Cơ sở grobner trong hình học nhiệt đới

Tôi cũng xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới các thầy cô giáo của trườngĐại học Thái Nguyên, Viện Toán học, những người đã tận tình giảng dạy,khích lệ, động viên tôi vượt qua những khó kh

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

—————————————————

ĐÀO THỊ HOÀI THƯƠNG

HÌNH HỌC NHIỆT ĐỚI

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên – 2016

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

—————————————————

ĐÀO THỊ HOÀI THƯƠNG

HÌNH HỌC NHIỆT ĐỚI

Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ

Mã số: 60.46.01.04

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học

TS HOÀNG LÊ TRƯỜNG

Thái Nguyên – 2016

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan rằng nội dung trình bày trong luận văn này là trungthực, không trùng lặp với các đề tài khác và các thông tin trích dẫn trongluận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc

Thái Nguyên, tháng 4 năm 2016

Người viết luận văn

Đào Thị Hoài Thương

Tôi cũng xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới các thầy cô giáo của trườngĐại học Thái Nguyên, Viện Toán học, những người đã tận tình giảng dạy,khích lệ, động viên tôi vượt qua những khó khăn trong học tập.

Tôi xin chân thành cảm ơn Ban lãnh đạo Khoa Sau đại học, Trường Đạihọc Sư phạm – Đại học Thái Nguyên đã tạo mọi điều kiện thuận lợi, giúp

đỡ tôi trong suốt thời gian tôi học tập

Cuối cùng, tôi xin cảm ơn gia đình, người thân và bạn bè đã động viên,ủng hộ tôi để tôi có thể hoàn thành tốt khóa học và luận văn của mình

Thái Nguyên, tháng 4 năm 2016

Người viết luận văn

Đào Thị Hoài Thương

2.1 Định giá 132.2 Cơ sở Gr¨obner 162.3 Phức Gr¨obner 30

Mở đầu

Một lí do cho sự thành công gần đây của hình học nhiệt đới là nó khá

dễ hình dung Điều này phần lớn là bởi vì chúng rời rạc, các đối tượng cócấu trúc tổ hợp của một phức đa diện Mục đích của luận văn này là để giảithích nguồn gốc cấu trúc phức đa diện trong hình học nhiệt đới bằng quanđiểm Gr¨obner trong đại số giao hoán

Trong luận văn này, chúng ta làm việc trên trường K cố định với địnhgiá không âm val : K∗ → R, trong đó K∗ = K − {0} Kí hiệu R = {a ∈

K : val(a) ≥ 0} là vành định giá của K Vành R là vành địa phương vớiiđêan cực đại mval = {a ∈ K | val(a) > 0} và trường thặng dư k = R/m.Với a ∈ R ta kí hiệu ¯ là ảnh của a trong k Đặt Γval ⊆ R là ảnh của định

giá val Nếu Γval 6= {0} thì giả sử 1 ∈ Γval; điều này có thể được đảm bảobằng cách thay thế val bởi một bội dương

Giả sử rằng K là đầy đủ và trong nhiều trường hợp K đóng đại số Khi

đới của X là

Trop(X) = \

f ∈I(X)

Trop(V (f )),

trong đó K[x±11 , , x±1n ] ⊇ I(X) = {f | f (x) = 0 với mọi x ∈ X}

Định lý cơ bản của hình học nhiệt đới như sau

Định lý 0.0.2 Cho X ⊆ Tn ∼= (K∗)n, trong đó K = K, tập Trop(X) bằngbao đóng trong tôpô Euclid trên Rn của tập

val(X) = {(val(x1), , val(xn)) ∈Rn | x = (x1, , xn) ∈ X}

Giả sử tồn tại một chẻ ra của định giá Đó là đồng cấu nhómΓval → K∗ từ

w ∈ Γval đến tw ∈ K∗ với val(tw) = w Nếu K là trường của chuỗi Puiseux

C{{t}} với các hệ số trong C thì chẻ ra để w ∈ Q đến tw ∈ C{{t}} Nếu

K = Qp thì chẻ ra để w ∈ Z đến pw Nếu K là đóng đại số thì sự chẻ raluôn tồn tại; xem [9, Bổ đề 2.1.13]

