Vành phân bậc
Định nghĩa 1.1.1 i) Một vành phân bậcR là một vành giao hoán, có đơn vị thỏa mãn các tính chất
Rn là tổng trực tiếp các nhóm con Abel Rn đối với phép cộng;
2) RnRm ⊆ Rm+n, với mọi m, n ≥ 0. ii) Cho R = M n≥0
Rn là vành phân bậc Một R−môđunM được gọi là môđun phân bậc nếu thỏa mãn các điều kiện sau
Mn là tổng trực tiếp của các nhóm con Abel Mn đối với phép cộng;
Ví dụ 1.1.2. i) Cho R là một vành Khi đó R là vành phân bậc với phân bậc tầm thường
Tương tự, cho M là R−môđun Khi đó M là R−môđun phân bậc với cấu trúc phân bậc tầm thường
Mn, M 0 = M, M 1 = 0 với mọi n ≥ 1 ii) Cho A = R[x1, , xk] là vành đa thức k biến, có hệ số trong vành R. Khi đó A là vành phân bậc với phân bậc chuẩn tắc như sau A ∞
An, trong đó A0 = R, với mọi n≥ 1,
An = {f(x1, , xk) ∈ A | f(x) là đa thức thuần nhất bậc n}.
Đa thức thuần nhất bậc d có dạng f(x) = P kαk=d aαx α Nếu M là môđun phân bậc trên vành phân bậc R, phần tử x của Ri (hoặc Mi) được gọi là phần tử thuần nhất bậc i, ký hiệu deg(x) = i Một lý thuyết quan trọng là ideal I ⊂ K[x 0 , , xn] được coi là thuần nhất nếu nó có tập sinh là các đa thức thuần nhất.
Ví dụ 1.1.5 Cho trường K và vành đa thức R = K[x, y, z] với phân bậc chuẩn tắc Khi đó i) I1 = hx n +y n −z n i là iđêan thuần nhất của R. ii) I2 = hx+y 2 i không là iđêan thuần nhất của R.
Tập lồi
Trong phần này, chúng tôi sẽ trình bày các khái niệm và tính chất cơ bản về tập lồi Định nghĩa 1.2.1 nêu rõ rằng với các số thực a0, a1, , an (với a = (a0, , an) khác không), ta có thể xét siêu phẳng affine H được định nghĩa bởi tập hợp các điểm x thuộc Rn sao cho a0 + a1x1 + + anxn = 0.
R n \H có hai phần rời nhau
Các phần rời nhau này được gọi là nửa không gian affine mở xác định bởi
H, và được kí hiệu lần lượt là H ◦ + và H ◦ − tương ứng với dấu dương và âm. Nửa không gian dương (đóng) là
H + = {x ∈ R n : a0 + a1x1 + + anxn ≥ 0} Định nghĩa 1.2.2: Tập hợp P ⊆ R n được gọi là đa diện nếu nó là giao của một số hữu hạn các nửa không gian affine đóng Định nghĩa 1.2.3: Tập lồi S trong R n là tập hợp sao cho với mọi x1, x2 ∈ S và λ ∈ [0,1], ta có λx1 + (1−λ)x2 ∈ S.
Ví dụ 1.2.4. i) Trong R 2 , các hình đa giác, hình tròn, hình Elip là các tập lồi Trong
R 3 thì hình đa diện, hình cầu là các tập lồi. ii) Hình cầu B = {x ∈ R n : kxk ≤ 1} là tập lồi Thật vậy, với mọi x, y ∈ B và λ ∈ [0,1], ta có k(1−λ)x+λyk ≤ k(1−λ)xk+kλyk
Do đó (1−λ)x+ λy ∈ B. iii) Hình cầu B(a, r) = {x ∈ R n : kx− ak ≤ r} là một tập lồi (ở đây a ∈ R n và r ≥ 0) Thật vậy, với mọi x, y ∈ B(a, r), ∀λ ∈ [0,1] ta có kλx+ (1−λ)y −ak = kλ(x−a) + (1−λ)(y −a)k
Do đó (1−λ)x+ λy ∈ B(a, r). Định nghĩa 1.2.5 Với một tập hữu hạn X = {u 1 , ,u s } ⊆ R n , ta gọi conv(X) = { s
X i=1 ri = 1} là bao lồi của X.
Bao lồi của hai điểm x1 và x2 là đoạn thẳng, trong khi bao lồi của ba điểm x1, x2, x3 không thẳng hàng tạo thành hình tam giác Một tập con khác rỗng P của R^n được gọi là đa diện lồi nếu tồn tại một tập con hữu hạn X ⊂ R^n sao cho conv(X) = P Ngoài ra, một nón đa diện trong R^n được định nghĩa là bao dương của tập con hữu hạn X = {v1, , vs} trong R^n.
Nón đa diện còn được biểu diễn là một tập có dạng
C(X) = {x∈ R n : Ax ≤ 0}, với A là ma trận kích thước d×n Định nghĩa 1.2.9: Một quạt đa diện là tập hợp hữu hạn các nón đa diện, trong đó giao của hai nón đa diện bất kỳ tạo thành một mặt của hai đa diện.
Hình 1.2: Không là quạt đa diện Định nghĩa 1.2.10 Cố định một đa diệnP ⊆R n Cho một véc tơw ∈ R n Đặt facew(P) ={x ∈ P | xãw ≤ yãw, với mọi y ∈ P}.
Tập facew(P) được gọi là một mặt của P.
Bổ đề 1.2.11 Với mỗi tập hợp X = {u 1 , ,u s } ⊆ R n và w ∈ R n , đặt λ = min{w ãu i | 1≤ i ≤ s},
Khi đó facew(P) = conv(X w ), trong đó P = conv(X).
