Bài tập Giải tích 2 (TS.Nguyễn Văn Quang) năm học 2020-2021 – UET

Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của đạo hàm theo hướng của hàm u tại M.. Theo hướng nào thì đạo hàm này có giá trị lớn nhất, bé nhất, bằng 0.[r]

BÀI TẬP GIẢI TÍCH II: HÀM NHIỀU BIẾN

Giới hạn, liên tục Phép tính vi phân Tích phân bội

Tích phân đường Tích phân mặt Phương trình vi phân

TS Nguyễn Văn Quang E-mail: nvquang.imech@gmail.com

nvquang@imech.vast.vn

Mobile: 0915.598.495

Chương 1 Giới hạn, liên tục

Bài 1 Tìm giới hạn của hàm số:

A Tính các giới hạn:

1 f x y( , ) y.cos 1

y x



 khi ( , )x y (0, 0).

f x y  x y   khi ( , )x y   ( , ).

f x y

x

 khi ( , )x y (0,3).

4

2 2 2

f x y

y

2

f x y  xy  khi ( , )x y (0, 2).

1

2 2





  khi ( , )x y (0, 0).

7

6

6 ( , )

f x y



     khi ( , )x y   ( , ).

B Chứng minh các hàm số sau không tồn tại giới hạn:

1

2 2

2 2

f x y





 khi ( , )x y (0, 0).

2

2

2 4

( , ) xy

f x y



 khi ( , )x y (0, 0).

3

2 2

f x y

x y



 khi ( , )x y (0, 0).

1

f x y  xy  khi ( , )x y (0, 0).

f x y

x y



 khi ( , )x y (0, 0).

TailieuVNU.com T ổ ng h ợ p & S ư u t ầ m

6 f x y( , ) xsiny2 y2sinx





 khi ( , )x y (0, 0).

7 ( , )

1

y

y

x

f x y

x



 khi ( , )x y  ( , 0).

2 2

ln

( , )

y

x e

f x y





 khi ( , )x y (0, 0).

C Tính các giới hạn:

f x y x y

xy

  khi ( , )x y (0, 0).

f x y x y

  khi ( , )x y (0, 0).

3

2

2 2

( , )

x xy

f x y

   

  khi ( , )x y   ( , ).

4

3 3

2 2

f x y





 khi ( , )x y (0, 0).

2 2

sin

f x y





 khi ( , )x y (0, 0).

2 2 2

2 2

( , )

1 cos

xy x y

f x y





  khi ( , )x y (0, 0).

7 f x y( , ) 2 x y 2

x xy y





  khi ( , )x y   ( , ).

8

( , ) x y xy

f x y

x xy y





  khi ( , )x y (0, 0).

f x y  x x  y khi ( , )x y (0, 0).

2 2

f x y  x  y khi ( , )x y (0, 0).

f x y  x y e  khi ( , )x y   ( , ).

Bài 2 Xét tính liên tục của hàm số:

1

1 sin

khi ( , ) (0, 0) ( , )

f x y

x y

x y





tại (0,0)

2

2

4 2 khi ( , ) (0, 0) ( , )

x y

x y

x y







 

trên R2.

3

2 2

1

( , )

x y

f x y

xy



 

trên R2.

4

3 2

2 2

2 2

2 2

( , )

x xy

f x y

 

 

tại (0,0)

TailieuVNU.com T ổ ng h ợ p & S ư u t ầ m

Chương 2 Phép tính vi phân

Bài 1 Tính các đạo hàm riêng của hàm số:

( , ) ln

f x y  x x y .

2 f x y( , )x y2.

3 f x y( , )ecos2x xy .

( , ) arctan

f x y  xy .

( , ) ln

f x y  x  y tại (1,0)

Bài 2 Tính các đạo hàm riêng của hàm số tại (0,0):

1

2 2

2

khi ( , ) (0,0) ( , )

x y

x y



 



.

x y e

x y

x y









 



.

xy

x y

f x y

x y

 

 



.

