Tài liệu tổng hợp các bài tập Giải tích 2 bao gồm các nội dung: hàm nhiều biến số; tích phân bội; tích phân đường và tích phân mặt; phương trình vi phân.
Trang 1BÀI T P GI I TÍCH 2 Ậ Ả
CH ƯƠ NG I. HÀM NHI U BI N S Ề Ế Ố
Bài 1. Tìm mi n xác đ nh c a các hàm s sau:ề ị ủ ố
Bài 2. Tìm gi i h n trong các trớ ạ ường h p:ợ
Bài 3. Xét tính liên t c c a các hàm s sau t i các đi m đã cho:ụ ủ ố ạ ể
a) t i đi m (0,0)ạ ể
b) t i đi m (0,0)ạ ể
c) t i đi m (0,0)ạ ể
d) t i đi m (0,0)ạ ể
e) t i đi m (0,0).ạ ể
f) t i đi m (0,0)ạ ể
g) t i đi m (0,0)ạ ể
Bài 4. Tìm các đ o hàm riêng c a hàm s ạ ủ ố
Bài 5. Cho hàm s . Tính b ng đ nh nghĩa. Hàm s có kh vi t i đi m O(0,0) hay không?ố ằ ị ố ả ạ ể
Bài 6. Ch ng minh r ng hàm s liên t c ta đi m O(0,0), có c hai đ o hàm riêng , nh ng không kh viứ ằ ố ụ ị ể ả ạ ư ả
t i đi m này.ạ ể
Bài 7. Kh o sát tính kh vi c a hàm s t i đi m (0,0).ả ả ủ ố ạ ể
Bài 8. Cho hàm s . Tính .ố
Bài 9. ng d ng công th c s gia và vi phân toàn ph n đ tính g n đúngỨ ụ ứ ố ầ ể ầ
Bài 10. Cho là hàm s xác đ nh b i h th c trong đó a, b là h ng s , F là hàm kh vi. Tìm bi u th c .ố ị ở ệ ứ ằ ố ả ể ứ Bài 11. Gi s là các hàm kh vi. Đ t và . Ch ng minh r ngả ử ả ặ ứ ằ
Bài 12. Cho hàm s xác đ nh t phố ị ừ ương trình (trong đó là hàm kh vi theo . Ch ng minh r ng .ả ứ ằ
Bài 13. S d ng quy t c đ o hàm hàm n đ tính bi t .ử ụ ắ ạ ẩ ể ế
Bài 14. S d ng quy t c đ o hàm hàm n đ tìmử ụ ắ ạ ẩ ể
a) bi t là hàm n xác đ nh t ;ế ẩ ị ừ
b) bi t là hàm n xác đ nh t ;ế ẩ ị ừ
c) bi t là hàm n xác đ nh t ế ẩ ị ừ
Bài 15. Tìm các đ o hàm riêng c p hai c a các hàm sạ ấ ủ ố
Trang 2a) b)
c) Bài 16. Tìm đ o hàm c a u t i đi m A trong đóạ ủ ạ ể
a) theo hướng và đi m A(1,2,2). Tìm .ể
b) theo hướng t i đi m A(1,3,0).ạ ể
c) v i A (1,1,1) theo hớ ướng , trong đó N(3,2,3)
Bài 17.
a) Khai tri n hàm s thành công th c Taylor trong lân c n đi m (1,2).ể ố ứ ậ ể
b) Khai tri n hàm s thành công th c Macloranh đ n các s h ng c p b n. ể ố ứ ế ố ạ ấ ố
Bài 18. Tìm c c tr c a hàm s sauự ị ủ ố
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
Bài 19. Tìm c c tr có đi u ki nự ị ề ệ
a) th a mãn đi u ki n ỏ ề ệ
b) th a mãn đi u ki n ỏ ề ệ
c) th a mãn đi u ki n ỏ ề ệ
d) th a mãn đi u ki n ỏ ề ệ
e) th a mãn đi u ki n ỏ ề ệ
Bài 20. Tìm GTLN, GTNN c a hàm s trên mi n đóng D.ủ ố ề
a) , trong đó D là v i A(0,0), B(0,6), C(6,0)ớ
b)
c)
d)
e)
Đáp án chương I
1.a) tr nh ng đi m trên Ox; b) tr g c t a đ Oừ ữ ể ừ ố ọ ộ
2.a) Không t n t i; ồ ạ b) 4; c) Không t n t i;ồ ạ d) 0
3.a) Liên t c;ụ b) Không liên t c; c) liên t c;ụ ụ d) không liên t c; e) Liên t c; f) không liên t c. ụ ụ ụ g) không liên t c. ụ
Trang 34. a) b)
5. . Hàm s không kh vi t i (0,0).ố ả ạ
7. Hàm s kh vi t i đi m (0,0).ố ả ạ ể
8.
