Bài tập Giải tich 2 Bách Khoa Hà Nội

Bài tập định hướng môn Giải tích 2 của trường Đại học Bách Khoa Hà Nội do các giảng viên Viện Toán ứng dụng và Tin học biên soạn năm 2014, bao gồm bài tập về Hình học vi phân, Tích phân bội, Tích phân phụ thuộc tham số, Tích phân đường, Tích phân mặt, Lý thuyết trường, sẽ giúp các bạn sinh viên luyện tập và củng cố kiến thức môn Giải tích 2.

BÀI TẬP GIẢI TÍCH 2

Kiểm tra giữa kỳ : Tự luận, vào tuần học thứ 9

Thi cuối kỳ : Tự luận

CHƯƠNG 1 Hình học vi phân

Ứng dụng trong hình học phẳng

1 Viết phương trình tiếp tuyến và pháp tuyến với đường cong:

a) y x32x2 4x3 tại điểm ( 2;5)

b) y e 1 x 2 tại giao điểm của đường cong với đường thẳng y  1

c)

3

3

1

2 2

t

x

t

y

t t













tại điểm A(2;2)

d)

x  y  tại điểm M(8;1)

2 Tính độ cong của:

a) y  x3 tại điểm có hoành độ 1

2

x 

b) ( sin )

(1 cos )







(a 0) tại điểm bất kỳ

c)

x  y a tại điểm ( , )x y bất kỳ ( a 0)

d) r ae b , ( ,a b 0) tại điểm bất kỳ

3 Tìm hình bao của họ các đường cong sau:

a) y x c2

c

  b) cx2c y2 1 c) y c2(xc)2

Ứng dụng trong hình học không gian

1 Giả sử ( )p t

, ( )q t , ( )t là các hàm khả vi Chứng minh rằng:

a) d p t( ) q t( ) d p t( ) d q t( )

b) ( ( ) ( )) ( ) ( ) '(t)p(t)

dt

t p d t t

p

t

dt





c) d p t q t( ) ( ) p t( )d q t( ) q t( )d p t( )

Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội Viện Toán ứng dụng và Tin học - 2014

d) d p t( ) q t( ) p t( ) d q t( ) d p t( ) q t( )

2 Viết phương trình tiếp tuyến và pháp diện của đường:

a)

2

2

sin

sin cos

cos

 













tại điểm ứng với

4

t 

 , ( , ,a b c 0)

b)

sin

2

1

cos

2

t

t

x

y

z

















 



tại điểm ứng với t 0

3 Viết phương trình pháp tuyến và tiếp diện của mặt cong:

a) x24y2 2z2 6 tại điểm (2; 2;3)

b) z 2x2 4y2 tại điểm (2;1;12)

c) z ln(2x y) tại điểm ( 1;3;0)

4 Viết phương trình tiếp tuyến và pháp diện của đường:

a)

2 2

10 25







tại điểm A(1;3; 4)

b)

2







tại điểm B ( 2;1;6)

CHƯƠNG 2 Tích phân bội Tích phân kép

1 Thay đổi thứ tự lấy tích phân của các tích phân sau

a)

2

2

( , )

x

x

dx f x y dy



2

1 1 1

( , )

y

y

dy f x y dx

 



c)

2

( , )

x

x x

dx f x y dy



2

1 2

0 sin

( , )

y

y

dy f x y dx





 

e)

2 Tính các tích phân sau

a) sin( )

D

x xy dxdy

2

D

x yx dxdy

 với D là miền giới hạn bởi các đường cong x y2 và

2

yx

c) | |

D

x y dxdy

D

yx dxdy

e) 2 3

D

yx dxdy

f) 2

D

xydxdy

 với D giới hạn bởi các đường x y x2;  1;y0 và y  1

| | | | 1

| | | |

x y

x y dxdy

 



h) ( )

D

x y dxdy

 với D giới hạn bởi các đường x2  y2 1; x  y 1

3 Tìm cận lấy tích phân trong tọa độ cực của ( , )

D

f x y dxdy

 trong đó D là miền xác định như sau:

4 Dùng phép đổi biến trong tọa độ cực, hãy tính các tích phân sau

a)  







2

2

0

2 2 0

) 1

ln(

x

R

R

dy y x

b)  