Bài 3 Xét tính khả vi của hàm số sau tại (0,0):

1 f x y( , )(x y) x2 y2 2 f x y( , ) 3 xy

3

3 3 3

( , )

f x y  x y

4

2 2

2 2

1

( , )

f x y

 



5

2 2

1

2 2

2 2

( , )

x y

f x y







 



.

6 Cho hàm số

2 2

2 2

2 2

( , )

xy

f x y

 



.

a Chứng minh rằng hàm f x y( , ) liên tục tại điểm (0,0)

b Chứng minh rằng hàm f x y( , ) không khả vi tại điểm (0,0)

Bài 4 Tìm vi phân toàn phần của hàm số:

1 ( , )

3

xy

f x y



 2 ( , ) arcsin

x

f x y

y

( , ) ln

f x y  xy

4 f arctan u ;u x y

y x

   5 f u e uv ;u x y2 2 ;x v ye xy

v

Bài 5 Sử dụng vi phân toàn phần để tính gần đúng giá trị:

1 ln31.0340.981 2 arctan1.01

1.02 1.97

3

98 123 5 ln31.0340.961

Bài 6 Tính đạo hàm, đạo hàm riêng của hàm ẩn z x y( , ) xác định từ phương trình:

1 xe y ye x e xy 0.

x  y z e .

0

xe  y e ze  tại điểm (0,0)

4 xe y yzze xy 0 tại điểm (1,1)

Bài 7 Cho hàm số

2 2

2 2 khi ( , ) (0, 0) ( , )

x y





.

Tính đạo hàm riêng f xy(0,0) và f yx(0,0).

Bài 8 Tính đạo hàm riêng cấp hai của hàm số:

( , ) ln

f x y  x xy 2 3  

( , ) ln

f x y x xy 3 4 4 3

( , )

f x y x y xy

4 ( , )f x y e x.lnysin lny x 5

2

2 2

x y



 

6 e x y z   x 2y3z1;z xy  0,0 , biết z 0,0 0

Bài 9 Tính vi phân cấp hai của hàm số:

1 f x y( , ) x43xy2y3 2 f x y z( , , ) x2y2z2, chứng minh d f2 0

f x y z x y  z xy xz tại điểm M(1,1,1), tìm ma trận của dạng toàn phương 2

( )

d f M với các biến dx dy dz, , .

4 f  f 3x4 ,y xye y

5 f  f 2x y

6 f  f u( )u3sin ;u u 2xye x

7 Tính d z2 (1,1) biết z z x y( , ) là hàm ẩn xác định từ phương trình:

x  y  z xyz y  z   . Bài 10 Khai triển Maclaurin hàm số đến cấp ba:

1 ( , )f x y e xsiny 2 f x y( , )ln(1 x y) 3 f x y( , )sin(x2y)

Bài 11 Chứng minh rằng:

1 .y z x x z y 0 với z f x( 2y2) và f t( ) là hàm khả vi

2 .x z xx  y z xy 2.z x 0 với

2

(xy)

z

x y



 .

3 z z 0 với 2 2

z x y .

4  2

xx yy xy

z z  z  với z y f x

y

 

   

  và ( )f t có đạo hàm cấp hai

Bài 12 Tìm hàm z  z x y( , ) thỏa mãn:

1 zx  2 4ye xy,z y  3 4xe xy; (0,1)z 0.

2 zx  x22xy23,zy  y22x y2 3.

3 zxx 12x y2 2,zy  x430xy z5; (0,0) 1, (1,1) z  2.