Với trường K cùng với định giá chẻ ra val, quỹ tích phi tuyến của hàmTrop(f ), với f ∈ K[x±11 , , x±1n ] là quỹ tích của w đạt được nhỏ nhất ítnhất hai lần, và do đó bao đóng của tập các w mà inw(f ) không là một đơnthức Trong trường hợp đa tạp X, nếu định giá trên K không tầm thườngthì Trop(X) được mô tả là bao đóng của w ∈ Γnval mà inw(I(X)) 6= h1i.Hơn nữa, đa tạp nhiệt đới còn có cấu trúc là phức đa diện Để mô tả cấutrúc của quỹ tích phi tuyến Trop(X), chúng ta cần sử dụng lí thuyết cơ sởGr¨obner đối với các iđêan thuần nhất trong vành đa thức Mục đích củaluận văn này là mô tả ứng dụng của lí thuyết cơ sở Gr¨obner trong địnhnghĩa đa tạp nhiệt đới

Luận văn được chia làm hai chương:

Chương 1 trình bày một số kiến thức chuẩn bị về vành phân bậc, các định

lý về đa diện lồi, phức đa diện.

Chương 2 trình bày cụ thể về khái niệm định giá, nhiệt đới hóa từ đó xâydựng cơ sở Gr¨obner và phức Gr¨obner

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này, chúng tôi trình bày lại một số kiến thức cơ bản vềvành phân bậc; định nghĩa và các định lý về đa diện lồi là cần thiết cho việctrình bày các nội dung ở chương 2

Mn, M0 = M, M1 = 0 với mọi n ≥ 1

ii) Cho A = R[x1, , xk] là vành đa thức k biến, có hệ số trong vành R.Khi đó A là vành phân bậc với phân bậc chuẩn tắc như sau A =

∞Mn=0

thì gọi phần tử x của Ri (hoặc Mi) là phần tử thuần nhất bậc i Kí hiệu

i) I1 = hxn+ yn − zni là iđêan thuần nhất của R

ii) I2 = hx + y2i không là iđêan thuần nhất của R

1.2 Tập lồi

Trong phần này, chúng tôi sẽ đưa ra các khái niệm và tính chất cơ bảnliên quan đến tập lồi

Định nghĩa 1.2.1 Với các số thực a0, a1, , an và a = (a0, , an) 6= 0 xétsiêu phẳng affine H = {x ∈ Rn : a0 + a1x1 + + anxn = 0} Phần bù

Rn \ H có hai phần rời nhau

H◦+ = {x ∈ Rn : a0 + a1x1 + + anxn > 0} và

H◦− = {x ∈ Rn : a0 + a1x1 + + anxn < 0}

Các phần rời nhau này được gọi là nửa không gian affine mở xác định bởi

H, và được kí hiệu lần lượt là H◦+ và H◦− tương ứng với dấu dương và âm.Nửa không gian dương (đóng) là

H+ = {x ∈ Rn : a0 + a1x1 + + anxn ≥ 0}

Định nghĩa 1.2.2 Một tập hợp P ⊆ Rn được gọi là một đa diện nếu nó

là giao của một số hữu hạn các nửa không gian affine đóng

Định nghĩa 1.2.3 Một tập lồi S trong Rn là một tập trong Rn sao chovới mọi x1, x2 ∈ S và λ ∈ [0, 1], ta có