Chứng minh Đầu tiờn, ta chỉ ra λ = min{wãu | u ∈ P} Khi đú ta cú u s
Lấy tích vô hướng hai vế của biểu thức trên với véc tơ w thì w ãu s
Do đúmin{wãu |u ∈ P} ≥ λ Mặt khỏc, ta cú λ = min{wãui | 1 ≤ i ≤s}.
Do đú tồn tại u j ∈ X sao cho λ = wãu j Do X ⊂ P nờn λ ≥ min{w ãu | u ∈ P} Vậy λ = min{w ãu | u ∈ P}.
Bằng cách thay đổi các chỉ số nếu cần thiết, ta có thể giả sử rằng X w {u1, ,u r } Cho u ∈ conv(X w ) Khi đó, u r
Lấy tích vô hướng hai vế của biểu thức trên với véc tơ w thì wãu r
Mặt khác, u ∈ conv(X w ) ⊂ conv(X) nên u ∈ conv(X) = P Do đó u ∈ P và w ãu = λ = min{w ãv | v ∈ P} Vỡ vậy w ãu ≤ w ãv với mọi v ∈ P. Khi đó u ∈ facew(P) Do đó ta có conv(X w ) ⊆ facew(P).
Ngược lại, cho u ∈ face w (P) Khi đú ta cú w ãu = λ Do u ∈ P, ta cú u s
Lấy tích vô hướng hai vế của biểu thức trên với véc tơ w thì λ = wãu s
X i=1 ri(w ãu i ) =λ. nên P s i=r+1 ri(w ãu i ) = λ−λ = 0 Do đú P s i=r+1 riλ = 0 Vì thế P s i=r+1 ri = 0.
Do đó ri = 0 với mọi i = r+ 1, , s Do đó ta cóu r
Nhận xét 1.2.12 Từ Bổ đề 1.2.11, facew(P) là một đa diện Ngoài ra, face w (P) là một đa diện vì nó là giao của P với siêu phẳng xãw = min{xãw | x ∈ P}.
Bổ đề 1.2.13 Cho F = face w (P) là một mặt của đa diện lồi P và cho
F ′ = face v (F) là một mặt của đa diện lồi F Khi đó F ′ là một mặt của P. Hơn nữa, với một ǫ > 0 đủ nhỏ, ta có
Chứng minh Giả sử rằng một tập hữu hạn X thỏa mãn P = conv(X) Cho λ = min{w ã u | u ∈ X}, X w = {u ∈ X | u ã w = λ}, λ ′ = min{vã u | u ∈ X w } và X w , v = {u ∈ X w | vãu = λ ′ } Cho ǫ là một số thực thỏa món điều kiện
Theo Bổ đề 1.2.11, ta có F = face w (P) = conv(X w) và F ′ = face v (F) conv(X w, v) Đối với mọi u ∈ X w, v, ta có wãu+ǫvãu = λ+ǫλ ′ Điều này cho thấy rằng với u ∈ X w, v và a ∈ X −X w, v, ta có wãu+ǫvãu < wãa+ǫvãa Trong trường hợp 1, nếu a ∈ X w, ta có
= 0 +ǫvã(u −a) < 0 Trường hợp 2 a ∤ inX w và vã(u−a) ≤ 0, ta cú
Trường hợp 3 a 6∈ X w và vã(u −a) < 0, ta cú
Do đú ta cú (w+ǫv)ã(u−a) < 0 với mọi u ∈ X w , v và a ∈ X −X w , v Do đó
Phức đa diện là tập hợp hữu hạn Σ của các đa diện, trong đó nếu một đa diện P thuộc Σ, thì mọi mặt của P cũng phải thuộc Σ Hơn nữa, nếu hai đa diện P và Q đều nằm trong Σ, thì giao của chúng P ∩ Q phải là rỗng hoặc là một mặt chung của cả P và Q.
Hình 1.3: Phức đa diện Định nghĩa 1.2.15 Cho Γlà một nhóm con của(R,+) Mộtđa diện Γ-hữu tỷ là
P = {x ∈ R n : Ax ≤ b} là tập hợp các điểm trong không gian R n thỏa mãn điều kiện do ma trận A có kích thước d×n và vector b ∈ Γ d xác định Một phức đa diện Σ được gọi là Γ-hữu tỷ nếu mọi đa diện trong Σ đều là Γ-hữu tỷ, với Γ = Γval là nhóm giá trị của trường K Định nghĩa 1.2.16: Cho f = X u ∈Z n c u x u ∈ K[x1, , xn], đa diện Newton của f là một khái niệm quan trọng trong lý thuyết đa thức.
Cơ sở Gr¨obner trong Hình học
Định giá
Định nghĩa một trường K và ký hiệu K ∗ cho các phần tử khác không của K Một định giá trên K là hàm val: K → R∪ {∞} thỏa mãn ba tiên đề: (i) val(a) = ∞ nếu và chỉ nếu a = 0; (ii) val(ab) = val(a) + val(b); (iii) val(a+b) ≥ min{val(a), val(b)} với mọi a, b ∈ K ∗ Ảnh của ánh xạ hàm được ký hiệu là Γval, và thường giả sử nhóm Γval chứa 1.
Xét tập tất cả trường các phần tử với định giá không âm:
Rval là vành địa phương và iđêan tối đại duy nhất của nó được xác định bởi m val = {c ∈ K | val(c) > 0} Theo định nghĩa 2.1.2, vành thương k = Rval/m val là một trường, được gọi là trường thặng dư của (K,val).
Trong ví dụ 2.1.3, chúng ta xem xét định giá p-adic trên trường K = Q của các số hữu tỷ Giả sử p là một số nguyên tố, ánh xạ val : Q → R được xác định bởi val p (q) = k, với q = p^k * a/b, trong đó a, b ∈ Z và p không chia hết a và b, điều này chứng minh rằng đây là một định giá.
+ q = 0 nếu và chỉ nếu val p (q) = ∞.
