fi) với mọi ǫ < ǫi Bằng cách chọn ǫ < min{ǫ i | i = 1, , n}, ta có thể kết luận rằng in w (I) ⊆ in w +ǫ v (I).
Kí hiệu M ǫ là iđêan sinh bởi các đơn thức trong inw +ǫ v(I) Khi đó với mọi d, ta có in w (I)d ⊆ M d ǫ và vì vậy dim k in w (I)d ≤ dim k M d ǫ ≤dim k Id theo
Bổ đề 2.2.10 Từ Bổ đề 2.2.11 ta có M d ǫ = in w (I)d, với mọi d.
Bổ đề 2.2.13 Cho w ∈ Q n+1 sao cho inw(I) là một iđêan sinh bởi tất cả các đơn thức Giả sử rằng v ∈ Q n+1 Khi đó với mọi ǫ đủ nhỏ, ta có in w (I) = in w +ǫ v(I).
Chứng minh Từ Bổ đề 2.2.12, với mọi ǫ đủ nhỏ, ta có in w (I) = M ǫ , trong đó M ǫ là iđêan sinh bởi các đơn thức trong in w +ǫ v(I).
Phức Gr¨obner
Định nghĩa 2.3.1 Cho I là iđêan của K[x] Khi đó
C w (I) := CI[w] = {w ′ | inw ′(I) =inw(I)} được gọi là một nón Gr¨obner của I.
Ví dụ 2.3.2 Chof = 3x+8y+6z ∈ Q[x, y, z]trong đóQcó định giá3-adic và cho I = hfi Cố định w = (1,1,1) Khi đó Trop(f)(w) = min(2,1,2) 1, vì vậy in w (f) = 1/3(9x+ 24y+ 18z) = 2y ∈ Z/3Z[x, y, z] Khi đó
CI[w] là miền được định nghĩa bởi các điều kiện w ′ ∈ R 3, trong đó w ′ 1 + 1 ≥ w ′ 2 và w ′ 3 + 1 ≥ w ′ 2 Nếu w ′ thuộc CI[w], thì w ′ có thể được biểu diễn dưới dạng w ′ + λ(1,1,1) với λ thuộc R Miền CI[w] được thể hiện rõ ràng trong hình 2.1 bên trái, nơi đại diện cho các lớp trong R 3/R(1,1,1) với hệ số không cuối cùng Bên phải của hình 2.1 cho thấy các ý tưởng khởi đầu của I có thể khác nhau cùng với các miền tương ứng CI[w].
Nếu I là một iđêan thuần nhất trong K[x0, , xn], thì in w + λ 1 (I) bằng in w(I) với λ ∈ R bất kỳ, trong đó 1 = (1, , 1) Tập hợp CI[w] là một đa diện Γ-hữu tỷ và không gian tuyến tính chứa đường thẳng R1 Nếu in w(I) không phải là iđêan đơn thức, thì tồn tại w' ∈ Γ n+1 sao cho in w' (I) là một iđêan đơn thức và CI[w] là một mặt của đa diện CI[w'].
Từ Định lý 2.2.14, tồn tại một số v ∈ Q n sao cho in v (in w (I)) là một iđêan đơn thức và in w +ǫ v (I) = in v (in w (I)) với ǫ > 0 đủ nhỏ Giả sử ǫ được cố định và đặt w ′ = w + ǫv Khi đó, inw ′(I) = (x u 1 , ,x u s ) là một đơn thức Theo Bổ đề 2.2.11, các đơn thức x a không nằm trong in w ′ (I) sẽ tạo thành một tập hợp riêng.
K-cơ sở của SK/I Do đó, x u i = P x a 6∈in w′ (I) ci ax a + gi với một số gi ∈ I.
Do vậy, gi = x u i − P x a 6∈in w′ (I) ci ax a Khi in w ′ (gi) ∈ in w ′ (I) và in w ′ (I) là đơn thức, mọi hạng tử của in w ′(gi) nằm trong in w ′(I) Bằng cách xây dựng gi, ta có in w ′(gi) = x u i và inv(inw(gi)) = x u i Do đó, đa thức {g 1 , g2, , gs} tạo thành cơ sở Gr¨obner đối với I đối với w ′ Để chứng minh Định lý 2.3.4, ta cần các Bổ đề sau.
