8 1.2 Một số bất đẳng thức liên quan đến độ dài của các yếu tố trong tam giác.. 13 1.3 Một số kiến thức sử dụng để chứng minh bất đẳng thức hình học Jack Garfunkel.. Mở đầu1 Lý do chọn đ
Một số bất đẳng thức cơ bản
Định lí 1.1.1 (Bất đẳng thức AM - GM) Cho a 1 , a 2 , , a n là các số không âm.
Khi đó a 1 + a 2 + + a n n ≥ √ n a 1 a 2 a n Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a 1 =a 2 = =a n
Hệ quả 1.1.1 Với a, b, c là các số không âm ta có a 2 +b 2 +c 2 ≥ab+bc+ca ⇔ a 2 +b 2 +c 2 ≥ (a+b+c) 2
3 ≥ab+bc+ca Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b =c.
Hệ quả 1.1.2 Với a 1 , a 2 , a 3 , , a n là các số dương ta có
≥ n 2 Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a 1 =a 2 =a 3 = =a n
Ví dụ 1.1.1 Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác Chứng minh rằng a) 1 a+b−c + 1 b+c−a + 1 c+a−b ≥ 1 a + 1 b + 1 c. b) (a+b−c) (b+c−a) (c+a−b) ≤abc.
Chứng minh. a) Áp dụng bất đẳng thức AM - GM với x, y > 0ta có
Cộng vế với vế ba bất đẳng thức ta có điều cần chứng minh.
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
⇔ a=b =c. b) Áp dụng bất đẳng thức AM-GM với mọi a, b >0 ta có (a+b) 2 ≥ 4ab.
⇔ b 2 ≥ (a+b−c) (b+c−a) Một cách tương tự, ta cũng chứng minh được a 2 ≥(a+b−c) (c+a−b) c 2 ≥(b+c−a) (c+a−b).
Do a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác nên
Vì các vế của ba bất đẳng thức trên đều dương nên nhân vế với vế ba bất đẳng thức ta thu được
Do đó ta có bất đẳng thức cần chứng minh.
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
⇔ a=b =c. Định lí 1.1.2 (Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz) Cho hai dãy số thựca 1 , a 2 , , a n và b 1 , b 2 , , b n Khi đó
. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a 1 b1
. Định lí 1.1.3 (Bất đẳng thức Nesbitt) Cho a, b, c là các số thực dương, ta có a b+c + b a+c + c a+b ≥ 3
2. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a =b= c.
Trong bài ví dụ 1.1.2, xét tam giác ABC có ba đường phân giác AA₀, BB₀, CC₀, và các điểm A₀, B₀, C₀ lần lượt cách các cạnh AB, BC, AC với khoảng cách lần lượt là a₁, b₁, c₁ Mục tiêu của bài là chứng minh bất đẳng thức: a₁ / hₐ + b₁ / h_b + c₁ / h_c ≥ 3, liên hệ giữa các khoảng cách từ các điểm trên đường phân giác đến các cạnh và chiều cao của tam giác, qua đó làm rõ mối liên hệ giữa các khoảng cách này và các chiều cao trong tam giác ABC.
GọiH là chân đường vuông góc hạ từA xuống BC và K là chân đường vuông góc hạ từ A 0 xuống AB Ta có
AB+CA = a b+c. Tương tự ta có b 1 h b = b c+a; c 1 h c = c a+b.
2.Đẳng thức xảy ra khi tam giác ABC đều.
Một số bất đẳng thức liên quan đến độ dài của các yếu tố trong
Một số đẳng thức và bất đẳng thức cơ bản trong tam giác 12
tam giác Định lí 1.2.1 (Bất đẳng thức tam giác) Trong tam giác ABC ta có
Độ dài các cạnh của tam giác thỏa mãn các bất đẳng thức như |b−c| < a < b+c, |c−a| < b < c+a, |a−b| < c < a+b, đảm bảo tính hợp lệ của tam giác Định lý 1.2.2 chỉ ra rằng, trong tam giác ABC, cạnh dài hơn luôn ứng với đường cao, đường trung tuyến hoặc đường phân giác ngắn hơn Theo định lý 1.2.3, trong tam giác ABC, độ dài đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A luôn lớn hơn hoặc bằng độ dài đường phân giác trong, và nhỏ hơn hoặc bằng độ dài đường cao Định lý hàm số sin (1.2.4) cho biết rằng a sinA = b sinB = c sinC = 2R, với R là bán kính vòng ngoại tiếp tam giác Định lý hàm số cosin (1.2.5) mô tả mối liên hệ giữa các cạnh và các góc trong tam giác, cụ thể như a² = b² + c² − 2bc cosA Cuối cùng, diện tích tam giác ABC có thể được tính bằng nhiều công thức khác nhau, tùy thuộc vào dữ liệu sẵn có của các cạnh hoặc góc.
= pr. Định lí 1.2.7 Công thức tính bán kính đường tròn nội tiếp r = (p−a) tan A
2 Định lí 1.2.8 Công thức tính độ dài đường trung tuyến m 2 a = 2 b 2 +c 2
−a 2 4 Định lí 1.2.9 Công thức tính độ dài đường phân giác trong l 2 a = 4bc(b+c) 2 p(p−a)
Một số bất đẳng thức liên quan đến độ dài của các yếu tố
các yếu tố trong tam giác
Ví dụ 1.2.1 Chứng minh rằng nếu a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác thì ta luôn có a 2 +b 2 +c 2 < 2 (ab+bc+ca).