Bài 13

1 Tìm đạo hàm theo hướng vecto v (3, 4) của hàm số f x y( , ) x2 y2 tại điểm (1,1)

2 Tìm đạo hàm của hàm số 2

ux  yz tại điểm M(1, 2, 1) theo hướng của vecto tạo với các trục tọa độ những góc nhọn bằng nhau

3 Tìm đạo hàm của hàm số

2 2

2 2

z

  theo hướng pháp tuyến trong của đường Ellip:

2 2

2 2 1, ( 0, 0)

4 Cho hàm số uln xyz ,M(1, 2, 3)  Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của đạo hàm

theo hướng của hàm u tại M

zx xyy tại điểm M(1,1) theo hướng v hợp với

hướng dương của trục Ox một góc  Theo hướng nào thì đạo hàm này có giá trị lớn nhất, bé nhất, bằng 0

f x y x  xy M Tìm hướng mà đạo hàm của hàm số f theo hướng đó tại M có giá trị bằng 1

Bài 14 Tìm cực trị của hàm số:

2

2 2

( , ) 4

f x y   x y

3 f x y( , ) x2 y2xy2xy 4 2

f x y  y xy  x y

5 f x y( , )(x2 y2).e(x2y2) 6 f x y( , )(x1)22y2

7 f x y( , ) x2xy y22xy 8  2 2

( , ) ln

f x y xy x y

9 f x y( , ) x4 y4x22xyy2 10 f x y( , )(xy)2 (x y)3

11 f x y( , )x x2(  1) y3 12 f x y( , )x4y42(xy)2

Bài 15 Tìm cực trị có điều kiện của hàm số:

f x y  x y x y  2 f x y( , )x2y2 ;x y 1

3 f x y( , ) x y x; 2 y2 1 4 ( , )f x y xy x;  y 1

f x y x y  x y x y

Bài 16 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trong miền tương ứng:

f x y x y  x y x y 

2 f x y( , )x2y2xy x y x; 0,y0,x  y 3.

3 2

f x y x  xy x y  x  y .

f x y x  y  x y x y 

5 f x y( , )  1 x 2 ;y x0,y0,x y 1.

6 f x y( , )x2y2;x2 y2 1.

( , )

f x y x y ; 2 2

4

x y  .

f x y e  x  y x y 

Bài 17 Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong:

1 y34xy5yx3120 tại điểm M(2,1)

2 x  (x y e) x2 y3 0 tại điểm M(0,1)

3 x2 ,t2 y3 ,t ze t1 tại điểm M(2,3,1) Viết phương trình tiếp tuyến và pháp diện tại M

4 x2y2 1,y x z tại điểm M(1,0,-1) Viết phương trình tiếp tuyến và pháp diện tại M

5 x2 y2 10,y2z2 25 tại điểm M(1,3,4) Viết phương trình tiếp tuyến và pháp diện tại M

6 2x23y2z2 47,x22y2  z tại điểm M(-2,1,6) Viết phương trình tiếp tuyến

và pháp diện tại M

Bài 18 Viết phương trình tiếp diện và pháp tuyến của mặt cong:

1 x23y22z2 0 tại điểm M(1,1, 2).

2 xy z 0 tại điểm M(1,1,1).

3 x24y22z2 6 tại điểm M(2, 2,3).

4 z2x24y2 tại điểm M(2,1,12).

TailieuVNU.com T ổ ng h ợ p & S ư u t ầ m

Chương 3 Tích phân bội

Bài 1 Đổi thứ tự lấy tích phân trong các tích phân sau:

2

2 4

2

,

x

dx f x y dy

 

1 0

,

y

dy f x y dx

 

Bài 2 Tính các tích phân sau:

D

x y dxdy

D

x y dxdy

 D là miền giới hạn bởi các đường: x  1, y  1, y   x 1.

3  2 

,

D

x y dxdy

,

y x x y .

4  2 

3

D

y  dxdy

 , D là miền giới hạn bởi các đường: y2 9x9,y2  9 3x.

5  2 

1

D

y  dxdy

 , D là miền giới hạn bởi các đường: y2 4x4,y2  4 2x.

D

x y dxdy

 D là miền: x 1, y 1.

7   3 2

,

D

x y xy dxdy

x   y x    y x   y x   y .