CI(w ′ ) = {z |zãui ≤val(ci a)+zãa và x a là một hạng tử của gi, i= 1, , s}
Giả sử w 0 ∈ CI(w ′ ) nhưng không thỏa mãn bất đẳng thức zãu i ≤ val(ci a) +zãa, dẫn đến việc w 0 ãu i > val(ci a) +w 0 ãa Từ đó, inw 0 (gi) không bằng x u i Khi inw 0 (gi) thuộc inw 0 (I) và inw ′(I) là đơn thức, mỗi số hạng của inw 0(gi) nằm trong inw ′ (I), tạo ra mâu thuẫn với việc xây dựng gi Do đó, ta có thể kết luận rằng CI(w ′ ) ⊆ {z | zãu i ≤ val(ci a) +zãa và x a là một số hạng của gi, với i = 1, , s}.
Giả sử w 0 ãu i < val(ci a) + w 0 ãa với mọi i, dẫn đến in w 0(gi) = x u i cho mọi i Do đó, in w ′(gi) = in w 0(gi) ∈ in w 0(I) với mọi i, từ đó suy ra in w ′(I) ⊆ in w 0(I) Theo Hệ quả 2.2.15, hai iđêan có cùng hàm Hilbert, vì vậy chúng bằng nhau, kết luận rằng w 0 ∈ CI[w ′].
Chú ý rằng các đa thức {inw(g1),inw(g2), ,inw(gs)} tạo thành cơ sở Gr¨obner của inw(I) đối với v Khi đó ta có Bổ đề sau
Bổ đề 2.3.6 Nếu w 0 ∈ CI[w] thì ta có in w 0(gi) = in w (gi), với mọi i = 1, , s.
Chứng minh rằng w 0 ∈ CI[w] dẫn đến inw 0 (I) = inw(I) Nếu inw 0 (gi) ≤ inw(gi), thì inw 0(gi) − inw(gi) ∈ inw(I) và inv(inw 0(gi) − inw(gi)) ∈ inv(inw(I)) Do inv(inw(I)) = inw ′(I) là đơn thức, mọi hạng tử inv(inw 0 (gi) − inw(gi)) nằm trong inw ′(I) Với việc xây dựng gi, ta có inv(inw 0 (gi) − inw(gi)) = x u i, cho thấy x u i không phải là số hạng của inw 0(gi) hoặc inw(gi) Từ inv(inw)(gi) = x u i, suy ra x u i là số hạng của inw(gi) và không phải là số hạng của inw 0(gi) Do đó, mọi số hạng của inw 0(gi) không nằm trong inw ′(I) Vì inw ′(I) là đơn thức, inw 0(gi) ∈ inw 0(I) dẫn đến mâu thuẫn, do đó inw 0(gi) = inw(gi) với mọi i = 1, , s.
Bổ đề 2.3.7 Nếu in w 0(gi) = in w (gi) với mọi i = 1, , s thì w 0 ∈ CI[w].
Chứng minh rằng từ các đa thức {inw(g1), inw(g2), , inw(gs)} tạo thành cơ sở Gr¨obner của inw(I) đối với v Do đó, inw(I) = (inw(g1), inw(g2), , inw(gs)) với I là thuần nhất, dẫn đến inw(I) ⊆ inw0(I) Theo Hệ quả 2.2.15, hai iđêan có cùng hàm Hilbert, do đó chúng bằng nhau, từ đó kết luận w0 ∈ CI[w].
Bổ đề 2.3.8 CI[w] là một mặt của CI[w ′ ].
Chứng minh rằng F là tập hợp các điểm z thỏa mãn điều kiện zãu i = val(ci a) + zãa với mọi i và các số hạng x a của inw(gi) Đồng thời, zãu i cũng phải nhỏ hơn val(ci a) + zãa với mọi i và các số hạng x a của gi, nhưng không thuộc các số hạng của in w(gi) Khi đó, F sẽ được xác định là một mặt của CI[w ′ ].
Từ Bổ đề 2.3.6, Bổ đề 2.3.7 và cách xây dựng gi thì CI[w] = F.