9. a) 2,95 b) 1,0129 c) 2,0327 d) 1,08
10. 1
13.
14. a)
16. a) b) c)
17. a)
b)
18. a) C c đ i ự ạ b) C c đ i ự ạ c) C c ti u ự ể
d) C c ti u ự ể e) C c ti u; (0,0) không là c c trự ể ự ị
f) C c ti u (1;1), (1;1); (0,0) không là c c trự ể ự ị g) (1;0) không là c c tr ự ị h) C c đ i ; (0, 0) không là c c tr ự ạ ự ị i) là c cự ti uể ; (3;1) không là c c trự ị
19. a) C c ti u (1;0;1)ự ể b) c c ti u , c c đ i ự ể ự ạ
c) c c ti u , c c đ i ự ể ự ạ d) c c đ i (2;2;1), c c ti u (2;2;1).ự ạ ự ể
e) C c đ i (1;1;1)ự ạ
20. a)
b)
c)
d)
e)
Trang 4CH ƯƠ NG II. TÍCH PHÂN B I Ộ
Bài 1. Tính tích phân kép sau trên mi n D đề ược ch raỉ
a) v i D đớ ược gi i h n b i ớ ạ ở
b) v i D đớ ược gi i h n b i ớ ạ ở
c)
d)
e) v i D đớ ược gi i h n b i ớ ạ ở
f) v i D đớ ược gi i h n b i ớ ạ ở
Bài 2. Đ i th t l y tích phân r i tính các tích phân sauổ ứ ự ấ ồ
Bài 3. Dùng phép đ i bi n thích h p, tính các tích phân sauổ ế ợ
a) trong đó D là hình gi i h n b i các đớ ạ ờ ường th ng .ẳ
b) trong đó D là mi n n m trong góc ph n t th nh t gi i h n b i các đề ằ ầ ư ứ ấ ớ ạ ở ường th ng y=x, y=3x vàẳ các hypebol xy=1, xy=3
c)
Bài 4. Dùng công th c đ i bi n ch ng minh r ngứ ổ ế ứ ằ
Bài 5 Dùng đ i bi n t a đ c c tính các tích phân sauổ ế ọ ộ ự
a)
b)
c)
d) trong đó D là mi n n m trong góc ph n t th nh t b ch n b i 2 đề ằ ầ ư ứ ấ ị ặ ở ường tròn
e) ;
Trang 5f) ;
g)
Bài 6. Dùng tích phân hai l p tính di n tích c a các hình ph ngớ ệ ủ ẳ
a) Gi i h n b iớ ạ ở
b) N m trong c hai đằ ả ường tròn và
c) B ch n b i các đị ặ ở ường cong
d) Gi i h n b i đớ ạ ở ường cong (L):
e) Gi i h n b i đớ ạ ở ường cong (L):
Bài 7. Tính di n tích c a m t congệ ủ ặ
a) Là giao c a các m t tr ủ ặ ụ
b) Là ph n m t c u n m trong hình tr ầ ặ ầ ằ ụ
c) Là ph n m tầ ặ n m trong hình trằ ụ
d) Là ph n m t paraboloid n m trên mi n trong góc ph n t th nh t (c a m t Oxy) ầ ặ ằ ề ầ ư ứ ấ ủ ặ
gi i h n b i các đ ớ ạ ở ườ ng và .