+ Với mọi q1, q2 ∈ Q, ta có q1 = p k 1 a1/b1 với a1, b1 ∈ Z và p ∤a1 hoặc p∤ b1, q2 = p k 2 a2/b2 với a2, b2 ∈ Z và p ∤ a2 hoặc p∤ b2.
Vì p không chia hết cho a1 và a2, nên p cũng không chia hết cho tích a1a2 Tương tự, p không chia hết cho b1 và b2, do đó p không chia hết cho tích b1b2 Từ đó, ta có q1q2 = pk1 + k2 (a1a2)/(b1b2), với a1, a2, b1, b2 thuộc Z và p không chia hết cho a1a2 hoặc b1b2 Điều này dẫn đến val p (q1q2) = k1 + k2 = val p (q1) + val p (q2) Với a1, a2, b1, b2 thuộc Z và p không chia hết cho a1a2 hoặc b1b2, ta có q1 + q2 = (pk1a1b2 + pk2a2b1)/(b1b2) Đặt ǫ = min{k1, k2}, ta nhận được q1 + q2 = pǫ (pk1−ǫ a1b2 + pk2−ǫ a2b1)/(b1b2) Cuối cùng, với a1, a2, b1, b2 thuộc Z và p không chia hết cho b1b2 hoặc p không chia hết cho (pk1−ǫ a1b2 + pk2−ǫ a2b1), ta có val p (q1 + q2) ≥ ǫ = min{k1, k2} = min{val p (q1), val p (q2)}.
Ví dụ, val 2 (120) = val 2 (12) +val 2 (10) = 3.
Vành địa phương Rval p là vành địa phương hóa của các số nguyên Z tại một số nguyên tố p, bao gồm các số hữu tỷ a/b với điều kiện p không chia hết cho b Iđêan tối đại m val p chứa các số hữu tỷ a/b mà trong đó p chia hết cho a nhưng không chia hết cho b Trường thặng dư k là một trường hữu hạn với p phần tử, được ký hiệu là Z/Zp.
Ví dụ 2.1.5 Cho K là trường của chuỗi Puiseux với hệ số trong trường số phức C Các phần tử trong trường này là các chuỗi lũy thừa hình thức a(t) ∞
X i=1 ait q i, trong đó ai là các số phức khác không với mọi i, và q1 < q2 < q3 < là các số hữu tỷ có mẫu số chung Kí hiệu C{{t}} được sử dụng để biểu diễn trường của chuỗi Puiseux trên C.
X i=1 ait q i : ai ∈ C, q1 < q2 < ∈ Q,mẫu số chung}.
Trong trường C{{t}}, định giá tự nhiên val được xác định bởi val(a) = q1 và lc(a) = a1, trong đó val : C{{t}} → R Định giá này được tính bằng cách lấy một phần tử khác không a(t) ∈ C{{t}} ∗ với số mũ thấp nhất q1 xuất hiện trong chuỗi khai triển của a(t).
+ a1(t) = 0 nếu và chỉ nếu val(a1) = ∞.
X i=1 cit b i trong đó ci = P k=1,∞,j=1,∞ a1ka2j, a1k +a2j = bi ∈ Q, có mẫu số chung Do đó val(a 1 a 2 ) = b 1 = a 11 +a 21 = val(a 1 ) +val(a 2 ) + Với mọi a1(t), a2(t) ∈ C{{t}}, ta có a1(t) + a2(t) ∞
(a1k + a2j), a1k = a2j = bi ∈ Q, có mẫu số chung.
Do đó val(a1 + a2) =b1 = min{a11, a21} = min{val(a1),val(a2)}.
Mệnh đề 2.1.6 Nếu val(a) 6= val(b) thì val(a+ b) = min{val(a),val(b)}.
Chứng minh Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử rằng val(b) > val(a) Vì 1 2 = 1 nên val(1) = 0 và vì vậy (−1) 2 = 1 suy ra val(−1) = 0.
Theo định nghĩa, val(−b) = val(b) với mọi b ∈ K Từ tiên đề thứ ba, ta suy ra rằng val(a) ≥ min{val(a+b), val(−b)} = min{val(a+b), val(b)}, do đó val(a) ≥ val(a+b) Ngược lại, val(a+b) ≥ min{val(a), val(b)} = val(a), dẫn đến kết luận val(a+b) = val(a).
Cơ sở Gr¨obner
Định nghĩa 2.2.1 Cho K là một trường với một định giá val : K ∗ → R.
Cho f = P u ∈Z n c u x u ∈ K[x] = K[x 1 , , xn] là một đa thức Nhiệt đới hóa của đa thức f là hàm số giá trị thực trên R n sao cho
Trop(f)(w) = min u ∈Z n :c u 6=0(val(c u ) +uãw) với mọi w ∈ R n
Giả sử ánh xạ val : K ∗ → Γval được chẻ ra với φ : Γval → K ∗, ta ký hiệu φ(w) = t w Nếu val(a) ≥ 0, thì a thuộc về vành định giá Rval của K, và ký hiệu ¯a là ảnh của a trong trường thặng dư k Định nghĩa 2.2.2 giới thiệu dạng khởi đầu in w (f) được xác định bởi công thức in w (f) = t −Trop(f )( w ) f(t w 1 x1, , t w n xn).
Cho I là iđêan trong K[x] Khi đó inw(I) =< inw(f) | f ∈ I > được gọi là iđêan khởi đầu của I đối với w Iđêan khởi đầu của I là iđêan của k[x].
Ví dụ 2.2.3. i) Cho f = (t+t 2 )x0 +t 2 x1 + 2t 4 x2 ∈ C{{t}}[x 0 , x1, x2] Khi đó
Nếu w = (0,0,0) thì Trop(f, w) = min{1,2,4} = 1 Vì vậy inw(f) (1 +t)x0 = x0.
Nếu w = (4,2,0) thì Trop(f, w) = min{5,4,4} = 4 Vì vậy in w (f) x1 + 2x2.