Cuối cùng, với bất kỳ đa thức thuần nhất f ∈ K[x0, , xn], ta có in w (f) = inw + λ1(f) với mọi λ ∈ Γval Từ các ý tưởng khởi đầu của I sinh bởi các đa thức thuần nhất và Bổ đề 2.2.7, suy ra inw(I) = inw + λ1(I) với mọi λ ∈ Γval Do đó, CI[w] = CI[w] + R1, cho thấy không gian tuyến tính của các đa diện CI[w] chứa đường thẳng R1.
Trong không gian R n+1, mọi đa diện được biểu diễn dưới dạng P = {x ∈ R n+1 : Ax ≤ b}, với A là ma trận kích thước d×(n+1) và b ∈ R d Được gọi là Γval-hữu tỷ nếu các phần tử của A là hữu tỷ và b thuộc Γ d val, nghĩa là tất cả các mặt pháp tuyến của P là véc tơ trong Q n+1 và các đỉnh của P là phần tử của Γ n+1 Một phức đa diện Σ được coi là Γval-hữu tỷ nếu mọi đa diện trong Σ đều thỏa mãn điều kiện này Theo Định lý 2.3.9, với một lý thuyết thuần nhất I ⊆ K[x0, , xn], tập hợp {CI[w] : w ∈ Γ n+1 val} tạo thành một phức đa diện Γval-hữu tỷ hữu hạn trong không gian n chiều R n+1 /R1.
Chứng minh Từ Định lý 2.3.4, ta suy ra điều phải chứng minh.
Phức Gr¨obner, được định nghĩa trong Định lý 2.3.9, là một phức đa diện phức tạp Trong trường hợp này, trường thặng dư k là trường con của K, và lý thuyết về phức Gr¨obner cho thấy I được định nghĩa trên k, với điều kiện I ⊆ C[x0, , xn], mà K = C{{t}} Phức Gr¨obner cũng được gọi là quạt đa diện hữu tỷ, hay quạt Gr¨obner, và được nghiên cứu rộng rãi trong tài liệu liên quan đến Gr¨obner, như trong [15], [6], [3, Chương 2] và [10, Chương 2].
Không gian tuyến tính của phức đa diện Σ là không gian con L lớn nhất, với điều kiện nếu u thuộc σ (σ ∈ Σ) và l thuộc L, thì u + l cũng thuộc σ Từ Chú ý 2.3.3, ta có thể kết luận rằng R1 chính là không gian tuyến tính của phức Gr¨obner.
Ví dụ 2.3.10 Cho I = hy 2 z −x 3 − x 2 z −p 4 z 3 i ⊆ Q[x, y, z], trong đó Q có định giá p-adic với số nguyên tố p Với f = y 2 z−x 3 −x 2 z−p 4 z 3 , ta có Trop(f) = min(2y + z,3x,2x + z,3z + 4) Phức Gr¨obner được minh họa trong Hình 2.2.
Việc xây dựng phức Gr¨obner và quỹ tích tuyến tính của hàm nhiệt đới cho thấy rằng phức đa diện có phân chia chính quy Khái niệm này được phát triển bởi Gelfand, Kapranov và Zelevinsky.
7], ở đây, phân chia chặt; xem thêm [12, Chương 5].
Bổ đề 2.3.12 Cho I là iđêan thuần nhất trong S = K[x0, , xn] Có hữu hạn các iđêan đơn thức khởi đầu khác nhau in w (I) như w chạy trên Γ n+1 val
Giả sử I có vô hạn các iđêan đơn thức khởi đầu, ta định nghĩa Σ0 là tập hợp tất cả các iđêan đơn thức khởi đầu của I Từ Σ0, I không thể là iđêan không, do đó ta có thể chọn một phần tử f1 thuộc I Vì f1 chỉ có hữu hạn các số hạng và mỗi iđêan đơn thức khởi đầu M trong Σ0 chứa một số hạng của f1, nên sẽ có ít nhất một số hạng m1 của f1 nằm trong vô hạn các iđêan của Σ0 Đặt Σ1 = {M ∈ Σ0 | m1 ∈ M} và J1 = (m1) Vì có vô hạn các iđêan đơn thức khởi đầu chứa J1, nên tồn tại một số iđêan khởi đầu thực sự chứa J1.