Ôn tập giải tích 2 TS đặng văn vinh

Câu 4: Tìm bán kính hội tụ của chuỗi luỹ thừa... Câu 2: Một cái hộp hình hộp chữ nhật, không có nắp phía trên được làm từ 12m bìa 2 carton.. Tìm thể tích lớn nhất của cái hộp này Vậy P l

n n

Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa

2 1

n n

Bài giải:

f(x)=0 f(x)=2 x(t)=-1 , y(t)=t x(t)=1 , y(t)=t f(x)=x^2 f(x)=1

0.5 1 1.5 2

x y

Chia D thành 2 phần:

D1 là phần y x 2 (phía trên Pparrabol)

D2 là phần y x 2 (phía dưới Parabol)

Câu 6: Tính tích phân bội ba I V y z dxdydz  , trong đó V là vật thể được giới hạn bởi z x 2y x2, 2y2 4,z 2 x2y2

S1: phía trước mp(0yz) x z y 2 và pháp vecto tạo với ox góc tù

S2: phía trước mp(0yz) x z y 2 và pháp vecto tạo với ox góc nhọn

Các em có thể làm đơn giản bài toán ngay từ đầu bằng cách:

Nhận xét S đối xứng qua oyz và hàm x(y,z)=y chẵn theo x và x(y,z)=2x lẻ theo x nên ta có:

Cách 2: Dùng pháp véc tơ đơn vị đưa về tích phân đường loại 1

Cách 3: Thêm vào phần mặt z=4 rồi dùng công thức O-G

Cách 2 và 3 nhanh và hay hơn cách 1 Các em tự làm 2 cách sau nhé (dể thôi đừng lo)

khi x=2 => f y( )y3 6y8,y [ 1, 2] max 13,min 4 

khi y=-1 => f x( )x3 1 3x; f x'( ) 3 x23 vô nghiệm

khi y=2 => f x( )x3 8 6 ,x x(0, 2); f x'( ) 3 x2 6 =>

 

Max f=13 đạt tại (2,-1), min f =-1 đạt tại (0,-1)

Câu 3: Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi số:

1

( 1)1

n n

    => chuỗi phân kỳ theo điều kiện cần

Câu 4: Tìm bán kính hội tụ của chuỗi luỹ thừa

Chia miền D bởi đường thẳng y=x thành 2 miền D1 và D2.

Trên D1(nằm dưới dt y=x) x>y nên max{x,y}=x

Trên D2(nằm trên dt y=x) x<y nên max{x,y}=y

2563

I x dydz y dxdz z dxdy   x y z dxdydz

Đổi sang toạ độ trụ:

max z =-4e4 đạt tại (u,v)=(-2,0) hay (x,y)=(-2,-2)

Câu 3: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số

1

( 1) ( 1)

n n

 hội tụ theo tiêu chuẩn Leibnitz

Các em nhận xét xem đúng hay sai?



 phân kỳ do đó chuỗi phân kỳ

Câu 4: Tìm chuỗi Taylor của ( ) 22 3

 

 

1 0

n n

0.2 0.4 0.6 0.8

x y

Đổi sang toạ độ trụ:

cossin

Miền được viết lại trong toạ độ trụ là: V

t t

1os

3 S ds

  =4

3SHình cầu có tâm I(0,0,0)

Vậy 32

9

I  

ĐỀ 14

Câu 1: Vẽ khối  giới hạn bởi y 4 x y2,  1 x z2, 0,z2x

Các em tự vẽ.

Câu 2: Một cái hộp (hình hộp chữ nhật, không có nắp phía trên) được làm từ 12m bìa 2

carton Tìm thể tích lớn nhất của cái hộp này

Vậy P là điểm cực đại

Và vì V liên tục trong góc phần tám thứ nhất và có duy nhất 1 điểm cực đại (P) nên đạt giá trị lớn nhất tại P: MaxV=V(P)=4

Nhận xét: Không nghi ngờ gì nữa cách 2 hay hơn và gọn hơn cách 1 Nhưng các

em nên nhớ đang học GT2 về cực trị và max-min Yêu cầu phải biết vận dụng kiến thức đã học vào những bài toán thực tế Bài này điển hình cho bài tìm max-min cho hàm 3 biến và miền không bị chặn rất hay.