Bài 8. Tính th tích V c a v t thể ủ ậ ể
a) Gi i h n b i m t tr và m t c u ớ ạ ở ặ ụ ặ ầ
b) Xác đ nh b i các b t đ ng th c ị ở ấ ẳ ứ
c) Trên m t nón và n m dặ ằ ưới m t c u ặ ầ
d) Trên m t nón ặ và n m dằ ưới m t c u ặ ầ
e) B ch n b i các paraboloid và ị ặ ở
f) B ch n b i paraboloid và m t ph ng ị ặ ở ặ ẳ
g) Gi i h n b i các m t cong và ớ ạ ở ặ
h) Gi i h n b i các m t có phớ ạ ở ặ ương trình
i) B ch n b i hai hình tr và ị ặ ở ụ
Trang 6Bài 9. Tính th tích c a v t th gi i h n b i m t đóngể ủ ậ ể ớ ạ ở ặ
a)
Bài 10. Tính các tích phân b i ba sauộ
a) trong đó V là mi n đề ược gi i h n b i m t ph ng ớ ạ ở ặ ẳ
b) trong đó V là mi n đề ược gi i h n b i ớ ạ ở
d) trong đó V gi i h n b i (Oxy) và hai n a m t c u và ớ ạ ở ử ặ ầ
e) trong đó V là v t th b ch n b i (Oxy) và m t nón ậ ể ị ặ ở ặ
f) trong đó V là v t th n m trong m t c u và trên m t nón ậ ể ằ ặ ầ ặ
g) trong đó V là v t th gi i h n b i m t tr ậ ể ớ ạ ớ ặ ụ
h) ;
i) trong đó V là v t th gi i h n b i ậ ể ớ ạ ớ 0
j)
k) ;
Trang 7CH ƯƠ NG III. TÍCH PHÂN Đ ƯỜ NG VÀ TÍCH PHÂN M T Ặ
Bài 1. Tính tích phân đường lo i m t sauạ ộ
a) v i L là đớ ường
b) v i L là đo n th ng n m gi a hai đi m A(0;2) và B(4;0)ớ ạ ẳ ằ ữ ể
c) v i L là đớ ường tròn
d) v i L là n a đớ ử ường tròn ch y t đ n ạ ừ ế
e) v i L là đớ ường
Bài 2. Tính các tích phân đường lo i hai sau:ạ
a) trong đó L là đường g p khúc OAB v i O(0,0); A(2,0); B(3,2).ấ ớ
b) trong đó L là cung n i O(0,0) v i A(1,1) theo đố ớ ường
i) ii) iii) g p khúc OBA v i B(0,1)ấ ớ
Bài 3. Ch ng minh r ng tích phân không ph thu c vào đứ ằ ụ ộ ường l y tích phân trong mi n đ n liên, liênấ ề ơ thông . Tính I n u AB là đế ường b t k không c t Ox đi t A(0,0) t i B(1,1).ấ ỳ ắ ừ ớ
Bài 4. Ch ng minh r ng tích phân không ph thu c vào đứ ằ ụ ộ ường l y tích phân. Tính I n u C là đấ ế ường b tấ
k n i A(1,0) t i (5,1).ỳ ố ớ
Bài 5. Tính tích phân sau theo hai cách: tr c ti p và dùng công th c Green:ự ế ứ
a) v i L là hình ch nh t OABC v i O(0,0), A(2,0), B(2,3), C(0,3)ớ ữ ậ ớ
b) v i L là cung n i A(0,a) đ n B(0,a)ớ ố ế trong đó a>0
Bài 6. Dùng công th c Green tính các tích phân sauứ
a) trong đó C là đường tròn l y theo chi u ngấ ề ược kim đ ng h ồ ồ
b) v i L là cung tròn l y theo chi u tăng c a t: .ớ ấ ề ủ
c) v i L là n a đớ ử ường tròn đi t O(0,0) đ n A(0,2).ừ ế
Trang 8d) trong đó L là đường tròn l y theo chi u dấ ề ương.