Theo bất đẳng thức tam giác ta có
|c−a| < b ⇔ (c−a) 2 < b 2 Cộng từng vế của các bất đẳng thức trên ta được điều cần chứng minh.
Ví dụ 1.2.2 Chứng minh rằng trong mọi tam giác ta luôn có a−b a+b + b−c b+c + c−a c+a
Ta chứng minh được đẳng thức a−b a+b + b−c b+c + c−a c+a = (a−b) (b−c) (c−a)
. Áp dụng bất đẳng thức tam giác ta có a−b a+b + b−c b+c + c−a c+a
(a+b) (b+c) (c+a). Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta được abc (a+b) (b+c) (c+a) ≤ 1
8. Vậy bất đẳng thức được chứng minh.
Trong bài toán về tam giác ABC, chúng ta gọi các cạnh là a, b, c và các độ dài đường cao tương ứng từ các đỉnh A, B, C là h_a, h_b, h_c; đồng thời, R là bán kính đường tròn ngoại tiếp và S là diện tích tam giác Bài toán yêu cầu chứng minh bất đẳng thức **a^6 h_b^3 + b^6 h_c^3 + c^6 h_a^3 ≥ 96 R S^4**, phản ánh mối liên hệ chặt chẽ giữa các cạnh, đường cao, diện tích và bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác Do đó, phân tích và chứng minh bất đẳng thức này giúp làm rõ các mối liên hệ hình học quan trọng trong tam giác và cung cấp các kiến thức nền tảng cho các bài toán nâng cao về hình học tam giác.
Chứng minh. Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho ba số dương, ta có a 6 h 3 b +b 6 h 3 c +c 6 h 3 a ≥3a 2 h b b 2 h c c 2 h a = 3abc.ah a bh b ch c Lại có ah a bh b ch c = 2S.2S.2S = 8S 3 ;abc = 4RS.
Suy ra a 6 h 3 b +b 6 h 3 c +c 6 h 3 a ≥ 96RS 4 Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
Trong bài toán này, ta xét một tam giác ABC với các cạnh a, b, c và các đường cao hₐ, h_b, h_c tương ứng từ các đỉnh A, B, C Bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác là R, và diện tích của tam giác là S Mục tiêu là chứng minh bất đẳng thức a h_b² + b h_c² + c hₐ² ≥ 3R, qua đó làm rõ mối liên hệ giữa các chiều dài cạnh, các đường cao và bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác.
Chứng minh. Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho ba số dương, ta có a h 2 b + b h 2 c + c h 2 a ≥3 3 s abc h 2 a h 2 b h 2 c = 3abc
Lại có a.h a b.h b c.h c = 8S 3 ; abc= 4RS ⇒ a h 2 b + b h 2 c + c h 2 a ≥ 3.4.RS
S Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
Ví dụ 1.2.5 Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh là a, b, c, S là diện tích.
Khi đó bất đẳng thức đã cho tương đương với xy+yz+zx≥p
⇔x 2 y 2 +y 2 z 2 +z 2 x 2 ≥ xyz(x+y+z) Lần lượt áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho hai số dương, ta có x 2 y 2 +y 2 z 2 ≥2xy 2 z, y 2 z 2 +z 2 x 2 ≥2xyz 2 , z 2 x 2 +x 2 y 2 ≥ 2x 2 yz.
Cộng từng vế ba bất đẳng thức trên, ta được x 2 y 2 +y 2 z 2 +z 2 x 2 ≥xyz(x+y+z).
Dấu đẳng thức xảy ra
Ví dụ 1.2.6 Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh là a, b, c S là diện tích.
Chứng minh rằng ab+bc+ca≥ 4√
Từ bất đẳng thức Ví dụ 1.2.5 ta có a 2 +b 2 +c 2 ≥4√
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi sinA = sinB = sinC ⇔A =B =C.
Nhận xét 1.2.1 Từ bất đẳng thức Ví dụ 1.2.6 ta suy ra được một số bất đẳng thức sau
Khi đó, từ bất đẳng thức Ví dụ 1.2.6 ta suy ra
Ví dụ 1.2.7 Cho tam giác ABC có các cạnh là a, b, c Gọi p là nửa chu vi, S là diện tích Chứng minh rằng p≥ √ 4
2 >0. Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho ba số dương, ta có p−a+p−b+p−c
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi p−a=p−b=p−c⇔ a =b=c.
Trong ví dụ 1.2.8, xét tam giác ABC có các cạnh lần lượt là a, b, c, với p là nửa chu vi, S là diện tích, và r là bán kính đường tròn nội tiếp Chúng ta sẽ chứng minh mối liên hệ giữa các đại lượng này, qua đó làm rõ các đặc điểm hình học và công thức liên quan trong tam giác.
Ta có p−a > 0; p−b >0; p−c > 0. Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho ba số dương, ta có
S 2 Theo Ví dụ 1.2.7 ta có p≥ √ 4
S Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
3r 2 Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi p−a=p−b=p−c⇔ a =b=c.
Ví dụ 1.2.9 Những tam giác nào thoả mãn điều kiện
R trong đó a, b, c là độ dài các cạnh; R, r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác ABC.