λx1 + (1 − λ)x2 ∈ S

Ví dụ 1.2.4

i) Trong R2, các hình đa giác, hình tròn, hình Elip là các tập lồi Trong

R3 thì hình đa diện, hình cầu là các tập lồi

ii) Hình cầu B = {x ∈ Rn : kxk ≤ 1} là tập lồi Thật vậy, với mọi

x, y ∈ B và λ ∈ [0, 1], ta có

k(1 − λ)x + λyk ≤ k(1 − λ)xk + kλyk

= (1 − λ)kxk + λkyk ≤ (1 − λ) + λ = 1

Do đó (1 − λ)x + λy ∈ B

iii) Hình cầu B(a, r) = {x ∈ Rn : kx − ak ≤ r} là một tập lồi (ở đây

a ∈ Rn và r ≥ 0) Thật vậy, với mọi x, y ∈ B(a, r), ∀λ ∈ [0, 1] ta có

kλx + (1 − λ)y − ak = kλ(x − a) + (1 − λ)(y − a)k

riui | 0 ≤ ri ∈ R,

sXi=1

ri = 1}

là bao lồi của X

Ví dụ 1.2.6 Bao lồi của hai điểm x1 và x2 là đoạn thẳng Bao lồi của bađiểm x1, x2, x3 không thẳng hàng là hình tam giác

Định nghĩa 1.2.7 Một tập con khác rỗng P của Rn được gọi là đa diệnlồi nếu tồn tại một tập con hữu hạn X ⊂Rn sao cho conv(X) = P

Định nghĩa 1.2.8 Một nón đa diện trong Rn là bao dương của tập conhữu hạn X = {v1, , vs} trong Rn:

C(X) =pos(v1, , vs) :=

( sXi=1

trong đó A là ma trận cỡ d × n.

Định nghĩa 1.2.9 Một quạt đa diện là tập hữu hạn tất cả các nón đa diệnsao cho giao của hai nón đa diện bất kỳ là một mặt của hai đa diện

Hình 1.1: Quạt đa diện

Hình 1.2: Không là quạt đa diện

Định nghĩa 1.2.10 Cố định một đa diệnP ⊆ Rn Cho một véc tơw ∈ Rn.Đặt

facew(P ) = {x ∈ P | x · w ≤ y · w, với mọi y ∈ P }

Tập facew(P ) được gọi là một mặt của P

Bổ đề 1.2.11 Với mỗi tập hợp X = {u1, , us} ⊆ Rn và w ∈ Rn, đặt

λ = min{w · ui | 1 ≤ i ≤ s},

Xw = {ui ∈ X | w · ui = λ}

Khi đó facew(P ) = conv(Xw), trong đó P = conv(X)

Chứng minh Đầu tiên, ta chỉ ra λ = min{w · u | u ∈ P } Khi đó ta có

u =

sXi=1

riui, với 0 ≤ ri ∈ R,

sXi=1

ri = 1

Lấy tích vô hướng hai vế của biểu thức trên với véc tơ w thì

w · u =

sXi=1

ri(w · ui) ≥

sXi=1

siui, với 0 ≤ ri ∈ R,

sXi=1

ri = 1

Lấy tích vô hướng hai vế của biểu thức trên với véc tơ w thì

w · u =

rXi=1

si(w · ui) =

rXi=1

siλ = λ

Mặt khác, u ∈ conv(Xw) ⊂ conv(X) nên u ∈ conv(X) = P Do đó u ∈ P

và w · u = λ = min{w · v | v ∈ P } Vì vậy w · u ≤ w · v với mọi v ∈ P.Khi đó u ∈ facew(P ) Do đó ta có conv(Xw) ⊆ facew(P )

Ngược lại, cho u ∈ facew(P ) Khi đó ta có w · u = λ Do u ∈ P, ta có

u =

sXi=1

riui, với 0 ≤ ri ∈ R,

sXi=1

ri = 1

Lấy tích vô hướng hai vế của biểu thức trên với véc tơ w thì

λ = w · u =

sXi=1

ri(w · ui)

Vì

rXi=1

riλ = 0 Vì thế

sPi=r+1

ri = 0

Do đó ri = 0 với mọi i = r + 1, , s Do đó ta cóu =

rPi=1

riui ∈ conv(Xw)

Vì vậy facew(P ) = conv(Xw)

Nhận xét 1.2.12 Từ Bổ đề 1.2.11, facew(P ) là một đa diện Ngoài ra,facew(P ) là một đa diện vì nó là giao của P với siêu phẳng

x · w = min{x · w | x ∈ P }

Bổ đề 1.2.13 Cho F = facew(P ) là một mặt của đa diện lồi P và cho

F0 = facev(F ) là một mặt của đa diện lồi F Khi đó F0 là một mặt của P.Hơn nữa, với một  > 0 đủ nhỏ, ta có