1 0 1

n n

3 2

Do đó chuỗi hội tụ tuyệt đối theo tiêu chuẩn so sánh

Vậy: miền hội tụ là: [-1,1]

I y dxdyy dxdy y dxdy

Vì E và C đối xứng qua Ox,Oy và hàm dưới dấu tích chẵn theo 2 biến x,y nên:

Thật ra bài này bằng không ngay từ đầu bằng cách nhận xét:

S đối xứng qua Oxz và hàm dưới dấu tích phân lẻ theo biến y.

    a=2,b=1'' 4, '' 0

x

z y

Làm như thế đúng hay sai? Suy nghĩ tí nhé.

1

n n

2

2 2 1

n n

n n n n

2 1 0

1

n n

n n

Câu 5: Tính tích phân Dmax sin ,sin x y dxdy với D là miền 0 x ,0 y .Bài giải:

Chia D làm 4 miền bởi 2 đường thẳng y=x và x+y=Pi

f(x)=0 f(x)=x f(x)=Pi x(t)=0 , y(t)=t x(t)=Pi , y(t)=t f(x)=Pi-x

Câu 6: Tính tích phân đường 2 2 2 2 2 2

C

I  y z dx  z x dy  x y dz , với C là giao của mặt phẳng x y z  1 và mặt cầu x2y2z2 4 ngược chiều kim đồng

hồ theo hướng trục Oz

y D

Câu 2: Cho một hình hộp chữ nhật ở góc phần tám thứ nhất trong hệ trục Oxyz, có 3 mặt nằm trên 3 mặt phẳng tọa độ và một đỉnh nằm trên mặt phẳng x2y3z6 Tìm thể tích lớn nhất.

Bài giải

Gọi M(a,b,c) thuộc mặt phẳng x2y3z 6 a2b3c6

2 2

b c

Bài này dùng bất đẳng thức cosi nhanh hơn nhưng không liên quan đến bài học.

Câu 3: Tính tổng 1

1

( 2)( 2) 7

n n

2 2

2 1

n n m

n f

S n

Câu 4: Tìm chuỗi lũy thừa của hàm f x( ) ln x 1x2 và tìm bán kính hội tụ của chuỗi này

Bài giải

2 1

2 1 1

1

2 1 1

n

n n

n

n n

n

n

n x

n n

x

n n

, trong đó D là miền phẳng giới hạn

I  zdx xdy ydz dydz dxdz dxdy

Pháp véc tơ đơn vị của S: ( 1 ,0, 1 )

Câu 7: Tính tích phân mặt loại hai 3 3

4085

xy x xy x

6

26

51

xy xx

xy yy

xy xy

Thế vào trên ta được: d L P2  14dx2 0

Vậy P là điểm cực tiểu

 

1 2 1

1 2 1

e n

f(x)=0 f(x)=3 x(t)=0 , y(t)=t x(t)=3 , y(t)=t f(x)=sqrt(x^2+2) Series 1

-0.5

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

Bài giải

Nhận xét : mặt nón và mặt cầu cắt nhau theo một đường tròn nằm trong mp x=4Gọi S là mặt trước của hình tròn có biên là C

2 2 2 4:

Câu này không giải được Em nào can đảm thì cứ việc.

Câu 4: Sử dụng khai triển Maclaurint của hàm dưới dấu tích phân thành chuỗi, tính

x x

0.2 0.4 0.6 0.8

x y

Trên là diện tích cần tìm:

Đổi sang toạ độ cực mở rộng:

cos

3 1

383

3 2 0

00

d L P

d L P



Vậy hàm f đạt cực đại tại P2(1,3,5) và cực tiểu tại P1(-1,-3,-5)

Câu 3: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi

2

1( 1)n

Suy ra chuỗi phân kỳ

Câu 4:Tìm chuỗi Maclaurint của

1 0

0 1

1 2 0

(3 )( 1)

( 1)

13

( ) ( 1)

( 1)

n n

n

n

n n

2 0

( ) ( 1)

n n

f(x)=x*sqrt(3)

-3 -2 -1

1 2 3

x

y

D

2cos 4

28

2 3 43

x(t)=(t-sin(t)) , y(t)=(1-cos(t))

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

x y

Ta có:

'2 '2

2 sin2

(1 ost) 2 sin

2256

11

2 2

Các em cần hiểu rõ vi phân, Chú ý giữa hàm và biến mới làm được cách 2.

Câu 2: Tìm cực trị của hàm f x y z ( , , )   x 2 y  3 z với hai điều kiện x y z  1

và x2y2  1

Bài giải

Xét:L x y z , ,   x 2y3zx y z  x2y2

' ' '

00

1

2 11

n n

 hội tụ theo tiêu chuẩn leinitz.

Vậy miền hội tụ: M(x)=[-3,1]

sin 3 sin cossin

0.2 0.4 0.6 0.8

x y