16abc ≥ 2√ ab.2√ bc.2√ ca 16.abc = 1
2. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b =c.
⇔ 2R.sinA.sinB.sinC = (sinA+ sinB + sinC).r.
⇔ 2R r = 1 sinB.sinC + 1 sinC.sinA + 1 sinA.sinB. Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho ba số dương, ta có
1 sinB.sinC + 1 sinC.sinA + 1 sinA.sinB ≥ 3
2R r = 1 sinB.sinC + 1 sinC.sinA + 1 sinA.sinB ≥4⇔ r
2. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
1 sinB.sinC = 1 sinC.sinA = 1 sinA.sinB
Như vậy dấu đẳng thức của bài toán xảy ra khi và chỉ khi
Nhận xét 1.2.2 Ngoài cách chứng minh R ≥ 2r ở trên ta có thể chứng minh theo cách sau
Nhận xét 1.2.3 Từ công thức diện tích S =p.r = abc
2 (1.5) Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi sinA = sinB = sinC √3
2 hay tam giác ABC đều.
Ta cũng có a 2 +b 2 +c 2 = sin 2 A+ sin 2 B + sin 2 C
Từ (1.2), (1.4) và (1.6) ta có các kết quả sau
Ví dụ 1.2.10 Chứng minh rằng
Theo công thức diện tích tam giác, ta có
2.S =a.h a =b.h b =c.h c Khi đó theo bất đẳng thức (1.8) ta có
2) Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho ba số dương, ta có
Nhân từ vế các bất đẳng thức (1.8) và (1.10) ta được abc.pRr ≥ 16S 3
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
Ví dụ 1.2.11 Cho tam giác ABC Gọi a, b, c là các cạnh ứng với các đỉnh
A, B, C, h a , h b , h c và l a , l b , l c lần lượt là độ dài các đường cao và độ dài các đường phân giác trong kẻ từ A, B, C, plà độ dài nửa chu vi của tam giác ABC. Chứng minh rằng m a l a +m b l b +m c l c ≥ p 2
Xuất phát từ bất đẳng thức vectơ
(với −→u −→v là tích vô hướng của hai vectơ −→u và −→v) Gọi M là trung điểm của
BC, D là chân đường phân giác trong của góc A Ta có m a l a
Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta được m a l a +m b l b +m c l c ≥ p(p−a) +p(p−b) +p(p−c) =p 2
Ví dụ 1.2.12 Cho tam giácABC Gọi l a , l b , l c lần lượt là độ dài của các đường phân giác trong của các góc A, B, C Chứng minh rằng
1) Từ công thức đường phân giác trong, ta suy ra l a = 2bc b+c.cosA
2 rp(p−a) bc hay l a ≤√ bc. rp(p−a) bc =p p(p−a).
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi b=c.
Tương tự, ta có l b ≤p p(p−b) Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=c. l c ≤p p(p−c) Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b.
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b =c.
3(p−a). Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho hai số dương ta có rp
3 Cộng từng vế ba bất đẳng thức trên ta được l a +l b +l c ≤
2 (a+b+c).Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b =c.
Ví dụ 1.2.13 Cho tam giác ABC Gọi l a , l b , l c lần lượt là độ dài các đường phân giác trong của các góc A, B, C Chứng minh rằng a 2 l 2 b + b 2 l 2 c + c 2 l 2 a ≥4.
Theo công thức đường phân giác trong ta có l a = 2bc b+c.cos A
2. Nhân từng vế các bất đẳng thức trên ta được l a l b l c ≤abc.cosA
3. Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho ba số dương ta có a 2 l b 2 + b 2 l c 2 + c 2 l a 2 ≥3 abc l a l b l c
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
Ví dụ 1.2.14 Trong tam giác ABC bất kì, ta có h a ≤l a , h b ≤l b , h c ≤ l c nên abc l a l b l c ≥ 8
Nhân từng vế của các đẳng thức trên ta được, ta được h a h b h c abc.sinA.sinB.sinC ≤abc3√
Ví dụ 1.2.15 Cho tam giácABC Gọim a , m b , m c lần lượt là độ dài các đường trung tuyến của các góc A, B, C Chứng minh rằng a m a + b m b + c m c ≥ 2√
Theo công thức đường trung tuyến, ta có
3c 2 a 2 +b 2 +c 2 Cộng từng vế của các bất đẳng thức trên ta được a m a + b m b + c m c ≥ 2√
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
Ví dụ 1.2.16 Cho tam giácABC Gọima, mb, mc lần lượt là độ dài các đường trung tuyến ứng với các đỉnh A, B, C Chứng minh rằng m a a + m b b + m c c ≥ 3√
Theo Ví dụ 1.2.15 ta có am a ≤ a 2 +b 2 +c 2