 2

2

2 2 0

x

Rx

x

Rx

R

dy y x Rx

c) 

D

xydxdy , với

1) D là mặt tròn (x2)2 y2 1

2) D là nửa mặt tròn (x2)2  y2 1, y0

d) 

D

dxdy

xy2 , với D là miền giới hạn bởi các đường tròn 2 ( 1)2 1





 y

0 4

2

2





 y y

5 Chuyển tích phân sau theo hai biến u và v :

a)  



x

x

dy y x

f

dx ( , )

1

0

, nếu đặt















y x v

y x u

b) Áp dụng tính với 2

) 2

( ) ,

6 Tính các tích phân sau

Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội Viện Toán ứng dụng và Tin học - 2014

a)  

dxdy

2 2

2

) ( , trong đó



















x y x

y y x y D

3

8 4

:

2 2

b)   

D

dxdy y x

y x

2 2

2 2

1

1

, trong đó D: x2  y2  1

c)  

D

dxdy y

x

xy

2

2 , trong đó































0 , 0

3 2 2 12

:

2 2

2 2

2 2

y x

y y

x

x y x

y x D

d)  

D

dxdy y

x 4 |

9

9 4 :

2 2



 y

x D

e)  

D

dxdy y

x 2 )

4

( 2 2 , trong đó















x y x

xy D

4

4 1

:

Tích phân bội 3

Tính các tích phân bội ba sau

1

V

zdxdydz

 , trong đó miền V được xác định bởi: 0 1

4

x

  , x y2x,

0 z 1x  y

2 ( 2 2)

V

x  y dxdydz

 , trong đó V xác định bởi: x2 y2z2 1,

0

x  y z 

3 ( 2 2)

V

x  y zdxdydz

 , trong đó V xác định bởi: x2  y2 1, 1 z 2

V

z x y dxdydz

a) V là miền giới hạn bởi mặt trụ: x2  y2 2x và các mặt phẳng: y  0,

0

z  , z , (a a 0)

b) V là nửa của hình cầu x2  y2 z2 a2, z 0, (a 0)

c) V là nửa của khối elipxôit



  , z 0, ( ,a b 0)

5

V

ydxdydz

 , trong đó V là miền giới hạn bởi mặt nón: y x2 z2 và mặt phẳng y  , (h h 0)

6  2 2 2

y

V

dxdydz

 , trong đó V là miền giới hạn bởi

a b c  ,

( , ,a b c 0)

7 ( 2 2 2)

V

x  y z dxdydz

 , trong đó V: 1x2  y2 z2 4, x2  y2 z2

V

x  y dxdydz

 , trong đó V là miền xác định bởi x2  y2  z2, z 1

9    

dxdydz

2 2 2

2

) ) 2 ( ( , trong đó V : x2  y2 1, | | 1z 

V

x  y z dxdydz

 , trong đó V là miền giới hạn bởi x2  y2z2 z

Ứng dụng của tích phân bội

1 Tính diện tích của miền D giới hạn bởi các đường y 2x, y 2x, y  4

2 Tính diện tích của miền D giới hạn bởi các đường

2

y x, y2 2x, x2  y, x2 2y

3 Tính diện tích của miền D giới hạn bởi

0

y  , y2 4ax, x y3a, y  , (0 a 0)

4 Tính diện tích của miền D giới hạn bởi

x y

x

2  2  2  , 0  y  x

5 Tính diện tích của miền D giới hạn bởi các đường tròn r  1; cos

3

2



6 Tính diện tích của miền D giới hạn bởi các đường

a) (x2 y2 2) 2a xy2 , (a 0)

b) x3 y3 axy, (a 0)

c) r a(1 cos )  , (a 0)

7 Chứng minh rằng diện tích miền D giới hạn bởi x2(x y)2 1 không đổi   

8 Tính thể tích của miền giới hạn bởi các mặt

3x y , 31 x2y , 2 y  , 00     z 1 x y

9 Tính thể tích của miền giới hạn bởi các mặt z  4 x2 y2, 2z 2 x2  y2

10 Tính thể tích của miền giới hạn bởi 0  z 1 x2 y2, yx, y 3x

11 Tính thể tích của miền V giới hạn bởi mặt cầu x2  y2 z2 4a2 và mặt trụ

0 2

2

2





y ay

x , y 0, (a 0)

Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội Viện Toán ứng dụng và Tin học - 2014

12 Tính thể tích của miền giới hạn bởi các mặt z 0,

z

2

a

a  b  , ( ,a b 0)

13 Tính thể tích của miền giới hạn bởi các mặt azx2 y2, z  x2  y2 , (a 0)

CHƯƠNG 3 Tích phân phụ thuộc tham số

1 Khảo sát sự liên tục của tích phân

1

0

( ) ( ) yf x





 với f x là hàm số ( ) dương, liên tục trên đoạn [0,1]

2 Tính các tích phân sau

a)  

1

0

ln n

x  x dx

 , n là số nguyên dương

b)

2

2 0

ln(1 ysin x dx)





 , với y   1

3 Tìm

1

0

lim

1

y

y

y

dx



4 Xét tính liên tục của hàm số

2 2 2 0

( )







5 Chứng minh rằng tích phân phụ thuộc tham số 







x

y x y

1

) arctan(

)

một hàm số liên tục, khả vi đối với biến y Tính I y rồi suy ra biểu thức của '( ) ( )

I y

6 Tính các tích phân sau

a)

1

0 ln

dx x



0

dx x

   

 , ( 0, 0) c)

2

0

dx x



 , ( 0, 0) d)

0 ( )n

dx







e)

0

sin( ) sin( )

x



 , ( , ,a b c 0) f) 2

0

cos( )

x





7 Biểu thị

0

sinm xcosn xdx



 qua hàm B m n , ( ,( , ) m n; ,m n1)

8 Tính các tích phân sau

a)

2

0

sin xcos xdx



0

a n

x a x dx

 , (a 0), (Gợi ý đặt xa t )

c) 10 2

0

x

x e dx





2 2

0 (1 )

x dx x





3 0

1

1 x dx





f)

1

2

0 (1 )

n

n

x

dx x



1

0

1 1

x



 , (n  *)

CHƯƠNG 4 Tích phân đường

Tích phân đường loại 1

Tính các tích phân sau:

1 ( )

C

x y ds

 , C là đường tròn x2  y2 2x

2 2

C

y ds

 , C là đường có phương trình ( sin )

(1 cos )







(0 t 2 , a 0)

C

x  y ds

 , C là đường cong (cos sin )

(sin cos )







(0 t 2 , a0)

Tính phân đường loại 2

Tính các tích phân sau:

1 ( 2 2 ) (2 2)

AB

x  xy dx xy y dy

 , trong đó AB là cung parabol y x2 từ (1;1)

A đến B(2;4)

2 (2 )

C

xy dxxdy

 , trong đó C là đường cong ( sin )

(1 cos )







theo chiều

tăng của t , (0 t 2 , a0)

Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội Viện Toán ứng dụng và Tin học - 2014

3 2( 2 2) (4 3)

ABCA

x  y dxx y dy

 , trong đó ABCA là đường gấp khúc đi qua (0;0)

A , B(1;1), C(0;2)

4

| | | |

ABCDA

dx dy





 , trong đó ABCDA là đường gấp khúc đi qua A(1;0), B(0;1), ( 1;0)

C  , D(0; 1)

5

4

2

C

x y dx

dy





 , trong đó C là đường cong sin

cos

 









theo chiều tăng

của

4 0

2





6 Tính tích phân sau

C

xy x y dx xy x y dy



bằng hai cách: tính trực tiếp, tính nhờ công thức Green rồi so sánh các kết quả, với C là đường:

a) x2 y2 R2

b) x2 y2 2x

c)

a  b  , ( ,a b 0)

7

2 2

 

8 x[(1 cos ) ( sin ) ]

OABO

e  y dx y y dy

 , trong đó OABO là đường gấp khúc qua O(0;0), A(1;1), B(0;2)

9

2 2 2

 

10

3

3

C

x

xy x  y xy dx xy  x x xy dy

đường cong cos

sin











(a 0)

11 Dùng tích phân đường loại 2 tính diện tích của miền giới hạn bởi một nhịp xycloit: xa t( sin )t ; ya(1 cos ) t và trục Ox, (a 0)

12

(3;0)

( 2; 1)

(x 4xy dx) (6x y 5y dy)

 

13

(2;2 ) 2

2 (1; )