D

f x y dxdy

 D là miền giới hạn bởi Ellip:

2 2

2 2 1

a b  và

2 2

2 2

1

0

x y

a b

 

D

x y  dxdy

0

x y  x .

,

D

x  y dxdy

x y a x y  a a .

b Đường hoa hồng bốn cánh: rasin 2 , a0.

D

x y dxdy

 D là miền: x2y2 2 ,x y0.

D

x y dxdy



D là miền: x2y2 2 ,x x2y2 2y.

13  2 2

D

x y dxdy

 D là miền giới hạn bởi các đường: x2 y2 e x2, 2y2 e4.

14

2 2

D

dxdy

2 2

1

  .

15  2 2

,

x  y dxdy

 D là miền giới hạn bởi các đường:

2 2

y x y  x x y  x .

16  2 2

D

x y dxdy

 , D là miền giới hạn bởi: x2y2 2 ,x x2y2 4 ,x yx. Bài 3 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:

2

x

y y  x y

3 r acos , rbcos , b a 0 4 r asin 2 , a0

5 Các đường tròn: 1, 2 cos

3

r  r  (phần nằm ngoài đường tròn r1)

6 y  x y ,  2 x x ,  8.

7 y  0 và một nhịp của đường Cycloid

xa t t ya t t a  t  . Bài 4 Tính thể tích của vật thể giới hạn bởi:

1 yx z2, 0,z5,y3 x

2 z2x2 y21,x y 2,x0,y0,z0

3 z 4 x2y z2, 0 ;x2 y22.

4 x2y2z2 4a x2, 2y22ay0,a0.

5 yx y, 2 ,x x1,z x2 y z2, x22y2, nằm trong góc phần tám thứ nhất

6 x2y2 z 1,yx y,  3 ,x z 0,nằm trong góc phần tám thứ nhất

7 zx2y z2, x22y y2, x y, 2 ,x x1

8 x2y2 a x2, 2z2 a2, nằm trong góc phần tám thứ nhất

9 x2y2z2 2 ,z x2y2 z z2, 0

10 z16x2, 4x y 16và các mặt phẳng tọa độ

11 x2  z 4 0,y x y,  2 ,x z0

12 2zx2y z2,  x2y2 .

13 yx z2, 0,z y 4

14 z 2 x2y z2,  x2y2

15 x2 y2z2 2,x y2z2

16 z  x y z, x2y2, nằm trong góc phần tám thứ nhất

2yx z x, y z 3

zx y z x y x x y  x

Bài 5 Xác định tọa độ trọng tâm của bản phẳng đồng chất giới hạn bởi các đường:

y  x y   x 2

2 2

3 y 2xx2,y0

Bài 6 Tính các tích phân:

1

V

zdxdydz

4

V

z x  y dxdydz

x y  x z za a .

V

z x  y dxdydz

0;

z z a x y .

V

z x  y dxdydz

 , V là nửa trên của khối Elipxôit:

2 2 2

.

V

z x  y dxdydz

x y  z za a .

6

V

ydxdydz

yh y  x z h . Bài 7 Tính thể tích của vật thể giới hạn bởi:

1 x2y2z2 2 ,z z x2y2 .

2 x22 y22 z22 1 , h z h, 0 h c

3 x   y z 3 ;x2y  z 1 ;x4y  z 2.

4 x2y2 2ax x, 2 y2 2ay và mặt z0,z a 0.

5 x2y2 z 1,y x y,  3 ,x z0 nằm trong góc phần tám thứ nhất

x y z a x y a x y a .

Bài 8 Xác định tọa độ trọng tâm của vật thể giới hạn bởi các mặt:

1 x y 1,zx2y x2, 0,y0

x y  az x  y z  a z a .