e) v i L là đớ ường cong ch y t đ n O(0,0).ạ ừ ế
Bài 7. Tính các tích phân m t lo i m t sau:ặ ạ ộ
a) v i S là ph n m t paraboloid n m dớ ầ ặ ằ ưới m t ph ng ặ ẳ
b) trong đó S là ph n m t c u ầ ặ ầ
c) v i S là ph n m t tr n m gi a hai m t ph ng và m t ph ng .ớ ầ ặ ụ ằ ữ ặ ẳ ặ ẳ
d) Tính tích phân m t: trong đó S là ph n m t nón tròn xoay b ch n gi a hai m t tr và .ặ ầ ặ ị ắ ữ ặ ụ
Bài 8. Tính các tích phân m t lo i hai sau:ặ ạ
a) trong đó S là phía ngoài c a m t nón (không k đáy)ủ ặ ể
b) trong đó S là ph n m t c u n m góc ph n tám th nh t và hầ ặ ầ ằ ở ầ ứ ấ ướng ra ngoài
c) trong đó S là m t xung quanh c a t di n gi i h n b i các m t ph ng và m t và hặ ủ ứ ệ ớ ạ ớ ặ ẳ ặ ướng ra phía ngoài
d) trong đó S là phía ngoài c a m t c u .ủ ặ ầ
Bài 9. Dùng đ nh lý Stokes tính các tích phân sau:ị
a) trong đó L là elip giao b i m t tr và m t ph ng (a>0) có hở ặ ụ ặ ẳ ướng ngược chi u kim đ ng hề ồ ồ
n u nhìn t phía dế ừ ương c a tr c Oz nhìn xu ng. ủ ụ ố
b) trong đó L là đường tròn l y theo chi u ngấ ề ược chi u kim đ ng h khi nhìn t bên trên.ề ồ ồ ừ
c) trong đó L là đường cong có hướng ngược chi u kim đ ng h khi nhìn t bên trên.ề ồ ồ ừ
Bài 10. Dùng công th c Ostrogradski – Gauss đ tính các tích phân sau:ứ ề
a) v i S là phía ngoài c a n a m t c u (không k ph n hình tròn n m trong m t ph ng Oxy).ớ ủ ử ặ ầ ể ầ ằ ặ ẳ
Trang 9b) có S là m t xung quanh c a kh i tr (không k hai đáy) hặ ủ ố ụ ể ướng ra ngoài.
c) có S là m t xung quanh c a kh i tr (không k hai đáy) hặ ủ ố ụ ể ướng ra ngoài
d) v i S là m t nón không k đáy và hớ ặ ể ướng ra ngoài
e) có S là m t c u ặ ầ
hướng ra ngoài.
f) có S là m t c u ặ ầ
hướng ra ngoài. 0
g) trong đó S là m t ngoài c a v t th V gi i h n b i: ;ặ ủ ậ ể ớ ạ ở
h) có S là phía ngoài c a m t n m trong góc ph n tám th nh t t o nên b i m t ủ ặ ằ ầ ứ ấ ạ ở ặ
và các m t ph ngặ ẳ
t a đ x=0,y=0,z=0.ọ ộ
Trang 10CH ƯƠ NG IV: PH ƯƠ NG TRÌNH VI PHÂN
Bài 1. Gi i các phả ương trình tách bi n sau:ế
a)
b)
c)
d)
Bài 2. Gi i các phả ương trình vi phân đ ng c p (thu n nh t) sau:ẳ ấ ầ ấ
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Bài 3. Gi i các phả ương trình đ a đư ược v phề ương trình thu n nh t sau:ầ ấ
a)
b)
c)
Bài 4. Gi i các phả ương trình vi phân tuy n tính sau:ế
a)
b)
c)
d)
e)
Bài 5. Gi i các phả ương trình vi phân Bernoulli:
Trang 11b)
c)
d)
e)
Bài 6. Gi i các PTVP toàn ph n sau:ả ầ
a)
b)
c)
Bài 7. Gi i các PTVP dùng th a s tích phân sau:ả ừ ố
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Bài 8. Tìm nghi m riêng c a PTVP sau th a mãn đi u ki n đã cho:ệ ủ ỏ ề ệ
a)
b)
c)
Bài 9. Gi i các PTVP sau b ng phả ằ ương pháp h s b t đ nh:ệ ố ấ ị
a)
b)
c)
d)
Trang 12f)
g)
h)
i)
j)
Bài 10. Gi i các PTVP sau b ng phả ằ ương pháp bi n thiên h ng s Lagrange:ế ằ ố
a)
b)
c)
d)
Bài 11. Gi i các phả ương trình Euler sau:
a)
b)
c)
Bài 12. Gi i phả ương trình b ng phép đ i hàm ằ ổ
Đáp s ố
Bài 13. Gi i các h PTVP sau:ả ệ
a) b) c)