3m 2 c a 2 +b 2 +c 2 Cộng từng vế các bất đẳng thức trên ta được m a a + m b b + m c c ≥ 2√
2 Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
Ví dụ 1.2.17 Cho tam giác ABC Gọi m a , m b , m c lần lượt là độ dài các đường trung tuyến của các góc A, B, C Chứng minh rằng m 2 a −m 2 b b−a + m 2 b −m 2 c c−b + m 2 c −m 2 a a−c >3.√ 4
Từ kết luận của bài toán ta suy ra a6= b, b6= c, c6= a Từ các công thức đường trung tuyến ta suy ra
4(a+c) Cộng từng vế của hệ trên trên ta được m 2 a −m 2 b b−a + m 2 b −m 2 c c−b +m 2 c −m 2 a a−c = 3
Kết hợp các bất đẳng thức a+b+c ≥3√ 3 abc và abc≥ 8S√
Ví dụ 1.2.18 Cho tam giác ABC Chứng minh rằng m 2 a h 2 a +m 2 b h 2 b +m 2 c h 2 c ≥ 9S 2
Theo công thức đường trung tuyến, ta có
2m 2 a h a 2 =b 2 h 2 a +c 2 h 2 a −2S 2 2m 2 b h 2 b =c 2 h 2 b +a 2 h 2 b −2S 2 2m 2 c h 2 c =a 2 h 2 c +b 2 h 2 c −2S 2 Cộng từng vế các đẳng thức của hệ trên ta được
=b 2 h 2 a +c 2 h 2 a +c 2 h 2 b +a 2 h 2 b +a 2 h 2 c +b 2 h 2 c −6S 2 Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho sáu số dương, ta có b 2 h 2 a +c 2 h 2 a +c 2 h 2 b +a 2 h 2 b +a 2 h 2 c +b 2 h 2 c ≥ 6(ah a bh b ch c ) 4 6 = 24S 2
≥ 24S 2 −6S 2 = 18S 2 hay m 2 a h 2 a +m 2 b h 2 b +m 2 c h 2 c ≥ 9S 2 Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi b 2 h 2 a =c 2 h 2 a = c 2 h 2 b =a 2 h 2 b =a 2 h 2 c =b 2 h 2 c
Ví dụ 1.2.19 Cho tam giác ABC Chứng minh rằng m 3 a h b +m 3 b h c +m 3 c h a ≥9S 2
Theo công thức đường trung tuyến, ta có m 2 a = 2b 2 + 2c 2 −a 2
Tương tự ta có m 2 b ≥ p(p−b), m 2 c ≥ p(p−c). Nhân từng vế các bất đẳng thức trên ta được
(ma.mb.mc) 2 ≥p 3 (p−a) (p−b) (p−c) = (p.S) 2 Khi đó, theo bất đẳng thức AM-GM, ta có m a m b m c ≥p.S ≥ 3
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho ba số dương kết hợp với bất đẳng thức trên, ta có m³a h b + m³b h c + m³c h a ≥ 3m a m b m c (h a h b h c)^{1/3} ≥ 9S² Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi m³a h b = m³b h c = m³c h a, tức là a = b = c, đảm bảo điều kiện của bất đẳng thức đạt trạng thái cực tiểu.
Ví dụ 1.2.20 Cho tam giác ABC Chứng minh rằng a 2 m b h c +b 2 m c h a +c 2 m a h b ≥ 12S 2
Theo Ví dụ 1.2.19 ta có m a m b m c ≥p.S ≥ 3
Kết hợp với bất đẳng thức abc ≥ 8S√
Mặt khác ta có aha.bhb.chc = 8S 3 , abc ≥ 8S√
27 Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho ba số dương và kết hợp các bất đẳng thức trên ta được a 2 m b h c +b 2 m c h a +c 2 m a h b ≥3.
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
Ví dụ 1.2.21 Cho tam giác ABC Chứng minh rằng
3r 2 Mặt khác theo công thức đường trung tuyến, ta có m 2 a = 2b 2 + 2c 2 −a 2
Tương tự ta có m 2 b ≥p(p−b) và m 2 c ≥ p(p−c).
1 r a 2 + 1 r b 2 + 1 r c 2 ≥ 1 m 2 a + 1 m 2 b + 1 m 2 c Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b =c.
Một số kiến thức sử dụng để chứng minh bất đẳng thức hình học
Khái niệm hàm lồi
Hàm số \(f : I(a, b) \to R\) được gọi là hàm lồi trên tập hợp \(I(a, b)\) nếu, với mọi điểm \(x_1, x_2 \in I(a, b)\) và mọi hệ số thực \(\alpha_1, \alpha_2 \ge 0\) sao cho \(\alpha_1 + \alpha_2 = 1\), thì bất đẳng thức \(\alpha_1 f(x_1) + \alpha_2 f(x_2) \geq f(\alpha_1 x_1 + \alpha_2 x_2)\) luôn đúng Điều này có nghĩa là điểm trung bình trên mặt phẳng có hàm số nhỏ hơn hoặc bằng trung bình các giá trị của hàm số tại các điểm đó Nếu hàm số \(f\) là hàm lồi trên \(I(a, b)\), thì hàm \(g = -f\) được gọi là hàm lõm trên cùng tập hợp này.
Các ví dụ về hàm lồi
a) Hàm y =f(x) =c (c= const) là lồi trên toàn bộ trục số R. b) Hàm y =f(x) =x 2 là lồi trên toàn bộ R.
Thật vậy ∀x 1 , x 2 ∈R và mọi cặp số thực α 1 , α 2 ≥0, α 1 +α 2 = 1 ta đều có
Một số tính chất cơ bản của hàm lồi
Tính chất 1.3.1 Giả sử f 1 (x), f 2 (x), , f n (x) là các hàm lồi xác định trên
I(a, b).Cho λ i >0 ∀i = 1, n Khi đó hàm số λ1f1(x) +λ2f2(x) +ã ã ã+λnfn(x) cũng là hàm số lồi trên I(a, b).