Chương 4: Tích phân đường

Bài 1 Tính tích phân:

OAB

I   xy dx xy dy, OAB là đường gấp khúc với O     0;0 ,A 2; 2 ,B 4;0 , theo chiều ngược chiều kim đồng hồ

AB

I   y xy dx xyx dy,

1 AB là cung nhỏ của Ellip:

2 2

2 2 1, 0, 0

a  b    , từ A a( , 0) đến B(0, )b

2 AB là cung nhỏ của đường tròn: x2 y2 1, từ 1 ; 1

  đến B 0;1 Bài 3 Tính tích phân (theo chiều ngược chiều kim đồng hồ):

 5 2 2   2 2

L

I  x  y  x dx xy  y dy

1 L là biên của tam giác ABC với A     1;1 ,B 2;2 ,C 1;5

2 L là biên của tam giác ABC với A     1;1 ,B 2;3 ,C 5;1

3 L là biên của miền giới hạn bởi đường: x2 y2 2x

4 L là biên của miền giới hạn bởi đường: x2y2 2x2y

5 L là biên của miền giới hạn bởi các đường: yx y2,  2 x

6 L là biên của miền giới hạn bởi đường:

2 2

1

x  y  Bài 4 Tính tích phân:

1

2 2 ,

4

AB

dx I

y x





 AB là cung nhỏ của đường tròn: x2 y2 9, từ 3 3 3;

  đến

 0,3

AB

dx

I

x y

  AB là cung nhỏ của đường tròn: x2y2 9, từ 3 3 3;

;

Bài 5

2 2

AB

mx y dx nx y dy I





Tìm m, n để tích phân I không phụ thuộc vào đường AB

2 Tính

2 2

AB

trục Oy, từ A 1, đến B2,

Bài 6 Tính tích phân:

L

I y dxx dy, L là nửa trên của Ellip:

2 2

2 2 1; 0, 0

a  b    , hướng của L ngược chiều kim đồng hồ

L

2 2

2 2 1; 0, 0

a b    , hướng của L ngược chiều kim đồng hồ

L

I   dx    dy

ngược chiều kim đồng hồ

L

I   dx  dy, với L là biên của miền D giới hạn bởi: y 3x21,y  7 3x, hướng của L ngược chiều kim đồng hồ

L

I     dx    dy, với L: x2y22x2y, hướng của L ngược chiều kim đồng hồ

4

x

L

y

(2,1)

TailieuVNU.com T ổ ng h ợ p & S ư u t ầ m

Chương 5: Tích phân mặt

Bài 1 Tính diện tích mặt cong:

1 Tính diện tích của phần mặt nón: z2 x2y z2, 0 nằm ở trong mặt trụ:

1

x y 

2 Tính diện tích của phần mặt: z x2 y2,a 0,b 0

2 2

2 2 1

a  b 

3 Tính diện tích của phần mặt cầu: x2 y2z2 a2 nằm trong mặt trụ:

 2 22 2 2 2  

x y a x y a

4 Tính diện tích phần mặt: zx2 y2 nằm trong mặt trụ x2y2 4, ở góc phần 8 thứ nhất

Bài 2 Tính tích phân:

3

S

y

4

S

x y  dS

 trong đó S là phần mặt: 2

y  z giới hạn bởi: x 0,x 1,z 0

3 ( 2 )

S

x z dS

 , với S là phần mặt phẳng: x  y z 1 ;x0,y0,z0

4

S

zdS

 , với S là phần mặt cầu: x2y2z2 4 nằm trên hình nón: z x2 y2

S

x y dS

 , với S là phần mặt nón: z x2y2 nằm trong hình trụ: x2y2 2x

6 2

S

x dS

 , với S là phần mặt trụ: x2 y2 4 nằm giữa 2 mặt phẳng: 0

1

z z





 



7

S

ydS

 , với S là phần mặt nón: z x2y2 giới hạn bởi:

2

1

y



  