(1 y cos )y dx (sin y ycos )y dy

x





14 Tìm hằng số  để tích phân sau không phụ thuộc vào đường đi trong miền xác định

AB

xy 



15 Tìm các hằng số a b để biểu thức ,

(y axy ysin(xy dx)) (x bxyxsin(xy dy))

là vi phân toàn phần của một hàm số u x y nào đó Hãy tìm hàm số ( , )( , ) u x y

đó

16 Tìm hàm số h x để tích phân ( )

2

AB

h x xy dx xyx dy



không phụ thuộc vào đường đi trong miền xác định Với h x vừa tìm được, ( ) hãy tính tích phân trên từ A ( 0 ; 0 ) đến B(1; 2)

17 Tìm hàm số h y để tích phân ( )

AB

h y y x y dxx x y dy



không phụ thuộc vào đường đi trong miền xác định Với h y vừa tìm được, ( ) hãy tính tích phân trên từ A(0;1) đến B ( 3;2)

18 Tìm hàm số h xy để tích phân ( )

AB

h xy yx y dx xx y dy



không phụ thuộc vào đường đi trong miền xác định Với h xy vừa tìm được, ( ) hãy tính tích phân trên từ A(1;1) đến B(2;3)

CHƯƠNG 5

Tích phân mặt

Tính các tích phân mặt loại 1 sau đây

1 ( 2 4 )

3

S

y

z x dS

2 3 4

S  x y z    x y z

2 ( 2 2)

S

x  y dS

 , trong đó S {( , , ) :x y z zx2 y2,0 z 1}

Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội Viện Toán ứng dụng và Tin học - 2014

3 ( 2 2)

S

z x  y dxdy

 , trong đó S là nửa mặt cầu: x2  y2z2 1, z 0, hướng của S là phía ngoài mặt cầu

S

ydzdxz dxdy

 , trong đó S là phía ngoài của mặt elipxoit: 2

1 4

y

x  z  , x 0, y  , 0 z 0

5 2 2

S

x y zdxdy

 , trong đó S là mặt trên của nửa mặt cầu: x2  y2 z2 R2,

0

z 

6

S

xdydzydzdxzdxdy

 , trong đó S là phía ngoài của mặt cầu:

x  y z a

S

x dydz y dzdxz dxdy

 , trong đó S là phía ngoài của mặt cầu:

x  y z R

S

y zdxdyxzdydzx ydzdx

 , trong đó S là phía ngoài của miền: x 0, 0

y  , x2 y2 1, 0 z x2  y2

9

S

xdydzydzdxzdxdy

 , trong đó S là phía ngoài của miền:

2 2

2

)

1

(z  x  y , a z 1

10 Gọi S là phần mặt cầu x2  y2z2 1 nằm trong mặt trụ x2  x z2 0, 0

y  , hướng của S là phía ngoài của mặt cầu Chứng minh rằng:

S

x y dxdy yz dydz zx dzdx

CHƯƠNG 6

Lý thuyết trường

1 Tính đạo hàm theo hướng l

của hàm ux3 2y3 3z3 tại điểm A(2;0;1)

với l AB

, B(1;2; 1)

2 Tính môđun của grad u

, với

3

u x  y z  xyz

tại A(2;1;1) Khi nào thì grad u

vuông góc với Oz, khi nào thì grad u  0

?

3 Tính grad u

, với

2 1

ln

r

   , r  x2  y2 z2

4 Theo hướng nào thì sự biến thiên của hàm số u xsinz ycosz từ gốc (0;0;0)

O là lớn nhất?

5 Tính góc giữa hai vectơ grad z

của các hàm số z  x2 y2 và

z x y xy tại (3;4)

6 Trong các trường sau đây, trường nào là trường thế:

a) a5(x2 4xy i)(3x2 2 )y jk

b) a yzi xzj xyk

c) a(x y i)(x z j)(z y k)

7 Cho Fxz i2 yx j2zy k2

Tính thông lượng của F

qua mặt cầu S:

x y z  , hướng ra ngoài

8 Cho F  x y(  z i) y z(  x j) z x(  y k)

, L là giao tuyến của mặt trụ

x  y  y và nửa mặt cầu x2 y2 z2 2, z 0 Chứng minh rằng lưu

số của F

dọc theo L bằng 0