Nếu hàm số f(x) liên tục và lồi trên khoảng I(a, b), thì việc phối hợp với các hàm g(x) có tính chất phù hợp sẽ giữ nguyên tính lồi hoặc lõm Cụ thể, nếu g(x) là hàm lồi và đồng biến trên tập giá trị của f(x), thì hàm compositions g(f(x)) cũng là hàm lồi trên I(a, b) Ngược lại, nếu g(x) là hàm lõm và nghịch biến trên tập giá trị của f(x), thì hàm g(f(x)) sẽ là hàm lõm trên cùng khoảng này.
Bất đẳng thức hình học Jack Garfunkel 34
Lịch sử vấn đề
2.1.1 Lịch sử ra đời của bất đẳng thức hình học Jack
Năm 1966, nhà toán học Mỹ Jack Garfunkel đã thực hiện một thí nghiệm độc đáo bằng cách chọn ngẫu nhiên 500 tam giác để kiểm tra xem có quy luật chung nào liên quan đến các yếu tố của tam giác như cạnh, trung tuyến, phân giác, đường cao hay không Kết quả của nghiên cứu phát hiện ra một mối liên hệ giữa các cạnh và các đường đặc biệt trong tam giác, cụ thể là: Nếu \(a, b, c\) là các cạnh của tam giác \(\Delta ABC\), và \(h_a\), \(m_b\), \(l_c\) là đường cao hạ xuống cạnh \(a\), trung tuyến ứng với cạnh \(b\), và phân giác trong của góc \(C\), thì luôn tồn tại mối quan hệ \(\ ha + mb + lc \leq \) (tiếp theo phần dễ bị thiếu hoặc chưa hoàn chỉnh của đề bài).
Vấn đề chính là xác định xem giả thuyết của Jack Garfunkel có đúng hay sai Sau gần một thập kỷ nghiên cứu, năm 1975, nhà toán học C.S Gardner của Mỹ đã thành công trong việc chứng minh rằng giả thuyết của Garfunkel là chính xác.
Hiện nay có nhiều bất đẳng thức liên quan đến nhà toán học Jack Garfunkel.
Luận văn chỉ đề cập đến một bất đẳng thức là h a +m b +l c ≤
2 (a+b+c) nên luận văn xin được phép gọi bất đẳng thức này là “Bất đẳng thức hình họcJack Garfunkel”
2.1.2 Mô tả thí nghiệm của Jack Garfunkel
Trong bài viết này, tác giả đã sử dụng phần mềm Geometer’s Sketchpad để mô phỏng lại thí nghiệm của Jack Garfunkel, giúp trực quan hóa các phép tính hình học Dữ liệu đầu vào gồm độ dài của ba cạnh của tam giác để đảm bảo tính chính xác của mô phỏng Kết quả đầu ra bao gồm tổng độ dài ba cạnh, tổng độ dài các đường cao, đường phân giác, và đường trung tuyến xuất phát từ các đỉnh khác nhau của tam giác ban đầu Quá trình so sánh các kết quả này giúp hiểu rõ hơn về mối quan hệ giữa các yếu tố trong hình học tam giác, đồng thời nâng cao khả năng trực quan và phân tích của người học.
Kết quả thí nghiệm chỉ ra rằng, khi thay đổi vị trí các đình tương ứng với các tam giác có độ dài các cạnh khác nhau, đều dẫn tới bất đẳng thức hình học Jack Garfunkel Hàm dấu trong hình thể hiện rõ ràng rằng, nếu bất đẳng thức đúng, hàm sẽ trả về giá trị 1; nếu hai vế bằng nhau, hàm trả về 0; và nếu bất đẳng thức sai, hàm sẽ trả về -1 Điều này cho thấy tính nhất quán của bất đẳng thức hình học trong các tình huống khác nhau dựa trên độ dài các cạnh của tam giác.
Hình 2.1: Trường hợp tam giác đều
Hình 2.2: Trường hợp tam giác vuông cân
Hình 2.3: Trường hợp tam giác cân
Hình 2.4: Trường hợp tam giác vuông
Hình 2.5: Trường hợp tam giác thường
Bất đẳng thức hình học Jack Garfunkel và cách chứng minh
Bất đẳng thức hình học Jack Garfunkel phát biểu như sau:
Trong tam giác ABC, các phần tử như đường cao hₐ xuống cạnh a, trung tuyến m_b ứng với cạnh b, và phân giác trong l_c của góc C đóng vai trò quan trọng trong việc xác định mối quan hệ giữa các yếu tố hình học Khi tổng các yếu tố này, cụ thể là hₐ + m_b + l_c, luôn thỏa mãn bất đẳng thức nhất định, giúp ích cho việc phân tích và chứng minh các tính chất của tam giác.
2.2.1 Cách chứng minh của C.S Gardner Đặt a =u+x, b=u−x, c= 2v, trong đó u 6= 0, |x| < v.
Từ công thức đường phân giác trong tam giác l c = 2 a+b pabp(p−c) suy ra l 2 c = 4 (a+b) 2 ab.a+b+c
= u 2 −v 2 + v 2 u 2 −1 x 2 ≤ u 2 −v 2 Đẳng thức xảy ra khi x= 0 (tức là a=b).