8

S

zdS

 , với S là phần mặt nón: z x2y2 nằm dưới mặt phẳng: z  2

S

x

dS

x y

 , với S là phần mặt cầu: x2 y2z2 4;x0,y0,z0

10

S

xdS

 , với S là phần mặt trụ: x2 y2 1 nằm giữa 2 mặt phẳng: z0,z4

11

S

zdS

 , với S là phần mặt trụ: x2z2 1 phía trong mặt nón: z x2y2

Bài 3 Tính tích phân:

1

S

xyzdxdy

 , phía dương của S là phía ngoài của mặt cầu xác định bởi:

x  y z  x y

2 2 2

S

x y zdxdy

 , phía dương của S là phía ngoài của mặt cầu xác định bởi:

x y z  x y z

S

xdydzdzdxxz dxdy

bởi: x2 y2z21;x0,y 0,z0

S

x yz dxdz

 , phía dương của S là phía ngoài của mặt cầu xác định bởi:

x y z  x y z

S

xy dydz zx dxdy

hình trụ: x2 y2 1, phía dưới là phía dương nhìn từ hướng dương của Oz

6

S

xdydz

 , với S là phần của mặt: z x2y z2, 6 ; phía dưới là phía dương nhìn

từ hướng dương của Oz

S

I  x y dydz yz dzdx xz dxdy, với S là phần mặt nón:

2 2

z x  y nằm trong hình trụ x2y2 4, phía dưới là phía dương, nhìn từ hướng dương của Oz

S

I  xz dxdy, với S là biên của vật thể được giới hạn bởi các mặt: zx2 y2, 4

z , phía ngoài là phía dương

S

I  x y dydz y z dzdx z x dxdy, với S là phần mặt nón:

2 2

z x  y bị cắt bởi mặt phẳng z2, phía dưới là phía dương, nhìn từ hướng dương của Oz

S

I xdydz ydzdx z  dxdy, với S là nửa trên mặt cầu: x2y2z2 2x

(phần z0), phía trong là phía dương

S

I xdydzydzdx z dxdy, với S là phần mặt: z x2  y2 nằm dưới mặt phẳng x z 2, phía dưới là phía dương, nhìn từ hướng dương Oz

S

I  xz dydz ydzdxz dxdy, với S là phần mặt trụ: x2y2 4 nằm giữa hai mặt phẳng z0,z1, phía ngoài là phía dương

13 ( 2)

S

I  z x dxdy, với S là phần mặt cầu: x2y2z2 1 nằm ở góc phần 8 thứ nhất, phía trong là phía dương

S

I  x y dydz y z dzdxz dxdy, với S là phần mặt cầu:

4

x y z  nằm trên mặt nón: z x2 y2 (nhìn từ hướng dương của Oz), phía ngoài mặt cầu là phía dương

TailieuVNU.com T ổ ng h ợ p & S ư u t ầ m

Chương 6: Phương trình vi phân

Bài 1 Giải phương trình vi phân cấp 1:

1 cosy x dx y xcos x dy 0

2

x y y

x y

 

 

 

3  2

1

x  yxy xy

5

y

x

y

   

2

y



4xy y dx 4x yx dy0

2

y  dx y  xy y dy  10

2 2

3 2

y y x

  

2x xy dx 2y x y dy 0 12  2 

0

ydx xx y dy

13 e dx y xe y2y dy 0 14 xdx2xy dy 0

15 x y 1dxx y 3dy0 16  2 2 

y

x  y  dxxdy x

17  2 2  2 2

3x y y y x xy0 18 xy yln y

x

 

19 y 22xy 2

 

y

x y

y e

x

  

y dx xy dy Bài 2 Giải phương trình vi phân cấp 2:

5

y y y x 2 y y (12 5 ) x e x

sin

x

1

x

x

e

e

  



cos

x

7 y5y2e5x 8 y2y xe2x

9 y4ye4x 10 y  y cos3x

11 y2ye2x 12 y2y 9 4x

4

15 y2y2y e xsinx 16 y y 2y x e   x