F0 = facew+v(P )

Chứng minh Giả sử rằng một tập hữu hạn X thỏa mãn P =conv(X) Cho

λ = min{w · u | u ∈ X}, Xw = {u ∈ X | u · w = λ}, λ0 = min{v · u |

u ∈ Xw} và Xw,v = {u ∈ Xw | v · u = λ0} Cho  là một số thực thỏa mãnđiều kiện

0 <  < min{|λ − w · a| | a ∈ X − Xw}

max{|λ0− v · a| | a ∈ X − Xw}.

Từ Bổ đề 1.2.11, ta có F = facew(P ) = conv(Xw) và F0 = facev(F ) =

conv(Xw,v) Hơn nữa, với mọi u ∈ Xw,v, ta có w · u + v · u = λ + λ0 Do

F0 = facew+v(P ).

Định nghĩa 1.2.14 Phức đa diện là tập hữu hạn Σ của đa diện thỏa mãnhai điều kiện sau

i) Nếu P ∈ Σ thì mặt bất kỳ của P nằm trong Σ

ii) Nếu P và Q nằm trong Σ thì P ∩ Q hoặc là rỗng hoặc là một mặt của

của f là đa diện

Newt(f ) = conv(u : cu 6= 0) ⊂ Rn

i) val(a) = ∞ nếu và chỉ nếu a = 0;

ii) val(ab) = val(a) +val(b);

iii) val(a + b) ≥ min{val(a),val(b)} với mọi a, b ∈ K∗

Ảnh của ánh xạ hàm được kí hiệu là Γval Ta thường giả sử nhóm Γval

Định nghĩa 2.1.2 Vành thương k = Rval/mval là một trường, được gọi làtrường thặng dư của (K,val).

Ví dụ 2.1.3 Xét định giá p-adic trên trường K = Q các số hữu tỷ Giả sử

p là số nguyên tố, ánh xạ val : Q → R được xác định bởi valp(q) = k với

q = pka/b, trong đó a, b ∈ Z và p không chia hết a và b là một định giá.Thật vậy, từ các giả thiết đã cho ta thấy

+ q = 0 nếu và chỉ nếu valp(q) = ∞

+ Với mọi q1, q2 ∈ Q, ta có q1 = pk1a1/b1 với a1, b1 ∈ Z và p -a1 hoặc p- b1,

q2 = pk2a2/b2 với a2, b2 ∈ Z và p - a2 hoặc p- b2

Vì p - a1 và p - a2 nên p - (a1a2), p - b1 và p - b2 nên p - (b1b2) Do đó

q1q2 = pk1 +k 2(a1a2)/(b1b2) với a1, a2, b1, b2 ∈ Z,p - (a1a2) hoặc p- (b1b2) Vìvậy

valp(q1q2) = k1 + k2 = valp(q1) +valp(q2)

val2(120) = val2(12) +val2(10) = 3

Nhận xét 2.1.4 Vành địa phương Rvalp là vành địa phương hóa của các sốnguyên Z tại (p) nguyên tố Các phần tử của nó là các số hữu tỷ a/b trong

đó p không chia hết cho b Iđêan tối đại mvalp bao gồm các số hữu tỷ a/b

trong đó p chia hết cho a nhưng không chia hết cho b Trường thặng dư k

là trường hữu hạn với p phần tử được kí hiệu là Z/Zp

Ví dụ 2.1.5 Cho K là trường của chuỗi Puiseux với hệ số trong trường sốphức C Các phần tử trong trường này là các chuỗi lũy thừa hình thức

a(t) =

∞Xi=1

aitqi,

trong đó ai là các số phức khác không với mọi i, và q1 < q2 < q3 < là các

số hữu tỷ mà có mẫu số chung Ta sử dụng kí hiệu C{{t}} cho trường củachuỗi Puiseux trên C Ta có thể viết lại như sau