Theo công thức tính độ dài đường trung tuyến trong tam giác ta có m 2 a = 2 b 2 +c 2
Như vậy ta có f (x) = 2m a , f(−x) = 2m b Mặt khác f 0 (x)
Khi đó f (x) là hàm lồi Áp dụng bất đẳng thức hàm lồi ta được m a +m b = 1
Bổ đề 2.2.1 Giả sử a+b ≤2c Khi đó ta có m a +m b +l c ≤
2 (a+b+c) và đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b =c.
Chứng minh. Để chứng minh Bổ đề ta phải chứng minh rằng
3 (u+v) (2.3) và đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi u = 2v.
Thật vậy bình phương hai vế của (2.3) ta được
Vì u > v và u≤ 2v hay 1< y ≤ 2nên bất đẳng thức sau tương đương với
≤ y 2 + 6y −4 2 hay là (2−y) 3 (2 +y) ≥0. Điều này là hiển nhiên do 1< y ≤2 Vậy bổ đề được chứng minh.
Có thể kiểm tra được rằng với giả thiết a+b ≤ 2c ta có h a ≤ l a ≤ m a nên từ
Bổ đề ta suy ra được rằng h a +m b +l c ≤
Trong bài viết này, chúng ta khám phá điều kiện của bất đẳng thức hình học liên quan đến các biến a, b, c, cụ thể là điều kiện 2(a+b+c) khi a+b ≤ 2c hoặc b+c ≤ 2a Để xác nhận tính chính xác của đẳng thức này trong trường hợp tổng quát, cần chứng minh rằng nó vẫn đúng khi a+b ≥ 2c và b+c ≥ 2a Điều này giúp khẳng định rằng đẳng thức của Jack Garfunkel phù hợp trong mọi trường hợp, mở rộng phạm vi ứng dụng của công thức trong toán học.
Cộng vế với vế hai bất đẳng thức đó lại ta nhận được a+c ≤2b, từ đó suy ra
4a+ 2c ≤2 (b+c) + (a+b) =a+ 3b+ 2c 2a+ 4c ≤(b+c) + 2 (a+b) = 2a+ 3b+c và ta thu được a ≤b và c ≤b Sử dụng kết quả đó ta suy ra b≤ 2a+ 2c−b≤ 2a+ (a+b) +b= 3a và tương tự là b ≤3c.
Bây giờ ta sẽ chứng minh rằng h a −h b ≤ m a −m b (2.5)
(Vì rằng, từ (2.5) và Bổ đề trên ta nhận được h a +m b +l c ≤m a +h b +l c ≤m a +m b +l c ≤
2 (a+b+c) và đó chính là điều mà ta cần phải chứng minh Do vậy bài toán được giải quyết).
Không giảm tổng quát ta có thể giả thiết b = 1.
Khi đó ta sẽ có
Nếu ta gọi S là diện tích của tam giác thì
. và biểu thức vế phải là một hàm tăng ngặt đối với biến c được xác định trong đoạn 1
3 ≤c ≤1 Bởi vậy nếu ta thay c bởi 1 +a
2 vào hàm đó ta sẽ có
2 vào vế phải của bất đẳng thức trên ta nhận được (do2c ≤ 1+a) m a −m b ≥ 3
Nhận xét rằng với mọi a ta có (1−a) 2 3a 2 −a+ 3
≥ 0 và bất đẳng thức này là tương đương với bất đẳng thức sau
Và rõ ràng từ các bất đẳng thức (2.6), (2.7) và (2.8) ta suy ra được bất đẳng thức (2.5).
Vậy ta đã hoàn thành việc chứng minh (2.5) đối với a+b ≥ 2c và b+c ≥ 2a (và do vậy cũng đúng với (2.4)).
Do đó điều khẳng định của Jack Garfunkel là đúng đắn. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b =c.
2.2.2 Một hướng chứng minh bất đẳng thức Jack Gar- funkel khác
Hướng chứng minh này do tác giả dựa trên lời giải của thầy Nguyễn Ngọc Hùng THCS Hoàng Xuân Hãn, Đức Thọ, Hà Tĩnh. Đặt
Từ công thức diện tích tam giác S = 1
Theo công thức đường trung tuyến, ta có m b = 1
Từ công thức tính độ dài đường phân giác trong và theo bất đẳng thức AM -
GM ta suy ra l c = 2ab a+b.cosC
2(1 + cosC) và theo định lý côsin ta có cos 2 C
2 rp(p−c) ab Suy ra l c ≤√ ab rp(p−c) ab =p p(p−c) =p
2 (a+b+c).Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a =b=c.
Một số bài toán liên quan
Bài toán 2.3.1 Chứng minh rằng trong tam giác ABC bất kì ta luôn có
Vế phải của (2.14) được suy ra từ một kết quả quen biết:
Trong một tam giác bất kì độ dài đường trung tuyến luôn nhỏ một nửa tổng của hai cạnh kề m a ≤ b+c
Vế phải của (2.11) và (2.13) được suy ra từ vế phải của (2.14) và từ nhận xét h a ≤ l a ≤ m a Đẳng thức xảy ra ở vế phải của (2.11), (2.13), (2.14) khiA = 0, B =C = π
2(tam giác cân suy biến).