Nếu w = (2,1,0) thì Trop(f, w) = min{3,3,4} = 3 Vì vậy in w (f) x 0 +x 1 ii) Cho K = Q với định giá 2-adic, vì vậy k = Z/2Z Cho f = 3x0 + 4x1 + 24x2 ∈ Q[x0, x1, x2] Khi đó
Trop(f, w) = min{val 2 (3) +w 0 ,val 2 (4) +w 1 ,val 2 (24) +w 2 }
Nếu w = (0,0,0)thì Trop(f, w) = min{0,2,3} = 0 Vì vậy inw(f) = ¯3x0 x0 ∈ Z/2Z[x0, x1, x2].
Nếu w = (2,0,0) thì Trop(f, w) = min{2,2,3} = 2 Vì vậy inw(f) ¯3x 0 +x1 = x0 +x1 ∈ Z/2Z[x0, x1, x2].
Nếu w = (3,1,0) thì Trop(f, w) = min{3,3,3} = 3 Vì vậy in w (f) ¯3x 0 +x1 + 24.2 −3 x2 = x0 +x1 +x2 ∈ Z/2Z[x0, x1, x2].
Nếu w = (3,1,0) +α(1,1,1), thì Trop(f, w) = min{3 +α, 3 +α, 3 +α} = 3 + α Do đó, in w (f) = ¯3x₀ + x₁ + 24.2 − 3x₂ = x₀ + x₁ + x₂ ∈ Z/2Z[x₀, x₁, x₂] Xét K = Q với định giá 2-adic, do đó k = Z/2Z Với f = ax₀ + bx₁ + cx₂ ∈ Q[x₀, x₁, x₂], ta có Trop(f)(w) = min{val(a) + w₀, val(b) + w₁, val(c) + w₂} Các trường hợp dưới đây sẽ được phân tích tiếp theo.
+ in w (f) = at −val(a) x0 khi w ∈ S0 = {w | val(a) + w0 < val(b) + w1;val(a) +w0 < val(c) +w2}.
+ inw(f) = bt −val(b) x 1 khi w ∈ S 1 = {w | val(b) + w 1 < val(a) + w0;val(b) +w1 < val(c) +w2}.
+ inw(f) = ct −val(a) x2 khi w ∈ S2 = {w | val(c) + w2 < val(b) + w 1 ;val(c) +w 2 < val(a) +w 0 }.
+ in w (f) = at −val(a) x0 + bt −val(b) x1 khi w ∈ S3 = {w | val(a) + w0 val(b) +w1;val(a) +w0 < val(c) +w2}.
+ inw(f) = at −val(a) x 0 + ct −val(c) x 2 khi w ∈ S 4 = {w | val(a) + w 0 < val(b) +w1;val(a) +w0 = val(c) +w2}.
+ inw(f) = bt −val(b) x1 + ct −val(c) x2 khi w ∈ S5 = {w | val(b) +w1 < val(a) +w 0 ;val(b) +w 1 = val(c) +w 2 }. Định nghĩa 2.2.4 Tập hợpG = {g 1 , , gs} ⊆ I là một cơ sở Gr¨obner của
I đối với w nếu iđêan khởi đầu inw(I) = (inw(g1), ,inw(gs)).
Mệnh đề 2.2.5 Cho f = P i∈A gi ∈ K[x0, , xn] sao cho {số hạng của f} S i∈A
{số hạng của gi} Khi đó
Chứng minh Ta sử dụng minA = min{minB,minC}nếuA = B∪C vàA hữu hạn (2.1)
Ta có min{Trop(gi) | i ∈ A} = min{min(val(c u i ) + u i ãw)}.
Do (2.1) và giả thiết { số hạng của f} = S i∈A
{ số hạng của gi} nên min{Trop(gi) | i ∈ A} = min{val(c u ) +u ãw} = Trop(f)
Mệnh đề 2.2.6 Cho f = P i∈A gi ∈ K[x 0 , , xn] sao cho Trop(f) = min{Trop(gi) | i ∈ A},
{hạng tử của gi} ∩ {hạng tử của gj}= ∅,∀i 6= j.
Khi đó in w (f) = X i:Trop(g i )( w )=Trop(f )( w ) in w (gi).
Chứng minh Ta có in w (f) = P u :val(c u )+ u ã w =Trop(f )( w ) c u t −val(c u ) x u Đặt B {i : Trop(gi) =Trop(f)} Do{hạng tử của gi}∩{hạng tử của gj} = ∅,∀i 6 j nên
Bổ đề 2.2.7 khẳng định rằng nếu I ⊆ K[x₀, , xₙ là một iđêan thuần nhất và w ∈ Rⁿ được cố định, thì in_w(I) cũng là một iđêan thuần nhất Đồng thời, có thể chọn một cơ sở Gr¨obner thuần nhất cho I Hơn nữa, nếu g thuộc in_w(I)d, thì tồn tại một phần tử f trong Id sao cho g = in_w(f).
Chứng minh Trước hết, inw(I) thuần nhất Thật vậy, xét f = P i
I ⊆ K[x0, , xn] với mỗi fi thuần nhất bậc i Khi đó inw(fi) thuần nhất.
Như vậy, {số hạng của f} = S i
Theo Mệnh đề 2.2.6, số hạng của fi trong I là tổng các dạng khởi đầu của các fi với Trop(f)(w) và Trop(fi)(w) Mỗi thành phần fi thuần nhất tồn tại trong I, do đó, ý tưởng khởi đầu in w (I) được sinh ra từ các phần tử in w (f) với f thuần nhất Vì f thuần nhất, nên in w (f) cũng thuần nhất, dẫn đến việc in w (I) cũng thuần nhất.
Ta thấy inw(I) được sinh bởi một số hữu hạn các inw(f), vì vậy f tương ứng tạo thành một cơ sở Gr¨obner thuần nhất đối với I.