C{{t}} = {

∞Xi=1

aitqi : ai ∈ C, q1 < q2 < ∈ Q,mẫu số chung}

Khi đó val(a) = q1 và lc(a) = a1 Trường C{{t}} có một định giá tự nhiênval : C{{t}} → R được xác định bằng cách lấy một phần tử khác khônga(t) ∈ C{{t}}∗ với số mũ thấp nhất q1 mà xuất hiện trong chuỗi khai triểncủa a(t) Thật vậy,

+ a1(t) = 0 nếu và chỉ nếu val(a1) = ∞

+ Với mọi a1(t), a2(t) ∈ C{{t}}, ta có

a1(t)a2(t) =

∞Xi=1

citbi

trong đó ci =

k=1,∞,j=1,∞

(a1k + a2j), a1k = a2j = bi ∈ Q, có mẫu số chung.

Do đó

val(a1 + a2) = b1 = min{a11, a21} = min{val(a1),val(a2)}

Mệnh đề 2.1.6 Nếu val(a) 6= val(b) thì val(a + b) = min{val(a), val(b)}

Chứng minh Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử rằng val(b) >

val(a) Vì 12 = 1 nên val(1) = 0 và vì vậy (−1)2 = 1 suy ra val(−1) = 0

Do đó val(−b) = val(b) với mọi b ∈ K Từ tiên đề thứ ba suy ra

val(a) ≥ min{val(a + b),val(−b)} = min{val(a + b),val(b)},

do đó val(a) ≥ val(a + b) Nhưng val(a + b) ≥ min{val(a),val(b)} = val(a)

nên val(a + b) = val(a)

Giả sử rằng ánh xạ val : K∗ → Γval chẻ ra với φ : Γval → K∗ ta kí hiệu

φ(w) = tw Nếu val(a) ≥ 0 thì a nằm trong vành định giá Rval của K, ta

kí hiệu ¯ là ảnh của a trong trường thặng dư k

Định nghĩa 2.2.2 Dạng khởi đầu inw(f ) được định nghĩa như sau

Nếu w = (2, 0, 0) thì Trop(f, w) = min{2, 2, 3} = 2 Vì vậy inw(f ) =

bx1 + cx2 ∈ Q[x0, x1, x2] Khi đó Trop(f )(w) = min{val(a) + w0,val(b) +

w1,val(c) + w2} Khi đó ta có các trường hợp dưới đây

+ inw(f ) = at−val(a)x0 khi w ∈ S0 = {w | val(a) + w0 < val(b) +

w1;val(a) + w0 < val(c) + w2}

+ inw(f ) = bt−val(b)x1 khi w ∈ S1 = {w | val(b) + w1 < val(a) +

w0;val(b) + w1 < val(c) + w2}

+ inw(f ) = ct−val(a)x2 khi w ∈ S2 = {w | val(c) + w2 < val(b) +

w1;val(c) + w2 < val(a) + w0}

+ inw(f ) = at−val(a)x0 + bt−val(b)x1 khi w ∈ S3 = {w | val(a) + w0 =

val(b) + w1;val(a) + w0 < val(c) + w2}

+ inw(f ) = at−val(a)x0 + ct−val(c)x2 khi w ∈ S4 = {w | val(a) + w0 <

val(b) + w1;val(a) + w0 = val(c) + w2}

+ inw(f ) = bt−val(b)x1 + ct−val(c)x2 khi w ∈ S5 = {w | val(b) + w1 <

val(a) + w0;val(b) + w1 = val(c) + w2}

Định nghĩa 2.2.4 Tập hợp G = {g1, , gs} ⊆ I là một cơ sở Gr¨obner của

I đối với w nếu iđêan khởi đầu inw(I) = (inw(g1), ,inw(gs))

Trop(f ) = min{Trop(gi) | i ∈ A}.