Vế trái của (2.14) được suy ra từ vế phải và từ kết quả sau đây:
Ba đường trung tuyến của tam giác ABC lập thành một tam giác mà các đường trung tuyến của tam giác ấy có độ dài là 3a
4 Đẳng thức xảy ra ở vế phải của (2.14) khi A =π, B =C = 0 (tam giác cân suy biến).
Từ giả định không mất tính tổng quát, chúng ta đặt điều kiện mới là 2 không đổi và b + c = 2v, với v ≥ 1 Chú ý rằng khi v = 1, điều này đồng nghĩa với a = b + c, tức là điểm A nằm trên cạnh BC của tam giác Để chứng minh các bất đẳng thức còn lại, chúng ta cần sử dụng Bổ đề đã đề ra, góp phần xây dựng nền tảng vững chắc cho việc chứng minh các bất đẳng thức trong bài.
Bổ đề 2.3.1 Với a = 2 , b+c = 2v, ta có α) v − 1 v ≤t a ≤√ v 2 −1 (2.15) β) max{3, v} ≤ m b +m c ≤ √ v 2 + 8 (2.16) γ) m b ≥ |3−v|
Trong bài viết, đẳng thức tại vế trái của (2.15) và (2.16) xảy ra khi điểm A nằm trên đường thẳng BC, còn đẳng thức tại vế phải của những phương trình này xảy ra khi tam giác ABC cân tại đỉnh A Ngoài ra, đẳng thức (2.17) còn xảy ra khi các biến c = v + 1 và b = v - 1.
Chứng minh. α) Vì |b−c| ≤a = 2 và 4bc = (b+c) 2 −(b−c) 2 nên v 2 −1≤ bc≤ v 2
Thay v 2 −1≤bc ≤v 2 vào đẳng thức trên, suy ra (2.15). β) Để chứng minh (2.16) và (2.17) ta xét mặt phẳng tọa độ Oxy và cố định
B(−1; 0), C(1; 0), còn điểm A(x, y) thì di động sao cho AB+AC = 2v (hình vẽ) Dễ dàng chứng minh được rằng điều này tương đương với x 2 v 2 + y 2 v 2 −1 = 1 (2.18)
Dùng công thức về đường trung tuyến trong tam giác, ta tính được
Chứng minh khẳng định (2.16) dễ dàng bằng cách xác định giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của biểu thức mb + mc; giá trị nhỏ nhất đạt khi y = 0, x = ±√v và giá trị lớn nhất khi y = ±√(v^2 − 1), x = 0 Đặt T = 2(mb + mc)^2 = x^2 + y^2 + 9 + q, với (x^2 + y^2 + 9)^2 − (6x)^2, từ đó ta nhận thấy x^2 + y^2 = v^2 − 1 + x^2 / v^2 dựa trên công thức (2.19).
Với chú ý là v ≥ 1 và |x| ≤v dễ dàng chứng minh được rằng T(x)−18v 2 max{3, v}
8. Đẳng thức xảy ra khi v = 3, b = 2, c = 4 Vế trái của (2.11) được chứng minh.
Xét vế trái của (2.13) Theo (2.15) và (2.16) ta có l a +m b +m c a+b+c ≥ 1
3. Đẳng thức xảy ra khi v = 3, b = 2, c = 4 Vế trái của (2.13) được chứng minh.
Tiếp theo để chứng minh vế phải của các bất đẳng thức (2.9), (2.10), (2.12), ta cần đến Bổ đề sau
Bổ đề 2.3.3 Giả sử 2a≥ b+c, khi đó ta có l a +m b +m c a+b+c ≤
2 Bất đẳng thức ở vế phải tương đương với
Bất đẳng thức này đúng do v ≤2 theo điều kiện của Bổ đề. Đẳng thức xảy ra khi v = 2, a =b=c = 2.
Nếu 2a≥b+c thì theo Bổ đề 2.4.3 có l a +m b +m c a+b+c ≤
2 Nếu 2b≥ a+c thì hoán vị a với b ở Bổ đề 2.3.3 có m a +l b +m c a+b+c ≤
2 Tương tự nếu 2c≤ a+cvà 2c≤ a+b thì 2a≥ b+c, trở về trường hợp trên.
Từ đó suy ra vế phải của (2.9) là đúng.
Vế phải của (2.10) và (2.12) là hệ quả của các bất đẳng thức vừa nêu trên.
Như vậy là tất cả các bất đẳng thức nêu trên đã được chứng minh.
Bài toán 2.3.2 Cho tam giác ABC Chứng minh rằng m a +l b +l c ≤
Dễ thấy x, y, z đều dương và x+ y = c, x+ z = b, y +z = a, a+ b+ c 2 (x+y+z) Ta có
Ta đã biết l b = 2√ ac a+c pp(p−b) ≤p p(p−b) =p
Vậy bất đẳng thức đã được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC đều.
Nhận xét 2.3.1 Vì l a ≤m a nên từ bất đẳng thức m a +l b +l c ≤
2 (a+b+c) ta có ngay bất đẳng thức sau l a +l b +l c ≤
2 (a+b+c) (đã chứng minh trong Ví dụ 1.2.12).
Nhận xét 2.3.2 Hiển nhiên h c ≤l c từ bất đẳng thức m a +l b +l c ≤
2 (a+b+c) ta cũng suy ra được bất đẳng thức hình học Jack Garfunkel.