Nếu g thuộc in w (I)d thì g bằng in w (f) với một số f thuộc Id Cụ thể, g có thể được biểu diễn dưới dạng P u a u x u inw(f u ), trong đó f u thuộc I cho mọi u Đặt f u = P v c uv x v, ta có x α f u = P v c uv x α+ v cho mọi α Từ đó, in w (f u) được xác định bởi công thức X v :val(c uv )+ v ã w = Trop(f )( w ) c uv t −val(c uv ) x v.
Suy ra x α inw(f u ) = X v :val(c uv )+ v ã w =Trop(f )( w ) c uv t −val(c uv ) x α+ v
Ta có in w (x α f u ) = X α+ v :val(c uv )+(α+ v )ã w =Trop( x α f )( w ) c uv t −val(c uv ) x α+ v
Trop(x α f)(w) = min α+ v ∈Z n ,c uv 6=0(val(c uv ) + (α +v)ãw)
= min α+ v ∈Z n ,c uv 6=0(val(c uv ) +α ãw +vãw)
Mà Trop(x α f)(w) = val(c uv) + (α + v)ãw nờn val(c uv) + (α + v)ãw αãw + Trop(f)(w) Suy ra val(c uv) + vãw = Trop(f)(w) Do đó, α in w (f u) inw(x α f u) Vì vậy, từ g = P u a u inw(f u) suy ra g = P u a u inw(x u f u) Với mỗi a u, chọn c u ∈ R với val(c u) = 0 và c¯ u = a u, đặt W u = Trop(f u)(w) + w ã u Cho f = P u c u t − W u x u f u Khi đó Trop(f)(w) = 0 Thật vậy, theo Mệnh đề 2.2.5 ta có.
Trop(f)(w) = min{Trop(c u t −W u x u f u )(w) | ∀u ∈ Z n } Đặt f u = P v b v x v ,∀v ∈ Z n Ta có
= min v ∈Z n (val(c u ) +val(t −W u ) +val(b v ) +uãw +vãw)
Do đó, Trop(f)(w) = 0 Theo Mệnh đề 2.2.6 thì in w (f) = X u :Trop(g u )( w )=Trop(f )( w ) in w (gu) trong đó g u = c u t −W u x u f u = P v c u t −W u x u b v x v = P v c u t −W u b v x u + v Ta có inw(gu) = X v :val(c u t − Wu b v )+( u + v )ã w =Trop(g u )( w ) c u t −W u b v t −val(c u t − Wu b v ) x u + v
Do đó inw(f) = X u :Trop(g u )( w )=Trop(f)( w ) c u x u inw(f u )
Bổ đề 2.2.8 Cố định f ∈ K[x0, , xn], w ∈ Γ n+1 val và v ∈ Q n+1 Khi đó tồn tại ǫ≥ 0 sao cho với mọi ǫ ′ ∈ Γ với 0 < ǫ ′ < ǫ, ta có in v (in w (f)) = in w +ǫ ′ v(f).
Chứng minh rằng f = P u ∈Z n c u x u ∈ K[x] là một đa thức, với in w (f) = X u :val(c u ) + u ã w = W c u ãt −val(c u ) ãx u ∈ k[x] Trong đó, W = Trop(f)(w) Đặt W ′ = Trop(in w (f))(v) = min{u ãv : u : val(c u ) + u ã w = W} Do đó, ta có inv(in w (f)) = X u :val(c u ) + u ã w = W và u ã v = W ′ c u ãt −val(c u ) ãx u ∈ k[x].
Cho X = {(val(c u ),u) | x u là một hạng tử của f}, P = conv(X), F face (1, w )(P) và F ′ = face (0, v )(F) Từ Bổ đề 1.2.13, với mọi ǫ > 0 đủ nhỏ, ta có
Mặt khác, với mọi ǫ > 0 đủ nhỏ, ta có
Trop(f)(w+ǫv) = min{val(c u ) +uãw+ ǫuãv : c u 6= 0} = W +ǫW ′
{u : val(c u )+uãw = W,uãv = W ′ }= {u : val(c u )+uã(w+ǫv) = W+ǫW ′ }. Khi đó in v (in w (f)) = X u :val(c u )+ u ã w =W và u ã v =W ′ c u ãt −val(c u ) ãx u
= X u :val(c u )+ u ã( w +ǫ v )=Trop(f )( w +ǫ v ) c u ãt −val(c u ) ãx u
Bổ đề 2.2.9 Cho I là iđêan thuần nhất trong K[x0, , xn] và cố định w ∈ Γ n+1 val Khi đó với mọi v ∈ Q n+1 , tồn tại ǫ > 0 sao cho với mọi ǫ ′ < ǫ ta có in v (in w (I)) ⊆ in w +ǫ ′ v(I).
Chứng minh rằng cho in v (in w (I)) =< gi | i = 1, , s >, theo Bổ đề 2.2.7, tồn tại f i ′ ∈ inv(I) sao cho gi = inv(f i ′ ) Tiếp tục áp dụng Bổ đề 2.2.7, có f i ∈ I sao cho f i ′ = in w (fi), dẫn đến gi = in v (in w (fi)) Từ Bổ đề 2.2.8, tồn tại ǫi sao cho gi = inv(inw(fi)) = inw +ǫ v(fi) với mọi ǫ < ǫi Chọn ǫ = min{ǫi | i = 0, , n} và lấy x ∈ inv(inw(I)).
Do đó x ∈ inw +ǫ ′ v(I) Khi đó ta có inv(inw(I)) ⊆ inw +ǫ ′ v(I) với mọi ǫ ′ < ǫ.
Bổ đề 2.2.10 Cho I ⊂ SK = K[x] là một iđêan thuần nhất và cho w ∈ Γ n+1 val Cho M d w là không gian véc tơ sinh bởi các đơn thức trong in w (I)d. Khi đó dimkM d w ≤ dimKId.