Chứng minh Ta sử dụng min A = min{min B, min C}nếuA = B ∪C vàA

Ta có

min{Trop(gi) | i ∈ A} = min{min(val(cui) + ui · w)}

Do (2.1) và giả thiết { số hạng của f } = S

j nên

{u : val(cu)+u·w = Trop(f )(w)} = [

i∈B

{u : val(cu)+u·w = Trop(gi)(w)}

Do đó

inw(f ) = X

i∈B

Xu:val(c u )+u·w=Trop(g i )(w)

cut−val(c u )xu

i:Trop(g i )(w)=Trop(f )(w)

inw(gi)

Bổ đề 2.2.7 Cho I ⊆ K[x0, , xn] là một iđêan thuần nhất Cố định

w ∈ Rn Khi đó inw(I) là thuần nhất và ta có thể chọn một cơ sở Gr¨obnerthuần nhất đối với I Hơn nữa, nếu g ∈ inw(I)d thì tồn tại f ∈ Id sao cho

Trop(fi)(w) Vì mỗi thành phần fi thuần nhất tồn tại trong I, iđêan khởiđầu inw(I) được sinh bởi các phần tử inw(f ) với f thuần nhất Do f thuầnnhất nên inw(f ) thuần nhất Vì vậy inw(I) thuần nhất

Ta thấy inw(I) được sinh bởi một số hữu hạn các inw(f ), vì vậy f tươngứng tạo thành một cơ sở Gr¨obner thuần nhất đối với I

Nếu g ∈ inw(I)d thì g = inw(f ) với một số f ∈ Id Thật vậy, cho

v∈Z n(val(cu) +val(t−Wu) +val(bv) + u · w + v · w)

= val(cu) +val(t−Wu) +Trop(fu)(w) + u · w

= 0 − Wu+Trop(fu)(w) + u · w

= −(Trop(fu)(w) + u · w) + +Trop(fu)(w) + u · w

= 0

v:val(cut −Wu bv)+(u+v)·w=Trop(gu)(w)

cut−W ubvt−val(c u t −Wu b v )xu+v

trong đó W = Trop(f )(w) Đặt W0 = Trop(inw(f ))(v) = min{u · v : u :

val(cu) + u · w = W } = min{u · v : val(cu) + u · w = W } Vì vậy, ta có

inv(inw(f )) = X

u:val(c u )+u·w=W và u·v=W 0

cu· t−val(c u )· xu ∈ k[x]

Cho X = {(val(cu), u) | xu là một hạng tử của f }, P = conv(X), F =

face(1,w)(P ) và F0 = face(0,v)(F ) Từ Bổ đề 1.2.13, với mọi  > 0 đủ nhỏ, tacó

Bổ đề 2.2.9 Cho I là iđêan thuần nhất trong K[x0, , xn] và cố định

w ∈ Γn+1val Khi đó với mọi v ∈ Qn+1, tồn tại  > 0 sao cho với mọi 0 < 

ta có

inv(inw(I)) ⊆ inw+0 v(I)

Chứng minh Cho inv(inw(I)) =< gi | i = 1, , s > Áp dụng Bổ đề 2.2.7,tồn tại fi0 ∈ inv(I) sao cho gi = inv(fi0) Tiếp tục áp dụng Bổ đề 2.2.7,tồn tại fi ∈ I sao cho fi0 = inw(fi) Do đó gi = inv(inw(fi)) Từ Bổ đề2.2.8, tồn tại i sao cho gi = inv(inw(fi)) = inw+v(fi) với mọi  < i Chọn

 = min{i | i = 0, , n} Lấy x ∈ inv(inw(I)) Khi đó

αiinv(inw(fi)) =

sXi=1

αiinw+0 v(fi), ∀0 <  ≤ i

Do đó x ∈ inw+0 v(I) Khi đó ta có inv(inw(I)) ⊆ inw+0 v(I) với mọi 0 <



Bổ đề 2.2.10 Cho I ⊂ SK = K[x] là một iđêan thuần nhất và cho w ∈

Γn+1val Cho Mdw là không gian véc tơ sinh bởi các đơn thức trong inw(I)d.Khi đó

dimkMdw ≤ dimKId

Chứng minh Với mỗi đơn thức xu ∈ Mw

d , chọn fu ∈ Id với inw(fu) = xu,theo Bổ đề 2.2.7 Chú ý rằng {fu : xu ∈ Mw

0 = X

x u ∈M w d

aufu = X

x u ∈M w d