Một cách tự nhiên, người ta hi vọng rằng bất đẳng thức sau đúng m a +m b +m c ≤
Rất tiếc bất đẳng thức trên không đúng Tuy nhiên ta có thể "bù đắp" thêm một lượng để được bất đẳng thức đúng như sau
Bài toán 2.3.3 Cho tam giác ABC Chứng minh rằng m a +m b +m c ≤
Trong tam giác với điều kiện a ≥ b ≥ c, đường trung tuyến AM và phân giác trong AD xuất phát từ đỉnh A đóng vai trò quan trọng trong việc xác định mối quan hệ giữa các cạnh và góc của tam giác Đồng thời, từ đỉnh C, các đường trung tuyến CN và phân giác trong CE giúp làm rõ các đặc điểm về độ dài và góc trong tam giác, hỗ trợ trong việc tính toán và chứng minh các bài toán hình học liên quan.
4((b−c) + (a−c) + (a−b)). Với tam giác ABC bất kì ta có m a +m b +m c ≤
4(|b−c|+|c−a|+|a−b|).Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC đều.
Trong bài viết này, chúng tôi giới thiệu một cách hệ thống lịch sử và các phương pháp chứng minh bất đẳng thức hình học Jack Garfunkel, nhằm cung cấp kiến thức chuyên sâu cho việc nghiên cứu và giảng dạy Ngoài ra, bài viết còn trình bày một số ứng dụng thực tế của bất đẳng thức hình học Jack Garfunkel để phục vụ mục đích bồi dưỡng học sinh giỏi toán Các nội dung này giúp xây dựng nền tảng vững chắc cho các đề tài nghiên cứu, luận văn và tài liệu tham khảo cho các giáo viên và học sinh yêu thích lĩnh vực toán học nâng cao.
Bất đẳng thức hình học là những diễn đạt thể hiện mối quan hệ không chắn chắn giữa các cạnh và các đường trong một tam giác, đóng vai trò quan trọng trong việc phân tích và chứng minh các hệ quả hình học phức tạp Trong đó, các bất đẳng thức liên quan đến độ dài các cạnh và các đường trong tam giác như bất đẳng thức tam giác, bất đẳng thức về trung tuyến, đường cao, trung điểm giúp tạo nền tảng vững chắc để hiểu rõ hơn về các quy tắc và phương pháp chứng minh bất đẳng thức hình học Hiểu rõ các bất đẳng thức này là bước chuẩn bị cần thiết để đi sâu vào việc khám phá các lời chứng minh phức tạp như bất đẳng thức hình học Jack Garfunkel một cách dễ dàng và chính xác.
Trong bài viết này, chúng ta sẽ mô phỏng lại quá trình lịch sử của dự đoán bất đẳng thức của nhà toán học Jack Garfunkel bằng cách sử dụng phần mềm hình học động trên máy tính Phương pháp này giúp tái hiện các bước chứng minh và phân tích các yếu tố quan trọng của bất đẳng thức một cách trực quan và sinh động Việc sử dụng phần mềm hình học động không chỉ hỗ trợ hiểu rõ hơn về lý thuyết mà còn mở ra cơ hội khám phá các khả năng mới trong nghiên cứu toán học hiện đại.
Trong bài viết này, chúng tôi trình bày lại cách chứng minh bất đẳng thức hình học của Jack Garfunkel, đồng thời giới thiệu một số ứng dụng thực tế của bất đẳng thức này trong toán học và đời sống Đặc biệt, tác giả đã cố gắng cung cấp các bước trung gian rõ ràng hơn so với tài liệu tham khảo để giúp học sinh dễ dàng hiểu và nắm bắt vấn đề Bất đẳng thức của Jack Garfunkel không chỉ là một công cụ quan trọng trong lý thuyết hình học mà còn có nhiều ứng dụng trong chứng minh các bất đẳng thức phức tạp khác, mở ra nhiều hướng nghiên cứu mới Việc trình bày chi tiết các bước trung gian nhằm nâng cao khả năng tư duy và làm rõ các yếu tố cấu thành của bất đẳng thức này, giúp học sinh hình thành tư duy logic vững chắc hơn.
Mặc dù luận văn đã đề cập đến một phần các bài toán bất đẳng thức liên quan đến bất đẳng thức Jack Garfunkel, nhưng vẫn còn nhiều ứng dụng và vấn đề khác chưa được khám phá Bài viết nhấn mạnh tầm quan trọng của việc nghiên cứu sâu hơn về bất đẳng thức này để mở rộng phạm vi ứng dụng trong lĩnh vực toán học Các kết quả trong luận văn góp phần làm rõ vai trò của bất đẳng thức Jack Garfunkel trong giải quyết các bài toán phức tạp về bất đẳng thức Tuy nhiên, còn nhiều tiềm năng phát triển mới cần được khai thác để áp dụng rộng rãi hơn trong thực tiễn.
Luận văn đã xác định hướng nghiên cứu tiếp theo là mở rộng và phát triển công tác bồi dưỡng học sinh khá, giỏi, đặc biệt là trong việc khám phá các bài toán về bất đẳng thức liên quan đến tam giác Tác giả mong muốn nhận được sự hướng dẫn và đóng góp từ các Thầy, Cô giáo để hoàn thiện luận văn và tiếp tục nghiên cứu sau khi trở về trường giảng dạy.
Tác giả xin chân thành cảm ơn!