Chứng minh rằng với mỗi đơn thức \( x_u \in M_{dw} \), ta có thể chọn \( f_u \in Id \) sao cho \( inw(f_u) = x_u \) theo Bổ đề 2.2.7 Lưu ý rằng tập hợp \( \{f_u : x_u \in M_{dw}\} \) là độc lập tuyến tính trong \( Id \), do đó \( dim_k M_{dw} \leq dim_K Id \) Giả sử ngược lại, tồn tại \( a_u \in K \) khác không với \( P x_u \in M_{dw} \) sao cho \( a_u f_u = 0 \) Khi viết \( f_u = P x_v \in (S_K)^d c_{uv} x_v = x_u + P x_u \neq x_v \in (S_K)^d c_{uv} x_v \), dẫn đến mâu thuẫn.
Do đóa u + P x v 6= x u ∈M d w a v c uv = 0 Chọnu ′ = min{val(a u )+wãu | x u ∈ M d w }.
Trong bài viết này, chúng ta xem xét mối quan hệ giữa các giá trị của các biểu thức toán học, cụ thể là val(a u ′ + P x u′ 6= x v ∈M d w a v c vu ′ ) và val(0) Nếu val(a u ′ ) khác val( P x u′ 6= x v ∈M d w a v c vu ′ ), theo Mệnh đề 2.1.6, ta có thể kết luận rằng val(a u ′ + P x u′ 6= x v ∈M d w a v c vu ′ ) sẽ nhỏ hơn vô cùng, điều này dẫn đến mâu thuẫn Do đó, ta có val(a u ′ ) bằng val( P x u′ 6= x v ∈M d w a v c vu ′ ) Kết quả là tồn tại một u ′ khác với u 0 sao cho x u 0 thuộc vào tập hợp đã đề cập.
M d w để val(a u 0c u 0 u ′) = val(a u 0) + val(c u 0 u ′) ≤ val(a u ′ ) Nhưng val(a u 0) + val(c u 0 u ′) + w.u ′ ≤ val(a u ′ ) + w.u ′ ≤ val(a u 0) + w.u0, mâu thuẫn với in w (f u 0) = x u 0 Do đó dim k M d w ≤ dimKId.
Bổ đề 2.2.11 nêu rằng, cho I ⊆ SK = K[x] là một iđêan thuần nhất và w ∈ Γ n+1 val, không gian véc tơ sinh bởi các đơn thức trong in w (I)d Các đơn thức x u bậc d không thuộc in w (I)d tạo thành một K-cơ sở cho (SK/I)d Hơn nữa, dim k in w (I)d bằng dimKId.
Chứng minh rằng tập hợp các đơn thức bậc d, ký hiệu là Bd, không chứa trong lý thuyết lý thuyết I Đầu tiên, chúng ta cần chỉ ra rằng ảnh của Bd trong không gian (SK/I)d là độc lập tuyến tính trong K, từ đó suy ra rằng dim K inw(I)d ≥ dim K Id Điều này cho thấy mối quan hệ giữa các đơn thức bậc d và không gian đa thức.
(SK/I)d là một không gian vector phụ thuộc tuyến tính, trong đó f = P x u ∈ B d c u x u ∈ Id với c u khác 0 Tuy nhiên, in w(f) thuộc in w(Id), mà in w(Id) được sinh ra từ các đơn thức của nó Do đó, mọi hạng tử của in w(f) đều nằm trong in w(Id), điều này mâu thuẫn với mọi hạng tử của f trong B d Kết luận là ảnh của B d trong (SK/I)d là độc lập tuyến tính trong K, và dim K in w(Id) = dim K(Sd)d - dim B d.
Mặt khác, inw(I)d sinh bởi các đơn thức của nó và từ Bổ đề 2.2.10 nên ta có dim k inw(I)d ≤dim K Id Vậy dim k inw(I)d = dim K Id.
Bổ đề 2.2.12 khẳng định rằng với w ∈ Q n+1, in w (I) là một iđêan sinh bởi các đơn thức Nếu v ∈ Q n+1, thì với mọi ǫ đủ nhỏ, in w (I) sẽ bằng M ǫ, trong đó M ǫ là iđêan sinh bởi các đơn thức trong in w +ǫ v(I).
Chứng minh rằng cho in w (I) =< x u i | i = 1, , s >, từ Bổ đề 2.2.7, tồn tại fi ∈ I sao cho x u i = inw(fi) Do đó, inv(x u i ) = inv(inw(fi)) Theo Bổ đề 2.2.8, tồn tại ǫi sao cho in v (x u i ) = in v (in w (fi)) = in w +ǫ v (fi) với mọi ǫ < ǫi Bằng cách chọn ǫ < min{ǫ i | i = 1, , n}, ta suy ra in w (I) ⊆ in w +ǫ v (I).
Kí hiệu M ǫ là iđêan sinh bởi các đơn thức trong inw +ǫ v(I) Khi đó với mọi d, ta có in w (I)d ⊆ M d ǫ và vì vậy dim k in w (I)d ≤ dim k M d ǫ ≤dim k Id theo
Bổ đề 2.2.10 Từ Bổ đề 2.2.11 ta có M d ǫ = in w (I)d, với mọi d.
Bổ đề 2.2.13 Cho w ∈ Q n+1 sao cho inw(I) là một iđêan sinh bởi tất cả các đơn thức Giả sử rằng v ∈ Q n+1 Khi đó với mọi ǫ đủ nhỏ, ta có in w (I) = in w +ǫ v(I).
Chứng minh Từ Bổ đề 2.2.12, với mọi ǫ đủ nhỏ, ta có in w (I) = M ǫ , trong đó M ǫ là iđêan sinh bởi các đơn thức trong in w +ǫ v(I).
Phức Gr¨obner
Định nghĩa 2.3.1 Cho I là iđêan của K[x] Khi đó
C w (I) := CI[w] = {w ′ | inw ′(I) =inw(I)} được gọi là một nón Gr¨obner của I.
Ví dụ 2.3.2 Chof = 3x+8y+6z ∈ Q[x, y, z]trong đóQcó định giá3-adic và cho I = hfi Cố định w = (1,1,1) Khi đó Trop(f)(w) = min(2,1,2) 1, vì vậy in w (f) = 1/3(9x+ 24y+ 18z) = 2y ∈ Z/3Z[x, y, z] Khi đó
CI[w] được định nghĩa là tập hợp các điểm w′ ∈ R³ thỏa mãn điều kiện w′₁ + 1 ≥ w′₂ và w′₃ + 1 ≥ w′₂ Nếu w′ thuộc CI[w], thì ta có thể biểu diễn nó dưới dạng w′ + λ(1,1,1) với λ ∈ R bất kỳ Miền CI[w] được thể hiện bằng vùng màu đậm trong Hình 2.1 bên trái, nơi các lớp trong R³/R(1,1,1) được chọn với hệ số không cuối cùng Hình 2.1 bên phải minh họa các ý tưởng khởi đầu của I và các miền tương ứng CI[w].
Nếu I là iđêan thuần nhất trong K[x0, , xn], thì in w + λ1(I) = inw(I) với λ ∈ R bất kỳ, trong đó 1 = (1, , 1) Tập hợp CI[w] là một đa diện Γ-hữu tỷ, và không gian tuyến tính chứa đường thẳng R1 Nếu in w(I) không phải là iđêan đơn thức, thì tồn tại w′ ∈ Γ n+1 sao cho in w′(I) là một iđêan đơn thức, và CI[w] trở thành một mặt của đa diện CI[w′].
Từ Định lý 2.2.14, tồn tại một số v ∈ Q n sao cho in v (in w (I)) là một iđêan đơn thức và in w +ǫ v (I) = in v (in w (I)) với ǫ > 0 đủ nhỏ Cố định ǫ và đặt w ′ = w + ǫv, ta có inw ′(I) = (x u 1 , ,x u s ) Do inw ′(I) là đơn thức, theo Bổ đề 2.2.11, các đơn thức x a không nằm trong in w ′ (I) tạo thành một.
K-cơ sở của SK/I Do đó, x u i = P x a 6∈in w′ (I) ci ax a + gi với một số gi ∈ I.
Do vậy, gi = x u i − P x a 6∈in w′ (I) ci ax a Khi in w ′ (gi) ∈ in w ′ (I) và in w ′ (I) là đơn thức, mọi hạng tử của in w ′(gi) nằm trong in w ′(I) Bằng cách xây dựng gi, in w ′(gi) = x u i Tương tự, ta có inv(inw(gi)) = x u i Do đó, đa thức {g 1 , g2, , gs} tạo thành cơ sở Gr¨obner đối với I đối với w ′ Để chứng minh Định lý 2.3.4, ta cần các Bổ đề sau.
CI(w ′ ) = {z |zãui ≤val(ci a)+zãa và x a là một hạng tử của gi, i= 1, , s}
Giả sử w 0 ∈ CI(w ′ ) nhưng không thỏa mãn bất đẳng thức zãu i ≤ val(ci a) + zãa, ta có w 0 ãu i > val(ci a) + w 0 ãa, dẫn đến inw 0 (gi) 6= x u i Khi inw 0 (gi) ∈ inw 0 (I) = inw ′(I) và inw ′(I) là đơn thức, mỗi số hạng của in w 0(gi) nằm trong in w ′ (I), gây mâu thuẫn với việc xây dựng của gi Do đó, CI(w ′ ) ⊆ {z | zãu i ≤ val(ci a) + zãa và x a là một số hạng của gi, i = 1, , s}.
Giả sử w 0 ãu i < val(ci a) + w 0 ãa với mọi i, ta có in w 0(gi) = x u i cho mọi i Do đó, in w ′(gi) = in w 0(gi) ∈ in w 0(I) với mọi i, dẫn đến in w ′(I) ⊆ in w 0(I) Theo Hệ quả 2.2.15, hai ý tưởng có cùng hàm Hilbert, do đó chúng bằng nhau, và kết luận rằng w 0 ∈ CI[w ′].
Chú ý rằng các đa thức {inw(g1),inw(g2), ,inw(gs)} tạo thành cơ sở Gr¨obner của inw(I) đối với v Khi đó ta có Bổ đề sau
Bổ đề 2.3.6 Nếu w 0 ∈ CI[w] thì ta có in w 0(gi) = in w (gi), với mọi i = 1, , s.
Chứng minh rằng nếu \( w_0 \in CI[w] \), thì \( in_{w_0}(I) = in_w(I) \) Nếu \( in_{w_0}(g_i) \leq in_w(g_i) \), thì \( in_{w_0}(g_i) - in_w(g_i) \in in_w(I) \) và do đó \( in_v(in_{w_0}(g_i) - in_w(g_i)) \in inv(in_w(I)) \) Vì \( inv(in_w(I)) = in_w'(I) \) là một đơn thức, mọi hạng tử \( inv(in_{w_0}(g_i) - in_w(g_i)) \) nằm trong \( in_w'(I) \) Qua việc xây dựng \( g_i \), ta có \( inv(in_{w_0}(g_i) - in_w(g_i)) = x u_i \), dẫn đến \( x u_i \) không phải là số hạng của \( in_{w_0}(g_i) \) hoặc \( in_w(g_i) \) Từ \( inv(in_w)(g_i) = x u_i \), suy ra \( x u_i \) là số hạng của \( in_w(g_i) \) và do đó không phải là số hạng của \( in_{w_0}(g_i) \) Qua việc xây dựng \( g_i \), mọi số hạng của \( in_{w_0}(g_i) \) không nằm trong \( in_w'(I) \) Vì \( in_w'(I) \) là đơn thức, \( in_{w_0}(g_i) \in in_{w_0}(I) \) gây mâu thuẫn vì mọi hạng tử \( in_{w_0}(g_i) \in in_{w_0}(I) = in_w'(I) \) là vô lý Do đó, \( in_{w_0}(g_i) = in_w(g_i) \) với mọi \( i = 1, \ldots, s \).
Bổ đề 2.3.7 Nếu in w 0(gi) = in w (gi) với mọi i = 1, , s thì w 0 ∈ CI[w].
Chứng minh rằng từ các đa thức {inw(g1), inw(g2), , inw(gs)} tạo thành cơ sở Gr¨obner của inw(I) đối với v Do đó, inw(I) = (inw(g1), inw(g2), , inw(gs)) với I là thuần nhất, dẫn đến inw(I) ⊆ inw₀(I) Theo Hệ quả 2.2.15, hai iđêan có cùng hàm Hilbert, do đó chúng bằng nhau và ta kết luận w₀ ∈ CI[w].
Bổ đề 2.3.8 CI[w] là một mặt của CI[w ′ ].
Chứng minh rằng F là tập hợp các điểm z thỏa mãn điều kiện zãu i = val(ci a) + zãa cho mọi i và các số hạng x a của inw(gi) Đồng thời, zãu i cũng phải nhỏ hơn val(ci a) + zãa với mọi i và các số hạng x a của gi, nhưng không thuộc số hạng của in w(gi) Do đó, F sẽ trở thành một mặt của CI[w ′ ].
Từ Bổ đề 2.3.6, Bổ đề 2.3.7 và cách xây dựng gi thì CI[w] = F.
Cuối cùng, với bất kỳ đa thức thuần nhất f ∈ K[x0, , xn], ta có in w (f) = inw + λ1(f) với mọi λ ∈ Γval Từ các ý tưởng khởi đầu của I sinh bởi các đa thức thuần nhất và theo Bổ đề 2.2.7, ta suy ra inw(I) = inw + λ1(I) với mọi λ ∈ Γval Do đó, CI[w] = CI[w] + R1, dẫn đến kết luận rằng không gian tuyến tính của các đa diện CI[w] chứa đường thẳng R1.
Mọi đa diện trong R n+1 có thể được biểu diễn dưới dạng P = {x ∈ R n+1 : Ax ≤ b}, với A là ma trận d×(n+1) và b ∈ R d P được gọi là Γval-hữu tỷ khi các phần tử của A là hữu tỷ và b thuộc Γ d val, điều này đảm bảo rằng tất cả các mặt pháp tuyến của P là véc tơ trong Q n+1 và các đỉnh của P là phần tử của Γ n+1 Một phức đa diện Σ được coi là Γval-hữu tỷ nếu mọi đa diện trong Σ đều thỏa mãn tính chất này Theo định lý 2.3.9, với một iđêan thuần nhất I ⊆ K[x0, , xn], tập hợp {CI[w] : w ∈ Γ n+1 val} tạo thành một phức đa diện Γval-hữu tỷ hữu hạn trong không gian n chiều R n+1 /R1.
Chứng minh Từ Định lý 2.3.4, ta suy ra điều phải chứng minh.
Phức Gr¨obner là phức đa diện của Định lý 2.3.9, trong đó trường thặng dư k là trường con của K và I được định nghĩa trên k Khi I ⊆ C[x0, , xn], phức Gr¨obner trở thành quạt đa diện hữu tỷ, được gọi là quạt Gr¨obner Nghiên cứu về chủ đề này có thể tìm thấy trong tài liệu Gr¨obner thông thường như [15], [6], [3, Chương 2] hoặc [10, Chương 2].
Không gian tuyến tính của phức đa diện Σ được xác định là không gian con L lớn nhất, trong đó nếu u thuộc σ (với σ thuộc Σ) và l thuộc L, thì tổng u+l cũng thuộc σ Theo Chú ý 2.3.3, điều này dẫn đến việc R1 trở thành không gian tuyến tính của phức Gr¨obner.
Ví dụ 2.3.10 Cho I = hy 2 z −x 3 − x 2 z −p 4 z 3 i ⊆ Q[x, y, z], trong đó Q có định giá p-adic với số nguyên tố p Với f = y 2 z−x 3 −x 2 z−p 4 z 3 , ta có Trop(f) = min(2y + z,3x,2x + z,3z + 4) Phức Gr¨obner được minh họa trong Hình 2.2.
Việc xây dựng phức Gr¨obner và quỹ tích tuyến tính của hàm nhiệt đới cho thấy rằng phức đa diện là phân chia chính quy Khái niệm này được phát triển bởi Gelfand, Kapranov và Zelevinsky.
7], ở đây, phân chia chặt; xem thêm [12, Chương 5].
Bổ đề 2.3.12 Cho I là iđêan thuần nhất trong S = K[x0, , xn] Có hữu hạn các iđêan đơn thức khởi đầu khác nhau in w (I) như w chạy trên Γ n+1 val
Giả sử I có vô hạn các iđêan đơn thức khởi đầu, ta định nghĩa Σ0 là tập hợp tất cả các iđêan này Vì I không phải là iđêan không, ta có thể chọn một phần tử f1 thuộc I Phần tử f1 chỉ có hữu hạn số hạng và mỗi iđêan đơn thức khởi đầu M trong Σ0 đều chứa một số hạng của f1, do đó tồn tại một số hạng m1 của f1 nằm trong vô hạn các iđêan của Σ0 Định nghĩa Σ1 = {M ∈ Σ0 | m1 ∈ M} và J1 = (m1) Bởi vì có vô hạn các iđêan đơn thức khởi đầu chứa J1, nên tồn tại một số iđêan khởi đầu thực sự chứa J1.